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Electrolocation is the name given to the sensor ability for certain electric fish robots, which are able to detect electrostatic perturbations caused to the presence of some objects in their neighborhood. This ability to interpret an electrical signal to locate itself in space opens important perspectives, including in the field of biologically inspired robotics. Mathematically, electrolocation is linked to the electric impedance tomography: so it’s about a non-linear inverse problem, particularly ill-posed problem. We will, in this Phd, study some methods of reconstruction, which could be obtain robustly some characteristic of the obstacle’s shape, rather all of their geometry details. So, it’s about to study the stability between the observable part of the obstacles and the errors of measurements., L’électro-localisation est le nom donné aux capacités sensorielles de certains poissons électriques, vivant en eaux troubles, capables de détecter les perturbations électrostatiques dues à la présence d’objets dans leurs voisinages. Cette aptitude à interpréter un signal électrique pour se repérer dans l’espace ouvre l’importance perspectives, notamment dans le domaine de la robotique brio-inspiré. Mathématiquement, l’électrolocalisation est proche de la tomographie d’impédance électrique : il s’agit donc d’un problème inverse non linéaire, notoirement mal posé. Nous proposons dans cette thèse d’étudier des méthodes de reconstruction qui permettraient d’obtenir de manière robuste certaines caractéristiques de la forme des obstacles, plutôt que l’ensemble des détails de leurs géométries. Il s’agit donc d’étudier la stabilité de la partie observable des obstacles par rapport à des erreurs dans les mesures.

The aim of this thesis is to build a mathematical model for a particular sense in certain species of fish, called weakly electric. These fishes, living in the rivers of Africa and South America, emit an electric field with a very low intensity. It allows them to orientate in their surrounding space. Indeed, when an object is situated in its vicinity, the induced distortion is recorded at the surface of their skin, and then analyzed in order to be identified. In other words, these fishes are dealing with an inverse problem ; this subject has raised interest in the field of partial differential equations analysis since the 80’s. The main difficulty is the ill-posed-ness character of these problems: non-existence, non-uniqueness, or instability.Behavioral studies have shown that these fishes are able to distinguish the location, the size, the shape and the electrical parameters (conductivity and permittivity) of objects around them. Up to now, it is not possible to extract such information with the usual reconstruction method. The challenge is then huge, both from a theoretical point of view (prove existence, unicity and stability of the problem) and from a practical point of view, with applications in medical sciences, industrial imaging, or environmental issues.We propose here a mathematical model that allows to compute the electric field emitted by the fish, and the difference induced by the presence of one or several objects. We have then developed algorithms of localization, using the multi-frequency aspect of the measurements. Finally, using the information contained in the movement of the fish, we have shown that it is possible to differentiate between two objects with different shapes.These algorithms shows the physical feasibility of active electrolocation. They open the door to detection, identification, and classification applications. A theoretical approach gives easily the clue for generalization to other imaging systems., Le sujet de cette thèse est la modélisation mathématique d’un sens particulier chez certaines espèces de poissons, dites faiblement électriques. Ces poissons, qui vivent principalement dans les eaux douces en Afrique et en Amérique du Sud, émettent un champ électrique de très faible intensité afin de se repérer dans l’espace. En effet, lorsqu’un objet se trouve à proximité, la déformation qu’il induit sur le champ est enregistrée à la surface de leur peau, puis analysée afin de l’identifier. En d’autres termes, ces poissons font face à la résolution d’un problème inverse ; ce type de sujet occupe la communauté de l’analyse des équations aux dérivées partielles depuis les années 80. La principale difficulté est le caractère mal-posé de ces problèmes : non-existence, non-unicité, ou instabilité.Des études comportementales ont montré que ces poissons sont capables de distinguer la localisation, la taille, la forme ainsi que les paramètres électriques (permittivité et conductivité) des objets qui les entourent. À l’heure actuelle, les méthodes de reconstruction d’anomalies ne permettent pas d’extraire autant d’information. L’enjeu est donc de taille, tant d’un point de vue théorique (prouver l’existence, l’unicité et la stabilité du problème) que pratique, avec des applications médicales, industrielles voire environnementales.Nous proposons ainsi un modèle mathématique permettant de calculer le champ électrique émis par un poisson, et la déformation induite par la présence d’un ou plusieurs objets. Nous avons ensuite développé des algorithmes permettant de localiser un objet, compte tenu du caractère multi-fréquentiel des mesures. Enfin, en utilisant de plus le mouvement du poisson, nous avons montré qu’il est alors possible de différencier des objets de formes différentes.Ces algorithmes permettent ainsi de montrer la faisabilité physique de l’électro-localisation. Ils ouvrent également la voie à des applications de détection, d’identification et de classification, notamment grâce à une approche théorique permettant la généralisation à d’autres systèmes d’imagerie.