Search

The objective of this thesis is the mathematical and numerical study of wave propagation in periodic and heterogeneous media modeled by the Helmholtz equation with quasi-periodic boundary conditions. In the current context of climate change, photovoltaic solar devices are emerging as an effective tool for a clean energy transition. This circumstance significantly pushes scientific research on the development of these devices. In turn, this background motivates the study of light propagation in these solar cells, which the Helmholtz equation can model with a quasi-periodic boundary condition. This unusual boundary condition represents a particular case of trapping geometries and gives rise to the appearance of some quasi-resonant frequencies. This work presents frequency-explicit stability results in the homogeneous case revealing the effect of these quasi-resonant frequencies on the use of perfectly matched layers (PML) and finite element discretizations. The Fourier expansion available in this case allows our study to go through the analysis of some parameterized one-dimensional Helmholtz problems satisfied by the Fourier modes. We also provide a frequency-explicit analysis for more general physical coefficients where Fourier expansion does not work. Specifically, we consider multilayer media, and our study uses the alternative ``Morawetz multiplier'' technique to obtain frequency-explicit results, which are of particular interest since they enter into the stability and convergence analysis of finite element discretizations. The second part of this work is devoted to the use of a two-level finite element method named the multiscale hybrid-mixed (MHM) method to solve our model problem. This method arises from a hybridization procedure using coarse mesh, and its multiscale basis functions are locally computed via independent cell problems. We first provide frequency-explicit error estimates, showing that the MHM method is more accurate and stable than the standard finite element method in the presence of quasi-resonant frequencies. Then, having in mind the nanoscale texturation used to ameliorate solar cells efficiently, an MHM multiscale convergence analysis is presented. The obtained error estimates hold uniformly when the characteristic length δ of the texturation goes to zero, which signifies that the MHM method keeps its robustness and capture small-scale heterogeneities using coarse meshes.; L'objectif de cette thèse est l'étude mathématique et numérique de la propagation des ondes dans des milieux périodiques et hétérogènes modélisés par l'équation de Helmholtz avec des conditions aux limites quasi-périodiques. Dans le contexte actuel du changement climatique, les dispositifs solaires photovoltaïques apparaissent comme un outil efficace pour une transition énergétique propre. Ces circonstances encouragent considérablement la recherche scientifique sur le développement de ces dispositifs. À son tour, ce cadre motive l'étude de la propagation de la lumière dans ces cellules solaires, que l'équation de Helmholtz peut modéliser avec une condition limite quasi-périodique. Cette condition aux limites inhabituelle représente un cas particulier de géométries "captantes'' et donne lieu à l'apparition de certaines fréquences quasi-résonantes. Ce travail présente des résultats de stabilité explicites en fréquence dans le cas homogène révélant l'effet de ces fréquences quasi-résonantes sur l'utilisation de couches parfaitement adaptées (PML) et sur les discrétisations par éléments finis. L'expansion de Fourier disponible dans ce cas permet à notre étude de passer par l'analyse de quelques problèmes de Helmholtz unidimensionnels paramétrés satisfaits par les modes de Fourier. Nous fournissons également une analyse explicite en fréquence pour des coefficients physiques plus généraux pour lesquels l'expansion de Fourier ne fonctionne pas. Plus précisément, nous considérons des milieux multicouches, et notre étude utilise la technique du "multiplicateur de Morawetz'' pour obtenir des résultats explicites en fréquence, qui sont d'un intérêt particulier puisqu'ils interviennent dans l'analyse de stabilité et de convergence des discrétisations par éléments finis. La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'utilisation d'une méthode d'éléments finis à deux niveaux, appelée la méthode Multiéchelle Hybride-Mixte (MHM), pour résoudre notre problème modèle. Cette méthode est issue d'une procédure d'hybridation utilisant un maillage grossier, et ses fonctions de base multi-échelles sont calculées localement via des problèmes indépendants dans chaque cellule. Nous fournissons d'abord des estimations d'erreurs explicites en fréquence, montrant que la méthode MHM est plus précise et plus stable que la méthode des éléments finis standard en présence de fréquences quasi-résonantes. Ensuite, ayant à l'esprit la texturation à l'échelle nanométrique utilisée pour améliorer l'efficacité des cellules solaires, une analyse de convergence multi-échelle de la méthode MHM est présentée. Les estimations d'erreur obtenues sont uniformes lorsque la longueur caractéristique δ de la texturation tend vers zéro, ce qui signifie que la méthode MHM garde sa robustesse et capture les hétérogénéités à petite échelle en utilisant des mailles grossières.

Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the linear case. Extending the theory developed by Pierre and his collaborators, we establish the existence of global weak solutions when initial data have an L^1 regularity and nonlinearities have a sub-quadratic growth. In another work, we look at the situation in which two populations react and diffuse in a single domain creating spatial patterns. We adapt this Turing theory to the case of a permeable membrane. The result is quite similar to the standard case, but pattern formation is influenced both by diffusion and permeability coefficients.Finally, we present a more applied study in collaboration with biologists from the Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers of INSERM at Saint-Antoine Hospital in Paris. In fact, Kedem-Katchalsky conditions can well characterise the flow of tumor cells through the basal membrane, in the so-called invasion process. This is a key step in the metastatic cascade and it is allowed by several stages, among which we distinguish membrane degradation. With the aim of deepening the invasion phenomenon, we propose a mathematical model concerning degradation of a biological layer. We present numerical simulations and an a priori analysis on the sensitivity of our system and on the parameter estimation. This is a preparatory work waiting for experimental results.; Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux.; I problemi di reazione-diffusione con membrana trovano numerose applicazioni in fisica, biologia e medicina, sia nel caso di diffusione lineare che non lineare. Ci interessiamo a questi sistemi nel caso di membrane biologiche. L’esempio rappresentativo é quello di due domini separati da una membrana permeabile. In un primo tempo, estendendo il lavoro di Sanchez-Palencia per le equazioni dei mezzi porosi, ricaviamo in modo rigoroso le condizioni di interfaccia, chiamate condizioni di Kedem-Katchalsky, come limite di condizioni di trasmissione quando lo spessore della membrana converge a zero. Ciò è rilevante dal punto di vista biologico e conveniente per le simulazioni numeriche. I lavori che seguono riguardano questo problema limite su una membrana di spessore zero, ma guardando al caso di diffusione lineare. In un secondo studio, estendendo la teoria sviluppata da Pierre e dai suoi collaboratori, stabiliamo l’esistenza di soluzioni deboli globali quando i dati iniziali hanno una regolarità L1 e le nonlinearità hanno una crescita al più quadratica. In un altro lavoro, guardiamo alla situazione in cui due popolazioni reagiscono e si diffondono in un unico dominio creando strutture spaziali. Adattiamo questa teoria di Turing in presenza di una membrana permeabile. Il risultato è abbastanza simile alla classica teoria di Turing, ma la formazione di pattern é influenzata sia dai coefficienti di diffusione che di permeabilità della membrana. Infine, presentiamo un lavoro più applicato in collaborazione con dei biologi del Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers dell’INSERM all’Ospedale Saint Antoine a Parigi. Infatti, le condizioni di Kedem-Katchalsky possono caratterizzare il flusso di cellule tumorali attraverso la membrana basale, nel cosiddetto processo di invasione. Questo è un passaggio chiave nella cascata metastatica ed è consentito da diverse fasi, tra le quali distinguiamo la degradazione della membrana. Con l’obiettivo di approfondire la nostra conoscenza del fenomeno invasivo, proponiamo un modello matematico che rappresenta la degradazione di una membrana biologica. Presentiamo anche simulazioni numeriche e un’analisi a priori della sensibilità del nostro sistema e della stima dei parametri. Si tratta di un lavoro preparatorio in attesa dei risultati sperimentali.

info:eu-repo/semantics/inPress

L’exposé s’appuiera sur trois travaux importants de mathématiques appliquées réalisés avant l’apparition de l’ordinateur : Francis Bashforth et l’action capillaire (1883), Carl Størmer et les aurores boréales (1907), Georges Lemaître et les rayons cosmiques (1936). Ces situations présentent toutes les caractéristiques de ce que nous appelons aujourd’hui modélisation mathématique et simulation numérique. Dans les trois cas, on rencontre plusieurs représentations d’un phénomène physique qui se valident mutuellement et qui, considérées dans leur ensemble, constituent un modèle du phénomène. Par ailleurs, les scientifiques impliqués ont été amenés à créer par eux-mêmes des méthodes originales – numériques, graphiques et instrumentales – pour traiter les systèmes complexes d’équations différentielles apparaissant dans leurs recherches. Ces nouvelles méthodes de calcul ont contribué de manière essentielle à la naissance de l’analyse numérique en tant que discipline mathématique autonome dans la première moitié du vingtième siècle.

Uniting the workflows of geometric design and numerical analysis is one of the challenging aims of IsoGeometric Analysis. Such a goal is addressed by using the same mathematical functions — namely, Non-Uniform Rational B-Splines — to describe the geometry and to serve as a support to solve the analysis. Amongst other advantages, NURBS functions benefit from a higher continuity with regards to Lagrange polynomials, and coarser meshes can be used, reducing the analysis time. When it comes to shape optimisation, IGA offers the advantage of providing a model that is compatible with Computer Aided Design software, without further processing. The aircraft engine design and manufacturing industry widely uses numerical methods, and hence can benefit from the advantageous features of IGA. Specific concerns arise in this industrial context, the volumetric definition of spinning parts such as blades being a prominent one. The purpose of this work is to propose a complete framework for the design, analysis and shape optimisation of aircraft engine blades using IGA. Using an actual industrial blade geometry, we propose a procedure to reconstruct a B-spline analysis-suitable volumetric model of the blade, ensuring its geometric accuracy and parametrisation regularity. Shape optimisation is performed using the spatial coordinates of control points as design variables. The mechanical response of the structure is computed using the open-source IGA code Yeti. The rest of the assembly, including the platform and tenon of the blade, is considered using a mortar approach for weak patch coupling. An embedded solid element formulation was developed during this study, enabling accurate modelling of the fillet linking the blade to its platform. In addition, it guarantees the geometric compatibility of the interfaces between adjacent patches during shape updates in the course of the shape optimisation process. The results demonstrate the efficiency of the method and its relevance for industrial aircraft engine blade design and shape optimisation., Relever le défi que représente l’incorporation de la modélisation géométrique et l’analyse numérique est un des objectifs de l’Analyse IsoGéométrique. Un des aspects principaux permettant d’adresser cette question est l’utilisation des mêmes fonctions mathématiques – à savoir, les B-Splines Rationnelles Non-Uniformes – pour décrire la géométrie et pour servir de support afin de résoudre l’analyse. L’un des avantages des fonctions NURBS est qu’elles bénéficient d’une continuité supérieure en comparaison aux polynômes de Lagrange, et des maillages plus grossiers peuvent être utilisés, réduisant le temps nécessaire pour l’analyse. Concernant l’optimisation de forme, l’IGA présente l’avantage de fournir un modèle qui est compatible avec les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur, sans traitement supplémentaire. La conception et la fabrication de moteurs d’avions repose largement sur les méthodes numériques, et peut donc bénéficier des propriétés avantageuses de l’IGA. Des problématiques spécifiques émergent dans ce contexte industriel, parmi lesquelles la définition volumique des parties tournantes telles que les aubages. L’objet de ces travaux est de proposer un cadre complet pour la définition, l’analyse et l’optimisation de forme d’aubages de moteurs d’avions, en utilisant l’IGA. En s’appuyant sur une géométrie d’aubage industriel, nous proposons une procédure permettant d’en construire un modèle B-Spline volumique compatible pour l’analyse, en assurant la précision géométrique de ce dernier ainsi que la régularité du paramétrage. L’optimisation de forme est réalisée en utilisant les coordonnées spatiales des points de contrôle comme variables de design. La réponse mécanique de la structure est calculée à l’aide du code IGA open-source Yeti. Le reste de l’assemblage, incluant la plateforme et le pied de l’aubage, est pris en compte grâce à une approche de type mortar pour le couplage faible des patchs. Une formulation d’élément solide immergé a été développée durant cette étude, permettant de modéliser de façon précise le congé raccordant la pale à sa plateforme. De plus, la compatibilité géométrique est garantie aux interfaces entre patchs adjacents lors de la mise à jour de la forme de la pale durant la procédure d’optimisation de forme. Les résultats obtenus démontrent l’efficacité de la méthode et sa pertinence pour la conception et l’optimisation de forme d’aubages de moteurs d’avions.

We study two classes of mathematical models currently used for the modeling in time and space of tumors: the Cahn-Hilliard equation for living tissues and the Keller-Segel model. The numerical methods we propose aim to represent these equations efficiently and accurately while preserving their properties. For the Cahn-Hilliard equation, our study is based on a relaxation method for which we prove the convergence to the original model. Even though the physical effects modeled by these equations are close to the ones studied in fluid dynamics, the equations used to model living tissues are different in order to represent the active behavior of cells. The resulting equations contain numerous singularities and degeneracies, which result in technical difficulties to analyze and simulate them efficiently.Our relaxation method has been introduced to facilitate the implementation of our numerical schemes. Hence, we propose numerical schemes that are easy to implement in already existing finite element software. In order to preserve the properties of the equations during numerical simulations, we design numerical schemes based on the Scalar Auxiliary Variable method. Based on these numerical works, we present two studies of biological phenomena.; Nous étudions deux types de modèles couramment utilisés pour la représentation en temps et en espace des tumeurs: l’équation de Cahn-Hilliard pour les tissus vivants et le modèle de Keller-Segel. Les méthodes numériques que nous développons cherchent à représenter de manière précise et efficace ces équations tout en préservant leurs propriétés. Pour l'équation de Cahn-Hilliard, notre étude s’appuie sur une méthode de relaxation dont nous prouvons la convergence vers le modèle initial. Même si elles représentent mathématiquement des phénomènes physiques proches de ceux étudiés en dynamique des fluides, les équations utilisées pour les tissus vivants sont souvent différentes pour rendre compte du caractère actif des cellules. Les équations résultantes contiennent de nombreuses singularités et dégénérescences qui sont difficiles à analyser théoriquement et simuler numériquement de manière efficace. La méthode de relaxation a été introduite pour faciliter l’implémentation de nos schémas numériques; nous proposons ainsi des schémas numériques éléments finis simples à adapter dans les codes pré-existants. Afin de préserver les propriétés des équations continues lors des simulations numériques, nous proposons des schémas numériques basés sur la Méthode de Variable Auxiliaire. Sur la base de ces travaux numériques, nous présentons l’étude de deux phénomènes biologiques.

The mechanical model of a thin plate with boundary control and observation is presented as a port-Hamiltonian system (pHs), both in vectorial and tensorial forms: the Kirchhoff-Love model of a plate is described by using a Stokes-Dirac structure and this represents a novelty with respect to the existing literature. This formulation is carried out both in vectorial and tensorial forms. Thanks to tensorial calculus, this model is found to mimic the interconnection structure of its one-dimensional counterpart, i.e. the Euler-Bernoulli beam. The Partitioned Finite Element Method (PFEM) is then extended to obtain a suitable, i.e. structure-preserving, weak form. The discretization procedure, performed on the vectorial formulation, leads to a finite-dimensional port-Hamiltonian system. This part II of the companion paper extends part I, dedicated to the Mindlin model for thick plates. The thin plate model comes along with additional difficulties, because of the higher order of the differential operator under consideration., arXiv admin note: text overlap with arXiv:1809.11131

In this thesis, we are interested in the modeling and numerical analysis of physical systems with cross diffusion. The models considered describe in particular the phenomena at work in batteries and during the manufacturing of solar panels. In the first two chapters, different schemes for an ion diffusion model suitable for high concentrations and proposed in 2013 are studied. The first chapter focuses on the study of the simplified case with only one concentration unknown. Four two-point finite volume schemes are proposed for which we prove the existence of physically realistic solutions, and the convergence of these approximate solutions to a weak solution of the continuous problem for two of the four schemes. In the second chapter, we tackle a pressureless variant of the 2013 multispecies problem with the two schemes validated in the first chapter. The existence of approximate solutions is proved again. Under the condition of non-disappearance of the solvent, we finally show the convergence of these solutions. The cross diffusion effects lead to define a rather minimal notion of coercivity. In the two following chapters, we consider other mechanisms of free energy dissipation. We first focus on variants of the problem studied in the first part obtained by variational modeling techniques. This choice of modeling allows for a natural treatment of the pressure when part of the model. Some numerical simulations highlight the differences in the behavior of these models at high concentrations. Finally, the last chapter deals with a mathematical model of diffusion at work in the manufacture of some solar panels. We represent a system of cross diffusion as a perturbation of the heat equation. The treatment of the perturbation is explicitly based on the construction of an interface concentration, a technique introduced in previous chapters that allows the extension of analysis methods for centered schemes to more general schemes. This technique allows proving the preservation of discrete derivations.; Dans cette thèse, on s’intéresse à la modélisation et à l'analyse numérique de systèmes physiques à diffusion croisée. Les modèles considérés décrivent notamment les phénomènes à l’œuvre dans les batteries et lors de la fabrication de panneaux solaires. Dans les deux premiers chapitres, on étudie différents schémas pour un modèle de diffusion des ions adapté aux concentrations élevées et proposé en 2013. Le premier chapitre concerne l’étude du cas simplifié à une inconnue de concentration. On y propose quatre schémas volumes finis à deux points pour lesquels on démontre l’existence de solutions physiquement réalistes, puis la convergence de ces solutions approchées vers une solution faible du problème continu pour deux des quatre schémas. Dans le deuxième chapitre, on s’attaque à une variante sans pression du problème multi-espèces de 2013 avec les deux schémas validés lors du premier chapitre. On y démontre à nouveau l’existence de solutions approchées. Sous réserve de non-disparition du solvant, on démontre enfin la convergence de ces solutions. Les phénomènes de diffusion croisée amènent à définir une notion de coercivité assez minimale. Dans un second temps, on s’intéresse à d’autres mécanismes de dissipation de l’énergie libre. On se penche d'abord sur des variantes au problème étudié dans les ceux premiers chapitres. Ces variantes sont obtenues par des techniques de modélisation variationnelle. Ce choix de modélisation permet un traitement naturel de la pression lorsqu’elle fait partie du modèle. Quelques simulations numériques mettent en exergue les différences de comportements de ces modèles à hautes concentrations. Enfin, le dernier chapitre traite d'un modèle mathématique de diffusion à l’œuvre dans la fabrication de certains panneaux solaires. On y représente un système de diffusion croisée comme une perturbation de l’équation de la chaleur. Le traitement de la perturbation repose explicitement sur la construction d’une concentration d’interface, technique introduite dans les chapitres précédents et qui permet d’étendre des méthodes d’analyse pour les schémas centrés à des schémas plus généraux. Cette technique permet de démontrer la préservation de dérivations discrètes.

Boundary-layer transition from a laminar to a turbulent regime is a critical driver in the design of high-speed vehicles. The aerothermodynamic loads associated with transitional or fully turbulent hypersonic boundary layers are several times higher than those associated with laminar flow. The presence of isolated roughness elements on the surface of a body can accelerate the growth of incoming disturbances and introduce additional instability mechanisms in the flow field, eventually leading to a premature occurrence of transition. This dissertation studies the instabilities induced by three-dimensional discrete roughness elements located inside a high-speed boundary layer developing on a flat plate. Two-dimensional local linear stability theory (2D-LST) is employed to identify the instabilities evolving in the three-dimensional flow field that characterizes the wake induced by the roughness elements and to investigate their evolution downstream. A formulation of the disturbance energy evolution equation available for base flows depending on a single spatial direction is generalized for the first time to base flows featuring two inhomogeneous directions and perturbations depending on three spatial directions. This generalization allows to obtain a decomposition of the temporal growth rate of 2D-LST instabilities into the different contributions that lead to the production and dissipation of the total disturbance energy. This novel extension of the formulation provides an additional layer of information for understanding the energy exchange mechanisms between a three-dimensional base flow and the perturbations resulting from 2D-LST. Stability computations for a calorically perfect gas illustrate that the wake induced by the roughness elements supports the growth of different sinuous and varicose instabilities which coexist together with the Mack-mode perturbations that evolve in the flat-plate boundary layer, and which become modulated by the roughness-element wake. A single pair of sinuous and varicose disturbances is found to dominate the wake instability in the vicinity of the obstacles. The application of the newly developed decomposition of the temporal growth rate reveals that the roughness-induced wake modes extract most of their potential energy from the transport of entropy fluctuations across the base-flow temperature gradients and most of their kinetic energy from the work of the disturbance Reynolds stresses against the base-flow velocity gradients. Further downstream, the growth rate of the wake instabilities is found to be influenced by the presence of Mack-mode disturbances developing on the flat plate. Strong evidence is observed of a continuous synchronization mechanism between the wake instabilities and the Mack-mode perturbations. This phenomenon leads to an enhancement of the amplification rate of the wake modes far downstream of the roughness element, ultimately increasing the associated integrated amplification factors for some of the investigated conditions. The effects of vibrational molecular excitation and chemical non-equilibrium on the instabilities induced by a roughness element are studied for the case of a high-temperature boundary layer developing on a sharp wedge configuration. For this purpose, a 2D-LST solver for chemical non-equilibrium flows is developed for the first time, featuring a fully consistent implementation of the thermal and transport models employed for the base flow and the perturbation fields. This is achieved thanks to the automatic derivation and implementation tool (ADIT) available within the von Karman Institute extensible stability and transition analysis (VESTA) tool-kit, which enables an automatic derivation and implementation of the 2D-LST governing equations for different thermodynamic flow assumptions and models. The stability computations for this configuration show that sinuous and varicose disturbances also dominate the wake instability in the presence of vibrational molecular energy mode excitation and chemical reactions. The resulting base-flow cooling associated with the modeling of such high-temperature phenomena is found to have opposite stabilizing and destabilizing effects on the streamwise evolution of the sinuous and varicose instabilities. The modeling of vibrational excitation and chemical non-equilibrium acting exclusively on the perturbations is found to have a stabilizing influence in all cases., Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Gliomas are the most common primary brain tumours and are associated with poor prognosis. Among them, diffuse gliomas – which include their most aggressive form glioblastoma (GBM) – are known to be highly infiltrative. The diagnosis and follow-up of gliomas rely on positron emission tomography (PET) and magnetic resonance imaging (MRI). However, these imaging techniques do not currently allow to assess the whole extent of such infiltrative tumours nor to anticipate their preferred invasion patterns, leading to sub-optimal treatment planning. Mathematical tumour growth modelling has been proposed to address this problem. Reaction-diffusion tumour growth models, which are probably the most commonly used for diffuse gliomas growth modelling, propose to capture the proliferation and migration of glioma cells by means of a partial differential equation. Although the potential of such models has been shown in many works for patient follow-up and therapy planning, only few limited clinical applications have seemed to emerge from these works. This thesis aims at revisiting reaction-diffusion tumour growth models using state-of-the-art medical imaging and data processing technologies, with the objective of integrating multi-parametric PET/MRI data to further personalise the model. Brain tissue segmentation on MR images is first addressed with the aim of defining a patient-specific domain to solve the model. A previously proposed method to derive a tumour cell diffusion tensor from the water diffusion tensor assessed by diffusion-tensor imaging (DTI) is then implemented to guide the anisotropic migration of tumour cells along white matter tracts. The use of dynamic [S-methyl-11C]methionine ([11C]MET) PET is also investigated to derive patient-specific proliferation potential maps for the model. These investigations lead to the development of a microscopic compartmental model for amino acid PET tracer transport in gliomas. Based on the compartmental model results, a novel methodology is proposed to extract parametric maps from dynamic [11C]MET PET data using principal component analysis (PCA). The problem of estimating the initial conditions of the model from MR images is then addressed by means of a translational MRI/histology study in a case of non-operated GBM. Numerical solving strategies based on the widely used finite difference and finite element methods are finally implemented and compared. All these developments are embedded within a common framework allowing to study glioma growth in silico and providing a solid basis for further research in this field. However, commonly accepted hypothesis relating the outlines of abnormalities visible on MRI to tumour cell density iso-contours have been invalidated by the translational study carried out, leaving opened the questions of the initialisation and the validation of the model. Furthermore, the analysis of the temporal evolution of real multi-treated glioma patients demonstrates the limitations of the formulated model. These latter statements highlight current obstacles to the clinical application of reaction-diffusion tumour growth models and pave the way to further improvements., Les gliomes sont les tumeurs cérébrales primitives les plus communes et sont associés à un mauvais pronostic. Parmi ces derniers, les gliomes diffus – qui incluent la forme la plus agressive, le glioblastome (GBM) – sont connus pour être hautement infiltrants. Le diagnostic et le suivi des gliomes s'appuient sur la tomographie par émission de positons (TEP) ainsi que l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Cependant, ces techniques d'imagerie ne permettent actuellement pas d'évaluer l'étendue totale de tumeurs aussi infiltrantes ni d'anticiper leurs schémas d'invasion préférentiels, conduisant à une planification sous-optimale du traitement. La modélisation mathématique de la croissance tumorale a été proposée pour répondre à ce problème. Les modèles de croissance tumorale de type réaction-diffusion, qui sont probablement les plus communément utilisés pour la modélisation de la croissance des gliomes diffus, proposent de capturer la prolifération et la migration des cellules tumorales au moyen d'une équation aux dérivées partielles. Bien que le potentiel de tels modèles ait été démontré dans de nombreux travaux pour le suivi des patients et la planification de thérapies, seules quelques applications cliniques restreintes semblent avoir émergé de ces derniers. Ce travail de thèse a pour but de revisiter les modèles de croissance tumorale de type réaction-diffusion en utilisant des technologies de pointe en imagerie médicale et traitement de données, avec pour objectif d'y intégrer des données TEP/IRM multi-paramétriques pour personnaliser davantage le modèle. Le problème de la segmentation des tissus cérébraux dans les images IRM est d'abord adressé, avec pour but de définir un domaine propre au patient pour la résolution du modèle. Une méthode proposée précédemment permettant de dériver un tenseur de diffusion tumoral à partir du tenseur de diffusion de l'eau évalué par imagerie DTI a ensuite été implémentée afin de guider la migration anisotrope des cellules tumorales le long des fibres de matière blanche. L'utilisation de l'imagerie TEP dynamique à la [S-méthyl-11C]méthionine ([11C]MET) est également investiguée pour la génération de cartes de potentiel prolifératif propre au patient afin de nourrir le modèle. Ces investigations ont mené au développement d'un modèle compartimental pour le transport des traceurs TEP dérivés des acides aminés dans les gliomes. Sur base des résultats du modèle compartimental, une nouvelle méthodologie est proposée utilisant l'analyse en composantes principales pour extraire des cartes paramétriques à partir de données TEP dynamiques à la [11C]MET. Le problème de l'estimation des conditions initiales du modèle à partir d'images IRM est ensuite adressé par le biais d'une étude translationelle combinant IRM et histologie menée sur un cas de GBM non-opéré. Différentes stratégies de résolution numérique basées sur les méthodes des différences et éléments finis sont finalement implémentées et comparées. Tous ces développements sont embarqués dans un framework commun permettant d'étudier in silico la croissance des gliomes et fournissant une base solide pour de futures recherches dans le domaine. Cependant, certaines hypothèses communément admises reliant les délimitations des anormalités visibles en IRM à des iso-contours de densité de cellules tumorales ont été invalidée par l'étude translationelle menée, laissant ouverte les questions de l'initialisation et de la validation du modèle. Par ailleurs, l'analyse de l'évolution temporelle de cas réels de gliomes multi-traités démontre les limitations du modèle. Ces dernières affirmations mettent en évidence les obstacles actuels à l'application clinique de tels modèles et ouvrent la voie à de nouvelles possibilités d'amélioration., Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est dédiée à la conception et à l'étude d'une structure de boucle de raffinement auto-adaptative pour résoudre de manière fiable les équations intégrales acoustiques. Notre démarche est de revisiter l'ensemble des briques constitutives de cette architecture pour en améliorer l'efficacité algorithmique ainsi que la facilité d'utilisation, et vue d'en démocratiser son usage.Notre approche consista d'abord à étudier un schéma numérique de Galerkin discontinu. Cette méthode rend en effet possible l'utilisation de maillages $hp$ non-conformes et l'optimisation et la simplification de la construction de l'espace d'approximation. Nous fournissons une étude théorique détaillée de cette méthode et démontrons sa stabilité. Un ensemble d'expériences numériques a permis de confirmer le bon comportement pratique du schéma numérique.Nous avons ensuite adapté une méthode de compression matricielle basée sur une approche par interpolation directionnelle $mathcal{DH}^{2}$ ainsi que sa recompression algébrique. Un ensemble d'optimisations originales a été introduite en vue d'obtenir un algorithme efficace dans le cas de matrices issues du schéma de Galerkin discontinu. Nous obtenons textit{in fine} une compression robuste vis-à-vis de la fréquence et de l'hétérogénéité du maillage. Une analyse de complexité ainsi qu'un nombre conséquent d'expériences numériques, dont des comparaisons avec une $mathcal{H}$-matrice, sont également proposés.La dernière partie de la thèse fut d'abord dédiée à la construction d'un estimateur d'erreur textit{a posteriori} adapté au schéma de Galerkin discontinu qui soit fiable et local. Il est basé sur une approche de type résidu. Cet outil est indispensable pour guider le processus de raffinement local du maillage. Nous avons ensuite exploré un ensemble de procédures de raffinement local en $h$ et en $hp$ non-conformes. Cela permit de confirmer l'intérêt d'un raffinement $hp$ non-conforme, qui offre un meilleur taux de convergence de l'estimateur par rapport au raffinement en $h$ conforme. Une autre contribution originale de notre travail est de proposer un estimateur d'erreur qui prenne en compte l'ensemble des contributions à l'erreur globale : l'erreur de discretisation, l'erreur de résolution du système linéaire et l'erreur de compression. Cette finesse de description de l'erreur nous a permis d'automatiser le réglage de l'ensemble des paramètres de la boucle de raffinement auto-adaptative. Nous aboutissons finalement à une architecture de calcul extrêmement simple d'utilisation. This work is dedicated to the design and the study of an auto-adaptive loop refinement architecture for solving the acoustic integral equations. Our objective is to work on each part of the architecture (numerical scheme, compression algorithm and textit{a posteriori} error estimate) in order to improve the overall efficiency of this structure and to ease its use as well.We first introduce a discontinuous Galerkin numerical scheme. Indeed this method allows to use $hp$ non-conforming meshes which is a key to optimize and simplify the construction of the approximation space. We provide a theoretical study of the scheme and prove its stability. Several numerical experiments confirm the good behaviour of the method.We then introduce a matrix compression algorithm based on a directional interpolation approximation called $mathcal{DH}^{2}$-matrix and its algebraic recompression. We introduced a number of original optimizations in order to obtain a computationally efficient method in a discontinuous Galerkin context. The final compression algorithm is shown to be reliable in case of heterogeneous meshes and for low and high frequencies. We conducted a consequent number of numerical experiments in order to assess the practical performances of the $mathcal{DH}^{2}$-matrix. In particular, comparisons with $mathcal{H}$-matrix are proposed and confirm the higher performances of the proposed compression.In the last part of our work, we first introduce an textit{a posteriori} error estimate specialized to the discontinuous Galerkin scheme which is reliable and local. It is based on a residual approach. This tool is instrumental as it guides the local refinement procedure. We then explored and compared some $h$ and $hp$ non-conforming refinement algorithms. We confirm that we can obtain better rates of convergence of the error estimate with non-conforming $hp$ meshes in integral equations. Another original contribution of our work is to propose an error estimate which explicitly takes into account all the main contributors to the global error: the discretization error, the algebraic error and the compression error. This detailed description of the error is our key tool in order to propose a way to automatically set the parameters of the auto-adaptive loop. We therefore obtain a numerical method which reveals itself to be extremely simple for the user.

The present thesis is a contribution to the field of calculus of variations and more precisely the discipline of shape optimization. We are interested in the major part of this work in the study of sharp inequalities relating different geometric and spectral quantities for various classes of sets, this is tightly related to the study of the so called Blaschke-Santaló diagrams that allow to visualise the possible inqualities relating 3 given shape functionals. We develop different techniques that allow to prove qualitative results on these diagrams and propose a numerical approach in order to provide optimal approximations of them. We are also interested by the study of the Cheeger inequality, that relates the Cheeger constant and the first eigenvalue of the Laplace operator with Dirichlet boundary condition, for convex domains. At last, we focus on the problem of finding the optimal placement of a spherical obstacle so as to maximize the first Laplace eigenvalue with Steklov boundary conditions.; La présente thèse est une contribution au domaine des calculs de variations et plus précisément la discipline d'optimisation de forme. Nous nous intéressons dans la majeure partie de ce travail à l'étude d’inégalités optimales reliant différentes quantités géométriques et spectrales sur plusieurs classes d'ensembles, ceci passe par l'étude de diagrammes dits de Blaschke-Santaló qui permettent de visualiser les inégalités possibles reliant 3 fonctionnelles de forme données. Nous développons différentes techniques qui permettent de démontrer des résultats qualitatifs sur ces diagrammes et proposons une approche numérique pour en fournir une approximation optimale. Nous nous intéressons aussi à l'étude de l'inégalité de Cheeger, qui est une inégalité classique reliant la première valeur propre du Laplacien avec condition Dirichlet au bord et la constante de Cheeger, pour les domaines convexes. Enfin, nous nous penchons sur le problème de trouver l'emplacement optimal d'un obstacle sphérique contenu dans une boule qui permet de maximiser la première valeur propre du Laplacien avec conditions aux bord de type Steklov.

Floating-point numbers represent only a subset of real numbers. As such, floating-point arithmetic introduces approximations that can compound and have a significant impact on numerical simulations.We introduce a new way to estimate and localize the sources of numerical error in an application and provide a reference implementation, the Shaman library.Our method uses a dedicated arithmetic over a type that encapsulates both the result the user would have had with the original computation and an approximation of its numerical error. We thus can measure the number of significant digits of any result or intermediate result in a simulation.We show that this approach, while simple, gives results competitive with state-of-the-art methods. It has a smaller overhead and is compatible with parallelism which makes it suitable for the study of large scale applications., Les nombres à virgule flottante ne représentent qu'un sous-ensemble des nombres réels. De ce fait, l'arithmétique à virgule flottante introduit des approximations qui sont susceptibles de se cumuler et d'avoir un impact significatif sur les simulations numériques.Nous introduisons une nouvelle façon d'estimer et de localiser les sources d'erreur numérique dans une application et fournissons une implémentation de référence, la bibliothèque Shaman. Notre méthode utilise une arithmétique dédiée sur un type qui encapsule à la fois le résultat des calculs (identique à la version non instrumentée du code) et une approximation de son erreur numérique.Nous pouvons ainsi mesurer le nombre de chiffres significatifs de tout résultat ou résultat intermédiaire dans une simulation. Nous montrons que notre approche, bien que simple, donne des résultats compétitifs avec l'état de l'art. Qui plus est, elle a un surcoût en temps de calcul moins important et est compatible avec le parallélisme, ce qui la rend appropriée pour l'étude de larges applications.