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This paper deals with the spatial and temporal regularity of the unique Hilbert space valued mild solution to a semilinear stochastic parabolic partial differential equation with nonlinear terms that satisfy global Lipschitz conditions and certain linear growth bounds. It is shown that the mild solution has the same optimal regularity properties as the stochastic convolution. The proof is elementary and makes use of existing results on the regularity of the solution, in particular, the Holder continuity with a non-optimal exponent.

Thema dieser Dissertation ist die Eindeutigkeit von Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDG). Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen solcher Gleichungen ist seit mehreren Jahrzehnten ein Kernthema der Forschung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Regel versteht man dabei unter dem Begriff "Lösung" einen Prozess, der den Pfad des durch die SPDG beschriebenen Systems abhängig von Zeit, Anfangs- oder Randbedingungen und Zufallseinfluss beschreibt. Wie schon in der Theorie der nicht stochastischen (deterministischen) partiellen Differentialgleichungen existiert auch in der Theorie der SPDG das Problem, dass zu vielen, durchaus anwendungsrelevanten Gleichungen der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit von "pfadweisen" Lösungen mit gegenwärtigen mathematischen Methoden nicht möglich ist. In einigen dieser Fälle hat sich der Ansatz bewährt, anstelle der SPDG die daraus abgeleitete Fokker-Planck-Gleichung zu untersuchen, deren Lösung zwar nicht den Lösungspfad der SPDG angibt, aber immerhin die zeitliche Entwicklung der Lösungsverteilungen. Dieser Ansatz, der in den vergangenen Jahren von mehreren Gruppen von Autoren für unendlichdimensionale Zustandsräume verallgemeinert wurde, steht im Mittelpunkt der vorliegenden Dissertation. Während in der Vergangenheit vorwiegend SPDG untersucht wurden, deren stochastischer Teil durch einen unendlichdimensionalen Wiener-Prozess gegeben ist, wird in der vorliegenden Arbeit die Verallgemeinerung einiger aktueller Ergebnisse zur Eindeutigkeit von Lösungen von Fokker-Planck-Gleichungen für den Fall von SPDG gezeigt, in deren stochastischem Teil ein unendlichdimensionaler Levy-Prozess mit Sprüngen (bzw. die Summe eines solchen Prozesses mit einem zylindrischen Wiener-Prozess) steht. Grundlage für diese neuen Ergebnisse zur Eindeutigkeit der Lösung von Fokker-Planck-Gleichungen sind Resultate zur Verallgemeinerung der Theorie sogenannter Mehler-Halbgruppen von Operatoren auf Funktionenräumen, die am Anfang dieser Dissertation entwickelt werden. Die Übergangshalbgruppen linearer SPDG, auch Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppen genannt, gehören in die Familie der (verallgemeinerten) Mehler-Halbgruppen. Ihre Theorie wurde vor einigen Jahren für den Fall unendlichdimensionaler linearer SPDG mit Levy-Rauschen verallgemeinert. Im ersten Teil dieser Dissertation werden Ergebnisse zur Konstruktion des infinitesimalen Generators solcher Mehler-Halbgruppen erweitert für den Fall explizit zeitabhängiger Testfunktionen. Dadurch wird im Weiteren die Untersuchung von SPDG mit explizit zeitabhängigem Drift ("nicht autonomer Fall") möglich, und somit der Beweis der oben beschriebenen Ergebnisse zur Eindeutigkeit der Lösung von Fokker-Planck-Gleichungen.

The solution of a parabolic stochastic partial differential equation (SPDE) driven by an infinite-dimensional Brownian motion is in general not a semi-martingale anymore and does in general not satisfy an It\^{o} formula like the solution of a finite-dimensional stochastic ordinary differential equation (SODE). In particular, it is not possible to derive stochastic Taylor expansions as for the solution of a SODE using an iterated application of the It\^{o} formula. Consequently, until recently, only low order numerical approximation results for such a SPDE have been available. Here, the fact that the solution of a SPDE driven by additive noise can be interpreted in the mild sense with integrals involving the exponential of the dominant linear operator in the SPDE provides an alternative approach for deriving stochastic Taylor expansions for the solution of such a SPDE. Essentially, the exponential factor has a mollifying effect and ensures that all integrals take values in the Hilbert space under consideration. The iteration of such integrals allows us to derive stochastic Taylor expansions of arbitrarily high order, which are robust in the sense that they also hold for other types of driving noise processes such as fractional Brownian motion. Combinatorial concepts of trees and woods provide a compact formulation of the Taylor expansions., Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/09-AOP500 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)

A stochastic version of an inviscid dyadic model of turbulence, with multiplicative noise, is proved to exhibit energy dissipation in spite of the formal energy conservation. As a consequence, global regular solutions cannot exist. After some reductions, the main tool is the escape bahavior at infinity of a certain birth and death process., Published in at http://dx.doi.org/10.1214/11-AAP768 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)

This article studies an infinite-dimensional analog of Milstein’s scheme for finite-dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs). The Milstein scheme is known to be impressively efficient for SODEs which fulfill a certain commutativity type condition. This article introduces the infinite-dimensional analog of this commutativity type condition and observes that a certain class of semilinear stochastic partial differential equation (SPDEs) with multiplicative trace class noise naturally fulfills the resulting infinite-dimensional commutativity condition. In particular, a suitable infinite-dimensional analog of Milstein’s algorithm can be simulated efficiently for such SPDEs and requires less computational operations and random variables than previously considered algorithms for simulating such SPDEs. The analysis is supported by numerical results for a stochastic heat equation, stochastic reaction diffusion equations and a stochastic Burgers equation, showing significant computational savings., Foundations of Computational Mathematics, 15 (2), ISSN:1615-3375, ISSN:1615-3383

In this paper we rigorously derive stochastic amplitude equations for a rather general class of SPDEs with quadratic nonlinearities forced by small additive noise. Near a change of stability we use the natural separation of time-scales to show that the solution of the original SPDE is approximated by the solution of an amplitude equation, which describes the evolution of dominant modes. Our results significantly improve older results. We focus on equations with quadratic nonlinearities and give applications to the one-dimensional Burgers’ equation and a model from surface growth.

We approximate the solution of a quasilinear stochastic partial differential equa- tion driven by fractional Brownian motion B_H(t); H in (0,1), which was calculated via fractional White Noise calculus, see [5].

We describe methods for the numerical solution of nonlinear problems with stochastic uncertainties in the operator, boundary conditions, and right hand side. First, we compute statistics of the solution directly as high-dimensional integrals and compare their evaluation by sparse (Smolyak) quadrature and Monte Carlo integration. Subsequently, we employ a Galerkin method to obtain an expansion of the solution in a stochastic ansatz-space. This requires the numerical evaluation of the residual, which is again a high-dimensional integral, and we show that sparse quadrature may be an efficient technique for this. The large nonlinear system resulting from the Galerkin conditions is solved by quasi-Newton methods. Finally, we alternatively compute the expansion of the solution by direct orthogonal projection onto stochastic ansatz-functions. We apply the methods to a prototype nonlinear groundwater-flow situation (pressure equation)., Wir beschreiben numerische Verfahren zur Lösung stationärer nichtlinearer Probleme mit stochastischen Unsicherheiten im Operator, in den Randbedingungen und in den Lasten. Dabei vergleichen wir hochdimensionale (Smolyak-) Quadraturverfahren mit Monte Carlo-Integrationsverfahren zur direkten Berechnung von Statistiken der Lösung. Zusätzlich berechnen wir die Lösung mit einem Galerkin-Verfahren in einem Raum stochastischer Ansatzfunktionen und untersuchen die Auswertung der im Residuum auftretenden hochdimensionalen Integrale. Für das entstehende große gekoppelte nichtlineare Gleichungssystem stellen wir einen effizienten Löser vor. Schließlich berechnen wir die Lösung durch direkte Projektion auf den orthogonalen stochastischen Ansatzraum und vergleichen die beschriebenen Lösungsverfahren anhand von Modellproblemen. Die Verfahren wenden wir auf ein prototypisches Grundwasserfluss-Problem an., Informatik-Berichte der Technischen Universität Braunschweig, vol. 2003-05

If a stochastic model is used to describe uncertainties, the physical system may be described by a stochastic partial differential equation (SPDE). A discretisation by a Galerkin ansatz with tensor-products of finite element functions and stochastic ansatz functions yields a large system of equations that can be efficiently solved by iterative methods. Due to its sheer size, parallel techniques are required, and we have implemented a ``hierarchical parallel solver'' for this: our solver uses a (possibly parallel) deterministic solver for the spatial discretisation. Coarser grained levels of parallelism are implemented by distributing the unknowns over the processors and by running different instances of the (possibly parallel) deterministic solver in parallel., Informatik-Berichte der Technischen Universität Braunschweig, vol. 2003-09