Search

The paper considers a mathematical model of the joint motion of two immiscible incompressible fluids in a poroelastic medium. This model is a generalization of the classical Musket-Leverett model, in which porosity is considered to be a given function of the spatial coordinate. The model under study is based on the mass conservation equations for liquids and the porous skeleton, Darcy's law for liquids, which takes into account the movement of the porous skeleton, the Laplace formula for capillary pressure, the Maxwell-type rheological equation for porosity, and the "system as a whole" equilibrium condition. In the thin layer approximation, the original problem is reduced to the successive determination of the porosity of the solid skeleton and its velocity. Then an elliptic-parabolic system is derived for the “reduced pressure” and saturation of the wetting phase. Its solution is understood in a generalized sense due to the degeneration on the solution of the equations of the system. The proof of the existence theorem is carried out in four stages: regularization of the problem, proof of the physical maximum principle for saturation, construction of Galerkin approximations, passage to the limit in regularization parameters based on the method of compensated compactness., В работе рассматривается математическая модель совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пороупругой среде. Данная модель является обобщением классической модели Маскета-Леверетта, в которой пористость считается заданной функцией пространственной координаты. В основе изучаемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкостей и пористого скелета, закон Дарси для жидкостей, учитывающий движение пористого скелета, формула Лапласа для капиллярного давления, реологическое уравнение для пористости типа Максвелла и условие равновесия «системы в целом». В приближении тонкого слоя исходная задача сводится к последовательному определению пористости твердого скелета и его скорости, а затем выводится эллиптико-параболическая система для «приведенного давления» и насыщенности смачивающей фазы. В связи с вырождением на решении уравнений системы ее решение понимается в обобщенном смысле. Доказательство теоремы существования осуществляется в четыре этапа: регуляризация задачи, доказательство физического принципа максимума для насыщенности, построение галеркинских приближений, предельный переход по параметрам регуляризации на основе метода компенсированной компактности.

Для одной системы линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами рассматривается вопрос об однозначной разрешимо-сти в пространстве ограниченных на всей оси функций. При постановке задач матрица коэффициентов разделена на две матрицы, матрица «старших» и матрица «младших» коэффициентов. Предполагается, что спектр матрицы «стар-ших» коэффициентов имеет пересечение с мнимой осью. Выявлены условия для матрицы «младших» коэффициентов, при выполнение которых обеспечивается однозначная разрешимость системы в пространстве ограниченных на всей оси функций. Выявленные условия выписаны с помощью связи между «старшими и младшими» коэффициентами системы., The issue of unique solvability in the space of functions limited for the entire axis for one system of linear differential equations with unlimited coefficients is considered. When setting tasks, the matrix of coefficients is divided into two matrices, the matrix of “senior” and the matrix of “lower” coefficients. It is assumed that the spectrum of the matrix of “senior” coefficients has an intersection with the imaginary axis. The conditions for the matrix of “lower” coefficients are revealed, the fulfillment of which ensures the unique solvability of the system in the space of functions limited for the entire axis. Revealed conditions are written out using the relationship between the “senior and junior” coefficients of the system., Международный научно-исследовательский журнал, Выпуск 6 (96) 2020

Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L2. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса 1 и Литтлвуда и Пэли 2, посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина 3 9. Условие гладкости границы (Q C2) можно ослабить (см. 7). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в 7 9. При этом, как показано в работе 9, все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса 1 и Литтлвуда Пэли 2, 3. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае сильного вырождения коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми 10, М. В. Келдыша11, А. В. Бицадзе 12, С. А. Терсенова 13, И. М. Петрушко 14, 15, О. А. Олейник, Е. В. Радкевича 16, Г. Фикеры 17 и др. Из недавних работ можно отметить 18. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как r(x) и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали., The paper investigates the question of the unique solvability of the first mixed problem for a degenerate secondorder parabolic equation in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of type L2. This topic originates from the classical works of F. Riesz 1 and Littlewood and Paley 2 devoted to the boundary values of analytic functions. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criterion for the existence of a boundary value was established in 7 9. The boundary smoothness condition (Q C2) can be weakened (see 10). Moreover, as shown in 9, all directions of the adoption of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal the solution has the property similar to the property of continuity in the set of variables. In the case of degeneration of the equation at the boundary of the region, when the directions are not equal, the situation is more complicated. Moreover, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are nonzero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equation are very close to the properties of a uniformly elliptic equation. In particular, in this situation, analogs of the Riesz theorems 1 and Littlewood Paley 2, 3 are valid. In the case of degeneracy of the Keldysh type, the situation is more complicated. The statement of the first boundaryvalue problem and the behavior of the solution near the boundary are determined by the order of degeneracy of the equation, and in the case of strong degeneracy, by the coefficients of the lower terms. A large number of papers have been devoted to the solvability of the first boundaryvalue problem for degenerate elliptic and parabolic equations. Note the works of F. Tricomi 11, M. V. Keldysh 12, A. V. Bitsadze 13, S. A. Tersenov 14, I. M. Petrushko 15, O. A. Oleinik and E. V. Radkevich 16, G. Fichera 17, etc. From recent works it is worth noting 18. In this paper, we consider the case of strong degeneracy of a secondorder parabolic equation when the corresponding quadratic form decreases as r(x) and the formulation of the first mixed problem is determined by the coefficient of the first normal derivative., №3(103) (2019)

S.G. Pyatkov, E.S. Kvich Yugra State University, Hanty-Mansiisk, Russian Federation E-mail: pyatkov@math.nsc.ru. С.Г. Пятков, Е.С. Квич Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация E-mail: pyatkov@math.nsc.ru We study the issue of recovering a lower order coefficient depending on spatial variables in a forward-backward parabolic equation of the second order. The overdetermination condition is an analog of the final overdetermination condition. A solution at the initial and final moments of time is given. Equations of this type often appear in mathematical physics, for example, in fluid dynamics, in transport theory, geometry, population dynamics, and some other fields. Conditions on the data are reduced to smoothness assumptions and some inequalities for the norms of the data. So it is possible to say that the obtained results are local in a certain way. Under some condition on the data, we prove that the problem is solvable. Uniqueness of the theorem is also described. The arguments rely on the generalized maximum principle and the solvability of theorems of the periodic direct problem. The results generalize the previous knowledge about the multidimensional case. The used function spaces are the Sobolev spaces. Рассматривается обратная задача восстановления младшего коэффициента, зависящего от пространственных переменных, в параболическом уравнении второго порядка с меняющимся направлением времени. Условие переопределения – аналог условия финального переопределения. Решение задается в начальный и конечный момент времени. Уравнения такого типа возникают в математической физике, в задачах гидродинамики, в теории переноса, геометрии, популяционной динамике, и некоторых других областях. Условия на данные сводятся к условиям гладкости и некоторым неравенствам для норм данных. В силу этого можно сказать, что полученные результаты являются в некоторой степени локальными. При выполнении условий на данные доказано, что задача разрешима. Получена также и теорема единственности при несколько более жестких условиях. Задача сводится к операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априорных оценок и теоремы Лерэ-Шаудера. Доказательства априорных оценок основаны на обобщенном принципе максимума и теоремах о разрешимости периодической задачи. Полученное решение является обобщенным решением и уравнение удовлетворяется в смысле интегрального тождества. Результаты обобщают уже известные на многомерный случай. Используемые функциональные пространства есть пространства Соболева. Acknowledgement. The authors were supported by the grant on development of scientific schools with participation of young scientists of the Yugra State University

S.G. Pyatkov, M.A. Verzhbitskii Yugra State University, Khanty-Mansyisk, Russian Federation E-mail: s_pyakov@ugrasu.ru. С.Г. Пятков, М.А. Вержбицкий Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация E-mail: s_pyakov@ugrasu.ru In the present article we examine an inverse problem of recovering unknown functions being part of the Dirichlet boundary condition together solving an initial boundary problem for a parabolic second order equation. Such problems on recovering the boundary data arise in various tasks of mathematical physics: control of heat exchange prosesses and design of thermal protection systems, diagnostics and identification of heat transfer in supersonic heterogeneous flows, identification and modeling of heat transfer in heat-shielding materials and coatings, modeling of properties and heat regimes of reusable heat protection of spacecrafts, study of composite materials, etc. As the overdetrermination conditions we take the integrals of a solution over the spatial domain with weights. The problem is reduced to an operator equation of the Volterra-type. The existence and uniqueness theorem for solutions to this inverse problem is established in Sobolev spaces. A solution is regular, i. e., all generalized derivatives occuring into the equation exists and are summable to some power. The proof relies on the fixed point theorem and bootstrap arguments. Stability estimates for solutions are also given. The solvability conditions are close to necessary conditions. Рассматривается обратная задача об определении вместе с решением начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка неизвестных функций, входящих в граничное условие Дирихле. Задачи такого вида об определении граничных данных возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. В качестве условий переопределения берутся интегралы от решения по пространственной области с весами. Проблема сводится к операторному уравнению типа Вольтерра. Мы устанавливаем теорему существования и единственности решений этой обратной задачи в пространствах Соболева. Решение является регулярным, т. е. все обобщенные производные, входящие в уравнение существуют и суммируемы с некоторой степенью. Доказательство основано на теореме о неподвижной точке и последовательном доказательстве разрешимости на малых промежутках времени. Приведена также оценка устойчивости решений. Полученные условия разрешимости близки к необходимым условиям. Публикация подготовлена в результате проведения научного исследования за счет средств гранта на развитие научных школ с участием молодых ученых федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Югорский государственный университет»

Разрешимость и построение общего решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода относятся к числу мало исследованных проблем математики. Существуют различные подходы к решению данной проблемы. Следует отметить следующие методы решения некор- ректной задачи: метод регуляризации, метод последовательных приближений, метод неопре- деленных коэффициентов. Цель данной работы создание нового метода для разрешимости и построение решения интегрального уравнения первого рода. Как следует из вышеизложенно- го, исследования разрешимости и построение решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода является актуальным. В данной работе рассматриваются разрешимость и по- строение решения матричного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Постро- ение приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Получен- ные результаты верны для матричного интегрального уравнения Фредгольма первого рода, как с несимметричным ядром, так и с симметричным. Предлагается новый метод исследо- вания разрешимости и построения решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Получены необходимое и достаточное условия существования решения при заданной правой части, для двух случаев: когда искомая функция принадлежит пространству L2; ис- комая функция принадлежит заданному множеству из L2: Получены условия разрешимости и метод построения приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены,где исследованы задача Трикоми и первая краевая задача. Смешанная задача, характеристиче- ская задача Коши и задача Дарбу для многомерных гиперболо-параболических уравнений ранее рассмотрены. Проблема задачи Трикоми для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях ставилась и исследовалась разными авторами. Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо - параболических уравнений на плоскости также хорошо изу- чены. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы. Коррект- ности задач Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений доказа- ны. В данной работе в цилиндрической области для трехмерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка цилиндрической области показана разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле.

Для гиперболических и параболических уравнений исследо- вание разрешимости смешанной задачи и задачи Коши носит достаточно полный и почти законченный характер. Однако для уравнений и систем со- ставного типа данная проблема еще изучена не достаточно. Настоящая работа посвящена именно этой проблеме.

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно изучению вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Хорошо известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не обеспечивает принадлежность решений этим пространствам. С. А. Терсеновым для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени, а С. Г. Пятковым для более общего уравнения второго порядка были получены необходимые и достаточные условия разрешимости в гельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. В работе рассматриваются случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Вводятся функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Также изучаются свойства полученных решений. В частности, устанавливается эквивалентность условий Рисса и Литлвуда-Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказывается однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахова пространства., The paper is devoted to the study of a section of nonclassical differential equations, namely, the solvability problems for second-order parabolic equations with changing time direction. It is well known that in ordinary boundary value problems for strictly parabolic equations the smoothness of the initial and boundary conditions completely ensures that the solutions belong to Holder spaces, but in the case of equations with changing time direction the smoothness of the initial and boundary conditions does not ensure that the solutions belong to such spaces. S. A. Tersenov, for a model parabolic equation with changing time direction, and S. G. Pyatkov, for a more general second-order equation, both obtained necessary and sufficient conditions for solvability of the corresponding mixed problems in Holder spaces, while the initial and boundary conditions were always assumed to be zero. In this paper, we consider cases where the initial and boundary conditions belong to Banach spaces. We introduce functional spaces in which solutions must be sought and obtain appropriate a priori estimates that make it possible to find solvability conditions for these problems. We also study the properties of the solutions obtained. In particular, we establish the equivalence of the Riesz and Littlewood-Paley conditions analogous to those for solutions of strictly elliptic and strictly parabolic equations of the second order. The unique solvability of the first mixed problem with boundary and initial functions from a Banach space is proved., №4(100) (2018)

Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени в случае полной матрицы условий склеивания. Известно, что в случае краевых задач для уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения пространствам Гёльдера. С. А. Терсенов в простейших случаях получил необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач для параболических уравнений второго порядка в пространствах $H^{p,p/2}_{x\,t}$ при p > 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Отметим, что в одномерном случае число условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности, интегрального характера, бесконечно. В работе показано, что гёльдеровские классы решений краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени, а также количество условий разрешимости, зависят от вида матрицы условий склеивания с действительными коэффициентами., We study solvability of boundary value problems for the fourth order parabolic equations with changing time direction in case of complete matrix of gluing conditions. For boundary value problems for equations with changing time direction, the smoothness of the initial and boundary data does not guarantee that the solution belongs to a Holder space. In the simplest cases, S. A. Tersenov obtained necessary and sufficient conditions for solvability of such problems for second order parabolic equations in the spaces $H^{p,p/2}_{x\,t}$ for p > 2. Moreover, the solvability (orthogonality) condition was written in an explicit form. Note that in the one-dimensional case the number of orthogonality conditions is finite, while in the multidimensional case the number of orthogonality conditions of the integral character is infinite. We show that the Holder solution classes of boundary value problems for the fourth order parabolic equations with changing time direction, as well as the number of solvability conditions, depend on the form of the matrix of gluing conditions with real coefficients., №4 (2018)

Рассматривается краевая задача для уравнения третьего порядка, не разрешенного относительно старшей производной. Уравнения такого типа, часто называемые уравнениями соболевского типа, встречаются во многих прикладных задачах. С помощью нестационарного метода Галёркина и метода регуляризации доказана теорема существования и единственности регулярного решения краевой задачи. Также получена оценка погрешности метода Галёркина через параметр регуляризации и собственные значения спектральной задачи для оператора Лапласа., We consider a boundary value problem for the third-order equation not solvable with respect to the highest-order derivative. Equations of this type, often called Sobolev type equations, occur in many applied problems. The nonstationary Galerkin method and regularization method are applied to prove the existence and uniqueness theorem for a regular solution of the boundary value problem. Also we obtain an error estimate via regularization parameter and in terms of eigenvalues of the spectral problem for the Laplace operator., №4 (2018)

При сделанных в статье предположениях, сформулирована и обоснована теорема об однозначной разрешимости двух матричных уравнений с верхней и нижней треугольными неизвестными и взаимно обратными коэффициентами. Данные уравнения принадлежат одному общему подвиду и рассматриваются одновременно. Установлены справедливые в изучаемой ситуации формулы решений. Они дают общее выражение решений через факторизационные множители коэффициентов и правую часть предлагаемых уравнений. Приведен иллюстративный пример., При зроблених у статті припущеннях, сформульована і обгрунтована теорема про однозначну розв'язність двох матричних рівнянь з верхньою і нижньою трикутними невідомими та взаємно оберненими коефіцієнтами. Дані рівняння належать до одного загального підвиду та розглядаються одночасно. Встановлені вірні в досліджуваній ситуації формули рішень. Вони дають загальний вираз рішень крізь факторизаційні множники та праву частину пропонованих рівнянь. Наведено ілюстративний приклад., In the article the object of research are the matrix equations. The role of the matrix and the matrix equations in the theoretical and practical issues is well known. In its simplest form it arises in different theoretical and applied problems related to the solution of systems of linear algebraic equations. For example, in mechanics, physics, electrical engineering, hydraulics, economy.A unique solvability of the two abstract matrix equations is investigated for the next form: AX++Y–=B, (1) A-1X+1+Y1–=B, (2)with unknown lower X+, X+1 and the upper Y–, Y1–, triangular matrices and mutually inverse matrices – the coefficients A, A-1. The approach is based on the interpretation of equations (1), (2) as the implementations in the ring of matrices of corresponding equations in the abstract ring with a pair of factorization, based on the basic provisions of the theory of rings and operators. In particular, special developed projections are used. It is characterized by significantly less than the maximum order of determinants of matrices, which have to operate using the proposed approach and its results. It is substantially less than the orders of the determinants that arise in the transition from (1), (2) to systems of linear algebraic equations by equating the corresponding matrix elements in their left and right sides.The theorem on the unique solvability of these equations with matrix representations of the solutions is formulated and proved, which gives an accurate method for solving specific equations (1), (2) and their corresponding tasks.An illustrative example is given.

Александр Иванович Кожанов, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, лаборатория дифференциальных и разностных уравнений, Институт математики им. С.Л. Соболева (г. Новосибирск, Российская Федерация), kozhanov@math.nsc.ru. A.I. Kozhanov, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russian Federation, kozhanov@math.nsc.ru В работе изучается разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением некоторых уравнений Соболевского типа также неизвестных коэффициентов специального вида, определяющих граничные режимы (граничные данные) в первой или соответственно третьей начально-краевых задачах. Наличие в подобных задачах неизвестного коэффициента предполагает, что наряду с краевыми и начальными условиями, характерными для соответствующего класса дифференциальных уравнений, задается также дополнительное условие — условие переопределения. В настоящей работе усло¬вие переопределения есть условие интегрального переопределения — условие равенства нулю некоторых интегралов по сечениям цилиндрической области плоскостями t = const. Цель работы — доказательство существования регулярных (имеющих все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Наряду с конкретными результатами приведены некоторые возможные их обобщения. We study the solvability of the inverse problems of finding a solution to some Sobolev type equations along with the unknown coefficients of a special type defining the boundary modes (boundary data) in the first or the third initial-boundary value problems respectively. The presence of an unknown coefficient in such problems supposes that there is an additional condition - an overdetermination condition along with the initial and boundary conditions that are typical for the corresponding class of differential equations. In the present work this condition is represented by the integral overdetermination, when some integrals by the cross-section of the cylindrical domain by planes t = const are equal to zero. The goal of this research is to prove the existence of regular (with all needed generalized according to S.L. Sobolev derivatives) solutions of equation. Along with the specific results there are also some of their possible generalizations. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 15-01-06582.

В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения., №2 (2018)

Thepaperinvestigates modal(temporal-model) logicsbased at a semantic approach with models combining knowledge and time. We introduce multi-modal logics LT Kr and LT Kir containing modalities for knowledge and time as the sets of all LT Kr -valid, and LT Kir -valid formulae for a class of special LT Kr frames, LT Kir -frames, respectively. The main results of this paper are theorems stating that LT Kr and LT Kir are decidable; we also give an explicit solving algorithm. В представленной статье используется семантический подход к построению моделей, комбинирующихмодальности знания ивремени.Семантическивводятсямногомодальныелогики LT Kr и LT Kir , содержащие модальности знания и времени как множество формул, истинных на фреймах специального вида. Главным результатом работы являются теоремы об эффективной финитной аппроксимируемости и, как следствие, разрешимости данных логик.

Для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ твердые частицы) доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи. The local solvability initial-boundary value problem for the equations one-dimensional nonstationary motion of the heat-conducting two-phase mixture (gas-particulate pollutant) is proved.