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Given a quadratic extension L/K of fields and a regular l-Hermitian space (V,h) of finite dimension over L, we study the orbits of the group of isometries of (V,h) in the set of hyperbolic K-substructures of V.

We give a short overview on the subject of canonical reduction of a pair of bilinear forms, each being symmetric or alternating, making use of the classification of pairs of linear mappings between vector spaces given by J. Dieudonné.

In recent years it has been possible to begin the study of the archive of Guido Castelnuovo, one of the most important mathematicians of the Italian school of algebraic geometry. The archive contains a large scientific correspondence, only partially examined, and all the notebooks of lectures given by Castelnuovo in the courses of the last two years of the Italian degree (Laurea) in mathematics. In this paper we discuss the notebooks of the lectures. The history of the Italian school of algebraic geometry is greatly illuminated by this recent discovery. Copyright 2001 Academic Press. Da alcuni anni e in corso lo studio dell'archivio di Guido Castelnuovo, uno degli esponenti piu importanti della scuola italiana di geometria algebrica. Oltre ad una ricca corrispondenza scientifica, solo in parte esaminata, sono stati ritrovati recentemente tutti i quaderni delle lezioni dei corsi che Castelnuovo tenne per il secondo biennio della Laurea in matematica. In questo articolo diamo una prima descrizione di questi quaderni. Importanti aspetti della storia della scuola italiana di geometria algebrica possono essere chiariti alla luce di questi nuovi documenti. Copyright 2001 Academic Press. MSC 1991 Subject Classifications: 01A55, 01A60, 01A72, 01A73.

Catene di costruzioni e teoremi sovente suscitano forte fascino nei matematici; una di queste è sicuramente quella ideata nel 1871 da Cliord: date quattro rette (che non formino un trapezoide), le circonferenze circoscritte ai quattro triangoli che si formano concorrono in un punto P4. Date cinque rette, si ottengono (omettendo a turno una delle rette) cinque punti P4 che giacciono su un'unica circonferenza C5. In generale, un numero pari di rette 2n individuano 2n circonferenze che si intersecano in un punto; mentre un numero dispari di rette, 2n + 1, generano 2n + 1 punti che giacciono sulla stessa circonferenza. Ancora, se da un punto P della circonferenza determinata da 2n + 1 rette si tracciano le perpendicolari ad esse, i piedi delle perpendicolari apparterranno ad una curva di ordine n avente P come punto (n - 1)-plo. In realtà P4 è passato alla storia come punto di Miquel, in onore di M. Auguste Miquel che nel 1838 dimostrò il primo di una serie di dieci teoremi proposti da Steiner nel 1828: il luogo dei fuochi di cinque parabole, ognuna delle quali è tangente a quattro rette (di cinque assegnate), è una circonferenza. Inquadrabili in un ambito più vasto di quello della geometria elementare, molti di questi teoremi hanno oggi ampie applicazioni nella ricerca matematica più recente: ad esempio, le congurazioni di Cliord di punti e cerchi hanno corrispondenza con i politopi di Coxeter. Per tale motivo, si vogliono indagare origini storiche e connessioni di queste ed analoghe costruzioni che, sempre più articolate, sono nate spesso dalla mente di grandi matematici, noti però principalmente per altri studi, come Steiner, Newton, Eulero,...

In October 1862 Beltrami was appointed, before graduating, as a professor at the University of Bologna, and here he met again his friend and colleague Cremona. The correspondence between the two mathematicians clearly shows not only the intimate friendship between them, but also Cremona’s role as Beltrami’s mentor in those years. The former is indeed generous with advice, encouragement and recommendations to his friend.

The Mathematical Circle of Palermo, founded in 1884 by 27 mathematicians all living in Palermo, became the publisher of the prestigious magazine "Rendiconti", which in thirty years became one of the leading international mathematical journals. In this talk, we will analyze the evolution of the components of the Societies and of Rendiconti towards internationalization from 1884 to 1914. Moreover, we will try to extract from the statistical data some considerations about the possible causes of the identified internationalization process

R. W. Hamilton, già nel 1850, aveva sviluppato un’estensione dei quaternioni, definendo l’algebra dei biquaternioni. In quell’anno, infatti, ne fece oggetto di una comunicazione al meeting della British Association for the Advancement of Science di Edinburgh, di cui resta soltanto il Report. Successivamente, nel 1853 in “Lectures on Quaternions” introdusse nuovamente i biquaternioni, come soluzioni immaginarie delle equazioni quadratiche a coefficienti nei quaternioni. Nel 1866, negli Elements of Quaternions, lavoro pubblicato postumo, Hamilton tornò sull’argomento e introdusse i “biquaternioni complanari”, come soluzioni di equazioni a coefficienti nei “quaternioni complanari” cioè sotto forma dell’algebra dei “bicomplessi”, come C. Segre definì nel 1891 nel contesto dello studio delle algebre e della geometria sui complessi: “L’introduzione dei punti imaginari in geometria corrisponde all’introduzione dei numeri imaginari (coordinate) in analisi. Prima di Segre, nel 1873 W. Clifford, introdusse altri due tipi di “biquaternioni”. e successivamente nel 1878 definirà quelle che conosciamo come “Algebre di Clifford”, che generalizzano i quaternioni e hanno applicazioni nell’ambito della fisica.

This paper focusing on the complex situation of the Italian multiculturalism and trying to reply to why Asian children mathematically outperform students from other countries, discusses from the epistemological point of view, Chinese children’s skills before to start their formal education in Italian educational school context. A review of the literature, comparing pre-schoolers competences of Asian and Western students, reveals two important influenced factors: linguistic and parental stimuli. In particular many researchers showed that the structure of the Chinese language provides in children a head start in basic math skills, for example to discover, since preschool activities, a pre-algebraic structures of writing. An example with numbers is shown in the paper. Other studies also show that Asian parents, compared to the Western cultures ones, tend to promote in a strong way the development of good basic mathematics skills and a stronger epistemological discipline foundation. A general framework on these two important aspects for the education context is presented with the aim to help teacher and researchers to better understand Chinese and Italian possible different cognitive styles in mathematics learning just from Preschool.

Dall’esame del carteggio si evince la presenza di alcuni temi sopra gli altri: la descrizione della carriera scientifica e dei collegamenti internazionali di Guccia con relazioni dettagliate sui viaggi all’estero; i riferimenti al Circolo Matematico di Palermo, sin dalla prima fase della sua costituzione, e le acute valutazioni dell’ambito matematico europeo compiute da Guccia per garantire lo sviluppo internazionale del Circolo e dei Rendiconti.

Da una decina di anni si discute sull’importanza di presentare, a fini didattici e anche per la formazione dei docenti, la geometria elementare mediante l’utilizzo di software di geometria dinamica. Ciò naturalmente si inserisce in una visione dell’insegnamento della geometria che valorizzi gli aspetti laboratoriali. Occorre comunque rilevare che il laboratorio non va visto, in questo contesto, come una serie di interventi episodici e slegati, ma come la sede naturale per affrontare aspetti che possano destare l’interesse, affiancando quelli curricolari anche attraverso percorsi storici che tocchino spunti di origini differenti, di tipo trasversale, mediante il quale gli argomenti del passato acquistano nuova vita. Tale tipo di discussione si inserisce nel problema del ruolo didattico, ma anche più generalmente culturale, della matematica (e per quello che riguarda questo intervento, in particolare la geometria) elementare. A questa discussione si affianca il dibattito concettuale, ma dai contorni di profonda natura epistemologica, sulla natura e sul ruolo della geometria elementare nella formazione dei docenti e nell’insegnamento superiore; problematica che negli ultimi trent’anni è stata ampiamente affrontata: tra coloro che maggiormente hanno approfondito la questione, si possono consultare (Yaglom 1981), (Scimemi 1995), (Scimemi 1997), (Betti 2007) che si sono soffermati soprattutto sulla geometria del triangolo e delle sue generalizzazioni. Tale dibattito può essere considerato come il prosieguo di quello riguardante il ruolo dell’insegnamento della geometria euclidea, ma anche va visto in stretto collegamento con l’esame degli interessi di molti tra i matematici che svolgevano un ruolo di punta nella ricerca nel campo appunto nella geometria elementare (si pensi a Steiner, Cremona, Beltrami, Clifford, ecc.). In questo quadro di riferimento può assumere un altro significato la rilettura di testi classici di grandi matematici, come Jacob Steiner, Luigi Cremona o William Kingdon Clifford, se costruzioni, teoremi e proprietà vengono riformulate mediante lo strumento del software dinamico. Nella prospettiva suddetta, ovvero ripercorrere una successione di costruzioni della geometria elementare, che siano legate tra loro da un filone storico, noi vogliamo proporre un percorso che tocchi da vicino problemi relativi alla retta di Simson-Wallace e ad alcuni punti notevoli, tra cui il “punto di Clifford”, in quanto argomenti la cui storia è ricca di spunti interessanti.

Fra le numerose tematiche legate alla cosiddetta “Geometria del triangolo”, di cui si occuparono nel corso dell’Ottocento eminenti matematici, sicuramente quella relativa alla conica dei nove punti è una delle più interessanti. Tale conica è la naturale generalizzazione del cerchio dei nove punti scoperto nel 1822 da Feuerbach. Nel 1844 Jacob Steiner in un articolo apparso in italiano in una piccola rivista romana, generalizza il cerchio di Feuerbach relativo ad un triangolo al concetto di conica dei nove punti, luogo dei centri del fascio di coniche per i tre vertici del triangolo e per un ulteriore punto interno o esterno al triangolo. Nel 1862 Eugenio Beltrami riguarda la conica dei nove punti come immagine di una retta mediante la trasformazione quadratica standard, detta T2. Si vuole puntualizzare che la presentazione all’Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna della nota di Beltrami precede di circa due mesi l’esposizione di quella più famosa di Luigi Cremona sulle trasformazioni birazionali piane. Successivamente nel 1884 Joseph Neuberg nella sua Mémoire sur le tétraèdre caratterizza la cubica (che prenderà il suo nome) passante per alcuni punti notevoli di un triangolo. Tale cubica legata alla Geometria del triangolo è stata studiata in modo sistematico a partire dal 1924 da Brown, Moore e Neelley (1925), fino alla caratterizzazione del tutto generale effettuata da Coxeter in tempi relativamente recenti (1993 e 1995). Nei lavori di Coxeter la conica per nove punti viene usata per definire una trasformazione che associa ad ogni fascio di rette una cubica, ottenendo la cubica di Neuberg come un caso particolare di tale trasformazione

The awareness of the importance to look, through a mathematical lens, to the children drawings, gestures and discourses, considering them as diagnostic tools for the mathematics competences, stays at the base of this contribution. It discusses a didactic experience conducted in a Kindergarten (students 5 or 6 years old) in which we asked children to represent and discus a Lego block with a drawing and speech, observed from different prospective. The discussed results seem to us interesting both for researchers in Mathematics Education and for Kindergarten teachers who want to deepen the role of drawing and gestures as an expressive and diagnostic forms to analyze students’ knowledge, abilities and mathematical skills.

Attraverso un viaggio storico di quasi due secoli, lo scritto vuole analizzare le situazioni in cui lo studio della geometria iperdimensionale ha avuto la sua genesi e la sua evoluzione. Colui il quale approfondisce in modo analitico la questione è Ludwig Schläfli che con il suo Theorie der vielfachen Kontinuität, a partire dallo studio di un integrale, analizza lo spazio pluridimensionale senza cercare una immagine nel mondo circostante di ciò che descrive in modo molto sistematico attraverso i coefficienti che prendono il suo nome. L’aspetto divulgativo della questione viene affrontata a partire dagli anni ’70 del XIX secolo da Beltrami, Casorati e Stringham, da un punto di vista meramente matematico, ma anche dall’astrofisico Zöllner, il quale nel 1878 pubblica “On space of four dimensions” che ha ispirato diversi autori successivi, probabilmente anche Edwin Abbott Abbott con il suo celeberrimo “Flatland”. Alla parte divulgativa è dedicata una particolare attenzione poiché costituisce la base di un possibile impegno didattico il cui progetto viene esposto nelle conclusioni.

The thesis addresses the topics of investigating teachers' declared choices of practices concerning real numbers and the continuum in the high school in Italy, evaluating their didactical suitability and the impact of a deep reflexion about some historical and didactical issues on the teachers' decision-making process. Our research hypothesis was that teachers' choices of teaching sequences concerning real numbers, with particular attention to the representations of real numbers, could be very relevant in order to interpret some of the well-known students' difficulties. After a pilot study in form of a teaching experiment and a literature review concerning students' and teachers' difficulties with real numbers and the continuum, we observed that some causes of potential difficulties could be situated indeed in the very beginning of the teaching-learning process, even before entering the classrooms: the phase in which a teacher choose the practices and objects by means of whom introducing and work with real numbers and the continuum. In particular the choice of the objects involved in the practice seemed to be relevant, since every object emerge from previous practices and its meaning is identified by the practices in which it emerged. Thus we got interested in investigating the personal factors that affect the process of selection of practices: personal meaning, goals and orientations, as it was stressed by Schoenfeold in his goal-oriented decision-making approach to the analysis of teachers choices. Furthermore we decided to explore the teachers' choices of sequences of practices and of representation of the mathematical objects and then to evaluate their suitability in relation to the literature review concerning students' difficulties with real numbers and to the complexity of the mathematical object as it emerge from an historical analysis. After having analysed the theoretical frameworks in mathematics education that could permit us to carry out our research, we decided to use the OSA, (onto-semiotioc approach) elaborated by Godino, Batanero & Font, described in their paper in 2007, and some evolutions like the CDM (conoscimiento didactico matematico) model proposed by Godino in 2009. We evaluated also other frameworks, in particular the ATD (Chevallard, 2014), but we found the OSA better for the analysis we would like to carry out. In particular the operationalization of the methodologies of analysis of the teachers' personal meaning of mathematical objects and the construct of didactical suitability were more effective for our porpouses. Our main results are the following: mny teachers' personal meanings of real numbers are far from the epistemic one; many of the teachers who studied real numbers at a formal level at school and at the University and perceived them as difficult and unuseful try to avoid to deepen the issues concerning real numbers with their stundent, thinking they would not understand; in general the experiences as students affect the teachers' choices; the teachers usually refer to real numbers also when the meaning is partial and doesn't coincide with one of the most general epistemic meanings of real numbers; very few teachers are aware of the complexity of the real numbers and are as aware of it to be able to control the relations between their many facets; also the teachers with a PhD in Mathematics operate choices that we can evaluate as unsuitable standing on the literature review and our framework; the teacher consider very hard to work with discrete and dense sets and prefer the intuitive approach to continuous sets rather then deepen the relation between dense and continuous sets, different degrees of infinity and so on; some teachers reasoning during the interviews changed their mind, getting aware of the complexity and admitting that simplifying too much can constitute a further cause of difficulty; the teachers refer to the students difficulties to justify their choice of simplifying, but when they face some crucial issues, often they admit to consider them unuseful or too difficult; nevertheless no teachers declare that would renounce to introduce the field of real numbers, at least intuitively; the most of the teachers declare that nothing more is introduced about real numbers in the last years and that the partial meanings introduced in the first years are used to face the Calculus problems (intuItive approach to the Calculus); all the teachers consider necessary to introduce R or adequate subsets of R as domains of the functions expressed analytically because of their continuous graphic. The thesis addresses the topics of investigating teachers' declared choices of practices concerning real numbers and the continuum in the high school in Italy, evaluating their didactical suitability and the impact of a deep reflexion about some historical and didactical issues on the teachers' decision-making process. Our research hypothesis was that teachers' choices of teaching sequences concerning real numbers, with particular attention to the representations of real numbers, could be very relevant in order to interpret some of the well-known students' difficulties. After a pilot study in form of a teaching experiment and a literature review concerning students' and teachers' difficulties with real numbers and the continuum, we observed that some causes of potential difficulties could be situated indeed in the very beginning of the teaching-learning process, even before entering the classrooms: the phase in which a teacher choose the practices and objects by means of whom introducing and work with real numbers and the continuum. In particular the choice of the objects involved in the practice seemed to be relevant, since every object emerge from previous practices and its meaning is identified by the practices in which it emerged. Thus we got interested in investigating the personal factors that affect the process of selection of practices: personal meaning, goals and orientations, as it was stressed by Schoenfeold in his goal-oriented decision-making approach to the analysis of teachers choices. Furthermore we decided to explore the teachers' choices of sequences of practices and of representation of the mathematical objects and then to evaluate their suitability in relation to the literature review concerning students' difficulties with real numbers and to the complexity of the mathematical object as it emerge from an historical analysis. After having analysed the theoretical frameworks in mathematics education that could permit us to carry out our research, we decided to use the OSA, (onto-semiotioc approach) elaborated by Godino, Batanero & Font, described in their paper in 2007, and some evolutions like the CDM (conoscimiento didactico matematico) model proposed by Godino in 2009. We evaluated also other frameworks, in particular the ATD (Chevallard, 2014), but we found the OSA better for the analysis we would like to carry out. In particular the operationalization of the methodologies of analysis of the teachers' personal meaning of mathematical objects and the construct of didactical suitability were more effective for our porpouses. Our main results are the following: mny teachers' personal meanings of real numbers are far from the epistemic one; many of the teachers who studied real numbers at a formal level at school and at the University and perceived them as difficult and unuseful try to avoid to deepen the issues concerning real numbers with their stundent, thinking they would not understand; in general the experiences as students affect the teachers' choices; the teachers usually refer to real numbers also when the meaning is partial and doesn't coincide with one of the most general epistemic meanings of real numbers; very few teachers are aware of the complexity of the real numbers and are as aware of it to be able to control the relations between their many facets; also the teachers with a PhD in Mathematics operate choices that we can evaluate as unsuitable standing on the literature review and our framework; the teacher consider very hard to work with discrete and dense sets and prefer the intuitive approach to continuous sets rather then deepen the relation between dense and continuous sets, different degrees of infinity and so on; some teachers reasoning during the interviews changed their mind, getting aware of the complexity and admitting that simplifying too much can constitute a further cause of difficulty; the teachers refer to the students difficulties to justify their choice of simplifying, but when they face some crucial issues, often they admit to consider them unuseful or too difficult; nevertheless no teachers declare that would renounce to introduce the field of real numbers, at least intuitively; the most of the teachers declare that nothing more is introduced about real numbers in the last years and that the partial meanings introduced in the first years are used to face the Calculus problems (intutive approach to the Calculus); all the teachers consider necessary to introduce R or adequate subsets of R as domains of the functions expressed analytically because of their continuous graphic.

L’ipocicloide tricuspide è uno dei tanti esempi di problemi elementari che hanno attirato grandi matematici, sia che essi abbiano voluto esaminarli approfonditamente, o studiarli soltanto come “amatori”. Tale attrattiva è principalmente motivata da ragioni estetiche, interpretando tale termine da un punto di vista matematico, ovvero la straordinaria capacità di “vedere” con gli occhi della mente le numerose correlazioni, tutt’altro che intuitive, tra fatti, teorie e metodi che suscitano un senso di armonia in chi è in grado di comprenderli, le suggestive “riposte armonie” di Enriques. In questo intervento metteremo in luce, attraverso l’esame dettagliato di un lavoro di Luigi Cremona del 1864 e di due articoli di Eugenio Beltrami, pubblicati nel 1862 e nel 1874, come il senso dell’estetica matematica sia decisamente presente in matematici di tale calibro. Sia Cremona che Beltrami, pur nella diversità di metodo, hanno una visione comune sul far discendere lo studio di un particolare problema elementare (in questo caso l’ipocicloide tricuspide) da principi generali della matematica più avanzata: la teoria delle cubiche, nel caso di Cremona, le trasformazioni quadratiche per quanto riguarda Beltrami. I risultati non differiscono se non per la generalità: Beltrami infatti procede dallo studio generale delle quartiche di terza classe allo specifico dell’ipocicloide, invece Cremona studia direttamente il caso particolare per sottolineare come sia possibile passare a quello generale mediante un’omografia. Tale distinzione di impostazione è strettamente legata alla differenza tra i metodi, sintetico ed analitico, usati dai due, diversità che si evidenzia in modo efficace attraverso la corrispondenza CremonaBeltrami dell’archivio dell’Istituto Mazziniano di Genova. L’analisi dell’ipocicloide tricuspide si situa inoltre come momento di riflessione di Cremona sulla tematica trattata nelle sue opere maggiori del periodo bolognese: lo studio generale delle curve algebriche e quello delle trasformazioni birazionali. Dunque crediamo che, lungi dall’essere limitato ad un problema elementare, lo studio sull’ipocicloide fa da banco di prova per la potenza dei nuovi metodi. Inedito, ma significativo, appare il ruolo giocato da Beltrami in queste riflessioni di Cremona, ruolo che la succitata corrispondenza prova ampiamente. Un’altra caratteristica che risulta evidente dal taglio dato a questi lavori è l’intima compenetrazione che entrambi ritengono debba esserci tra la matematica superiore e la cosiddetta matematica elementare, cosa che si ripeterà più volte nella loro carriera. Ci sembra che valga la pena sottolineare l’interesse dei due autori, nel pieno della loro maturità scientifica, per una tale problematica apparentemente elementare, ma suggestiva per i molteplici e inaspettati contatti con questioni assai diverse, cosa questa che rappresenta il segno distintivo della “bellezza Matematica”

E' descritto il rapporto tra G. B. Guccia, fondatore del Circolo Matematico di Palermo e G. Mittag Leffler fondatore degli Acta Mathematica. La descrizione è fatta anche attraverso le lettere che i due si scambiarono.

The paper presents some theoretical reflections and some methodological notes about a Professional Development (PD) path worked out during the last two years by Italian researchers for prospective Primary teachers. The theoretical construct of Cultural Transposition defines the framework of the PD path's activities and the related research. It was used to define an interesting cultural lent to delineate possible new approaches for effective pre-service teacher education programs, in particular for the Primary level. The defined methodology was based on the possibility to reflect about the decentralization of didactic practices based on a specific cultural context through one or more contacts with other "realities" coming out from different selected cultural contexts. In the last section of the paper we argue that the contact with a different didactic perspective coming from the Chinese "problems with variation" (one of the stimuli proposed in the PD' path), encouraged some reflections by the Italian pre-service teachers on the use of "variation" in Math word-problems for an early approach to Algebra in Primary level.

L’avvento dei software di Geometria dinamica ha ridato attualità al valore didattico, ma più in generale formativo, di molti aspetti della Geometria elementare, in voga soprattutto fino ai primi anni dello scorso secolo. Tra i numerosi ed interessanti argomenti di Geometria elementare, intendiamo qui approfondire quello legato alla “conica per nove punti”, soggetto spesso “riscoperto” nel corso del tempo. Lo scopo di questo intervento è duplice: innanzitutto abbiamo provato a ricostruire il reale sviluppo storico dello studio della conica per nove punti, per la sua rilevanza sia sul piano storiografico, sia su quello didattico e divulgativo. In secondo luogo, presentiamo alcune importanti ricerche, oggi quasi del tutto dimenticate, di Eugenio Beltrami, a nostro avviso ricche di risultati assai più profondi rispetto alla maggior parte delle successive “riscoperte” della conica in oggetto. Tali risultati sembrano adatti a una trattazione dell’argomento mediante la Geometria dinamica e quindi a molti aspetti didattici, soprattutto nella formazione dei docenti. Abbiamo quindi scelto di esporre le ricerche di Beltrami cercando di metterne in rilievo gli aspetti connessi con una visione didattica dell’argomento, ampiamente basata sulla disponibilità di software di Geometria dinamica e seguendo, in questo, alcune interessanti suggestioni recenti. La conica per nove punti fu introdotta nel 1844 da Jacob Steiner in un articolo apparso, in italiano, in una rivista romana; fu Nicola Trudi per primo, nel 1856 e poi nel 1863, a fornire le dimostrazioni di alcuni dei teoremi presentati da Steiner, seguito poi da Giuseppe Battaglini, da Pietro Cassani, ma soprattutto da Beltrami. Quest’ultimo, tra il 1862 e il 1874, non solo dimostrò in modo compiuto i risultati di Steiner, ma li generalizzò ed ottenne nuovi risultati completi e molto più profondi di quelli attualmente noti. In particolare ci sembra di grande interesse la sua trattazione della conica attraverso le trasformazioni quadratiche e birazionali, nonché i legami che ne scaturiscono con l’ipocicloide tricuspide.

Starting from the concept that knowledge comes as element of mediation between the convergent thinking, founded on experience, and the divergent thinking, placed in the perceptive, intuitive, creative dimension, in this paper we want to present an idea for developing an educational path combining the concept of “beauty” and some historical notes. It is possible to use this dissertation as a starting point to conceive a geometric laboratory that drawing inspiration from artistic works, get to create geometric shapes provided with fascinating symmetries

I numeri duali furono introdotti per la prima volta da William Kingdon Clifford (1845-1879) nel 1873, come estensione dei quaternioni (biquaternioni), nell’ambito dello studio dei numeri ipercomplessi. In seguito, furono chiamati così da Eduard Study (1862-1930) [Study 1902], il quale ne fece poi oggetto di studio [Study 1903]. Già nel 1885 Arthur Buchheim (1859-1888) [Buchheim 1885], aveva rintracciato l’origine dei duali in Clifford e si era soffermato sulla (sostanziale) differenza tra l’introduzione dei biquaternioni in Hamilton e in Clifford. Nel 1906, in perfetto accordo alle teorie esposte da Study nel 1903, Joseph Grünwald (1876-1911), introdusse i numeri duali come u+vε, dove u e v sono numeri complessi e ε2= 0 e vi costruì una geometria proiettiva. Nel 1911 Corrado Segre (1863-1924) pubblicava un articolo che prendeva le mosse dall’idea di estendere ciò che aveva fatto Pilo Predella (1863-1939) in un suo articolo [Predella 1911] pubblicato appena prima e che consisteva nel porre le basi per lo sviluppo di una geometria i cui elementi (o punti in un nuovo senso) sono le omografie paraboliche (trasformazioni con punti uniti coincidenti) di rette punteggiate; lo scopo di tale articolo era quello di sviluppare in modo nuovo le geometrie non archimedee di Veronese. Era ovviamente noto a Segre che la geometria delle dinami (quella di Study del 1903) faceva uso dei numeri duali, e che essi erano stati oggetto di alcuni lavori di Grünwald. Egli però, nel confrontare l’idea di Predella con quella che era stata circa 60 anni prima di Staudt, cioè di introdurre gli elementi immaginari come involuzioni ellittiche di punti sopra forme di prima specie, si chiese se esistessero altre e diverse proiettività che portino alla costruzione di nuove geometrie e a sistemi più generali di numeri complessi. L’articolo che Segre scrisse nel 1911 è diviso in due note; la prima introduce la teoria dei numeri duali generalizzati che viene estesa ai punti duali, ai piani duali e alle rette duali; nella seconda viene sviluppata la teoria delle rappresentazioni geometriche dei punti del campo binario duale (la retta duale) sui punti di una quadrica, quindi sono definiti i protofili, i legami lineari fra punti duali, le proiettività e le antiproiettività nel campo duale. In questa comunicazione analizzeremo e confronteremo le varie geometrie sui duali e illustreremo la prosecuzione di questi studi nel primo dopoguerra della prima guerra mondiale.

L’ipocicloide tricuspide è una ben nota curva del quarto ordine e di terza classe che nel corso di un paio di secoli ha incuriosito numerosi matematici del calibro di Steiner, Cremona, Beltrami, Cesàro, Fréchet, Schröter, Clebsch, Battaglini, Laguerre, Cayley, volendo citare solo i più famosi. Tale interesse si connette con vari aspetti della Matematica: a. la sua generazione come inviluppo della retta di Simson-Wallace, la cui storia è di per sé intrigante; b. il suo legame con il cerchio di Feuerbach, che, a sua volta, ha una storia interessante; c. il fatto che essa si può ottenere come inversione quadrica di un cerchio e quindi la stretta connessione con le origini delle trasformazioni birazionali. Non c’è quindi da stupirsi che l’ipocicloide a tre cuspidi abbia ottenuto una grande popolarità tra i matematici nella seconda metà dell’Ottocento.