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O objetivo desta pesquisa é apresentar uma proposta de atividades para o trabalho com juros simples e compostos, segundo a perspectiva da Educação Financeira Escolar. Fundamenta-se as atividades com base na Educação Matemática Crítica, especificamente a abordagem dos ambientes de aprendizagem, propostos por Ole Skovsmose. As atividades seguem os caminhos pelos ambientes, conforme discutido pelo autor, desde o paradigma do exercício até os cenários para investigação. Nas atividades são mostrados exemplos para a sala de aula do Ensino Médio, estudando o software GeoGebra, de maneira intradisciplinar; o estudo de um caso semirreal, para discussão sobre juros compostos; e, por fim, uma atividade em grupo que considere as realidades dos estudantes. Sugere-se que esta proposta passe por modificações pelos professores, considerando as especificidades de cada turma.

A presente investigação tem como objetivo analisar problemas mistos propostos em uma coleção de livros didáticos de matemática do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais. Problemas mistos são aqueles que envolvem, ao menos uma vez, uma relação aditiva e uma relação multiplicativa. Para a análise desses problemas foram considerados os pressupostos estabelecidos por Gérard Vergnaud para o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas e o Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas, além das possibilidades de classes de problemas mistos divulgadas por Miranda (2019). Na coleção de livros didáticos analisada, foram identificados quarenta e seis (46) problemas mistos, que foram classificados em sete (7) classes. As análises mostram a predominância da classe proporção simples e composição de medidas, que somou dezenove (19) problemas mistos. Já a classe produto de medidas e composição de medidas foi identificada duas vezes na obra. Infere-se, com base na Teoria dos Campos Conceituais e nos resultados dessa investigação, que a variedade de diferentes situações de problemas mistos favorece/possibilita que estudantes mobilizem e se apropriem de diferentes raciocínios aditivo e multiplicativo ao longo de sua vivência escolar., This investigation aims at analyzing and classifying mixed problems proposed in a collection of mathematics textbooks from the 1st to the 5th grade of elementary school, from the Theory of Conceptual Fields perspective. Mixed problems are those which involve at least once an additive relationship and a multiplicative one. For the analysis and classification of mixed problems, the assumptions established by Gérard Vergnaud for the Conceptual Field of Additive Structures and the Conceptual Field of Multiplicative Structures were considered, in addition to the possibilities of mixed problems classes disclosed by Miranda (2019). In the analyzed textbooks, forty-six (46) mixed problems were identified, which were classified into seven (7) classes. The analyzes show the simple proportion and composition of measures class predominance, which added nineteen (19) mixed problems. The product class of measurements and composition of measurements was identified twice in the work. It is inferred, based on the Conceptual Fields Theory and on the results of this investigation that the variety of different situations of mixed problems favors/enables students to mobilize and appropriate different additive and multiplicative reasoning throughout their school experience.

El estudio de las tareas y las acciones que se suscitan como producto del trabajo con ellas, es un tema necesario de abordar para potenciar el aprendizaje de las matemáticas. La presente investigación se plantea como objetivo, caracterizar el trabajo matemático de profesores universitarios que desarrollan una tarea con un contexto cercano a la realidad. Para ello, consideramos su desarrollo especialmente en el mundo de las matemáticas. Con base en dos perspectivas de investigación, Modelización y Espacio de Trabajo Matemático, presentamos un estudio colectivo de casos de tipo instrumental que nos permite analizar los procesos de solución de tres profesores. Los resultados muestran en las diversas heurísticas de solución analizadas, cómo la actividad exhibida está determinada por las características de la epistemología del trabajo profesional de los participantes. La investigación concluye con una discusión sobre algunos aportes a la educación matemática, en cuanto a los alcances teóricos dados por la coordinación de las dos perspectivas y el uso de tareas, así como las posibilidades que brinda su implementación en diversos contextos educativos y en la práctica docente.

Se presenta una parte de una investigación referente al valor de posición y su didáctica. En tal investigación se diseñó un estudio para explorar el potencial de un enfoque de relaciones de la estructura del valor de posición. Esta se hizo mediante la aplicación de un curso, el cual posibilita que el estudiante atienda a las relaciones entre componentes de la estructura del valor posicional. La aplicación didáctica se hizo en dos grupos de 3º de primaria. En uno de ellos se usó la ubicación de las unidades de cada orden de magnitud en el espacio dispuesto en la hoja de trabajo, con campos adyacentes. Y en el otro se utilizó la representación de las unidades en el ábaco. El propósito consiste en presentar efectos del curso didáctico respecto a las relaciones que atienden los estudiantes correspondientes a cada orden de magnitud. Ello necesario para que los alumnos evoquen y comprendan dichas relaciones.

Desde la socioepistemología, el escrito presenta una “epistemología de prácticas” que permitió el estudio de la medición de las bases rectangulares de templos antiguos. Tiene por objetivo analizar la estructura metrológica de tres de ellos, construidos entre los años 1000 a.C., y el principio de la era cristiana situados en diferentes espacios geopolíticos. Los resultados destacan cuatro características aritméticas con las cuales se diseñaron y edificaron los edificios, en las que está de por medio el concepto de razón entre magnitudes de longitud, área y volumen de cada templo. Las cuatro características forman parte dela función normativa que regula las actividades de construcción.

Este artigo tem por objetivo socializar uma carta criptográfica envolvendo a resolução de expressões numéricas do conjunto dos números inteiros. É uma proposta de trabalho atrativa aos alunos, pois propõe a descoberta de uma frase que está oculta nos resultados das expressões. Pode ser aplicada aos estudantes do sétimo ano, como encerramento do estudo do conjunto Z e aos anos seguintes quando surge a necessidade de revisar as operações com os números inteiros. A resolução das operações da carta, juntamente com a decifração do código possibilitam a autocorreção, contribuindo no sentido de recordar os procedimentos matemáticos adequados e superação de possíveis dúvidas ou dificuldades.

Nesse artigo teve-se como objetivo apresentar estratégias e meios de criação de jogos por meio do App (aplicativo) QR Code, para atender às necessidades específicas de alunos matriculados no Atendimento Especializado de uma escola pública na cidade de São Luís - MA. Trata-se de uma pesquisa qualitativa de caráter exploratório, realizada com 62 estudantes do ensino fundamental menor. Os resultados revelaram que a criação de jogos digitais por meio de QR Code trouxe vários benefícios para os alunos envolvidos na experiência, dentre eles: concentração, estimulação da coordenação motora, acesso lúdico ao conteúdo dos componentes curriculares, além de habilidades necessárias para conseguirem assimilar as situações-problema propostas no ensino de matemática, facilitando, assim, o processo de resolução das atividades propostas. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa investigada poderá ser um diferencial na execução de trabalhos na sala de recursos multifuncionais.

This study aimed to describe teacher interventions in students’ problem-solving. The subjects were three upper-class students at an elementary school in Indonesia who used system 2 when solving problems. This study used a qualitative case study approach. Data were obtained from students’ written answers and audio-visual recordings of teacher interventions to students. The results showed that the subjects needed teacher interventions to induce their awareness when involving system 2. Each subject needed intervention different stages. Subject 1 required intervention stage 3, subject 2 required intervention stage 2, and subject 3 only required intervention at stage 1. From the research results, it was known that the active moment of system 2 in all three subjects was the same, that is after the core problem was known. The core of the problem was ascertained after a doubtful feeling arose on the truth of the resulting answers. This feeling arose because the teacher intervened in the form of questions conducted dialogically.

A presente investigação discorre sobre um recorte de um projeto que visa apresentar as pesquisas em Educação Estatística no Brasil publicadas em periódicos da área de Ensino, entre os anos de 2010 a 2019. Definimos como objetivo para esse recorte discutir pesquisas brasileiras que abordam conhecimentos de crianças pequenas da Educação Infantil e alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre Combinatória no período mencionado. Foram identificados oito trabalhos que tratam – direta ou indiretamente – sobre conhecimentos de combinatória dos estudantes dessas etapas de escolarização. Direcionamos nosso olhar para os problemas combinatórios utilizados nas pesquisas, ressaltando aspectos como os diferentes tipos de problemas, a ordem de grandeza adotada (número total de possibilidades), os contextos evidenciados pelos problemas, além dos recursos utilizados para apresentação das atividades aos participantes da pesquisa. Verificamos que as pesquisas brasileiras estão em consonância com as investigações realizadas em diferentes países e apresentam um avanço no sentido de permitir a discussão, nessas etapas de escolarização, dos diferentes tipos de problemas combinatórios em um mesmo estudo. Consideramos a necessidade de que outras pesquisas sejam realizadas abordando a elaboração de argumentos pessoais na resolução de problemas combinatórios.

Este artigo analisa as respostas que estudantes de um curso de licenciatura em matemática no Brasil ofereceram em uma avaliação final. Buscou-se identificar aspectos cognitivos relacionados à construção de tabelas. As atividades envolveram conhecimentos pertinentes à coleta, representação, leitura e interpretação de dados em tabelas de dupla entrada, bem como a elaboração de questões cuja resolução requeresse conhecimentos probabilísticos e permitisse mobilizar a leitura entre os dados da tabela. As pesquisas encontradas sobre o tema raramente analisam a construção de tabelas. Para o presente estudo de caso, utilizou-se abordagem qualitativa. Com base em autores que tratam do nível de leitura de tabelas e da teoria dos registros de representação semiótica, construímos a atividade utilizada e analisamos a produção de 16 alunos. Em comparação com uma avaliação diagnóstica aplicada meses antes, os futuros professores que participaram conseguiram majoritariamente elaborar na atividade final a organização dos dados em tabela e foram capazes de cruzar as categorias em linhas e colunas para referir-se à intersecção de eventos. Em eventos condicionados, porém, mostraram ter dificuldades tanto em formalizar questões quanto em resolvê-las.

Este artigo tem por objetivo analisar quais são as organizações matemáticas e didáticas presentes nos livros didáticos utilizados nas escolas públicas brasileiras. Para atingirmos tal objetivo, analisamos duas coleções de livros didáticos, uma voltada para os quatro últimos anos do ensino fundamental e a outra para o ensino médio, ambas aprovadas pelo Programa Nacional do Livro Didático. Cada uma das coleções foi analisada à luz da teoria antropológica do didático e, de acordo com as análises realizadas, encontramos organizações matemáticas limitadas a um saber fazer cuja razão de ser não é mais significativa na instituição escola. Tal fato pode ser observado analisando-se os tipos de tarefa e as técnicas presentes ao longo do capítulo destinado à probabilidade. Quanto às organizações didáticas, observamos uma tendência tecnicista, ou seja, tipos de tarefa que demandam apenas um enfoque procedimental, sem apelo à mobilização dos conceitos para a resolução do exercício.

Este relato objetiva apresentar uma experiência realizada no âmbito do Programa Residência Pedagógica, componente curricular Matemática - IEMCI/UFPA, realizado em uma escola pública municipal de Belém-PA. Durante o período de ambientação, observamos dificuldades nos alunos do 6˚ ano do Ensino Fundamental, relacionadas às quatro operações matemáticas. Diante de tal percepção, elaboramos e aplicamos um questionário para alunos egressos do 6˚ ano, para identificar em quais operações esses alunos apresentavam maior dificuldade. Da tabulação dos resultados, propusemos uma intervenção, em uma turma do 6˚ ano, que teve como objetivo proporcionar o envolvimento dos alunos com atividades que permitissem a compreensão do algoritmo da divisão. Essa experiência trouxe reflexões relevantes ao percurso formativo, especialmente quanto à necessidade de inserir nos anos iniciais a diversidade de estratégias e metodologias, para a resolução de problemas, de modo que os alunos possam compreender os conteúdos matemáticos deste nível de ensino.

No presente artigo apresentamos e discutimos algumas ideias e noções categoriais, relativas ao método de análise de produção de significados, como procedimento adotado pelo Modelo dos Campos Semânticos, a partir de resíduos de enunciação produzidos a partir de uma reunião do Projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema”, desenvolvido por integrantes do Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática, ao tratarem da generalização de números tetraédricos, como uma categoria de números figurados, objeto de estudo da escola pitagórica, que produziu fascínio em diversos matemáticos ao longo da história da humanidade. O objetivo principal é apresentar essas ideias básicas do Modelo epistemológico em questão e aplicá-las nos resíduos de enunciação expostos, nas formas de diálogos, tabelas, figuras e outros textos utilizados, efetuando leituras acerca da produção de significados para o problema proposto.

¿Alguna vez te has parado a pensar por qué algo surge? En el ámbito de encontrar quién eres, a qué te quieres dedicar y plantearte cuestiones sobre tu vida, tu futuro, juega un papel importante la motivación. Motivación es una palabra maravillosa, y está muy presente en nuestra sociedad; o al menos debería de estarlo. Yo la definiría como un estado que encuentra una persona para poder superar o conseguir su objetivo, pudiendo pasar por cualquier adversidad pues la meta es clara.

Esse estudo analisou as soluções de alunos do Ensino Médio ao resolverem questões de Análise Combinatória apresentadas no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). O objetivo deste trabalho é investigar de que modo a metodologia de ensino e aprendizagem Análise de Erros pode contribuir para a construção de conhecimentos em Análise Combinatória. Os instrumentos de coleta de dados foram um questionário sobre o perfil do aluno, uma atividade diagnóstica com questões do ENEM abordando os principais conceitos do conteúdo escolar da Análise Combinatória, e uma entrevista clínica. Por meio da metodologia da Análise de Erro, foi possível elaborar uma classificação das respostas dos estudantes na atividade diagnóstica, pela qual foram mapeados os tipos de erros e acertos com relação ao conteúdo. Os resultados mostraram que os participantes da investigação apresentaram maior domínio no uso do Princípio Multiplicativo. As fórmulas de Arranjo e Combinação foram as que mais estiveram relacionadas ao uso incorreto para os cálculos das possibilidades. A metodologia de Análise de Erro contribui para o ensino e aprendizagem da Análise Combinatória na medida em que abre espaço para o aluno rever a sua resolução, refletir sobre ela com a orientação do professor e rever suas estratégias. Este processo pode contribuir com a construção do conhecimento matemático pelo aluno.

O presente artigo apresenta uma ordem teórico-conceitual específico de uma estruturação da investigação em didática da matemática com a finalidade de mostrar uma discussão e a oportunidade do alcance de conhecimentos didático-metodológicos envolvendo o ensino de Geometria Plana por meio de problemas olímpicos obtidos das avaliações da Olimpíada Internacional de Matemática. O objetivo do trabalho é realizar uma Engenharia Didática pretendendo a estruturação de uma situação didática Olímpica, com ênfase no ensino de Geometria Plana, com o apoio do software educacional GeoGebra como recurso tecnológico com o propósito de proporcionar a compreensão de novas resoluções aos alunos por meio dos comandos e visualização das figuras expostas na situação-problema didática olímpica. Foi utilizada a metodologia de Michèle Artigue (1988), a Engenharia Didática enumerado nas suas primeiras fases: Análises preliminares e Concepção e Análise a priori da situação didática, com dedicação à concepção e a modelização de figuras planas de uma situação-problema olímpica em acréscimo com a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986) e o software educacional GeoGebra como recurso tecnológico colaborando na construção junto aos comandos operacionais e a visualização da figura. Essa proposta tem importância em uma Situação Didática Olímpica para os professores de matemática promover momentos de interação que favoreceram a execução em sala de aula ou na preparação de procedimentos para a Olimpíada Internacional de Matemática, ou seja, para um melhor planejamento e na aprendizagem metodológica aplicada no ambiente escolar.

This study describes how 24 third graders (8–9 years old) relate and represent the relationships between variables when working with a functional thinking problem. This aspect contributes to providing insights about how elementary school students attend properties and relationships between covarying quantities rather than isolated computations. From a functional approach to early algebra, we describe written students’ answers when working with a problem that involves a function, which includes questions for specific values and to generalize. Design research guidelines, specifically those set out for Classroom Teaching Experiment were followed. This study addresses the fourth and last Classroom Teaching Experiment session, which involved a function of the type y = ax + b and students had not previously worked it. Students primarily evidenced correspondence relationship, using natural language and numerical representation to express this functional relationship. Our findings let us to state that (a) although students were not used to working with these types of problems, eleven of them go beyond arithmetic computations, finding relationships that relate the variables; and (b) three students generalized using natural language as a useful vehicle, while there are other students who perceived the same regularity for different specific values but they are unable to represent generalization clearly.

Neste trabalho, apresentamos uma experiência de Formulação de Problemas em Matemática que teve como objetivo aproximar os estudantes da prática de Formulação de Problemas no ensino de Função Afim, levando-os a formularem e a resolverem seus próprios problemas de Matemática para o ensino e aprendizagem. Foi desenvolvida em uma turma de 1ª Série do Ensino Médio, de uma Escola Pública Estadual, no município de Marataízes–ES. De natureza qualitativa, os dados foram produzidos no decorrer da etapa de regência do Estágio Supervisionado III, do Curso Superior de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (IFES), campus Cachoeiro de Itapemirim–ES. Os estudantes foram convidados a formularem problemas que contemplassem a Lei de Formação de Função Afim. A análise dos dados nos permitiu concluir que os estudantes se aproximaram da Formulação de Problemas nas aulas de Matemática, cuja prática reforçou o protagonismo discente e o desenvolvimento da argumentação e do pensamento crítico, importantes na aprendizagem, permitindo revelar preferências, saberes e vivências dos estudantes nos problemas formulados, gerando motivação em aprender Matemática.

Este trabajo forma parte de una investigación más amplia que tiene como objetivo comprender el conocimiento de un profesor de Educación Infantil al enseñar cuerpos geométricos. Para dar sustento teórico a la investigación aquí mostrada usamos el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK), con el cual obtenemos indicadores de conocimiento especializado del profesor de Educación Infantil. Se trata de un estudio de caso instrumental cualitativo enfocado desde un paradigma interpretativo. Los resultados ponen en evidencia la complejidad del conocimiento del profesor en la etapa de Educación Infantil. Mostramos evidencias e indicios del conocimiento especializado de nuestro informante, poniendo de manifiesto la profundidad de los conocimientos matemáticos y del conocimiento didáctico del contenido que posee, así como las relaciones entre conocimientos de distinta índole. This work is part of a broader investigation that aims to understand the knowledge of an Early Childhood Education teacher when teaching geometric solids. To give theoretical support to the research shown here, we use the Mathematics Teacher's Specialised Knowledge model (MTSK), with which we obtain indicators of specialised knowledge from the Early Childhood Education teacher. It is an instrumental case study, qualitative in nature, focused from an interpretive paradigm. The results show the complexity of the teacher's knowledge in the Early Childhood Education. We show evidence and indications of the specialised knowledge of our informant, highlighting the depth of the mathematical knowledge and pedagogical content knowledge he possesses, as well as the relationships between knowledge of different kinds.

In an age where we live surrounded by technology, it is increasingly important to develop capabilities that differentiate us from “machines”. The habit of solving problems can help us develop some of them, including the ability to solve problems, and stimulate critical thinking. It is, therefore, important to propose tasks of a diverse nature in the classroom, and to invest more in mathematical problem-solving by students. For students to solve those problems, it is essential that they know different strategies to use and it is necessary that the teacher can identify the difficulties experienced by students in solving mathematical problems, so the teacher can help students overcome them. This article aims to identify the strategies students use to solve a problem, acknowledge the difficulties students experience, and characterize students’ written communication in their answers. To achieve these objectives, the answers to a mathematical problem which was solved by students of three 12th grade classes were collected and analyzed. In the resolutions analyzed, the strategy students used the most was the construction of schemes/figures. Regarding the difficulties, they were felt more at the level of information selection, as the students tended to add data that were neither in the statement nor could be deduced from it. Finally, when communicating their answers in writing, over half of the students did it with a high level of clarity, and the most frequently used type of justification was the exclusive use of schemes. In addition, the type of representation most used by the students was iconic representation.

Este artigo científico tem como objetivo apresentar os resultados de um relato de experiência de ações pedagógicas para a resolução de uma situação-problema sobre o volume de um líquido variando no interior de um tanque cilíndrico de base cônica, que engloba modelagem matemática e linguagem de programação, especificamente no que diz respeito à possibilidade de se inter-relacionar duas técnicas de ensino com uma finalidade comum: modelagem matemática e algoritmo de programação associadas à simulação matemática. Para atingir os objetivos, primeiramente modelamos matematicamente a situação-problema proposta com funções de duas variáveis reais positivas e três sentenças, mediante procedimentos matemáticos e posteriormente simulamos matematicamente os valores do raio R e da profundidade “d” do líquido no interior e “exterior” do tanque – diretamente no programa computacional desenvolvido. Os resultados dos estudos matemáticos e computacionais mostraram-se satisfatórios aos objetivos propostos aos estudos, isto porque, os valores obtidos por métodos distintos apresentaram os mesmos números reais.

Este artigo busca explorar, a partir de uma experiência prática envolvendo conteúdos de matemática financeira, o uso da Resolução de Problemas enquanto metodologia para o Ensino de Matemática. Para isso, desenvolvemos uma pesquisa de campo a partir de um projeto de intervenção pedagógica executado em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio de um colégio estadual do município de Aiquara-BA. As atividades que constituíram o núcleo do projeto de intervenção foram elaboradas à luz das pesquisas de Polya (1995) e Onuchic (1999), os quais serviram de referencial teórico-metodológicos. O tema selecionado para as atividades envolveu os conceitos de porcentagem e de juros. A partir da análise dos problemas trabalhados pelos estudantes e das observações do professor regente durante as atividades, um conjunto de dados foi organizado. Avaliando-os, foi possível identificar que a utilização da Resolução de Problemas como metodologia de ensino contribuiu para o desenvolvimento de diferentes aspectos do processo de ensino-aprendizagem, como o raciocínio lógico, a capacidade argumentativa e o trabalho em equipe. Além disso, constatamos uma mobilização mais efetiva dos conhecimentos prévios dos estudantes e de suas percepções a respeito dos potenciais de utilização dos conteúdos trabalhados em situações cotidianas práticas. Esperamos com isso poder contribuir para uma melhor compreensão dos potenciais envolvidos no ensino de matemática através da Resolução de Problemas.

Una riqueza del proyecto ESTALMAT es la variedad de temas que se abordan en las diferentes sesiones. Además de los contenidos de las diferentes áreas de conocimiento matemático, se abordan sesiones STEM relativas a las Ciencias (como Cosmología o Astronomía), a la Ingeniería (optimización de ubicaciones) y Tecnología (programación, utilización de software dinámico, etc.). En este trabajo vamos a describir una propuesta basada en la modelización de un problema real que se aborda desde las diferentes perspectivas científicas, reflexionando con los estudiantes los aportes de conectarlas y tener una visión global del trabajo científico, más allá de disciplinas concretas.

Resumo Diversos aspectos influenciam a resolução de problemas multiplicativos por crianças, como as características numéricas das tarefas e os suportes de representação disponibilizados durante os procedimentos de resolução. O presente estudo investiga o papel desempenhado por um outro aspecto que é constitutivo do raciocínio multiplicativo: a correspondência um para muitos. Esta correspondência pode estar implícita ou explicitamente mencionada no enunciado dos problemas. Neste estudo examinou-se a possibilidade de que o nível de explicitação da relação um para muitos seria fator importante na resolução de problemas multiplicativos, e que quanto mais explícitas fossem essas relações, melhor seria o desempenho das crianças. Para isso, problemas de multiplicação e de divisão foram solucionados por crianças do 3° e 5° ano do Ensino Fundamental. Os problemas apresentavam diferentes níveis de explicitação da correspondência uma para muitos. Observou-se que o desempenho era melhor nos problemas em que a correspondência uma para muitos era explicitamente mencionada no enunciado do que em problemas em que esta relação estava implícita. Isso foi observado em ambos os anos escolares. Os resultados evidenciam o papel facilitador que a explicitação da correspondência um para muitos desempenha na resolução de problemas de estrutura multiplicativa. Implicações teóricas e educacionaissão discutidas. Abstract The way in which children solve multiplicative problems is influenced by several aspects, such as the numerical characteristics of the tasks and the representation support that is available during the solution procedure. The present study investigates the role played by another aspect of multiplicative reasoning: the one-to-many correspondence. This correspondence may be implicitly or explicitly mentioned in the wording of the problem. This study examined whether the degree of explicitness of the one-to-many relationship is an important factor in the solution of multiplicative problems, and whether the more explicit this correspondence is, the better the child’s performance. With that in mind, 3rd and 5th grades elementary school students were asked to solve multiplication and division problems. In the wording of the problems, the one-to-many correspondence was presented in different degrees of explicitness. It was found that performance was better in problems in which the one-to-many correspondence was explicitly mentioned than in those in which this relationship was implicit, a factobserved in both school grades. Results show the facilitating role played by the explicitness of the one-to-many correspondence in the solution of problems of multiplicative structure. Theoretical and educational implications are discussed.

O objetivo do trabalho é apresentar a fundamentação teórica utilizada para a criação de problemas no processo ensino e aprendizagem de conteúdos estatísticos do 1° ano do Ensino Fundamental, seguindo os princípios da Teoria Antropológica do Didático – TAD, na organização praxeológica didática e matemática (Estatística) e a Equivalência de Estímulos, para elaborar pequenas unidades de ensino, descrevendo um repertório simples a ser ensinado e progressivamente ir aumentando a complexidade. Na equivalência de estímulos apresentamos uma proposta para a fase de pré-teste considerando que o critério para avançar será de 100%, ou seja, o aluno somente passará para a fase de ensino e teste de discriminações condicionais se acertar a todos os problemas propostos nessa fase. Também utilizaremos os princípios da Teoria Antropológica do Didático – TAD na organização praxeológica didática e matemática (Estatística), constituída de uma sequência de tarefas, que podem ser realizadas utilizando diversas técnicas justificadas pela tecnologia que se utiliza de teorias relacionadas à Estatística como objeto de estudo. Partindo desses pressupostos trazemos a elaboração de subtarefas abordando a necessidade da apreensão da nomenclatura e representação visual para tabela e a leitura de tabelas de colunas simples e coleta e organização de informações sugeridas pela Base Nacional Comum Curricular – BNCC. Acreditamos que utilizar a resolução de problemas como metodologia de ensino constitui-se uma forma interessante de apresentar conceitos básicos da Estatística, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções.

En este artículo, estudiamos procesos relacionados a la resolución de tareas que involucran prueba y demostración. El objetivo es identificar el Modelo Epistemológico Dominante (MED) peruano, los tipos de procesos (técnicas) y las herramientas matemáticas (tecnologías) que se utilizan para solucionar una tarea que requiere demostración en geometría del espacio. Para el análisis se empleó la noción de praxeología de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD). Los resultados obtenidos fueron detectar las técnicas y las tecnologías para resolver una tarea y además mostrar las articulaciones de las tecnologías, el tipo de organización matemática que permitirá construir una organización didáctica teniendo presente el modelo dominante peruano.

O presente estudo investigou as estratégias dos alunos na utilização de um objeto de aprendizagem (OA) chamado Balanza Algebraica na lousa digital (LD) e as relacionou com as estratégias utilizadas na resolução de problemas, com lápis e papel, que envolviam a resolução de equações do primeiro grau. A exploração das formas de resolução quando do uso de lápis e papel foram buscadas na literatura, enquanto os dados sobre as formas de resolução da LD foram levantados em pesquisa de campo, realizada com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II de uma escola particular de Curitiba – PR. Os resultados obtidos revelaram que nos dois casos há diferenças significativas. Quando os alunos trabalharam com o OA na LD houve a presença da interação e da interatividade e as estratégias são mais próximas de procedimentos algébricos, se comparadas às utilizadas quando resolvem os problemas com lápis e papel, nos quais se observou a predominância de procedimentos numéricos.

Este artigo apresenta e discute uma estratégia de aprendizagem ativa aplicada como experimento para a construção de significados no estudo de equações, em uma turma de 9° ano do Ensino Fundamental. A atividade proposta aos estudantes compreende um circuito de questões sobre equações quadráticas, biquadradas e irracionais, e objetiva integrar a turma, atribuindo aos estudantes funções específicas e complementares. Tais funções definem papeis que aqui são chamados de solucionador, orientador e analisador de resoluções de equações. A proposta é fundamentada na teoria da aprendizagem de Vygotsky e na teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget, e, portanto, pretende propiciar momentos de interação, de cooperação e de pensamento coletivo, caracterizando-se como uma estratégia de aprendizagem ativa. Na prática, a turma é separada em equipes, sendo cada uma delas formada por três grupos, que se revezam na realização das atividades da seguinte maneira: um grupo sorteia uma equação e deve resolvê-la no quadro; outro precisa estar atento à resolução de forma a poder auxiliar os colegas em caso de dificuldade, e o terceiro grupo tem de analisar a resolução da equação sorteada, atentando à exatidão dos resultados e à adequação da linguagem matemática. Assim, a realização dos exercícios e a sua avaliação pelos pares promovem aprendizagem, e o caráter lúdico é o motor afetivo que incentiva as discussões e as reflexões para a construção do significado na experiência com equações. Além disso, a atividade oportuniza aos estudantes o desenvolvimento de habilidades de comunicação e de trabalho em equipe, que incluem respeito, cooperação e participação ativa. O resultado é o aprimoramento de conhecimentos, à medida que aprendem com os colegas e compartilham o que sabem

In this article, we present the results of the evaluation phase of a training intervention with primary education prospective teachers on the subject of proportionality. The focus is on developing the epistemic and cognitive analysis competence of mathematical practices in problem solving. The prospective teachers first solve a mathematical task of inverse proportionality in several ways, then identify the mathematical practices employed in the resolutions, the objects and meanings, the difficulties, the levels of algebrization involved, and finally, perform the analysis of two solutions proposed by school pupils to a problem of direct proportionality. The results indicate that the future teachers’ knowledge about proportionality present deficiencies that can hinder the teaching of the subject. Likewise, it is concluded that developing the required professional knowledge and skills requires the application of longer training interventions.

A inclusão do Pensamento Computacional (PC) em sala de aula pode trazer grandes avanços para a educação. Através do Pensamento Computacional, os alunos podem exercitar o raciocínio lógico, resolver problemas complexos, lidar com a abstração entre outras habilidades. A colaboração também é um aspecto fundamental da aprendizagem. Interações sociais entre estudantes que podem advir de métodos cooperativos de aprendizagem podem contribuir para a construção de conhecimento de diferentes maneiras. Este artigo descreve uma estratégia de Aprendizagem Cooperativa para mobilizar habilidades do PC em estudantes. Características fundamentais do conceito de Aprendizagem Colaborativa e Cooperativa da literatura foram estudadas e projetadas para se encaixar na estratégia proposta. Além disso, o método proposto utiliza abordagens de Desenvolvimento de Jogos Digitais para envolver os alunos. Uma análise da estratégia foi feita por meio de atividades realizadas com grupos de alunos das séries finais do ensino fundamental. Foram investigados os artefatos produzidos e as interações entre estudantes. Os resultados mostraram que a estratégia foi capaz de mobilizar estratégias de resolução de problemas do PC e reflexões sobre as interações sociais no grupo.

O presente trabalho tem como finalidade apresentar uma atividade de ensino desenvolvida em oito turmas do primeiro ano do Ensino Médio de duas escolas distintas. A atividade aplicada envolveu o conteúdo de função exponencial decrescente utilizando a técnica de resolução de problemas proposta por Polya. Para a introdução do conteúdo foi proposto um questionamento que levou os alunos a refletirem sobre o uso da pílula anticoncepcional como método contraceptivo. Os alunos foram questionados sobre o tempo de ação do medicamento no organismo humano e foi promovido um debate sobre o assunto. Após o debate, foi apresentado um problema contextualizado envolvendo a absorção de anticoncepcional pelo organismo humano e em seguida foi proposto aos alunos que elaborassem uma estratégia de resolução deste problema e analisassem os dados. Para a socialização das conclusões obtidas pelos alunos foi utilizado o software Geogebra para exibir os gráficos das funções e utilizados aplicativos para criação/manipulação de imagens para apresentação do trabalho desenvolvido em sala de aula à comunidade escolar. A proposta de Polya para a resolução de um problema contextualizado envolvendo o conteúdo de função exponencial motivou os estudantes a se envolverem na tarefa proposta em sala de aula.

Neste artigo nosso objetivo é evidenciar e analisar as contribuições da filosofia da linguagem de Wittgenstein em atividades de Modelagem Matemática desenvolvida com um grupo de alunos da disciplina de Pré- Cálculo no Curso de Engenharia Elétrica no IFMA – Campus Imperatriz. A abordagem foi qualitativa buscando compreensões das atitudes dos alunos ao estabelecerem jogos de linguagem na tentativa de buscar significações às tarefas. Concluímos que tais jogos estão presentes em todas as etapas do desenvolvimento de Modelagem Matemática, que a resolução de problemas surge a partir do contexto vivenciado pelos alunos e que são regidas por regras estabelecidas previamente. Os alunos enfatizaram que questões contextualizadas ajudam a compreender as aplicações da matemática no cotidiano.

É comum que as pessoas se utilizem do termo interdisciplinaridade quando por alguma razão, pretendem ultrapassar as fronteiras que cercam os limites da área em que se situam, ou ainda quando nos deparamos com um saber que não se encaixa em nada que já definimos anteriormente, ou seja, quando nos encontramos em uma situação que exige diferentes perspectivas do conhecimento. A crescente evolução dos recursos tecnológicos, aliada a características marcantes dos mesmos, como a portabilidade, adaptabilidade, pervasividade, interatividade, ubiquidade, entre outras, vem mostrando um grande potencial para promover sua utilização em muitos campos da Educação, entre os quais a Educação Matemática. A interdisciplinaridade pode ser o caminho que finalmente integre os campos da tecnologia e da educação, aproximando-os e trazendo os alunos mais próximos a situações da vida real em seus processos de aprendizagem. Entre as tecnologias digitais mencionadas, destacam-se os jogos digitais - embora os jogos físicos estejam presentes em sala de aula há muito tempo, os avanços tecnológicos permitiram que os jogos digitais venham ocupando papeis importantes no contexto educacional, convertendo-se atualmente em uma das principais tecnologias empregadas com fins educacionais. Nesse contexto, as competências do Pensamento Computacional se tornam um ferramental conceitual útil para se trabalhar com problemas mais próximos da nossa realidade, que em sua grande maioria envolvem saberes interdisciplinares. Nesse sentido, o presente artigo faz um arrazoado conceitual sobre interdisciplinaridade, de forma a gerar subsídios que permitam integrá-la a jogos digitais no desenvolvimento do Pensamento Computacional.

In this article we analyze and discuss the performance of students of Elementary and Middle School in a private school of the Metropolitan Region of Recife-PE on the concept of arithmetic mean. For that, a diagnostic test was elaborated with five questions, which brought different meanings of this concept in situations with and without graphic representation. The results show that the level of education was a determining factor in the performance of this group of students, although lower than expected. Regarding the different meanings of the conceptual field of arithmetic mean, we observed that students have difficulties in understanding these meanings. We found that the graphical representation influenced the students' performance. Concerning the resolution strategies, we identified that students mistakenly conceive the arithmetic mean as being: the sum of a set of values; a number that is divided by two; the central term of a set of values arranged in ascending order (median); and/or a number ending in zero. In addition, we noticed that they had difficulties in calculating the division. By means of this study, we hope to subsidize the work of the teacher to approach in his math classes the concept of arithmetic mean considering the different meanings that support this concept., Neste artigo analisamos e discutimos o desempenho de estudantes do Ensino Fundamental e Médio de uma escola privada da Região Metropolitana de Recife-PE sobre o conceito de média aritmética. Para tanto, foi elaborado um teste diagnóstico com cinco questões, as quais traziam diferentes significados desse conceito em situações com e sem representação gráfica. Os resultados mostram que o nível de escolaridade foi um fator determinante no desempenho deste grupo de estudantes, entretanto abaixo do esperado. No que tange aos diferentes significados do campo conceitual da média aritmética, observamos que os estudantes apresentam dificuldades na compreensão dos referidos significados. Constatamos que a representação gráfica influenciou dificultando no desempenho dos estudantes. Quanto às estratégias de resolução, identificamos que os estudantes concebem equivocadamente a média aritmética como sendo: soma de um conjunto de valores; um número que é dividido por dois; o termo central de um conjunto de valores disposto em ordem crescente (mediana); e/ou um número terminado em zero. Além disso, percebemos que apresentaram dificuldades com o cálculo da divisão. Por meio deste estudo esperamos subsidiar o trabalho do professor para abordar em suas aulas de matemática o conceito de média aritmética considerando os diferentes significados que sustentam este conceito.

The present research aims to analyze geometric constructions produced by students of the 8th year of elementary school in a municipal public school through an AB straight line segment using ruler and compass, and from them identify if the participants fit the level of analysis through the Van Hiele Theory. As a theoretical contribution, the development of the geometric thought proposed by the Van Hiele, in particular the levels of understanding that support the verification, identification and framing of the geometric knowledge that each individual possesses through a study on geometry was used. In methodological terms this is an exploratory research with a qualitative approach in which 28 students belonging to the 8th grade of Elementary School participated in a municipal public school located in the city of Sao Vicente Ferrer, located in the Zona da Mata Norte of the State of Pernambuco. For data collection, a test involving two questions was used. The first objective was for the students to perform an equilateral triangle with the AB segment and with the aid of the ruler and the compass. The second one approached the students to construct a square with the segment AB. Through the analyzed protocols, it was noticed that the students used the geometric instruments to respond to the applied test. It was verified through the categorizations that the students submitted to the applied test obtained a higher index of correct answers in the first question, in which it contemplated the construction of the equilateral triangle. It is noteworthy that there was no total error of the test, that is, the students who miss the first question, hit the second and so vice versa. Thus, those students who partially fulfilled the test fit the level of comprehension of the analysis using the Van Hiele Theory, at least in the geometric figure constructed correctly in the study. Therefore, it was evidenced that these students of the 8th year of elementary school conceive geometric knowledge that correspond to the level of comprehension of the analysis through Van Hiele Theory.

Neste artigo, apresenta-se resultados de uma investigacao realizada com estudantes de Geometria Analitica e Algebra Linear. A pesquisa, de cunho qualitativo, foi fundamentada na Teoria dos Registros de Representacao Semiotica de Duval, tendo como questao norteadora: para obter a melhor solucao de um problema de determinacao de um espaco publico, verifique qual e a Geometria que proporciona um melhor resultado: a Euclidiana ou a do Taxi? Para responder ao problema, delineou-se o objetivo de analisar os tipos de registros de representacao semiotica empregados pelos estudantes na busca de solucao, explorando alternativas nas duas geometrias. Os resultados mostraram que alguns estudantes tiveram dificuldades em obter o registro verbal para conceituacao do lugar geometrico procurado na Geometria do Taxi e, consequentemente, na conversao para o registro figural. Dessa forma, concluiram que a Geometria do Taxi oferece a melhor solucao para o problema. Palavras-chave: Geometria Euclidiana; Geometria do Taxi; Registros de Representacao Semiotica. EUCLIDEAN GEOMETRY AND TAXICAB: AN CONCRET PROBLEM AND THE SEMIOTICS REPRESENTATIONS REGISTERS Abstract This article presents the results of an investigation carried out with students of a professional master's degree in Mathematics Teaching, in a discipline of Analytical Geometry and Linear Algebra. The qualitative research was based on Duval's Theory of Semiotic Representation Registers and had as a question: to obtain the best solution to a problem of determining a public space, to check which Geometry presents a better result: the Euclidean or the Taxi? To answer the problem, we outline the purpose of analyzing the types of semiotic representation registers used by the students in the search for solutions in the two geometries. The results showed that some students had difficulties in obtaining the verbal registration for the conceptualization of the place searched in the Taxi Geometry and, consequently, in the conversion to the figural register. Thus, they were not able to conclude that the Geometry Taxi offers the best solution to the problem. Key words: Euclidean Geometry; Taxicab geometry; Semiotic representation registers. GEOMETRIA EUCLIDIANA Y DEL TAXI: UN PROBLEMA CONCRETO Y LOS REGISTROS DE REPRESENTACIONES SEMIOTICAS Resumen En este articulo, se presentan resultados de una investigacion realizada con estudiantes de Geometria Analitica y Algebra Lineal. La investigacion, de cuno cualitativo, fue fundamentada en la Teoria de los Registros de Representacion Semiotica de Duval, teniendo como cuestion orientadora: para obtener la mejor solucion de un problema de determinacion de un espacio publico, verifique cual es la Geometria que proporciona un mejor resultado: ?la Euclidiana o la del Taxi? Para responder al problema, se delineo el objetivo de analizar los tipos de registros de representacion semiotica empleados por los estudiantes en la busqueda de la solucion, explorando alternativas en las dos geometrias. Los resultados mostraron que algunos estudiantes tuvieron dificultades para obtener el registro verbal para la conceptualizacion del lugar geometrico buscado en la Geometria del Taxi y, consecuentemente, en la conversion al registro figural. De esta forma, concluyeron que la Geometria del Taxi ofrece la mejor solucion para el problema. Palabras clave: Geometria Euclidiana; Geometria del Taxi; Registros de Representacion Semiotica.

Neste texto, apresentamos um recorte dos dados do projeto de pesquisa intitulado “As estruturas multiplicativas e a formacao de professores que ensinam Matematica na Bahia” (PEM). Nele, analisamos as situacoes-problema elaboradas por professores do Ensino Fundamental, que atuavam como supervisores do Programa Institucional de Bolsa de Iniciacao a Docencia (PIBID). Para tratar das estruturas multiplicativas, pautamos nossas reflexoes na Teoria dos Campos Conceituais. Desenvolvemos uma pesquisa com abordagem qualitativa de cunho descritivo. Os dados foram coletados por meio de questionarios e como resultados identificamos que o foco de trabalho desses professores recai nas situacoes de proporcao simples, da classe um para muitos, e com a grandeza do tipo discreta, o que, a nosso ver, delimita a experiencia dos alunos com os conceitos de multiplicacao e divisao. Esperamos contribuir no sentido de trazer reflexoes em relacao ao ensino de tais conceitos. Palavras-chave: Estrutura Multiplicativa. Anos Iniciais. Educacao Matematica. When elementary school teachers develop problem situations involving multiplicative structures: which situations to prioritize? Abstract: In this text, we will present a piece of data from the research project entitled “The multiplicative structures and the formation of teachers who teach mathematics in Bahia” (PEM). In it, we will analyze the problem situations elaborated by elementary school teachers, who acted as supervisors of the Institutional Teaching Initiation Scholarship Program (PIBID). To treat the multiplicative structures, we base our reflections on the Theory of Conceptual Fields. We developed a research with qualitative approach of descriptive nature. The data were collected through questionnaires and as results we identified that the focus of these teachers work in situations of simple proportion, from class one to many, and with the magnitude of the discrete type, which, in our view, delimits the experience. of students with the concepts of multiplication and division. We hope to contribute to bring reflections on the teaching of such concepts. Keywords: Multiplicative structure. Early years. Mathematics Education.

Objetivando verificar se o uso da sequência didática, envolvendo situações sociais do município de Abaetetuba, torna o ensino e aprendizagem de probabilidade atraente é que se efetivou o presente artigo; parte integrante de uma pesquisa realizada no Mestrado em Educação da Universidade do Estado do Pará. O cabedal metodológico tem seu respaldo na Educação Matemática Critica de Skovsmose (2008) , traduzido por Abreu (2012). Fundamentada em autores como: Passos (2008); Rotuno (2007), Reis (2010), Canaveze (2013); Lima (2013); Vargas (2011); Neves (2015); Souza (2012), entre outros, que justificam um ensino de Matemática propiciador da formação crítica dos alunos, realizou-se, primeiramente, um experimento de validação da sequência didática, a qual construído a partir da contribuição de 5(cinco) alunos do curso de Licenciatura Plena em Matemática de uma Universidade Pública da região. Após tal procedimento, utilizou-se do experimento didático, previamente confeccionado, em turma do 2º ano do Ensino Médio, com 30 (trinta) alunos, com idades entre 15 e 19 anos, pertencentes a uma escola estadual do município de Abaetetuba/PA. Assim, os resultados do pré e pós-teste apontaram para a necessidade de se trabalhar parte da álgebra básica, atrelada à interpretação de texto, estes em concomitância com o ensino e aprendizagem de probabilidade. Assim, os dados da pesquisa levam a inferir que, tanto na fase da validação quanto na de experimentação didática, as atividades se mostraram estimulantes no que concerne ao fomento da cognição crítica por parte dos alunos, a ponto de revelar um processo de aprendizagem matemática prazeroso e significativo.

A aprendizagem Matemática, em especial de Matemática Financeira, ainda é um entrave para os alunos de diferentes níveis de ensino. Alunos de cursos superiores, como o de Ciências Contábeis, por exemplo, chegam ao curso superior com enormes lacunas na aprendizagem, oriundas da Educação Básica. Este trabalho apresenta os resultados de uma experiência desenvolvida em sala de aula, com alunos do Curso de Ciências Contábeis, de uma faculdade da Baixada Fluminense, Rio de Janeiro. O objetivo era verificar se a utilização de uma abordagem prática e visual, com representação num eixo de setas facilitaria o processo de ensino e aprendizagem da Matemática Financeira. Por meio da metodologia de Análise de Erros (CURY, 2004; 2007), pode-se categorizar os erros encontrados em um Pré-teste e direcionar as atividades de aula de acordo com as dificuldades detectadas. Os resultados foram significativos, indicando aumentos em torno de 85% no desempenho entre o Pré e o Pós-teste.

O objetivo deste estudo é analisar uma prática de resolução de problemas na perspectiva de uma abordagem investigativa para o ensino de funções exponenciais em uma turma de primeiro ano de Ensino Médio. Para tanto, discute-se o histórico da resolução de problemas, bem como as diferenças e aproximações para o contexto da investigação matemática. Uma prática, envolvendo o plantio de uma semente de feijão e a busca de uma função correspondente, é descrita e analisada com o intuito de mostrar como um problema matemático pode ser estruturado com questionamentos que levem à um processo investigativo. Como resultados verifica-se que uma pratica pedagógica nesse contexto permite aos estudantes se sentirem parte do fazer matemática, explorando padrões, testando hipóteses, validando resultados e procurando novos caminhos, bem como aumentando a confiança em relação à matemática na medida em que expõem e discutem suas ideias com os colegas da turma e com a própria comunidade escolar.

O presente texto versa sobre o ensino de análise combinatória na educação básica, o qual, de acordo com a literatura de pesquisa em Educação Matemática, é geralmente de difícil compreensão por parte dos alunos (MOREIRA, ALVES, MAGINA, 2013) e um tema relevante para a formação de professores de matemática (BORBA, 2010). Buscamos refletir e discutir os resultados de uma atividade formativa proposta a professores de matemática do Ensino Médio. À luz das noções de Conhecimento Matemático para o Ensino (BALL, THAMES, PHELPS, 2008) e de Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (SHULMAN, 1986), delineamos um percurso metodológico de cunho qualitativo, que consistiu no envio de um problema disparador – O Problema dos Diferentes Caminhos (ANDREESCU, FENG, 2013; SILVA, 2017) – a diferentes professores de matemática, através de uma lista de transmissão do aplicativo Whatsapp. Os sujeitos deveriam refletir sobre estratégias de resolução para os alunos em sala de aula. Assim, nosso objetivo foi analisar essas resoluções e discutir suas condutas segundo aspectos conceituais, didáticos e pedagógicos. A partir desse cenário, constatamos que os professores mobilizaram os diferentes aspectos do Conhecimento Matemático para o Ensino, descritos e categorizados por Ball, Thames e Phelps (2008). Por fim, ao simular a resolução do referido problema para os alunos, constatamos que os professores também puderam redimensionar (e refletir sobre) seus saberes, evidenciando que os mesmos aprendem e teorizam durante a sua prática.

O presente artigo tem como propósito apresentar resultados de uma prática em que foram problematizadas questões que contemplam a segunda concepção da álgebra conforme descrita por Usiskin (1995). O desenvolvimento das atividades envolveu docentes dos Anos Iniciais, em seis cidades localizadas no Vale do Taquari, interior do Rio Grande do Sul. Metodologicamente, trata-se de uma pesquisa qualitativa, com características de estudo de caso. Além de analisados e descritos por atividade, os dados foram gerados por meio de materiais contemplando as respostas dos docentes, gravações, fotografias. Os resultados apontam que: a) na resolução dos problemas, os docentes utilizaram diferentes estratégias; entre elas, desenhos, escritas, esquemas, cálculos usando a aritmética; b) alguns docentes, inicialmente, resolveram as questões na forma algébrica em detrimento do uso do material didático manipulável disponibilizado; c) as atividades algébricas contemplando a segunda concepção de Usiskin (1995) podem ser exploradas com alunos dos Anos Iniciais, concebendo ideias de pensamento pré-algébrico.

Na aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear os alunos do ensino superior tendem a manifestar dificuldades devido à sua natureza abstrata, o que podem ser minimizadas caso se explore a conexão entre as diferentes representações de um mesmo conceito. Recorrendo a um ensino que explorou as representações algébrica e geométrica de conceitos de Álgebra Linear, procuramos averiguar como os alunos compreendem as transformações entre as diferentes representações, algébrica e geométrica, dos conceitos de coordenadas e mudança de base na resolução de uma tarefa após esse ensino. Adotamos uma abordagem qualitativa e interpretativa na procura de compreender como os alunos operacionalizam os conceitos de coordenadas e de mudança de base nessas representações. A análise das respostas dos alunos à tarefa proposta aponta para um melhor desempenho da transição da representação algébrica para a geométrica do que nas transformações realizadas dentro da própria representação algébrica. As maiores dificuldades relacionam-se com a interpretação equivocada dos conceitos envolvidos, a linguagem simbólica e com o uso inadequado de conceitos e procedimentos advindos da Geometria Analítica ou já abordados na própria Álgebra Linear.

This paper compares strategies of solving two comparison problems utilized by students from sixth degree of elementary school in two distinct moments: before and after a didactic intervention applied with the objective of introducing the concepts of ratio and proportion. The subjects were 15 students of a private school. The intervention was planned in the context of professional master’s degree and applied during the classes in normal period. The analysis indicated that, although a considerable number of students already had covariation and invariance schemes before the didactic intervention, this factor didn’t facilitate the solving of the first problem. After intervention, several students presented the schemes in such a way that they were recomposed and enriched in symbolic language, but not all of them gave the correct answer to the problem nor justified it. According to Gerard Vergnaud perspective, this investigation reveals that the process of acquiring the concepts of ratio and proportion has a very complex nature, and many situations are required so that those concepts and the procedures necessary to problem solving get an effective meaning to the student.

O presente artigo tem por objetivo apresentar as análises de uma atividade composta por três situações – duas tarefas e um caso de ensino – , realizada durante uma pesquisa com estudantes de Licenciatura em Matemática de uma Universidade particular paulista. O objetivo foi identificar conhecimentos profissionais dos futuros professores sobre os significados da divisão entre frações. Baseada nos níveis de conhecimento de Ball, Thames e Phelps, nos modelos de divisão de Ma e nos significados da divisão de Pinto e Monteiro, a tarefa analisada concentrou-se nos modelos de divisão estipulados por Pinto e Monteiro como a “divisão como medida” e “partilha”. A pesquisa foi desenvolvida de acordo com conceitos de Design Experiment. A análise dos dados foi feita qualitativamente. Os resultados revelaram que os participantes representam corretamente tanto as frações por meio da partição em figuras indicadas como a expressão da situação problematizada. No entanto, falta-lhes conhecimento para lidar com questões que exigiam a identificação da unidade de referência. Observou-se, ainda, a (re)significação de conhecimentos necessários ao ensino da divisão entre frações a partir das reflexões realizadas durante o experimento.

O objetivo do artigo é apresentar uma proposta de organização do ensino para propiciar a aprendizagem de conceitos matemáticos em meio à resolução de problemas. A partir de um enfoque teórico sobre a aprendizagem e formação de conceitos e a resolução de problemas no ensino de Matemática, delineamos nossa proposta de organização do ensino em quatro etapas: 1) Uso do problema como ponto de partida; 2) Formação do conceito; 3) Definição do conteúdo; 4) Aplicação em novos problemas. A proposta de organização do ensino contribui ao mostrar a importância do foco na aprendizagem de conceitos matemáticos para que os alunos possam transferir o que aprenderam à resolução de problemas, o que evita adotar em sala de aula o simples ato de resolver problemas.

A metodologia de Resolução de Problemas (RP) é utilizada no processo de ensino-aprendizagem como ferramenta para a introdução do conceito de matrizes no Ensino Médio. Uma experiência foi realizada em cinco turmas do 3º ano do Ensino Médio de uma escola pública tradicional da cidade do Rio de Janeiro. O conteúdo proposto aborda, de forma contextualizada, temas do cotidiano dos alunos, de modo a proporcionar uma maior identificação destes com a proposta metodológica. Em três turmas (Grupo 2), os problemas abordados foram postos antes da apresentação formal dos conteúdos, permitindo que os alunos entrassem em contato com problemas cujas soluções ainda não estavam formalizadas. De maneira oposta, em outras duas turmas (Grupo 1), os mesmos problemas foram explorados apenas após a apresentação formal do conteúdo, servindo como aplicação do que havia sido apresentado em sala. Dois aspectos fundamentais devem ser destacados neste trabalho: em três turmas o ensino de matrizes foi realizado através da resolução de problemas; nas outras duas turmas, o tópico abordado foi desenvolvido para a resolução de problemas. Apesar de resultados semelhantes obtidos nos dois grupos, a dinâmica de trabalho RP explicitou uma maior participação dos alunos nas atividades propostas, mostrando maior aproveitamento do conteúdo trabalhado.

Background: in didactics of mathematics, the problem of metadidactic slippage (glissement metadidactique) evidenced by guy Brousseau has been shown for decades. But the school didactic practice proposes behavioural models (mathematics teaching-learning) from which it is manifest that the subject is completely unknown. Objectives: this article intends to present and discuss the metadidactic slippage problem and give some negative examples of its influence, in particular, about the naive interpretation of the so-called pólya heuristic regarding problem solving in mathematics. Design: theoretical research in didactics of mathematics. Setting and participants: focuses on the school didactic practice of problem solving in mathematics. Data collection and analysis: negative examples chosen from among those most diffused in the school world are analysed in the light of modern didactics of mathematics to identify metadidactic slippage in them. Results: thanks to the slippage, the student learns a scheme, or an algorithm, not the desired mathematical topic t, which remains a mystery to the student (and sometimes also to the teacher). Conclusions: before trying to “improve” the teaching-learning of mathematics with temporary and drastic measures, it is better, at least, to study it modestly.

Se presentan tres problemas de Trigonometría plana que fueron propuestos o resueltos en inglés por el marino y matemático español Pedro José Rodríguez Riola en un diario matemático neoyorquino. Se han diseñado asimismo un conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que se apoyan en ellos y cuyos destinatarios son el estudiantado de Bachillerato bilingüe. Three plane trigonometry problems are presented that were proposed or solved in English by the Spanish sailor and mathematician Pedro José Rodríguez Riola in a New York mathematical newspaper. Aset of teaching and learning activities have also been designed that are based on them and whose recipients are the bilingual Hight Schoolstudents.

Neste trabalho, generalizamos três problemas geométricos desafiadores presentes na literatura matemática. Nas generalizações, adotamos os pressupostos teóricos estabelecidos para esse processo e empregamos o GeoGebra para construir figuras e animações. As generalizações propostas e solucionadas estabelecem conexões naturais entre algumas áreas da matemática, destacando a importância dos processos de generalização à construção do conhecimento matemático em cursos de graduação que preparam professores de matemática. Concluímos que o emprego do GeoGebra foi essencial à compreensão abrangente das estruturas para a generalização.