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This study begins with an overview of numbers, covering from the classification of rational and irrational, to more special categories such as algebraic and transcendent numbers (only conceptual). Our study is aimed at obtaining – in a practical, comprehensive and efficient way – mechanisms that save us time when it is necessary to classify a certain number in the set of reals. It is in this context that we focus our study, associating a given real number to the root of a polynomial – from which we have the idea of ​​irreducibility linked to the irrationality of a number – and then we can decompose it as a product of polynomials. Thus, we present the methods – Rational Roots Theorem, Eisenstein Criterion and Dumas Criterion – commonly used to assess whether a given polynomial has rational roots or not. Este estudo se inicia com a visão geral de números, abordando desde a classificação de racionais e irracionais, a categorias mais especiais como os números algébricos e os transcendentes (apenas conceitual). Temos como direcionamento de nosso estudo a obtenção – de modo prático, abrangente e eficiente – de mecanismos que nos poupem tempo quando for necessário classificarmos certo número no conjunto dos reais. É nesse âmbito que focamos nosso estudo, associando determinado número real à raiz de um polinômio – de onde temos a ideia de irredutibilidade vinculada a irracionalidade de um número – e daí podemos decompô-lo como produto de polinômios. Assim, apresentamos os métodos – Teorema das Raízes Racionais, Critério de Eisenstein e Critério de Dumas – comumente utilizados para a avaliação se dado polinômio possui ou não raízes racionais.

The present work addresses a problem proposed in 1854 by the Russian mathematician Pafnuty Chebyshev, regarding the Minor Variation of a Polynomial.This work aims to solve, by geometric means, the problem proposed by Chebyshev. To make this possible, we divided it into 3 chapters: We will present in the 1st chapter some important definitions and theorems in mathematics, which will facilitate the understanding of the resolution, as well as provide us with an appropriate theoretical basis for this purpose. In the 2nd chapter we will start by conceptualizing the Variation of a Polynomial and a specific notation for it, aiming at an easy understanding of what will be exposed. Soon after, the solution of the problem of Chebyshev itself, aided by graphical representations of the polynomials involved and more other theorems. Chapter 3 aims to define trigonometrically the Chebyshev polynomials of types Tn and Un, to present the calculation of the first polynomials and their respective graphical representations, their recurrence relations. O presente trabalho aborda um problema proposto em 1854 pelo Matemático russo Pafnuty Chebyshev russo, a respeito da Menor Variação de Um Polinômio. Este trabalho objetiva resolver, por meios geométricos, o problema proposto por Chebyshev. Para que isso seja possível, dividimo-lo em 3 capítulos: Apresentaremos no 1° capítulo algumas definições e Teoremas importantes na Matemática, que facilitarão a compreensão da resolução, bem como nos fornecerão um embasamento teórico apropriado para esse objetivo. No 2° capítulo iniciaremos conceituando a Variação de um Polinômio e uma notação específica para a mesma, objetivando uma fácil compreensão do que será exposto. Logo em seguida, a solução do problema de Chebyshev propriamente dita, auxiliado por representações gráficas dos polinômios envolvidos e mais outros Teoremas. O capítulo 3 tem como objetivo definir trigonometricamente os polinômios de Chebyshev dos tipos Tn e Un, apresentar o cálculo dos primeiros polinômios e suas respectivas representações gráficas, as suas relações de recorrência.

The objective of this work is to present the Frobenius Change problem and the methods used to solve it, illustrating the discussion with problems encountered in everyday life. The problem with Frobênius Change is to find a minimum quota for a sequence of numbers that can be formed through the entire combination of an initial sequence of integers. This problem is equivalent to finding the solution of a Diophantine equation, for which we can apply the whole elimination method, which is a procedure similar to Gaussian elimination, but applied to linear systems in em. The concepts and techniques related to these problems can be formalized through algebraic structures, especially semigroups. The semigroup theory, when connected with the Frobenius Change problem, provides for it both formal and intuitive tools to seek solutions to it. O objetivo deste trabalho é apresentar o problema do Troco de Frobenius e os métodos utilizados para solucioná-lo, ilustrando a discussão com problemas encontrados no cotidiano. O problema do Troco de Frobênius consiste em encontrar uma cota mínima para uma sequência de números que podem ser formados através da combinação inteira de uma sequência inicial de números inteiros. Este problema é equivalente à encontrar a solução de uma equação diofantina, para o qual podemos aplicar o método da eliminação inteira, que é um procedimento similar à eliminação de Gauss, mas aplicado à sistemas lineares em ℤ. Os conceitos e técnicas relacionados a esses problemas podem ser formalizados através de estruturas algébricas, em especial os semigrupos. A teoria dos semigrupos, quando conectada com o problema do Troco de Frobenius, fornece para este ferramentas simultaneamente formais e intuitivas para buscar soluções do mesmo.

The present paper consists of presenting results regarding the following questions: given three positive numbers arbitrary , , , is there a triangle with internal bisectors of length , , ? Is it possible to construct such a triangle with ruler and compass? This dissertation is the result of a bibliographical research where we raise the history of the problems in focus, and present the necessary theory for the demonstrations. In the first chapter we introduce the problems, commenting a little on their history. We continue in the second chapter, presenting the necessary preliminaries for the development of the demonstrations of the problems. In the sequence we present the intended demonstrations, and finally we conclude the text with our considerations, where we highlight the recognize the importance of the existing interrelations between elements of different areas of Mathematics. O presente trabalho consiste em apresentar resultados relativos às seguintes questões: dados três números positivos arbitrários , , , existe um triângulo com bissetrizes internas de comprimento , , ? É possível construir um tal triângulo com régua e compasso? Esta dissertação é resultado de uma pesquisa bibliográfica onde levantamos a história dos problemas em foco, e apresentamos a teoria necessária para as demonstrações. No primeiro capítulo introduzimos os problemas, comentando um pouco da história dos mesmos. Seguimos no segundo capítulo, apresentando as preliminares necessárias para o desenvolvimento das demonstrações dos problemas. Na sequência apresentamos as demonstrações pretendidas, e por fim concluímos o texto com nossas considerações, onde destacamos o reconhecimento da importância das inter-relações existentes entre elementos de diferentes áreas da Matemática.

The work presents the p-adic bodies as completions for the body of rational numbers. It also presents a demonstration for the Ostrowski theorem that characterizes absolute values ​​over rational ones. O trabalho apresenta os corpos p-ádicos como completamentos para o corpo dos números racionais. Apresenta ainda, uma demonstração para o teorema Ostrowski que caracteriza os valores absolutos sobre os racionais.

The objective of this work is to characterize the polynomials in Q [x] that have roots in the unitary circle. From this characterization we will estimate how many are these roots. To this end, we will establish a correspondence between the family of palindromic polynomials P (x) of degree 2m and their respective Chebyshev transforms. This will allow us to relate the number of roots of P (x) in the unit circle to the actual roots of the Chebyshev transform of P (x) in the range [-2,2]. Finally, with the aid of the Descartes Signal Rule, we will estimate the amount of roots of the Chebyshev transform in that interval. This work was guided by the title article: "Roots in unity circle" by author KEITH CONRAD. O objetivo deste trabalho é caracterizar os polinômios em Q[x] que possuem raízes no círculo unitário. A partir dessa caracterização vamos estimar quantas são essas raízes. Para tanto, vamos estabelecer uma correspondência entre a família de polinômios palindrômicos P(x) de grau 2m e suas respectivas transformadas de Chebyshev. Isso permitirá relacionar a quantidade de raízes de P(x) no círculo unitário com a quantidade de raízes reais da transformada de Chebyshev de P(x) no intervalo [-2,2]. Por fim, com o auxílio da Regra dos Sinais de Descartes, estimaremos a quantidade de raízes da transformada de Chebyshev no referido intervalo. Este trabalho foi norteado pelo artigo de título: "Roots in unity circle" do autor KEITH CONRAD.

This work aims to help students and high school teachers to improve their math skills in complex numbers, polynomials and polynomial equations. Initially it analysed the historical context of complex numbers then were seen some important concepts such as the body of complex numbers, imaginary unit and complex plane. In addition, the properties and basic operations of the polynomials were presented, the Briot-Ruffini device, through which we can get the quotient and remainder of the division of a polynomial p(x) by a linear polynomial. Significant part of this work was devoted to the study of algebraic equations. In this perspective, were discussed some theorems and methods of resolution of equations such as the method of Gustavo, who helps us in the resolution of equations of the third and fourth degrees, the theorem of rational roots, among others. For both, it was essential to prove the Fundamental Theorem of Algebra, which says that all polynomial not constant with complex coeficients has at least one complex root. Furthermore, we show how we can analyze the number of real roots of a polynomial equation with real coeficients. In this sense, we will prove the Theorem of Descartes, which says that the number of positive roots of an equation does not exceed the number of signal changes following its non-zero coeficients. We prove the theorem of Bolzano, which investigates the number of real roots of an equation in a real interval and finally the theorem of Lagrange the establishes an upper limit on roots of an equation. Este trabalho visa contribuir para que alunos e professores do ensino médio possam aprimorar seus conhecimentos matemáticos em números complexos, polinômios e equações polinomiais. Inicialmente foi analisado o contexto histórico dos números complexos, em seguida foram vistos alguns conceitos importantes como o de corpo dos números complexos, unidade imaginária e plano complexo. Além disso, foram apresentadas as propriedades e operações básicas dos polinômios, o dispositivo de Briot-Ruffini, através do qual podemos obter o quociente e o resto da divisão de um polinômio p(x) por um polinômio linear. Parte significativa deste trabalho foi dedicado ao estudo de equações algébricas. Nessa perspectiva, foram discutidos alguns teoremas e métodos resolutivos de equações como o método de Gustavo, que nos auxilia na resolução de equações do terceiro e do quarto graus, o teorema das raízes racionais, entre outros. Para tanto, foi essencial provar o Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que todo polinômio não constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Ademais, mostramos como podemos analisar o número de raízes reais de uma equação polinomial com coeficientes reais. Nesse sentido, provamos o Teorema de Descartes, que diz que o número de raízes positivas de uma equação não supera o número de mudanças de sinal na sequência dos seus coeficientes não nulos. Provamos também o Teorema de Bolzano, que investiga o número de raízes reais de uma equação num intervalo real e, finalmente, o Teorema de Lagrange que estabelece um limite superior das raízes reais de uma equação.

In this work, I present the Gromov-Witten theory, quantum cohomology and stable maps and use these tools to obtain some enumerative results. In particular, I proof the Kontsevich formula to projective rational plane curves of degree d. I do an introductory study of Mumford-Knudsen spaces and construct the Kontsevich spaces in order to define gromov-witten invariants. These are used to define the quantum cohomology ring. Next, I apply the general theory to the case of the projective plane and, using the the associativity of the quantum product, I obtain the Kontsevich formula. I also study the boundary of the modulli space of stable maps and describe its Picard group. Following the ideas of Pandharipand, especially the algorithm he developed, I calculate some characteristic numbers of curves in the projective space. Neste trabalho apresento a teoria de Gromov-Witten, cohomologia quântica e mapas estáveis e uso estas ferramentas para obter alguns resultados enumerativos. Em particular, provo a fórmula de Kontsevich para curvas racionais projetivas planas de grau d. Faço um estudo introdutório dos espaços de Mumford-Knudsen e construo os espaços de Kontsevich a fim de definir os invariantes de Gromov-Witten. Estes são usados para definir o anel de cohomologia quântica. Em seguida, aplico a teoria geral para o caso do plano projetivo e, usando a associatividade do produto quântico, obtenho a fórmula de Kontsevich. Também estudo a fronteira do espaço modulli de mapas estáveis e descrevo o grupo de Picard destes. Com isso, seguindo as ideias de Pandharipand, especialmente o algoritmo por este desenvolvido, calculo alguns números característicos de curvas no espaço projetivo.

Our challenge as a teacher is to enable the improvement of education quality in mathematics looking for ways to ensure the formation of citizens able to recognize their role in society and find illuminating paths to the performance of a promising career. In this sense, we seek to focus our research on pedagogical actions which enable the development of the students cognitive potential. For this, we propose the use of GeoGebra software as a teaching tool for Plane Geometry classes, because we believe that this resource provides a favorable environment for the development of learning to the student and places the teacher as a mediator in the process of conceptual systematization of the necessary mathematical ideas to the development of the students cognitive structures. The aim of our study is to support the students of degree in Mathematics from the Federal Institute of Education, Science and Technology in order to use GeoGebra software as a teaching tool to help solving plane geometry problems involving cases of congruence triangles. For analysis and data collection, it was carried out the study of the pedagogical project of the course and the completion of a short course for the use of GeoGebra software designed for 21 students enrolled in plane geometry discipline.We used as research tools two diagnostic questionnaires, observation and photographic record. Analysis of the results showed that students in the degree course were receptive to the use of GeoGebra software in the classroom, and the short course and teaching activities applied had a great level of acceptance by the future teachers of mathematics.The conclusions point out that the use of GeoGebra software should be understood as an alternative teaching tool for teaching Geometry in order to provide the student a dynamic, interactive and fun method for learning mathematics. O nosso desafio como professor é possibilitar a melhoria da qualidade do ensino em Matemática buscando meios de garantir a formação de cidadãos capazes de reconhecer o seu papel perante a sociedade e descobrir caminhos elucidativos para o desempenho de uma carreira profissional promissora. Nesse sentido buscamos focar a nossa pesquisa em ações pedagógicas que possibilitem o desenvolvimento das potencialidades cognitivas dos alunos no estudo de congruência. Para isso, propomos o uso do software GeoGebra como ferramenta didática para as aulas de Geometria Plana, por entendermos que esse recurso favorece ao aluno um ambiente favorável ao desenvolvimento da aprendizagem e coloca o professor com mediador no processo de sistematização conceitual das ideias matemáticas necessárias para o desenvolvimento das estruturas cognitivas dos alunos. O objetivo do nosso estudo consiste em subsidiar os alunos do curso de licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, no sentido de utilizar o software GeoGebra como ferramenta didática auxiliar para a resolução de problemas de Geometria Plana, que envolvem casos de congruência de triângulos. Para a análise e coleta de dados foi realizado o estudo do projeto pedagógico do curso e a realização de 01 minicurso para utilização do software GeoGebra destinado a 21 alunos regularmente matriculados na disciplina de Geometria Plana. Utilizamos como instrumentos de pesquisa: 02 questionários diagnósticos, observação e o registro fotográfico. As análises dos resultados evidenciaram que os alunos se mostraram interessados ao uso do software GeoGebra em sala de aula. O minicurso e as atividades didáticas aplicadas tiveram um bom nível de aceitação por parte dos futuros professores de Matemática. As conclusões ressaltam que o uso do software GeoGebra deve ser entendido como ferramenta didática alternativa para o ensino de Geometria, no sentido de proporcionar ao aluno, uma metodologia dinâmica, interativa e lúdica para se aprender Matemática.

O objetivo deste trabalho é mostrar que se uma curva é não-trigonal, podemos obter através do teorema de Petri um conjunto mínimo de geradores para o seu ideal canônico e também conseguir um critério de não-trigonalidade. Para demonstrar esses fatos, o trabalho possui dois momentos. Primeiro desenvolve alguns resultados de semigrupos numéricos e a sua relação com a teoria clássica de curvas algébricas, para em seguida obter uma base monomial para o espaço de diferenciais regulares de ordem arbitrária. O trabalho será norteado pelo artigo de título: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" do autor Gilvan Oliveira. Le but de ce travaill est de montrer que si une courbe est non trigonale, nous pouvouns obtenir a travers du th eor eme de Petri un ensemble minimal de g en erateurs pour son id eal canonique et aussi obtenir un crit ere de non trigonalit e. Pour d emontrer ces faits, le travail contient deux parties. Premi erement, il d eveloppe certains r esultats de semigroupes num eriques et leur relation avec la th eorie classique des courbes alg ebriques. Ensuite il obtient une base monomial pour l'espace des di erentielles r eguliers de ordre arbitraire. Le travail sera guid e par l'article: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" de l'auteur Gilvan Oliveira.

The present study aims to show possibilities concerning to spatial geometry through the creation and viewing of spatial figures and their elements in the softwares like construfig3D, poly, geogebra e sketchp. After a brief presentation of the use of softwares in spatial geometry classes, I introduce the tools used in the softwares e their possibilities. Both are able to look at the figures in three dimensions. In the end, I present several situations involving the use of the softwares and the following concepts: polyhedra, Euller´s method, height of pyramids, parallelepiped´s diagonal, flat sections of a cube, cylinders, cones, balls, circumscription and inscription of spatial figures, unfoldments and solving problems. Nesta dissertação apresento possibilidades de estudo da geometria espacial através da criação e visualização de figuras espaciais e seus elementos nos softwares construfig3D, poly, geogebra e sketchup. Após uma breve apresentação do uso de softwares em aulas de matemática, inicio apresentando as ferramentas utilizadas nos softwares e suas possibilidades. Ambos possibilitam visualizar as figuras em três dimensões. Para finalizar apresento diversas situações envolvendo o uso dos softwares nas aulas de geometria espacial e os seguintes conceitos: Poliedros, Relação de Euller, altura de pirâmides, Diagonal do paralelepípedo, secções planas de um cubo, cilindros, cones, esferas, circunscrição e inscrição de figuras espaciais, planificações e resolução de problemas.

The objetive of this work is study the behavior of the Castelnuovo-Mumford regularity in arrangements of linear subspaces in projetive spaces, for this, we use Jessica Sidman and Harm Derksen article of title "A sharp bound for the Castelnuovo-Mumford regularity of subspace arrengements". At first, we give some preliminary notions and present auxiliary results. In a second moment, we define the main objects of this work proof the main results and give a example which show that the bound is sharp. O objetivo deste trabalho é estudar o comportamento da regularidade de Castelnuovo- Mumford em arranjos de subespaços lineares no espaço projetivo, para isto, nos norteamos pelo artigo de título "Uma limitação sharp para a regularidade de Castelnuovo-Mumford de arranjos de subespaços" dos autores Harm Derksen e Jessica Sidman. Em um primeiro momento, daremos algumas noções preliminares e apresentaremos resultados auxiliares. Num segundo momento, definiremos os principais objetos deste trabalho, demonstraremos os resultados principais e daremos um exemplo que mostra que a limitação encontrada é a melhor possível.

The main purpose of the work is to do a brief introduction to the Intersection Theory in Algebraic Geometry. In this work, we develop the preliminary concepts and solve some enumerative problems: we calculate the dimension and degree of the parameter spaces of the conic and cubic reducible families in P2, as well as some subvarieties (degenerations) of these parameters spaces. O principal objetivo deste trabalho é fazer uma breve introdução à Teoria de Intersecção em Geometria Algébrica. Neste trabalho, desenvolvemos os conceitos preliminares e resolvemos alguns problemas enumerativos: calculamos a dimensão e o grau dos espaços de parâmetro das famílias das cônicas e das cúbicas redutíveis em P2, bem como de algumas subvariedades (degenerações) destes espaços de parâmetros.

This work’s main objective is to prove a theorem by Grothendieck which characterizes vector bundles over P1. The theorem states that if E is a vector bundle over P1, than the associated sheaf E is of type O(a1)⊕O(a2)...⊕O(ar), with a i ∈ Z and this decomposition is unique.We will follow the road used by TEIXIDOR (Massachusetts 2002). In order to be able to do that, we’ll visit some results on coherent sheaves and cohomology of the projective space. On the first chapter, some commutative algebra results are introduced and used as we move foward to prove a lemma by Grothendieck which heps us to prove a theorem about finiteness of coherent sheaves. On the second, we develop the initial part of coherent sheaves theory and show that on a complete variaty over a field k, the space of global sections of a coherent sheaf has finite dimension. On the third part we talk about sheaf cohomology aiming to study the cohomology of the projective space via ˇCech cohomology. In particular, for sheaves of type O(n), n ∈ Z and coherent sheaves when O X (1) is a very ample sheaf. In the last chapter we show that every vector bundle corresponds to a locally free sheaf, we introduce the functor e and Ext and prove the main theorem. O principal objetivo deste trabalho é provar o teorema de Grothendieck que caracteriza os fibrados em P1 . O teorema diz que se E é um fibrado em P1 , então o feixe associado E é do tipo O(a 1 ) ⊕ ... ⊕ O(a r ), onde a i ∈ Z e essa decomposição é única. Usaremos o caminho trilhado em TEIXIDOR (2002). Para isso, visitamos alguns resultados de feixes coerentes e de cohomologia do espaço projetivo. No primeiro capítulo, introduzimos resultados de Álgebra Comutativa que serão usados no decorrer do texto e provamos um lema de Grothendieck que nos ajuda, no capítulo seguinte, a provar um teorema de finitude para feixes coerentes. No segundo, desenvolvemos a parte inicial da teoria de feixes coerentes e mostramos que numa variedade completa sobre um corpo k, o espaço vetorial das seções globais de um feixe coerente tem dimensão finita. Na terceira parte, falamos sobre a cohomologia de feixes com o objetivo de estudar a cohomologia do espaço projetivo, via cohomologia de ˇCech. Em particular, para feixes do tipo O(n), n ∈ Z e feixes coerentes, quando O X (1) é um feixe invertível muito amplo. No último capítulo, mostramos que todo fibrado corresponde a um feixe localmente livre, introduzimos os funtores e e Ext e provamos o teorema principal.

This work aims to develop basic scheme theory and show that two projective, non-singular and birationally equivalent varieties over an algebraically closed field have same geometric genus. A related result allows to check whether a non-singular hipersurface of degree d in a projective space Pn is a non-rational variety. O objetivo deste trabalho é desenvolver a teoria básica de esquemas e mostrar que duas variedades projetivas birracionalmente equivalentes e não-singulares sobre um corpo algebricamente fechado possuem um mesmo gênero geométrico. Um resultado relacionado permite determinar se uma hipersuperfície não-singular de grau d em um espaço projetivo Pn é uma variedade não-racional.