Search

In this paper, the notion of Hyperbolic Klingenberg plane is introduced via a set of axioms like as Affine Klingenberg planes and Projective Klingenberg planes. Models of such planes are constructed by deleting a certain number m of equivalence classes of lines from a Projective Klingenberg plane. In the finite case, an upper bound for m is established and some combinatoric properties are investigated.

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde, iki ana başlık altında cebirsel ve geometrik temel kavramlar tanıtılmış ve cebirsel yapılarla projektif düzlemler arasındaki ilişkiler özet halinde verilmişti r. İkinci bölümün ilk beş kısmında, Moufang düzlemlerinde çifte oran ile ilgili Ferrar (1980) [11] ve Schleiermacher (1965) (211 in çalışmaları özetlenmiş. Elli deki hatalı bir ifadeden kaynaklanan yanlışlıklar düzeltilmiş ve bazı yeni Önermeler verilmiştir. İkinci bölümün altıncı kısmında Çiftçi,S. , (1984) (71 de yapılan çifte oranın Moufang düzlemlerine genişletilmesi verilmiştir. İkinci bölümün son kısmında ise Moufang düzlemlerinde doğruların çifte oranı tanımlanmış ve bu tanım Moufang düzleminin tamamına genişle— tilmiştir. Ayrıca Moufang düzlemlerinde doğru ve noktaların çifte oranı arasındaki ilişki kurulmuştur. üçüncü bölümün ilk kısmında lokal alternatif halkalar ile koordinatlanan geometrik yapılar olan Moufang-Klingenberg düzlemleri (MK-düzlemleri ) tanıtılmıştır. Takip eden dört kısımda MK-düzlemlerinin lokal alternatif halkalar yardımıyla koordinatlanmasmın yapıldığı Baker,C. A. ,v. d. (1991) [31, MK-düzlemlerinde noktaların çifte oranı ile ilgili Blunck»A. (1991) 151 ve MK-düzlemierinde izdüşellikleri inceleyen Blunck,A. (1991) [61 da yapılan çalışmalar özetlenmiştir. Daha sonra çifte oranın tüm MK-düzlemine genişletilmesi yapıl iniştir. Son bölümde ise bu düzlemlerde doğruların çifte oranı tanımlanmış ve bunlarla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. In this thesis we consider cross-ratio in Moufang planes which is introduced by Schleiermacher, A. ,(1965),[211 and Ferrar.J.C. (1981), ilil. We give a formal proofs of some results which are given in IHI by using a wrong algebraic expression. And also we found some new results related with the harmonicity of points. Morever by defining the cross-ratio of concurrent lines we obtain the relation between the cross-ratio of lines and points. Later, we summarize "a coordinatization of MK-planes", "cross-ratio in MK-planes” and "projectivities in MK-planes" which are given in [31, E5J and 16] respectively. Then, we extent the cross-ratio to whole MK-planes and study on the cross-ratio of concurrent lines in this plane.

Tez (yüksek lisans) - Anadolu Üniversitesi, Anadolu Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Kayıt no: 12132, mertebesi n olan sonlu bir projektif düzlem ve nin mertebesi m olan ve Baer altdüzlemi olmayan ( yani olan) bir altdüzlemi olsun. Bu durumda, ve nın kısıtlanmısı olmak üzere altyapısını gözönüne alalım. Bu tez çalışmasında, n ise ın, Graves anlamında, bir hiperbolik düzlem olduğu gösterilmiştir. Daha sonra ın bazı kombinatörsel özellikleri ve bazı parelel doğru sınıfları üzerinde durulmuştur.

Bu yüksek lisans tezinde Hicri 1339 (Miladî 1920) yılında Türkiye Cumhuriyeti Maarif Nezareti (günümüzdeki adıyla Millî Eğitim Bakanlığı) tarafından bastırılmış olan "Mekatib'i İbtidaiyede Hendesenin Usul'ü Tedrisî" isimli 12 sayfalık bir kitapçık üzerinde durulacaktır. Kurtuluş savaşı yıllarında basılan bu kitapta ilkokullarda geometri öğretme yönteminin nasıl olması gerektiği başlıklar hâlinde verilmiştir. Günümüzde “iptidaiye mektebi” yerine ”ilkokul”, “hendese” yerine “geometri” ifadeleri kullanılmaktadır. Toplam iki bölümden oluşan bu kitapçıkta ilkokulda geometrinin hangi yöntemlerle anlatılması gerektiği üzerinde durulmuştur. Birinci bölümde “Geometrinin eğitim ve öğretim ile ilişkisi”, ikinci bölümde “Geometriyi öğretme yöntemi” üzerinde durulmuştur. Kitapçıkta bahsedilen geometri öğretim yöntemlerinin aradan geçen bir asırdan fazla bir zamandan sonra, günümüzde bile hâlâ geçerliliğini koruyor olması düşündürücüdür. Osmanlıca harflerle yazılmış olan kitapçığın aslının tüm sayfalarının görüntüleri ile okunuşunun günümüzde kullandığımız Latin harfleri ile yazılmış hâli tezin eklerinde verilmiştir. Tezin esas kısmını oluşturan “Bulgular ve Tartışma” bölümünde ise kitapçıkta yer alan konular günümüz Türkçesi ile açıklamalı olarak yer almaktadır. This MSC thesis will focus on a 12-page booklet called "Mekatib'i İbtidaiyede Hendesenin Usul'ü Tedrisî", which was published by the Ministry of Education of the Republic of Türkiye in Hijri 1339 (1920 Gregorian). How the geometry teaching method in primary schools should be given under the headings. Today, the expressions "primary school" instead of "Mekâtib’i İbtidaiye" and "geometry" instead of "hendese" are used. This booklet, which consists of two parts, focuses on the methods of teaching geometry in primary school. In the first part, "The relationship of geometry with education and training", in the second part, "The method of teaching geometry" is emphasized. It is thought-provoking that the geometry teaching methods mentioned in the booklet are still valid even today, after more than a century. The images of all pages of the original booklet, which was written in Ottoman letters, and the reading of the booklet, written in Latin letters that we use today, are given in the appendices of the thesis. In the fourth part, which constitutes the main part of the thesis, the topics in the booklet are explained in today's Turkish.

Bu tezde, Öklidyen olmayan düzlemlerden önemli biri olan, hiperbolik düzlem kavramına ait temel bilgiler, bazı hiperbolik düzlem modelleri hakkında literatürde yer alan bilgiler ile bunlardan esinlenilerek elde edilen Hiperbolik-Klingenberg düzlemleri ile ilgili yapılan bazı çalışmalar özet olarak sunulmuştur. Öklid düzleminden elde edilen hiperbolik düzlem modelleri olan Poincaré modelleri, Sandler’in hiperbolik düzlem modeli ve Sandler’in modelinin genişletilmişi olan model için bir bölüm ayrılmış ve bu modellerin kuruluşu detaylarıyla verilmiştir. Ayrıca, projektif altdüzlemler ve hiperbolik düzlemler üzerine yapılan bazı çalışmalar incelenmiş olup sonlu bir projektif düzlemden Baer alt düzlemi olmayan bir projektif alt düzlemin tüm doğrularının üzerindeki noktalarla birlikte atılmasıyla elde edilen yapı tanıtılmış ve bu yapının hangi şartlar altında bir hiperbolik düzlem belirteceği verilmiştir. Son olarak bir Projektif-Klingenberg düzlemden m adet özel doğru sınıfının üzerindeki noktalarla birlikte atılması sonucu elde edilen yapının Hiperbolik-Klingenberg düzlem belirtme şartlarının tespit edildiği ve bu yapının bazı sayısal özelliklerinin ortaya konulduğu bir çalışmada elde edilen sonuçlar tanıtılmıştır. In this thesis, basic information about hyperbolic planes which are one of the important non-Euclidean planes, some information about hyperbolic plane models and some studies about Hyperbolic-Klingenberg planes which are constructed as a generalization of hyperbolic planes are presented briefly. Poincaré models which are the hyperbolic plane models obtained from the Euclidean plane, hyperbolic plane models of Sandler, the extension of the Sandler's model and the constructions of these models are given in detail in one chapter. In addition, some studies on projective subplanes and hyperbolic planes have been examined and the structure obtained by deleting all lines together with their points of projective non- Baer subplane from a finite projective plane has been introduced and the conditions under which remaining structure will indicate a hyperbolic plane have been given. Finally, results of Hyperbolic-Klingenberg models constructed by deleting a certain number m of equivalence classes of lines with their points from a finite Projective-Klingenberg plane are given

Bu tezde, Öklidyen olmayan düzlemlerden önemli biri olan, hiperbolik düzlem kavramına ait temel bilgiler, bazı hiperbolik düzlem modelleri hakkında literatürde yer alan bilgiler ile bunlardan esinlenilerek elde edilen Hiperbolik-Klingenberg düzlemleri ile ilgili yapılan bazı çalışmalar özet olarak sunulmuştur.Öklid düzleminden elde edilen hiperbolik düzlem modelleri olan Poincaré modelleri, Sandler'in hiperbolik düzlem modeli ve Sandler'in modelinin genişletilmişi olan model için bir bölüm ayrılmış ve bu modellerin kuruluşu detaylarıyla verilmiştir. Ayrıca, projektif altdüzlemler ve hiperbolik düzlemler üzerine yapılan bazı çalışmalar incelenmiş olup sonlu bir projektif düzlemden Baer alt düzlemi olmayan bir projektif alt düzlemin tüm doğrularının üzerindeki noktalarla birlikte atılmasıyla elde edilen yapı tanıtılmış ve bu yapının hangi şartlar altında bir hiperbolik düzlem belirteceği verilmiştir. Son olarak bir Projektif-Klingenberg düzlemden m adet özel doğru sınıfının üzerindeki noktalarla birlikte atılması sonucu elde edilen yapının Hiperbolik-Klingenberg düzlem belirtme şartlarının tespit edildiği ve bu yapının bazı sayısal özelliklerinin ortaya konulduğu bir çalışmada elde edilen sonuçlar tanıtılmıştır. In this thesis, basic information about hyperbolic planes which are one of the important non-Euclidean planes, some information about hyperbolic plane models and some studies about Hyperbolic-Klingenberg planes which are constructed as a generalization of hyperbolic planes are presented briefly.Poincaré models which are the hyperbolic plane models obtained from the Euclidean plane, hyperbolic plane models of Sandler, the extension of the Sandler's model and the constructions of these models are given in detail in one chapter. In addition, some studies on projective subplanes and hyperbolic planes have been examined and the structure obtained by deleting all lines together with their points of projective non- Baer subplane from a finite projective plane has been introduced and the conditions under which remaining structure will indicate a hyperbolic plane have been given. Finally, results of Hyperbolic-Klingenberg models constructed by deleting a certain number m of equivalence classes of lines with their points from a finite Projective-Klingenberg plane are given. 65

Bu yüksek lisans tezinde projektif düzlemlerin bir genellemesi olan ProjektifKlingenberg düzlemleri tanıtılmış ve bu düzlemlerin cebirdeki karşılıkları olarak görülebilecek lokal halkalar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Özel olarak Z_4 halkası yardımıyla inşa edilen Z_4+Z_4 εdual lokal halkası ile koordinatlananProjektifKlingenberg düzleminin nokta ve doğruları üzerinde çalışılmıştır. Bu düzlemin aynı komşulukta olan ve olmayan doğrularının arakesit noktaları ayrı ayrı incelenmiştir. Bu inceleme sonucunda farklı tiplerden doğruların ve aynı tipten olup farklı komşulukta olan doğruların arakesit noktalarının bir tek noktadan oluşacağı cebirsel olarak gösterilmiştir. Aynı tipten ve aynı komşulukta olan doğruların arakesit noktaları ise çizelgeler yardımı ile belirlenmiştir. Böylece Z_4+Z_4 εdual lokal halkası yardımıyla koordinatlananProjektifKlingenberg düzleminin karakteristik özellikleri temel olarak elde edilmiştir. In this Master Thesis, Projective Klingenberg planes which are generalizations of the projective planes are introduced and also fundamental information about local rings which are regarded as the algebraic correspondencesof the Projective Klingenberg planes. In particular, points and lines of the Projective Klingenberg plane which has been coordinatized by the dual local ringZ_4+Z_4 ε. The intersection points of the lines which are or not in the same neighborhood are studied separately. As the result, the fact that the intersection of the lines of different types will be a unique point is obtained algebraically. The intersection points of the same type lines were investigated by constructing some tables. Hence the characteristic properties of the Projective Klingenberg plane coordinatized by the dual local ring Z_4+Z_4 ε are obtained. 115

Bu doktora tezinde, bir dual lokal halka sınıfı belirlenmiş ve bu sınıfa ait dual lokal halkalar yardımıyla inşa edilen projektif Klingenberg düzlemlerindeki bazı noktaların toplamı ve çarpımı hem geometrik hem cebirsel olarak verilen tanım, teorem ve sonuçlarla incelenmiştir. Ayrıca, toplama ve çarpma işlemleriyle özel olarak belirlenen kolinasyonlar arasındaki ilişkiler araştırılmıştır.Geometrik bir yapıya uygun olan cebirsel yapıyı bulmanın o geometrik konseptin `gerçek` doğasını açığa çıkarttığı söylenir. Bu tezde de genel manasıyla geometrik bir yapı ile bu yapının cebirsel temeli arasındaki karşılık gelmelerin anlamı ve güzelliği öne çıkartılmaktadır. In this doctoral dissertation, a dual local ring class has been identified, and the addition and the multiplication for some points of the projective Klingenberg planes that built by the dual local rings of that class are examined both geometrically and algebraically with given definitions, theorems and results. Also, the relation between the addition and multiplication operations and the specifically identified collineations are investigated. It has been said that finding the right algebraic structure reveals the `true` nature of a geometric concept. This thesis also put forward, in a general manner, the meaning and the beauty of the correspondences between the geometric structures and their algebraic foundations. 185

Bu çalışmanın amacı literatürde matematiksel dizaynlar hakkında var olan temel kavramları bir araya getirip, bazı örneklerle bunların kolay anlaşılır hâle gelmesini sağlamaktır.Tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm olan giriş bölümünde konunun rahat anlaşılmasını sağlamak için gerekli temel kavramlar ve bazı teoremler yer almaktadır. Üç alt başlık hâlinde düzenlenmiş olan ikinci bölümde ise matematiksel dizaynlar tanıtılıp sonlu ve sonsuz dizaynlar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Bu temel bilgiler verilen örneklerle desteklenmiştir. Son bölüm olan üçüncü bölümde parçalanabilir dizaynlar tanıtılmıştır. Bu bölüm üç alt başlık bulundurmaktadır. Önce parçalanabilir dizaynlarla ilgili genel kavramlar tanıtılmış ve daha sonra parçalanabilir dizaynların temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde son olarak parçalanabilir dizaynlar üzerinde grupların etkisi üzerinde durulmuştur. The aim of this work is to combine the fundamental notions about mathematical designs which exist in literature and to make them more understandable with the help of some examples.This thesis consists of three chapters. In the first chapter which is entitled as Introduction, the fundamental notions and some theorems are recalled to make the topic understandable.In the second chapter which has been organized under three subsection, mathematical designs are introduced and some information about finite and infinite designs are given. This notions are supported with given examples. In the third chapter which is the last chapter, divisible designs are introduced. This chapter has three subsections. First of all, the fundamental notions related to divisible designs are introduced and some basic properties of divisible designs are given. Also in this chapter, the group action on divisible designs is mentioned. 74

In this paper we study Moufang-Klingenberg planes M (A) defined over a local alternative ring A of dual numbers. We show that some collineations of M (A) preserve cross-ratio and thus establish a relation between harmonicity and harmonic position.

In this study we investigate the structures constructed by deleting a subplane from a projective Klingenberg plane. If the superplane and the subplane are infinite, then it can be easily seen that the remaining structure satisfies the conditions of a hyperbolic Klingenberg plane. In this study we show that the remaining structure is the hyperbolic Klingenberg plane if the inequality r ≥ m 2 + m +1+ √ m 2 + m +2h olds when the superplane and the subplane are fi nite andt, r and t, m are their parameters, respectively. MSC: 51D20; 05B25

Let PK2(Q(e)) be the projective Klingenberg plane coordinated by the dual quaternion ring Q(e )= Q + Qe = {x + ye | x, y ∈ Q} where Q is any quaternion ring. In this paper, we determine the addition and multiplication of the points on the line (0, 1, 0) ofPK2(Q(e)) as the image of some collineations of the plane PK2(Q(e)). To do this, we give the collineations Sa and La. Later we show that the addition and multiplication of the nonneighbor points on the line (0, 1, 0) can be obtained as the images under that Sa and La. MSC: 51C05; 51J10; 12E15

This paper deals with Moufang-Klingenberg planes M(A) defined over a local alternative ring A of dual numbers. The cross-ratio of concurrent lines is defined in a special case, and extended to the whole plane M(A). So, some results related to cross-ratios of points of M(A) are carried over to lines of M(A). Namely, we show that four pairwise non-neighbour lines passing through the point U are in harmonic position if and only if they are harmonic.

In this paper, we show that D + D(epsilon) is a local ring under usual operations where D is a division ring. Also we construct a projective Klingenberg plane over D + D(epsilon).

Bu çalışma, 19-25 Eylül 2011 tarihleri arasında Halkidiki[Yunanistan]’de düzenlenen International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics (ICNAAM)’da bildiri olarak sunulmuştur. In this paper, we investigate some combinatoric properties of the Projective Klingenberg planes coordinatized with a finite local ring R when the cardinality of set I of the non-unit elements of R is k. As a result we arrive at the result that the order of the projective plane underlying projective Klingenberg plane must be n k, which is the index of I in R when |R| = n. Although some of the results given here can be found in the literature [1], [3] and [4] we approach to them in a direct way and give alternative proofs. European Soc Computat Methods Sci & Engn (ESCMSE) R M Santilli Fdn ACC I S

Bu yüksek lisans tezinde projektif düzlemler ve projektif Klingenberg düzlemleri esas olmak üzere bazı geometrik yapıların koordinatlamaları ele alınmış ve bu düzlemlerin geometrik özellikleri ile koordinatlama halkalarının cebirsel özellikleri arasındaki bazı ilişkiler,literatür taraması şeklinde, incelenmiştir. In this study, we gather some information about the coordinatizations of some projective geometric structures, especially projective planes, Klingenberg planes and Moufang Klingenberg planes. And also we give some relations between the algebraic properties of coordinatization rings and geometric properties of these planes with searching the literature. 73

This paper deals with Moufang-Klingenberg planes $\boldsymbol{M}(\mathcal{A}) $ defined over a local\ alternative ring $\mathcal{A}$\ of dual numbers. The definition of cross-ratio is extended to $\boldsymbol{M}(\mathcal{A})$. Also, some properties of cross-ratios and 6-figures that arewell-known for Desarguesian planes are investigated in $\boldsymbol{M}(\mathcal{A})$; so we obtain relations between algebraic properties of $\mathcal{A}$ and geometric properties of $\boldsymbol{M}(\mathcal{A})$. In particular, we show that pairwise non-neighbour four points of the line $g$ are in harmonic position if and only if they are harmonic, and that $\mu $ is Menelaus or Ceva 6-figure if and only if $r\left( \mu \right) =-1$ or $r\left( \mu \right) =1, $ respectively.

In this paper, the Moufang-Klingenberg plane over a local alternative ring R of dual numbers is studied. It is shown that its collineation group is transitive on quadrangles. It is therefore shown that the coordinatization of these Moufang-Klingenberg planes is independent of the choice of the coordinatization quadrangle. Also, the concept of 6-figures is extended to these Moufang-Klingenberg planes and it is shown that any 6-figure corresponds to only one inversible m epsilon R.

Let ( O , E , U , V ) Open image in new window be the coordination quadruple of the projective Klingenberg plane (PK-plane) coordinated with dual quaternion ring Q ( e ) = Q + Q e = { x + y e ∣ x , y ∈ Q } Open image in new window, where Q is any quaternion ring over a field. In this paper, we define addition and multiplication of points on the line O U = [ 0 , 1 , 0 ] Open image in new window geometrically, also we give the algebraic correspondences of them. Finally, we carry over some well-known properties of ordinary addition and multiplication to our definition.