Search

The problem of prediction of subpopulation (domain) total is studied as in Rao (2003). The problem is inspired by results obtained by Żądło (2012) who considered two predictors – empirical best linear unbiased predictor (EBLUP) under some correct model and some simpler misspecified predictor. In the simulation study he showed that the misspecified predictor may be in some cases more accurate than the EBLUP derived under the correct model what resulted from the decrease of accuracy of the EBLUP due to the estimation of unknown parameters of the correct model. But the problem occurred in the case of MSE estimation – under the correct model the bias of the MSE estimator derived under the misspecified model was very large. Hence, in the paper we consider a predictor based on some misspecified model and we derive some MSE estimator under the correct model and we propose usage of two other MSE estimators. Rozważany jest problem predykcji wartości globalnej w podpopulacji (domenie) jak w Rao (2003). Analizowane jest wykorzystanie predyktora, który jest empirycznym najlepszym liniowym nieobciążonym predyktorem, ale przy założeniu błędnego modelu. Dla rozważanego predyktora wyprowadzono postać naiwnego estymatora MSE dla prawidłowego modelu nadpopulacji oraz zaproponowano wykorzystanie estymatorów MSE typu jackknife i parametryczny bootstrap. W badaniu symulacyjnym analizowano względne obciążenia zaproponowanych estymatorów MSE.

The problem of modeling longitudinal profiles is considered assuming that the population and elements’ affiliation to subpopulations may change in time. Some longitudinal model which is a special case of the general linear model (GLM) and the general linear mixed model (GLMM) is studied. In the model two random components are included under assumptions of simultaneous spatial autoregressive process (SAR) and temporal first-order autoregressive process (AR(1)) respectively. The accuracy of model parameters’ restricted maximum likelihood estimators is considered in the simulation. Rozważany jest problem modelowania profili wielookresowych zakładając, że populacja i przynależność elementów domen mogą zmieniać się w czasie. Proponowany model jest przypadkiem szczególnym ogólnego modelu liniowego i ogólnego mieszanego modelu liniowego. W modelu tym uwzględniono dwa wektory składników losowych spełniające odpowiednio założenia przestrzennego modelu autoregresyjnego i modelu autoregresyjnego rzędu pierwszego w czasie. W symulacji rozważano dokładność estymatorów parametrów modelu uzyskanych metodą największej wiarygodności z ograniczeniami.

In the paper BLUPs and EBLUPs, their MSEs and estimators of MSEs under Fay-Herrior model (Fay, Herrior (1979)) are presented. This model belongs to the class of general linear mixed model type A, what means that is assumed for direct estimates of domain characteristics. What is more, it is assumed that variances of direct estimates are known. In the paper the influence of replacing the variances by their unbiased estimates and by genereal variance function’s estimates on biases of predictors, MSEs and biases of estimators of MSEs is studied in the simulation based on the real data. The problem of nonormality of area specific random components is also included

The problem of modeling longitudinal profiles is considered assuming that the population and elements affiliation to subpopulations may change in time. The considerations are based on a model with auxiliary variables for longitudinal data with element and subpopulation specific random components (compare Verbeke, Molenberghs, 2000; Hedeker, Gibbons, 2006) which is a special case of the General Linear Model (GLM) the General Linear Mixed Model (GLMM). In the paper the pseudo-empirical best linear unbiased predictor (Pseudo-EBLUP) based on model-assisted approach will be presented along with its mean squared error (MSE) and its estimators. In the simulation study its accuracy will be compared with some calibration estimators which are based on model-assisted approach too.

W pracy rozważa się predyktory wartości globalnej wykorzystujące do predykcji warto- ści globalnej w pewnym (obecnym, przeszłym a nawet przyszłym) okresie dane z innych okresów. Model nadpopulacji jest szczególnym przypadkiem ogólnego liniowego modelu mieszanego – jest to model z specyficznymi dla elementów populacji składnikami losowymi możliwy do zastoso- wania dla danych wielookresowych. Postać predyktora typu BLU wyprowadzono w oparciu o twierdzenie Royalla (1976) – szeroko stosowane w literaturze podejście Hendersona (1950) nie jest możliwe do zastosowania dla rozważanego modelu nadpopulacji. W rozważanym przypadku wyprowadzono postać MSE w oparciu o twierdzenie Royalla i zaproponowano jego estymatory wykorzystując rezultaty uzyskane przez Żądło (2007). W przypadku estymacji MSE rozważano dwie metody estymacji wariancji składników losowych – metodę największej wiarygodności oraz metodę największej wiarygodności z ograniczeniami. W analizie symulacyjnej uwzględniono problem dokładności predyktora oraz obciążeń estymatorów MSE dla różnych rozkładów składników losowych.

W pracy zaprezentowano najlepsze liniowe nieobciążone predyktory i empiryczne najlepsze liniowe nieobciążone predyktory ich błędy średniokwadratowe (MSE) oraz estymatory MSE dla przypadku szczególnego modelu Faya-Herriota (Fay, Herriot (1979)). Model ten należy do klasy ogólnych mieszanych modeli liniowych typu A, co oznacza, że jest on zakładany dla wartości estymatorów bezpośrednich charakterystyk w domenach. Ponadto przyjmuje się, że wartości wariancji estymatorów bezpośrednich są znane. W artykule analizowano symulacyjnie z wykorzystaniem rzeczywistych danych wpływ zastąpienia nieznanych wariancji estymatorów bezpośrednich ich nieobciążonymi estymatorami i estymatorami otrzymanymi przy wykorzystaniu ogólnych funkcji wariancji na obciążenia predyktorów, wartość MSE oraz obciążenia estymatorów MSE. In the paper we present the best linear unbiased predictor (BLUP) and the empirical best linear unbiased predictor (EBLUP), their mean squared errors (MSE) and estimators of MSE of EBLUP under special case of Fay-Herriot model (Fay, Herriot (1979)). This is A type model what means that it is assumed for direct estimators of domain characteristics. What is more, it is assumed (even when EBLUP is studied) that variances o f direct estimators are known. In the simulation based on real data, the influence of replacing the variances by their design-unbiased estimates or General Variance Function (GVF) estimates (Wolter (1985)) on predictor’s biases and MSEs and on biases of MSE estimators is studied. The problem of non-normality of domain specific random components is also included. Zadanie pt. „Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki” nr 885/P-DUN/2014 dofinansowane zostało ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.

In the paper we analyze the accuracy of the empirical best linear unbiased predictor (EBLUP) of the domain total (see Royall, 1976) assuming a special case of the general linear mixed model. To estimate the mean square error (MSE) of the EBLUP we use the results obtained by Datta and Lahiri (2000) for the predictor proposed by Henderson (1950) and adopt them for the predictor proposed by Royall (1976). In a simulation study we study real data on Polish farms from Dąbrowa Tarnowska region. W opracowaniu analizujemy dokładność empirycznych najlepszych liniowych nieobciążonych predyktorów wartości globalnej w domenie (ang. EBLUP - empirical best linear unbiased predictor) zakładając model nadpopulacji należący do klasy ogólnych mieszanych modeli liniowych. Do oceny błędu średniokwadratowego (ang. MSE - mean square error) predyktora typu EBLU wykorzystano rezultaty prezentowane przez Datta and Lahiri (2000) dla predyktora zaproponowanego przez Hendersona (1950) po zaadoptowaniu ich dla przypadku predyktora zaproponowanego przez Royalla (1976). W badaniu symulacyjnym wykorzystano rzeczywiste dane dotyczące gospodarstw rolnych w powiecie Dąbrowa Tarnowska uzyskane w spisie rolnym w 1996. Zadanie pt. Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki nr 885/P-DUN/2014 zostało dofinansowane ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.

In the paper we present the examples of forecasts of time series with seasonal fluctuations. Based on the jackknife method we estimate variances of seasonal factors and the MSE of prediction. Jackknife method has been introduced by M. Quenouille (1949) and then it has been developed among others by J. Tukey (1958) and J. Shao, D. Tu (1995). W pracy zaproponowano wykorzystanie metody jackknife do prognozowania szeregów czasowych. Oprócz problemu prognozowania tą metodą, podjęto także problem oceny średniego błędu tak wyznaczanych prognoz. W oparciu o rzeczywiste dane zaprezentowane zostały przykłady prognozowania szeregów czasowych z wahaniami sezonowymi przy wykorzystaniu wersji jackknife metody wskaźników sezonowości. Oprócz wyznaczenia wartości prognozowanej w rozważanym przypadku będzie możliwa ocena wariancji błędu predykcji. Metodę jackknife wprowadził M. Quenouille (1949), a była rozwijana m. in. przez J. Tukey’a (1958) oraz J. Shao i D. Tu (1995). Zadanie pt. „Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki” nr 885/P-DUN/2014 zostało dofinansowane ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.

In the paper properties of a predictor of the form of synthetic ratio estimator of domain total, known from randomisation approach, are considered. The proof of its ξ-unbiasedness for simple regression superpopulation model in strata is shown. For the model BLU predictor is also presented. Equations of prediction variances of both predictors are derived. For considered predictors the problem of model misspecification is considered and equations of prediction mean square errors arc derived. The comparison of accuracy is supported by simulation study. W opracowaniu rozważane są z punktu widzenia podejścia modelowego własności predyktora postaci syntetycznego estymatora ilorazowego wartości globalnej w domenie znanego z podejścia randomizacyjnego. Przedstawiony jest dowód jego ξ-nieobciążoności dla prostego regresyjnego modelu nadpopulacji w warstwach. Dla tego modelu zaprezentowany jest także predyktor typu BLU. Wyprowadzone są wzory opisujące wariancje predykcji obu predyktorów dla wspomnianego modelu nadpopulacji. Dla obu predyktorów rozważany jest także problem nieprawidłowej specyfikacji modelu nadpopulacji i dla tego przypadku wyprowadzone są błędy średniokwadratowe predykcji. Porównanie dokładności obu predyktorów wsparte jest analizą symulacyjną. Zadanie pt. „Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki” nr 885/P-DUN/2014 zostało dofinansowane ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.

he problem of prediction of the total value in a domain based on simple regression superpopulation model (with one auxiliary variable and no intercept) is considered. The problem of robust estimation against outliers of regression function's parameter is shown. The presented robust estimator is median value of gradients of all straight lines each determined by the origin and one of n points (x, y), where n is sample size, у - the variable of interest and x - auxiliary variable. This estimator is simplified form of the estimator presented by H. Theil (1979). The equation of the mean square error of the robust predictor based on the robust estimator of regression's parameter is derived for asymptotic assumptions. The best linear predictor based on the considered superpopulation model is presented. The equation of mean square error of the BLU predictor is derived. The accuracy of these predictors is compared for the assumption of normal distribution of variables of interest. Rozważany jest problem predykcji wartości globalnej w domenie przy założeniu prostego modelu regresyjnego nadpopulacji (model regresyjny z jedną zmienną objaśniającą i bez stałej). Podjęty zostaje problem odpornej na wartości oddalone estymacji parametru funkcji regresji. Zaprezentowany estymator parametru funkcji regresji jest medianą wszystkich współczynników kierunkowych prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i jeden z n punktów (x, y), gdzie n oznacza liczebność próby, x - zmienną dodatkową, а у - zmienną badaną. Estymator ten jest uproszczoną formą estymatora prezentowanego w: H. Theil (1979). Autorzy przy asymptotycznych założeniach wyprowadzają wzór na błąd średniokwadratowy predykcji rozważanego predyktora odpornego. Przedstawiony zostaje także predyktor typu BLU dla zakładanego modelu nadpopulacji wraz z błędem średniokwadratowym predykcji. Dokładność obu predyktorów zostaje porównana przy założeniu normalności rozkładu badanych zmiennych losowych. Zadanie pt. Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki nr 885/P-DUN/2014 zostało dofinansowane ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.

The problem of estimation of the total value in a small domain is considered. Because of the small number (or the lack) of elements of the considered subpopulation in the sample, information on all drawn elements is used. The synthetic regression estimator is presented. The equations of the bias and the mean square error for any sample design are derived. The problem of the assumptions on the population and the domain’s structure due to the bias and MSE reduction is considered. The importance of the bias influence on the accuracy of the estimation is presented. The possibility of the increase of the MSE and bias due to the increase of the sample size is shown. The approximate equations of the bias and mean square error for the simple random sampling without replacement are derived. The accuracy of the synthetic regression estimator (based on approximate equations and the simulation study) and the Horwitz-Thompson direct estimator is compared. The comparison is based on agricultural data from Dąbrowa Tarnowska region. The entire population consist of 8624 farms and it includes the domain of interest - Bolesław commune - with 588 farms. W opracowaniu rozważa się problem estymacji wartości globalnej w małym obszarze. Ze względu na małą liczbę (lub brak) elementów populacji z rozważanej domeny, w próbie wykorzystywane są informacje o wszystkich elementach populacji. Zaprezentowany zostaje syntetyczny estymator regresyjny. Wyprowadzono też ogólne wzory na błąd średniokwadratowy i obciążenie tego estymatora dla dowolnego planu losowania. Omówiony zostaje problem założeń dotyczących struktury populacji i domeny z punktu widzenia redukcji błędu średniokwadratowego i obciążenia rozważanego estymatora. Zaprezentowane jest znaczenie wpływu obciążenia na precyzję estymacji. Pokazana zostaje możliwość wzrostu wartości błędu średniokwadratowego i obciążenia wraz ze wzrostem liczebności próby. Wyprowadzone zostają przybliżone wzory na błąd średniokwadratowy i obciążenie estymatora dla próby prostej losowanej bezzwrotnie. Porównano również precyzję syntetycznego estymatora regresyjnego (wartości uzyskane na podstawie wzorów przybliżonych oraz symulacji) z precyzją bezpośredniego estymatora Horwitza Thompsona. Porównanie bazuje na danych ze spisu rolnego dla powiatu Dąbrowa Tarnowska. Populacja składała się z 8624 gospodarstw rolnych i obejmowała rozważany mały obszar gminy Bolesław, na której terenie znajduje się 588 gospodarstw rolnych. Zadanie pt. Digitalizacja i udostępnienie w Cyfrowym Repozytorium Uniwersytetu Łódzkiego kolekcji czasopism naukowych wydawanych przez Uniwersytet Łódzki nr 885/P-DUN/2014 zostało dofinansowane ze środków MNiSW w ramach działalności upowszechniającej naukę.