Search

Bu çalışmamızda, belirsizlikler altında çiftçilerin tarım sigortası yaptırıp yaptırmaması gerektiği problemini oyun teorisi ve karar teorisi açısından inceledik. Bunu yapmak için doğaya karşı bir sıfır toplamlı matris oyununu gerçek verileri kullanarak oluşturduk. Oluşturduğumuz bu oyunu ilk olarak karar teorisindeki Wald maksimin ve Savage pişmanlık kriterleri aracılığıyla ayrı ayrı çözdük. Ardından, bu oyunu karma stratejilere izin verildiği durumda yeniden ele alarak literatürdeki sıfır toplamlı matris oyunlarının çözümü için bilinen yöntemle çözdük. Aynı durum altında oyunu, getiri matrisinin sadece matris normlarını içeren ve matris normları yaklaşımı (MN yöntemi) olarak bilinen bu yeni yöntemi kullanarak farklı bir açıdan çözdük. Son olarak, MN yöntemi yardımıyla bulduğumuz sonuçların literatürdeki diğer yöntemlerle elde ettiğimiz sonuçlarla tutarlı olduğunu gösterdik., In this paper, we investigate whether the farmers should get agriculture insurance or not under the uncertainty by the view of the game theory and decision theory. For this purpose, we create a zero-sum matrix game against nature using the real data. We solve the matrix game with Wald maximin criterion and Savage regret criterion, separately. Then, we resolve this game, while the mixed strategies are allowed, by using the well-known method in the literature for the solution of the zero-sum matrix games. Later, we demonstrate the game in the different aspect with the approach only consists of the matrix norms of the payoff matrix, called the matrix norm approach (MNA), under the same condition. Finally, we show the consistency of the results obtained by using MNA and the other methods.

Bu çalışmada ilk olarak 3-boyutlu matrislerde çarpma işlemi, 2-boyutlu matrislerdeki çarpma işlemine benzer şekilde tanımlanmıştır. Daha sonra, 3-boyutlu matrislerdeki norm eşitsizlikleri elde edilmiş ve bu eşitsizlikler ispatlanmıştır. Ayrıca tanımlanan eşitsizliklerin kullanışlılığı simülasyonlar yardımıyla elde edilmiş veriler ve gerçek veriler kullanılarak oluşturulmuş 3-boyutlu matrisler için ayrı ayrı hesaplanan norm değerleri yardımıyla gösterilmiştir.

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015, Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2015, Stokastik diferansiyel denklemlerden Heston stokastik volatilite, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin çözümlerinin davranışları üzerine çalışılmıştır. Literatürde oldukça çok kullanılan Heston modeli 1993 yılında; Cox, Ingersoll ve Ross (CIR) tarafından faiz oranları için 1985 yılında yapılan CIR modelinden türetilmiştir. Her iki modelin uygulamalarında da sırasıyla varyans ve faiz oranlarının pozitifliligi için Feller'in 1951 yılında yayınlanan makalesinde ortaya koyduğu Feller koşulunun dikkate alınması gerekmektedir. Bir diğer model olan Merton-Black Scholes modeli ise Robert C. Merton tarafından 1960'ların sonu ve 1970'lerin başlarında geliştirilmiştir. İlk olarak ise Fisher Black ve Myron Scholes tarafından 1973 yılında yayınlanan makalelerinde kullanılmıştır. Bu model sayesinde 1997 yılında Ekonomi dalında Nobel ödülüne layık görülmüşlerdir. Ortaya konan difüzyon modeli her ne kadar yol gösterici olması açısından kullanışlı olsa da, literatürdeki uygulama sonuçlarından da görülebileceği gibi piyasalardaki ani fiyat değişimlerini yansıtmakta yeterli değildi. Bu yüzden Merton 1976 yılında Merton-Black Scholes modelini geliştirerek hisse senedi fiyatlarındaki sıçrama durumlarını da yansıtan Merton sıçramalı difüzyon modelini elde etmiştir. Bu modellerin bazı parametrelerinin çözümlere olan etkileri ele alınan yöntemler yardımıyla ayrıntılı olarak incelenmiştir. Simülasyon uygulamalarından değişik volatilite durumlarında, simülasyon yöntemlerinin birikimli hatalarından kaynaklanan etkilerinin olup olmadığını araştırmak için Heston stokastik volatilite modeli Euler-Maruyama, Milstein ve Stokastik Runge-Kutta metodalarıyla analiz edilmiştir. Hisse senedi piyasalarının değişik koşulları için Borsa Istanbul - 100 (BIST - 100) endeksinin dataları kullanılarak simülasyonlar yapılmıştır. Yapılan simülasyonlardan elde edilen sonuçlar gerçek datalarla karşılaştırılarak analiz edilmiştir. Heston stokastik volatilite modelinin uygulamasında başlangıç ve uzun vadeli volatiliteleri elde etmek için üst üste gelme durumlarındaki ekstremum değerler yöntemi kullanılmıştır. Ekstremum değerler yöntemiyle yaklaşık olarak elde edilen günlük volatiliteler de kullanılarak modelin avantajları ve limitleri araştırılmıştır. Ayrıca, matris normlarının genellemeleri olarak 3-boyutlu matrisler için norm tanımlamaları ve ilgili lemmaların da ispatları, Duran ve İzgi 2015, uygun nümerik lineer cebir ve analiz argümanları kullanılarak yapılmıştır. Daha sonra, 2-boyutlu ve 3-boyutlu hareketli matris tanımlamaları yapılmış olup, tanımlanan 3-boyutlu matris normlarının uygulaması olarak da piyasanın izlenim matris normu, hareketli matrisler üzerinde tanımlanmıştır, Duran ve İzgi, 2015. Bu normların gerek simülasyon gerekse gerçek datalarla yapılan uygulamaları ayrıntılı ve karşılaştırmalı olarak ele alınmıştır. Yapılan analizler ve incelemeler ışığı altında izlenim matris normunun kullanışlılığı da ortaya konulmuştur. Birçok disiplin dallarında ekstremum durumları anlamak ve olasılıklarının tahmininde bulunmak için ekstremum değer teorisi oldukça önemli rol üstlenmektedir. Finans, ekonomi, yer bilimi ve hidroloji gibi alanlar da bu teorinin uygulama alanlarından bazılarıdır. Finansal anlamda, ekstremum durumlar kayıp veya kazançların oldukça yüksek olabileceği durumlar olmasından dolayı, dikkate alınması ve incelenmesi gereken önemli noktalardan biridir. Bu yüzden Heston, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin bazı parametrelerinin simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlarına olan etkilerini incelemek için, uç nokta ve kalın kuyruk analizleri standartlaştırılmış ilk dört moment değerleri ve ekstremum değer teorisi araçlarından quantile quantile, ortalamayı aşan (mean excess) ve tepe (hill) grafikleri yardımıyla yapılmıştır. Bu metodlar kullanılarak BIST-100 endeksi için de uç nokta ve kalın kuyruk analizleri örneklendirilmiştir. Böylece gerçek dataların ekstremum durumlarındaki davranışları ile gerçek datalar kullanılarak elde edilen simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlar karşılaştırılmıştır. Finans piyasaları dinamik olduğundan birden çok parametrenin birbirlerine göre etkilerini ve davranışlarını incelemek oldukça önemlidir. Bu yüzden modelleme ve simülasyonlar yapılırken ele alınan model parametrelerinin dinamiklerini kontrol altında tutmak zor ve gerekli işlemlerdendir. Bu sebepten ötürü Heston stokastik volatilite modeli ile yapılan simülasyonlarda; logaritmik hisse senedi getirisi, faiz oranı ve ortalamaya dönüş hızı dinamikleri 3-boyutlu olarak araştırılmıştır. Bu dinamiklerin birbirlerine olan etkileri 3-boyutlu grafikler yardımıyla da değişik market senaryoları için kapsamlı bir şekilde ayrı ayrı olarak ortaya konulmuştur. Ayrıca, dinamiklerdeki eş hareketlilik ve eş hareketlilikten zıt hareketliliğe geçişin ekstremum durumlarda önemli olduğuna inanılmaktadır. Bu yüzden, faiz oranı ve günlük BIST-100 endeks dinamiklerinin davranışlarını daha iyi anlamak için eş ve zıt hareketleri incelenmiştir. Heston modeli logaritmik hisse senedi getirisinin, faiz oranlarının artışına paralel olarak artacağını öngörmektedir. Aslında, Heston modelinin aksine yeterince geniş bir zaman aralığında faiz oranlarının düşerken gerek Amerikan hisse senedi piyasasının gerekse Borsa Istanbul endekslerinin arttığı gözlemlenmiştir. Bunun yanı sıra, gerçek piyasalarda karşımıza çıkan sıçrama durumlarını anlamak ve kontrol altında tutmak da yatırım stratejisi ve risk kontrolü için oldukça önemli ve gereklidir. Bu yüzden, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin çözüm davranışları analiz edilerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Özellikle, simülasyonlardan elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımları incelenmiş olup, ilgili dağılımlar izlenim matris normu ve ekstremum değer teorisi kullanılarak analiz edilmiştir. Model parametrelerinin, sıçramalı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözüm yöntemlerinden olan sıçrama uyumlu (jump-adapted) metodla elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımına ve modellerin çözüm davranışlarına olan etkisi gösterilmiştir. İlgili analizler dahilinde Merton sıçramalı difüzyon modelinin Merton-Black Scholes modeline göre fiyatlardaki ekstremum durumlarını daha iyi yansıttığı gözlemlenmiştir. Merton sıçramalı difüzyon modelinin bu önemli özelliği dikkate alındığı takdirde yatırım stratejisi belirlenme aşamasında önemli olacağı kanaatine varılmıştır. Son olarak, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin fiyat salınımları, sıçrama parametrelerinin etkilerini de yansıtan izlenim matris norm kullanılarak açık bir şekilde gösterilmiştir. İzlenim matris normunun simülasyon veya gerçek datalarla yapılan analizlerde sıçramaların varlığının belirlenmesinde alternatif bir araç olarak kullanılabileceği sonucu elde edilmiştir. Ayrıca izlenim matris normunun, sıçrama potansiyelinin olduğu tam olmayan marketlerdeki gerçek hisse senedi piyasalarında da hisse senedi fiyat salınımlarını ve davranışlarını anlamak için kullanışlı olacağı sonucuna varılmıştır., We study the behavior of solutions for stochastic differential equations such as Heston stochastic volatility model, Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model. We examine the numerical solutions using Euler Maruyama, Milstein and stochastic Runge-Kutta methods when we analyze Heston stochastic volatility model to investigate whether there is a role of the methods for different volatility cases or not, related to the impact of cumulative errors on this application. We perform simulations for different stock market conditions by using the large data set from Borsa Istanbul-100 (BIST-100). We use volatilities in terms of extreme values at the overlapping case when we examine initial and long term volatilities for the application of the Heston model. While we explore strengths and limitations of Heston stochastic volatility model, Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model based on behavior of their numerical solutions, we suggest some model improvements in the light of the applications. Moreover, we introduce 3-dimensional matrix norms as generalizations of the matrix norms and prove the related lemmas, Duran and İzgi 2015, by using the applicable numerical linear algebra and analysis arguments. Furthermore, we define moving matrix for 2D and 3D matrices. Afterwards, we define market impression matrix norm as an application to the 3-dimensional matrix norms using moving matrices, Duran and İzgi, 2015. We can benefit from it to quantify market impression approximately by means of the numerical solutions for the stochastic differential equations. We analyze the simulation results for various parameters such that we perform high peak and fat-tail analysis for the impact of Heston, Merton-Black Scholes and Merton's jump diffusion models parameters' on the simulations of the extreme situations by using the first four standardized moments and extreme value tools such as quantile quantile (QQ), mean excess (ME) and Hill plots to examine the fat-tailness of the distributions. We also illustrate high peak and fat-tail analysis for BIST-100 index. On the other hand, we investigate 3D dynamics of the average logarithmic stock return, interest rate and speed of mean reversion variables, together. In addition, we believe that polarization and the transitions between polarizations and comovements are important part of extreme situation picture. Therefore, we investigate comovement and polarization of interest rates and daily returns of BIST-100 index in order to understand the corresponding behavioral dynamics. Heston stochastic volatility model predicts that the average logarithmic stock return increases as interest rate rises. Actually, we observe that there are also sufficiently large time intervals where interest rates were decreased and stock prices increased gradually in US stock markets and Borsa Istanbul, unlike the Heston stochastic volatility model suggests. Moreover, we analyze and compare the behavior of solutions for Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model. Especially, we focus on analyses of logarithmic stock price distributions obtained for these models using impression matrix norm and extreme value theory perspective. We achieved to present jump parameters' effects onto the behavior of solutions and also logarithmic stock price distributions using jump-adapted approximation method. Finally, we present price fluctuations for the Merton's jump diffusion and the Merton-Black Scholes models using impression matrix norm which reflects the effects of the jump parameters explicitly., Doktora, PhD

Bu tezin ilk bölümünde Finans Matematigine giristen, Bono ve Hisse senetlerinden ve bunlarındegisimlerini inceleyen tek periyotlu modellerden, çok periyotlu modellerden ve finanstürevlerinden bahsedecegiz. Ikinci bölümde ise Sürekli modellerden, Brown hareketinden veözelliklerinden, Stokastik integral ve özelliklerinden, Ito kuralından, Black-Scholes modelindenve Sürekli zamanlı faiz oranlarından bahsedecegiz.Diger bölümlerde ise genel olarak Avrupai ve Amerikan opsiyonlarının fiyatlandırması için CRRmodelinden ve bu modelle Black-Scholes modeli arasındaki iliskiden, sürekli zamanlı tam marketmodellerindeki opsiyonlardan, Arbitraj yöntemiyle alım ve satım opsiyonlarından bahsedilecekve faiz oranı modelleri ve özellikleri anlatılacak, ilgili teoremler üzerinde durulacak ve bu teoremlerinispatları yapılacaktır. Özellikle Avrupai opsiyonların fiyatlandırması için MartingaleMetodu ve Monte Carlo simülasyon yönteminin Matematiksel Finansa uygulanısı anlatılacaktır.Son bölümde ise tam olmayan marketlerdeki rassal faiz oranlı Avrupai opsiyon fiyatlandırmaproblemi ele alınıp bu opsiyonun fiyatlandırması Monte Carlo simülasyonu kullanılarak eldeedilecektir. Ayrıca hisse senedi için kullanılan Black-Scholes modelinin ve faiz oranı için kullanılanCIR faiz oranı modelinin bazı parametreleri için duyarlılık analizleri yapılacaktır. Veilgili duyarlılık analizleri grafikler ve tablolar yardımıyla yorumlanacaktır. In the first chapter, we consider Bond, Stocks, Single-Period models, Multiperiod models andDerivatives. In the second chapter, we also consider Continuous-Time Models, Brownian Motionand its properties, Stochastic Integral and its properties, It^o?s Rule, Black-Scholes Modeland Continuous-Time Interest Rates.In other chapters, we generally consider CRR model for pricing of European and American options,and we consider relations between this model and Black-Scholes model, continuous timemodel for options at the complete markets. We also consider arbitrage relationships for calland put options; Put-Call parity, and interest rate models and their properties. Furthermore,we present some related theorems and prove them. In particular, we explain how Martingalemethod and Monte Carlo simulations method are used pricing of the European options inMathematical Finance.In the last chapter, we present the problem which is pricing of the European options in incompletemarkets with random interest rate. We solve this problem by Monte Carlo simulations.In addition, we also provide sensitivity analysis of some of Black-Scholes and CIR models parameters.Finally, we interpret results of those analysis by using figures and tables. 91

Bu çalışmamızda, belirsizlikler altında çiftçilerin tarım sigortası yaptırıp yaptırmaması gerektiği problemini oyun teorisi ve karar teorisi açısından inceledik. Bunu yapmak için doğaya karşı bir sıfır toplamlı matris oyununu gerçek verileri kullanarak oluşturduk. Oluşturduğumuz bu oyunu ilk olarak karar teorisindeki Wald maksimin ve Savage pişmanlık kriterleri aracılığıyla ayrı ayrı çözdük. Ardından, bu oyunu karma stratejilere izin verildiği durumda yeniden ele alarak literatürdeki sıfır toplamlı matris oyunlarının çözümü için bilinen yöntemle çözdük. Aynı durum altında oyunu, getiri matrisinin sadece matris normlarını içeren ve matris normları yaklaşımı (MN yöntemi) olarak bilinen bu yeni yöntemi kullanarak farklı bir açıdan çözdük. Son olarak, MN yöntemi yardımıyla bulduğumuz sonuçların literatürdeki diğer yöntemlerle elde ettiğimiz sonuçlarla tutarlı olduğunu gösterdik. In this paper, we investigate whether the farmers should get agriculture insurance or not under the uncertainty by the view of the game theory and decision theory. For this purpose, we create a zero-sum matrix game against nature using the real data. We solve the matrix game with Wald maximin criterion and Savage regret criterion, separately. Then, we resolve this game, while the mixed strategies are allowed, by using the well-known method in the literature for the solution of the zero-sum matrix games. Later, we demonstrate the game in the different aspect with the approach only consists of the matrix norms of the payoff matrix, called the matrix norm approach (MNA), under the same condition. Finally, we show the consistency of the results obtained by using MNA and the other methods.

Stokastik diferansiyel denklemler, bir diferansiyel denkleme genel olarak rassal bir sürecin eklenmesiyle oluşur. Matematik, fizik, finans, ekonomi, meteoroloji gibi birçok disiplinde kullanılmakta olan bu denklemler, finans piyasaları üzerine çalışmalar yapan Lous Bachelier (1900) ve İskoç botanikçi Robert tarafından görülen kolloidal parçacıkların düzensiz hareketinin matematiksel modelini sunan Albert Einstein'nın (1905) çalışmaları ile literatüre girmiştir. Stokastik diferansiyel denklemler, adi diferansiyel denklemler gibi lineer ve lineer olmayan denklemler olarak ikiye ayrılırken, son zamanlarda lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemler üzerine yapılan çalışmalar artış göstermektedir. Bu tez çalışmasında yapılacak olan analizlerde de lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemler ele alınmıştır.Lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin gerçek çözümlerinin bulunması genellikle oldukça zordur. Bu nedenle bu gibi denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunabilmesi için sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Bu sayısal yöntemler literatürde açık (explicit), kapalı (implicit), yarı-kapalı (semi-implicit) olmak üzere üç başlık altında toplanmaktadır. Açık sayısal yöntemler olarak adlandırılan metotlar, sürüklenme katsayısı global lipschitz veya lineer büyüme şartı özelliklerini sağlayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunmasında oldukça elverişli ve kullanışlı metotlardır. Kapalı metotlar diye adlandırılan metotlar her ne kadar bu tarz denklemlerin sayısal çözümleri için de kullanılabilir olsalar da daha çok sürüklenme katsayısı lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması için geliştirilmiştir. Çünkü açık metotların bu gibi katsayılı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde oldukça yetersiz kaldığı yapılan çalışmalarla ispatlanmıştır. Öte yandan, kapalı metotlar genel olarak açık metotlara göre daha karmaşık yapıya sahiptirler. Bu yüzden her ne kadar lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin çözümleri için kullanışlı metotlar olsalar da, metotların yapısı gereği stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini elde etmek açık metotlara göre daha çok zaman harcanmasını gerektirmektedirler. Bu da kapalı metotlar için bir dezavantaj olarak karşımıza çıkmaktadır.İşte tam da bu noktada, sürüklenme katsayısı lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde etmede açık metotlar kadar pratik, kapalı metotlar kadar da doğru yaklaşık sonuçların elde edilmesinde kullanılan yarı-kapalı metotlar karşımıza çıkmaktadır. Bu tezde yarı-kapalı metotlardan 2017 yılında literatüre B. İzgi ve C. Çetin tarafından kazandırılmış olan yarı-kapalı bölünmüş-adım (semi-implicit split-step) olarak isimlendirilen metot üzerine çalışılmıştır. Özellikle, lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerden literatürde oldukça fazla kullanım alanı olan Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denklemi kullanılarak yarı-kapalı bölünmüş-adım metotlarının zayıf yakınsaklık analizleri için bazı sonuçlar üzerine odaklanılmıştır. Bu hedef doğrultusunda giriş bölümünde:İlk olarak stokastik diferansiyel denklemlerin kısaca tarihsel sürecinden bahsedilmiştir.Bir sonraki adımda ise bir sıvıda yüzen veya asılı parçacıkların rastlantısal hareketi olarak tanımlanan Brown hareketinin matematiksel tanımı ve bazı özellikleri kısaca sunulmuştur. Daha sonra, stokastik diferansiyel denklemin motivasyonu ve genel formu verilmiştir. Ardından, literatürdeki stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümünü bulmak üzere geliştirilen metotlardan; Euler-Maruyama, Milstein, Tamed Euler, kesilmiş Euler (Truncated Euler), bölünmüş geri adım Euler (SSBE) ve yarı-kapalı bölünmüş adım (SISS) metotları bazı özellikleri ile birlikte tanıtılmıştır. Bu metotlardan kısaca bahsedecek olursak;Euler-Maruyama ve Milstein metotları açık sayısal yöntemlerdendir. Euler Maruyama yöntemi ismini Leonhard Euler ve Gisiro Maruyama'dan almıştır. Milstein yöntemi ise ilk olarak Grigori N. Milstein tarafından 1974 yılında tanıtılmıştır. Bu sayısal yöntemler, sürüklenme ve difüzyon katsayısı global lipschitz özelliğini sağlayan stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünü bulmada kullanılan oldukça kullanışlı yöntemlerdir. Aksi taktirde bu koşulları sağlamayan stokastik diferansiyel denklemlerinin yaklaşık çözümlerinin elde edilebilmesi için kullanılabilecek uygun yöntemler arasında yer almamaktadırlar. Ayrıca, Euler-Maruyama ve Milstein metotlarının zayıf yakınsaklık oranları sırasıyla 1 ve 2 olup, güçlü yakınsaklık oranları da sırasıyla 1/2 ve 1 dir.Diğer taraftan lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan sürüklenme katsayısına sahip stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin elde edilişinde kullanılan metotlardan; Tamed Euler ve kesilmiş Euler açık metotları, bölünmüş geri adım Euler kapalı metodu, yarı-kapalı bölünmüş adım veya Milstein tipi yarı-kapalı bölünmüş adım metotları kullanılabilirler.J.C. Mattingly, A.M. Stuart ve D.J. Higham tarafından sunulan bölünmüş geri adım Euler yöntemi; doğrusal olmayan monoton stokastik diferansiyel denklemlerin ergodiklik özelliklerini korur. Fakat, bölünmüş geri adım Euler yönteminde her adımda/yinelemede bir denklemin çözülmesi gerekmektedir. Bu nedenle, özellikle yüksek boyutlu doğrusal olmayan skaler/vektörel denklemleri içeren problemlerde hesaplama süresi maliyetli olan bir metottur.Tamed Euler ve kesilmiş Euler yöntemleri Euler yönteminin alternatif versiyonlarındandır. Tamed Euler metotu M. Hutzenthaler, A. Jentzen ve P.E. Kloeden tarafından sunulurken, Mao ve arkadaşları ise kesilmiş Euler yöntemini tanıtmışlardır. Bu yöntemler, stokastik diferansiyel denklemin sürüklenme terimine bazı yaklaşımlar uygulanarak elde edilmiştir. Ayrıca Tamed Euler ve kesilmiş Euler metotları yüksek boyutlu problemler için de uygundur. Her iki metotunda zayıf yakınsaklık ve güçlü yakınsaklık oranları sırasıyla 1 ve 1/2 dir. 2017 yılında, B. İzgi ve C. Çetin tarafından tanıtılan dört adet yarı-kapalı bölünmüş adım metodu (SISS1, SISS2, SISS3 ve SISS4) lineer ve lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemlerin lokal lipschitz olan veya lipschitz olmayan sürüklenme terimine bazı yaklaşımlar uygulanarak elde edilmiştir. Bölünmüş geri adım Euler metodunun aksine, yarı-kapalı bölünmüş adım metodu her adımda/yinelemede herhangi bir denklem çözülmesini gerektirmemektedir. Bu da zaman maliyeti açısından kazanç sağlamaktadır. Ayrıca yarı-kapalı bölünmüş adım yöntemi, yüksek boyutlu problemlere de kolaylıkla uygulanabilmektedir. Bu tarz problemlerin çözümlerinin elde edilmesinde hesaplama süresi açısından da ciddi bir avantaj sağlamaktadır.Metotların tanıtılmasının ardından, bu çalışmada sürüklenme katsayısı lokal lipschitz şartını sağlayan stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin genel formunun ve açık çözümünün tanıtımını gerçekleştirdik. Ardından giriş bölümünün son kısmında, yarı-kapalı bölünmüş adım (SISS1, SISS2, SISS3 ve SISS4) yöntemlerinin stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denklemine uygulanışları sunulmuştur. İkinci bölümde ise:İlk olarak Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denklemi ele alınarak SISS1 ve SISS3 metotlarının uygun koşullar altında birinci momentlerinin alt ve üst sınırları için teoremler sunulmuş olup, gerekli ispatlar yapılmıştır. Benzer şekilde Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denkleminin çözümünün birinci momentlerinin de alt ve üst sınırları ile ilgili teorem sunulup, ispatlanmıştır. MATLAB yardımıyla sunmuş olduğumuz teorik sonuçların ilgili sümülasyonları yapılarak, elde ettiğimiz sonuçlar ayrıntıları ile sunulmuştur. Ayrıca birinci momentler için elde edilmiş olan log-log grafiği ile metotların zayıf yakınsaklık oranının beklendiği gibi 1 olduğu nümerik olarak gösterilmiştir.İkinci olarak SISS1 ve SISS3 metotları ile Ginzburg-Landau stokastik diferansiyel denkleminin ve bu denklemin gerçek çözümünün yine bazı koşullar altında ikinci momentlerinin alt ve üst sınırlarıyla ilgili teoremler sunulmuştur. Bir önceki adımda yaptığımız işlemlere benzer olarak, bulunan teorik sonuçlar ile elde edilen simülasyon sonuçlarından yararlanılarak bazı grafikler oluşturulmuştur. Ayrıca ikinci momentler için elde edilmiş olan log-log grafiğiyle, SISS yöntemlerinin zayıf yakınsaklık oranının yine beklenildiği gibi 1 olduğu gösterilmiştir.Son olarak, SISS1 ve SISS3 metotları ile stokastik Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin birinci ve ikinci momentlerinin alt ve üst sınırlarından yararlanılarak; bu metotların yüksek momentleri için alt ve üst sınırlar sunulmuş ve böylece yaklaşımlarımız genelleştirilmiştir. Diğer adımlarda olduğu gibi Ginzburg-Landau diferansiyel denkleminin gerçek çözümünün sınırları için de bu genelleştirme işlemi gerçekleştirilmiştir. Ardından, metotların ve denklemin gerçek çözümünün örnek olarak ele alınan dokuzuncu momenti için simülasyonlar yapılmış ve bazı grafikler oluşturulmuş olup, zayıf yakınsaklık oranının neredeyse 1 olduğu sonucuna tekrardan ulaşılmıştır. Ayrıca elde edilen teorik sonuçların farklı momentleri için analizler yapılmış ve bu analiz sonuçları tablo yardımıyla sunulmuştur. Sonuç olarak, teorik gösterimi başka bir çalışmada ele alınmak üzere daha sonraya bırakılan yarı-kapalı geri-adım yönteminin zayıf yakınsaklık oranının 1 olduğunun gösterilmesinde, bu tezin bir çıktısı olarak bulunan sonuçların önemli bir rol oynayacağı öngörülmektedir. The stochastic differential equation is defined as a differential equation including a stochastic or random process. The analytical solutions of the stochastic differential equations usually are not obtained. Therefore, the studies on the numerical solutions of the nonlinear stochastic differential equations have recently increased in the literature. There are different methods such as Euler-Maruyama, Milstein, Tamed Euler, truncated Euler, split-step backward Euler (SSBE), semi-implicit split-step (SISS) methods. The semi-implicit split-step methods among these methods have recently introduced to solve a class of nonlinear stochastic differential equations with non or locally lipschitz drift term.This thesis is intended for obtaining some theoretical and numerical results for the weak convergence analysis of the SISS methods since there is no enough study for the weak convergence analysis of the SISS methods according to our literature review yet. We especially focus on the SISS1 and SISS3, among others, based on the stochastic Ginzburg-Landau differential equation. First, we obtain the first moment boundaries of the numerical solutions of the stochastic Ginzburg-Landau differential equation with the SISS1 and SISS3 methods. We also find the first moment boundaries of the actual solution of the equation. Moreover, we observe that the lower and upper boundaries of the first moments for the numerical solutions of the equation behave almost same as the actual solution of the Ginzburg-Landau SDE by our repeated simulation results for the sufficiently small step size. Then, we exhibit the second moment boundaries of the numerical methods and the actual solution of the stochastic Ginzburg-Landau differential equation. In addition, we illustrate our results by performing simulations for the various model parameters by the graphs. These figures also confirm that the boundaries act the behavior of the solution for the equation.Finally, we extend our moment boundaries estimates for the pth moments of the SISS1 and SISS3 methods. Furthermore, we obtain pth moment boundaries of the actual solution of the Ginzburg-Landau SDE. Then, we obtain similar simulations results above for the pth moment boundaries by the repeated simulations. Additionally, we create a table with the different p values for the moment boundaries of the both actual and numerical solutions of the equation. Thus, the comparisons between the theoretical results and the numerical results for the SISS methods based on the Ginzburg-Landau SDE show that the theoretical results are consistent with the numerical results for all p according to our analysis results. Moreover, we discuss their empirical rates of weak convergence and show that the weak convergence rate of the SISS1 and SISS3 methods is almost 1 by the log-log graphs. 61

Bu tezde, genel olarak 3-boyutlu matrisler için bazı temel tanımlar ve özellikler sunuldu. Buna ek olarak, 3-boyutlu matris norm eşitsizlikleri ispatlandı ve bu normlar arasındaki ilişkileri gösteren katsayılar eşitsizliklerin daha kolay kullanılabilmesi için bir tablo halinde verildi. Son olarak, matris normları, literatürde ilk olmak üzere, oyun teorisi ile bir araya getirildi. Bütün bunlar tez boyunca üç farklı başlık altında detaylı bir şekilde incelendi. Bu bölümlerdeki içerikler şu şekildedir: Giriş bölümünde, matrislerin tarihi ve kullanım alanlarıyla ilgili bazı örnekler verildi. Bu verilen örneklerle matrislerin farklı bilim dallarında farklı amaçlarla kullanıldığının vurgulanması hedeflendi. Daha sonra, 2-boyutlu matrislerle ilgili literatür taraması mahiyetinde geçmişten bugüne kadar kullanılan bazı temel tanımlar ve özellikler verildi. Birinci bölümde, 2-boyutlu matrisler için bazı temel tanım ve özellikler, 2-boyutlu matrislerdeki tanımlar üzerinden, 3-boyutlu matrisler için genelleştirildi. Bunun sonucunda, 3-boyutlu matrisler için 2-boyutlu matrislere dayanarak temel konsept sunuldu. 3-boyutlu matrisleri temsil etmek üzere bir notasyon belirlendi. Ayrıca, 3-boyutlu matrislerde çarpma işlemi 2-boyutlu matrislerdeki çarpma işlemine benzer şekilde açıkça tanımlandı. Bir 3-boyutlu matrisin tersinin nasıl alınması gerektiği açıklandı. 3-boyutlu bir matrisin determinant vektörü tanımlandı ve bu tanıma bağlı olarak bir 3-boyutlu matrisin tekil olma, tekil olmama ve hemen hemen tekil olma durumları açıklandı. 2-boyutlu matrislerdeki kondisyon sayısı 3-boyutlu matrisler için genelleştirildiğinde bir vektör elde edildi ve bu vektör 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörü olarak tanımlandı. 2-boyutlu matrislerdeki kondisyon sayısı hesaplanırken matrisin tersi kullanıldığı gibi 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörünü hesaplarken daha önceden açıklanmış olan 3-boyutlu matrislerdeki ters alma işlemi kullanıldı. 2-boyutlu matrisler için tanımlanmış olan kondisyon sayısının tanımına bağlı kalınarak kötü ve iyi koşullu matris tanımları verildi. Bunların yanı sıra, 2-boyutlu matris normları için önemli bir eşitsizlik olan Cauchy-Schwarz eşitsizliği, 3-boyutlu matrislerin 2-boyutlu matrislere indirgenmesi yöntemiyle, 3-boyutlu matrisler için kanıtlandı. Buna ek olarak bazı 3-boyutlu matris normları için önemli eşitsizlikler sunulup, bu eşitsizlikler açık bir şekilde ispat edildi. Örneğin, bir matrisin spektral yarı çapının 3-boyutlu bir matrisin herhangi bir normundan küçük ya da eşit olduğu gösterildi. 3-boyutlu bir $A$ matrisinin hermisyen bir matris olması durumunda bu matrisin spektral yarıçapının, 3-boyutlu matrisler için verilen $2-norm$una eşit olduğu ispatlandı. Bunların yanında 3-boyutlu matrisler için tanımlanmış $Frobenius-norm$un üniter matrislerle çarpım durumda değişmez olduğu sunulup, kanıtlandı. Benzer şekilde $2-norm$unun 3-boyutlu üniter bir matrisle soldan çarpım durumunda değişmez olduğu ispatlandı. 3-boyutlu matrisler için tanımlanmış $2-normu$ ile $1-normu$ ve $/infty-normu$ arasındaki ilişkiyi gösteren bir eşitsizlik daha kanıtlandı. Son olarak bu bölümde verilen tanımları açıklayacak ve üçüncü boyutun yeni tanımlar üzerindeki etkilerini gösterecek şekilde bazı açıklayıcı örnekler verildi. Bu örneklerde, ilk olarak 3-boyutlu matrislerin determinantının nasıl hesaplanacağı ve 3-D bir matrisin hemen hemen tekil olma durumu gösterildi. Daha sonra, 3-boyutlu bir matrisin tersinin nasıl alınacağı açıklandı. Ayrıca, 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörünün nasıl hesaplanacağı açık bir şekilde gösterildi. Böylece verilen örneklerle 3-boyutlu matrisler için yapılmış olan yeni tanımların nasıl kullanılacağına açıklık getirildi.İkinci olarak, öncelikle literatürde tanımlanmış olan ve bu çalışmada da kullanılan 3-boyutlu matris normlarının tanımları ilgili çalışmada sunulduğu şekilde verildi. Literatürde 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerini gösteren herhangi bir çalışma olmadığından dolayı bu açığı kapatmak için bu tezde 3-boyutlu matris norm eşitsizlikleri sunuldu. Bunun sonucunda 3-boyutlu matrislerdeki norm eşitsizlikleri 2-boyutlu matris norm eşitsizliklerine benzer şekilde ispatlandı. Yani, nasıl ki bazı kaynaklarda 2-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin ispatlarında, 2-boyutlu matrislerin vektörlere indirgenmesinden sonra vektör norm eşitsizlikleri kullanılıyorsa, bizim kanıtlarımızda da 3-boyutlu bir $A/in/mathbb{C}^{m/times n/times s}$ matrisi 2-boyutlu matrislere indirgendi ve 2-boyutlu matris norm eşitsizlikleri ile gerekli yerlerde vektör norm eşitsizlikleri kullanılarak kanıtlar yapıldı. İspatlardaki diğer önemli bir nokta ise boyutları $m/times1/times s$ olan bir 3-boyutlu $A/in/mathbb{C}^{m/times1/times s}$ matrisinin 2-boyutlu bir matris olan $A/in/mathbb{C}^{m/times s}$ şeklinde davrandığının kabul edilmiş olmasıdır. Bu fikre dayanarak yapılmış olan ispatlar sonucunda elde edilen 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinde bulunan katsayılar bir katsayılar tablosu halinde eşitsizliklerin kolayca kullanılabilmesi için sunulmuştur. Daha sonra 3-boyutlu matris normlarının ve ilgili eşitsizliklerin önemini ve kullanışlılığını göstermek amacıyla matematiksel finanstan alınmış, gerçek ve simülasyon verilerini içeren bir örnek verildi. Yani, kanıtlanan 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin, simülasyon sonucu elde edilen ve gerçek veriler kullanılarak hesaplanmış 3-boyutlu matris norm değerleri için sağlanmış olduğu gösterildi. İspatlanan bu norm eşitsizlikleri kullanılarak matrisin boyutuna bağlı olarak daha optimal aralıklar elde edilebileceğinden bahsedildi. Bunların yanı sıra, stokastik diferansiyel denklemlerle yapılan çeşitli analizler Milstein ve Stokastik Runge Kutta (SRK) yöntemleri ile yapılmış olup 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerini sağlamıştır. Bu iki yöntemin yakınsama hızlarından ve yöntemlerden bağımsız olarak 3-boyutlu matris normlar eşitsizliklerinin çalıştığı gösterildi. Ayrıca, literatür taramalarımız sonucunda 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin ilk olarak bu çalışmada yer aldığını düşünmekteyiz.Son olarak, matrislerin kullanım alanları ile ilgili araştırma yaparken matrislerin oyun teorisinin temel kısımlarında kullandığını gördük. Bunun üzerine oyun teorisinde matrislerin kullanılmasına rağmen matris normlarının kullanılmaması dikkatimizi çekti. Böylece iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunun getiri matrisinin $1-normu$ ve $/infty-normu$ kullanılarak matris normları oyun teorisi ile ilk kez bir araya getirilmiş oldu. Bu bir araya getirme işlemi iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının çözümleri ve bu tür oyunların kurulması ile ilgili yeni bir yaklaşım ortaya atılarak sağlandı. Özellikle, herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyununun herhangi bir denklem çözmeden nasıl kolay ve hızlı bir şekilde yaklaşık olarak çözülebileceği gösterildi. Öncelikle, ortaya atılan metoda temel atmak amacıyla iki önsav sunuldu ve kanıtları yapıldı. Bu önsavlarda oyun değeri için alt ve üst sınırlar oluşturan eşitsizlikler verildi. Bu eşitsizlikler getiri matrisinin $1$ ve $/infty$ normları ile oyun değerini içeren bir sabit olan $k$'ya bağlı bir şekilde elde edildi. Ayrıca bu sonuçlarda yer alan eşitsizliklerin herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarında kullanılmak üzere genellemeleri yapıldı. İspatları genellerken kullanılmak üzere getiri matrisinin satırsal ve sütunsal olmak üzere iki farklı indüs matris tanımı yapıldı. Daha sonra, önsavlarda temelleri atılan bu yöntem geliştirildi ve verilen sonuçlardaki $k$ sabitinin içindeki oyun değerinden kurtulduk. Bu sabit içerisinde bulunan oyun değerinden kurtulmak için bazı varsayımlarda bulunuldu ve böylece yeni sonuçlar elde edildi. Bu yeni sunulan sonuçlardaki eşitsizlikler sadece $1-norm$u ve $/infty-norm$una bağlı eşitsizlikler olup, bu sonuçlar yeni teoremler şeklinde sunuldu ve detaylı bir şekilde ispatlandı. Bunların yanı sıra, iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının getiri matrislerinin herhangi bir öteleme durumundaki hali incelendi. Bunun sonucu olarak bu tarz oyunların getiri matrislerinde herhangi bir öteleme yapılması durumunda oyun değerinin öteleme miktarı kadar değiştiğini ve karma stratejiler kümesinin ise aynı kaldığı gösterildi. Ayrıca ilk olarak $2/times2$ boyutlu iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının sırasıyla en büyük ve en küçük elemanları, $p_{max}$ ve $p_{min}$, için getiri matrisinin normlarına bağlı olarak alt ve üst sınırlar verildi ve gerekli ispatlar yapıldı. Daha sonra bu yaklaşımın genellemesi yapıldı ve $m/times n$ boyutlu bir matris oyunu için aynı sınırlar sunuldu ve ispatlandı. Bunlara ek olarak, karma stratejiler kümesinin sırasıyla en büyük ve en küçük elemanları, yani $p_{max}$ ve $p_{min}$, arasındaki ilişkiyi gösteren min-max teoremi verildi ve detaylı bir şekilde kanıtlandı. Min-Max teoreminin sonucunda, oyun çözümlerinde ve kurulumlarında $p_{max}$ ya da $p_{min}$'den biri kullanılmak üzere diğeri için daha optimal sınırlar elde edilebileceği gösterildi. Böylece herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyununu çözerken oyun değeri için daha iyi sınırlar elde etmek mümkün hale getirildi. Son olarak, yeni yaklaşımımızın tutarlığını göstermek üzere bazı test örnekler verildi. Bu örneklerin yanı sıra, gerçek bir askeri problemin simülasyonu sonucu elde edilmiş ve iki kişilik sıfır toplamlı bir oyun olarak incelenmiş bir oyun hiçbir denklem çözülmeksizin yaklaşık olarak çözüldü. Bu çözümü yapmak için öncelikle ilgili çalışmada verilmiş denklemler kullanılarak oyunun getiri matrisini oluşturuldu ve bu matrisin $1$ ve $/infty$ normları, bu çalışmada verilen teoremlerde kullanmak amacıyla hesaplandı. Ortaya attığımız bu yeni yaklaşımla yapılan çözümün sonucunda elde edilen ve yaklaşık oyun değeri adı verilen değer, $v_{app}$, ile ilgili makalede iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunu çözmek için kullanılan bir yöntemle hesaplanmış gerçek oyun değeri karşılaştırıldı. Yapılan bu karşılaştırma sonucunda, yaklaşık oyun değerinin bilinen yöntemlerle hesaplanmış gerçek değerine çok yakın olduğu görüldü. Böylece oyun çözümü için gerekli sürenin yeni yaklaşımla daha kısa olacağı açıklandı. Son olarak, yeni yöntemin nasıl kullanılacağını özetleyen bir akış şeması verilerek yöntemin kullanışına açıklık getirildi. Çalışmamızın bu kısmının yani, matris normlarıyla oyun teorisinin bir araya getirildiği kısmın, alanında ilk defa yapılmış bir çalışma olduğuna inanmaktayız.Tezin son bölümünde ise öncelikle 3-boyutlu matrisler için sunulan temel tanımların ve özelliklerin fayda ve sonuçlarından bahsedildi. Daha sonra 3-boyutlu matris normları için sunulan eşitsizliklerin potansiyel kullanım alanlarından örnek verilip, literatüre yaptığı katkılar sunuldu. En son olarak ise, oyun teorisi ile matris normlarınım birleştiritilmesi ile oluşturulan, iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunun nasıl daha hızlı ve kolay bir şekilde yaklaşık olarak çözülebileceğini gösteren yeni bir yaklaşım sunuldu ve bu yaklaşımın oyun teorisine nasıl bir katkı sağladığı anlatıldı. In this thesis, we make some significant contributions and give a new perspective to the game theory and 3-dimensional matrix theory. We present our contributions and developments in three diffrent chapters as follows: In the first chaper, a brief history of the matrices is given. Some examples are given in order to demonstrate the usage in science for different purposes. In the second chapter, some definitions and properties for the 2-dimensional matrices are extended to the 3-dimensional matrices. The basic concepts of the 3-dimensional matrices are presented by extending the definitions for the 2-dimensional matrices. The 3-dimensional matrix product is defined as it is defined for the 2-dimensional matrices. Moreover, the matrix inversion of a 3-dimensional matrix, determinant vector and some other definitions are made.The condition number vectors for the 3-dimensional matrices is defined. In addition these definitions, the singular and nonsingular 3-dimensional matrices are defined based on the definition of the determinant vector. Furthermore, the definition of ill-conditioned and well-conditioned 3-dimensional matrices are presented by using the definition of the condition number vector. Beside these, Cauchy-Schwarz inequality is represented for the 3-dimensional matrices and proved by inducing the 3-dimensional matrix to 2-D matrix. Additionally, some other important inequalities related to the 3-dimensional matrix norms are demonstrated. Finally, in this chapter, the effects of the third dimension with the new definitions and inequalities by some examples are investigated.//In addition to these, the norm inequalities for 3-dimensional matrices are presented and comprehensively proved. The proofs are completed with the similiar methodology being used for the 2-dimensional matrix norm inequalities. That is, we first induce the 3-D matrix to the 2-dimensional matrix. Then, we use the 2-D matrix norm inequalities and necessary vector norm inequalities. Moreover, the relationships between these norms are showed and the coefficients of the 3-dimensional matrix norm inequalities are presented with a table in order to simplify the usage of these norm inequalities. Furthermore, the usefulness of these inequalities is illustrated for 3-dimensional matrices which are obtained from simulations and real data applications.//In the third chapter, a novel approach to solve and create a two person zero sum matrix game by using matrix norms is presented. Especially, we show how to obtain approximated game value, $v_{app}$, for any zero sum matrix game without solving any equations using our approaches. Firstly, some lemmas are given and the results of these lemmas for the game value depend on the matrix norms of the payoff matrix and some constants $k$ containing the game value $v$. Then, the row-wise and column-wise induced matrix for the payoff matrix are introduced. Moreover, the proposed approaches are improved and the game value in the constant $k$ is vanished off. Then, some new improved theorems for the game value are presented in order to obtain some inequalities which depend on only the $1-norm$ and $/infty-norm$ of the payoff matrix. Furthermore, the min-max theorem for $p_{max}$ and $p_{min}$ is stated and clearly proved, where $p_{max}$ and $p_{min}$ are the maximum and minimum elements of the mixed strategy set, respectively. The min-max theorem shows the relationship between $p_{max}$ and $p_{min}$. Additionally, this theorem provides an opportunity to obtain more optimal interval for the game value. We also illustrate and show the consistency of our approaches with some test examples. To the best of our knowledge, this is the first study in the literature that the game theory meets the matrix norms. 77