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A numerical coupling of two recent methods in shape and topology optimization of structures is proposed. On the one hand, the level set method, based on the shape derivative, is known to easily handle boundary propagation with topological changes. However, in practice it does not allow for the nucleation of new holes. On the other hand, the bubble or topological gradient method is precisely designed for introducing new holes in the optimization process. Therefore, the coupling of these two methods yields an efficient algorithm which can escape from local minima. It have a low CPU cost since it captures a shape on a fixed Eulerian mesh. The main advantage of our coupled algorithm is to make the resulting optimal design more independent of the initial guess.

International audience; We study the homogenization of a Schrodinger equation in a periodic medium with a time dependent potential. This is a model for semiconductors excited by an external electromagnetic wave. We prove that, for a suitable choice of oscillating (both in time and space) potential, one can partially transfer electrons from one Bloch band to another. This justifies the famous "Fermi golden rule" for the transition probability between two such states which is at the basis of various optical properties of semiconductors. Our method is based on a combination of classical homogenization techniques (two-scale convergence and suitable oscillating test functions) and of Bloch waves theory.

We study the homogenization of a Schr\"{o}dinger equation in a locally periodic medium. For the time and space scaling of semi-classical analysis we consider well-prepared initial data that are concentrated near a stationary point (with respect to both space and phase) of the energy, i.e. the Bloch cell eigenvalue. We show that there exists a localized solution which is asymptotically given as the product of a Bloch wave and of the solution of an homogenized Schr\"{o}dinger equation with quadratic potential.

Two recent methods in shape and topology optimization of structures are combined in order to obtain an efficient optimization algorithm that benefits of advantages from both methods. The level set method, based on the classical shape derivative, is known to easily handle boundary propagation with topological changes. However, in practice it does not allow for the nucleation of new holes (at least in 2-d). The bubble or topological gradient method of Schumacher, Masmoudi, Sokolowski and their co-workers, is precisely designed for introducing new holes in the optimization process. Therefore, the coupling of these two methods yields a robust algorithm which can escape from local minima in a given topological class of shapes. The method we propose is a logical sequel of our previous work [1], [2] where we proposed a numerical method of shape optimization based on the level set method and on shape differentiation. The novelty is in the coupling and in the robustness of the proposed numerical implementation. Our basic algorithm is to iteratively use the shape gradient or the topological gradient in a gradient-based descent algorithm. The tricks are to carefully monitor the decrease of the objective function (to avoid large changes in shape and topology) and to choose the right ratio of successive iterations in each method.We provide several 2-d and 3-d numerical examples for compliance minimization and mechanism design. The main advantage of our coupled algorithm is to make the resulting optimal design largely independent of the initial guess, although local minima may still exist (even in the class of shapes sharing the same topology). Similar numerical results where discussed in [3].

In the context of structural optimization we propose a numerical method based on a combination of the classical shape derivative and of the level set method for front propagation. The shape derivative is used as an advection velocity in a Hamilton-Jacobi equation for changing the shape. This level set method is a low-cost shape capturing algorithm working on a fixed Eulerian mesh. It can easily handle some kind of topology changes. To help the method get out from local minima it is coupled with the topological gradient method that allows the creation of new holes in the structure., Nous proposons une méthode numérique d'optimisation de structures basée sur la combinaison des techniques classiques de dérivation par rapport au domaine et de courbe de niveau pour la propagation de fronts. La dérivée de forme est utilisée comme vitesse de transport dans une équation d'Hamilton-Jacobi pour modifier la forme. Cet algorithme de level set est un peu coûteux en temps de calcul car il capture la forme sur un maillage eulérien fixe. Il prend facilement en compte certaines variations de topologie. Il est couplé avec la méthode du gradient topologique afin de permettre la création de nouveaux trous et tenter d'éviter sa convergence vers des minima locaux.

We are interested in conductive and radiative transfer of energy in the core of gas cooled reactors. Two scales characterize the problem: macroscopic and microscopic. We want to consider the domain like an equivalent homogenous medium. So we use homogenization theory to compute the effective macroscopic properties which take into account the microscopic structure. We first present a full mathematical study of a simpler conduction problem with non linear boundary condition and its simulation with the CEA’s (French Atomic Energy Commissariat) computer code CAST3M. Then we present the homogenization of the real physical problem (including radiative boundary condition).Copyright © 2005 by ASME

This paper is devoted to minimum stress design in structural optimization. The homogenization method is extended to such a framework and yields an efficient numerical algorithm for topology optimization. The main idea is to use a partial relaxation of the problem obtained by introducing special microstructures which are sequential laminated composites. Indeed, the so-called corrector terms of such microgeometries are explicitly known, which allows us to compute the relaxed objective function. These correctors can be interpreted as stress amplification factors, caused by the underlying microstructure.

International audience; We consider the homogenization of a system of second-order equations with a large potential in a periodic medium. Denoting by ε the period, the potential is scaled as ε −2. Under a generic assumption on the spectral properties of the associated cell problem, we prove that the solution can be approximately factorized as the product of a fast oscillating cell eigenfunction and of a slowly varying solution of a scalar second-order equation. This result applies to various types of equations such as parabolic, hyperbolic or eigenvalue problems, as well as fourth-order plate equation. We also prove that, for well-prepared initial data concentrating at the bottom of a Bloch band, the resulting homogenized tensor depends on the chosen Bloch band. Our method is based on a combination of classical homogenization techniques (two-scale convergence and suitable oscillating test functions) and of Bloch waves decomposition.

International audience; In the context of structural optimization we propose a new numericalmethod based on a combination of the classical shape derivative and ofthe level-set method for front propagation. We implement this methodin two and three space dimensions for a model of linear or nonlinearelasticity. We consider various objective functions with weight andperimeter constraints. The shape derivative is computed by an adjointmethod. The cost of our numerical algorithm is moderate since theshape is captured on a fixed Eulerian mesh. Although this method isnot specifically designed for topology optimization, it can easilyhandle topology changes. However, the resulting optimal shape isstrongly dependent on the initial guess.

In the context of structural optimization, we describe a new numerical method based on a combination of the classical shape derivative and of the level-set method for front propagation. We have implemented this method in two and three space dimensions for models of linear or non-linear elasticity, with various objective functions and constraints on the volume or on the perimeter. The shape derivative is computed by an adjoint method. The cost of our numerical algorithm is moderate since the shape is captured on a fixed Eulerian mesh. Although this method is not specifically designed for topology optimization, it can easily handle topology changes.

In one space dimension we address the homogenization of the spectral problem for a singularly perturbed diffusion equation in a periodic medium. Denoting by (Epsilon) the period, the diffusion coefficient is scaled as (Epsilon). The domain is made of two purely periodic media separated by an interface. Depending on the connection between the two cell spectral equations, three different situations arise when (Epsilon) goes to zero. First, there is a global homogenized problem as in the case without an interface. Second, the limit is made of two homogenized problems with a Dirichlet boundary condition on the interface. Third, there is an exponential localization near the interface of the first eigenfunction.

This chapter is devoted to the application of the homogenization method in structural optimization. Namely, we generalize the approach introduced in Chapter 3 for conductivity problems to optimal design problems in the setting of linearized elasticity. We first focus on two-phase optimization problems, which amount to finding the optimal distribution of two elastic components in a fixed domain that minimizes an objective function. This objective function depends on the solution of a state equation, which is here the linearized elasticity system. Like in the conductivity case, this type of problem is generically ill-posed, i.e., it admits no optimal solution in the proposed class of admissible designs. Homogenization theory still provides a notion of generalized designs (which are composite materials in the sense of Chapter 2), which makes the problem well-posed and allows one to derive optimality conditions and new numerical algorithms. There is however a serious additional difficulty in the elasticity setting compared to the conductivity one. Since the homogenization method defines generalized designs as composite materials, it is necessary to know the full set of such two-phase composites. Unfortunately, this set is yet unknown for the mixture of two elastic isotropic components. Therefore, in full generality the homogenization method is useless in the elasticity setting since no explicit characterization of the space of composite admissible designs is available.

This chapter is concerned with optimal design problems in the conductivity setting that we shall treat by the homogenization method. There is a huge variety of optimal design problems, but we focus only on two-phase optimization problems. Such problems are defined as one in which we seek the optimal distribution of two components in a given domain that minimizes a criterion (also called an objective function), computed through the solution of a partial differential equation modeling the conductivity of the whole domain (the state equation). This type of problem includes, as a limit case, shape optimization problems. These are defined as ones in which we seek the shape of a domain (filled with a single material) that minimizes a criterion, computed again through the solution of a state equation. Indeed, if in a two-phase problem the conductivity of one of the components is allowed to go to zero, then, in the limit, this weak component mimics void or holes in the domain, supporting homogeneous Neumann boundary conditions. Therefore, a two-phase problem yields a shape optimization problem, where the boundaries, as well as the topology of the holes (i.e., their number and connectivity), are subject to optimization. In other words, the weak phase with very small conductivity properties mimics holes with current-free boundary conditions. From a physical point of view, this limit procedure is clear, but its mathematical justification is delicate and not always known.

This chapter is concerned with the application of the homogenization theory to the modeling of composite materials. Composite materials are heterogeneous materials obtained by mixing several phases or constituent materials on a very fine (or microscopic) scale. However, one is usually interested only in the large scale (or macroscopic) properties of such a composite. The main problem with composite materials is, therefore, to determine their effective properties without determining their fine scale structure. There is a huge mechanical literature on this topic, and the reader is referred to [1], [52], [81], [132], [133], [136], [145], [207], [216], [244], [246], [264], [287], [289], [290], and references therein. Mathematicians have been interested in composite materials since the 1970’s. Their first main contribution to this field was to give a firm theoretical basis for the notion of effective properties of a composite material. Indeed, homogenization theory permits one to properly define a composite material as a limit, in the sense of homogenization (an H-limit), of a sequence of increasingly finer mixtures of the constituent phases. Effective properties are now defined as homogenized coefficients. The application of homogenization to the modeling of composite materials has became a popular subject in applied mathematics. There is by now an extensive mathematical literature on this topic too.

This paper is devoted to the direct numerical simulation of compressible two-phase flows, i.e. including material interfaces, in an Eulerian framework. Eulerian methods, such as Volume Of Fluid, are easy to handle but suffer from numerical diffusion which spreads out the precise localization of the interface. We discuss some remedies to this loss of accuracy.

This paper is concerned with the homogenization of an eigenvalue problem in a periodic heterogeneous domain for the multigroup neutron diffusion system. Such a model is used for studying the criticality of nuclear reactor cores. We prove that the first eigenvector of the multigroup system in the periodicity cell controls the oscillatory behaviour of the solutions, whereas the global trend is asymptotically given by a homogenized diffusion eigenvalue problem. The neutron flux, corresponding to the first eigenvector of the multigroup system, tends to the product of the first periodic and homogenized eigenvectors. This result justifies and improves the engineering procedure used in practice for nuclear reactor core computation. © 2000 Elsevier Science S.A.

A model representing the vibrations of a coupled fluid-solid structure is considered. This structure consists of a tube bundle immersed in a slightly compressible fluid. Assuming periodic distribution of tubes, this article describes the asymptotic nature of the vibration frequencies when the number of tubes is large. Our investigation shows that classical homogenization of the problem is not sufficient for this purpose. Indeed, our end result proves that the limit spectrum consists of three parts: the macro-part which comes from homogenization, the micro-part and the boundary layer part. The last two components are new. We describe in detail both macro- and micro-parts using the so-called Bloch wave homogenization method. Copyright (C) 1999 John Wiley & Sons, Ltd.

We discuss a method of structural optimization in the context of linear elasticity. We seek the optimal shape of an elastic body which is both of minimum weight and maximal stiffness under specified loadings. Mathematically, a weighted sum of the elastic compliance and of the weight is minimized among all possible shapes. This problem is known to be “ill-posed”, namely there is generically no optimal shape and the solutions computed by classical numerical algorithms are highly sensitive to the initial guess and mesh-dependent. Our method is based on the homogenization theory which makes this problem well-posed by allowing microperforated composites as admissible designs. A new numerical algorithm is thus obtained which allows to capture an optimal shape on a fixed mesh. Such a procedure is called topology optimization since it places no explicit or implicit restriction on the topology of the optimal shape, i.e. on its number of holes or members.

This paper is devoted to an elementary introduction to the homogenization theory and its application to topology and shape optimization of elastic structures. It starts with a brief survey of periodic homogenization, H- or G-convergence, and the mathematical modeling of composite materials. Then, these notions are used for minimum compliance and weight design of elastic structures in two or three space dimension. Theoretical, as well as numerical, aspects of the homogenization method are investigated.

This section is devoted to the derivation of Darcy’s law for an incompressible viscous fluid flowing in a porous medium. Starting from the steady Stokes equations in a periodic porous medium, with a no-slip (Dirichlet) boundary condition on the solid pores, Darcy’s law is rigorously obtained by periodic homogenization using the two-scale convergence method. The assumption of the periodicity of the porous medium is by no means realistic, but it allows casting this problem in a very simple framework and proving theorems without too much effort. We denote by e the ratio of the period to the overall size of the porous medium. It is the small parameter of our asymptotic analysis because the pore size is usually much smaller than the characteristic length of the reservoir. The porous medium is contained in a domain Q, and its fluid part is denoted by TE. From a mathematical point of view, 513E is a periodically perforated domain, i.e., it has many small holes of size e which represent solid obstacles that the fluid cannot penetrate.

We study, for times of order 1/h, solutions of Maxwell's equations in an [Formula: see text] modulation of an h-periodic medium. The solutions are of slowly varying amplitude type built on Bloch plane waves with wavelength of order h. We construct accurate approximate solutions of three scale WKB type. The leading profile is both transported at the group velocity and dispersed by a Schrödinger equation given by the quadratic approximation of the Bloch dispersion relation. A weak ray average hypothesis guarantees stability. Compared to earlier work on scalar wave equations, the generator is no longer elliptic. Coercivity holds only on the complement of an infinite-dimensional kernel. The system structure requires many innovations.

In the context of topology and shape optimization, we minimize the sum of the elastic compliance and of the weight of a two-dimensional structure under specified loading. A relaxed formulation of the original problem which uses composites obtained by microperforation is introduced. A new numerical algorithm is proposed ; it provides a natural link between the previously known method of Bendsoe, Kikuchi, and Suzuki, and that of Allaire and Kohn.

International audience; Following an idea of G. Nguetseng, we define a notion of "two-scale" convergence, which is aimed to a better description of sequences of oscillating functions.Bounded sequences in $L^2(\Omega)$ are proved to be relatively compact with respect to this new type of convergence.We also establish a corrector-type theorem (i.e. which permits, in some cases, to replace a sequence by its "two-scale" limit, up to a strongly convergent remainder in $L^2(\Omega)$).These results are especially useful for the homogenization of partial differential equations with periodically oscillating coefficients.In particular, we propose a new method for proving the convergence of homogenization processes, which is an alternative to the so-called energy method of L. Tartar.The power and simplicity of the two-scale convergence method is demonstrated on several examples, including the homogenization of both linear and non-linear second-order elliptic equations.

In this paper we prove the convergence of the homogenization process of the Stokes equations with Dirichlet boundary condition in a periodic porous medium. We consider here the case where the solid part of the porous medium is connected, and we generalize to this case the results obtained by Tartar (1980).

We consider a second-order elliptic equation in a bounded periodic heterogeneous medium and study the asymptotic behavior of its spectrum, as the structure period goes to zero. We use a new method of Eloch wave homogenization which, unlike the classical homogenization method, characterizes a renormalized limit of the spectrum, namely sequences of eigenvalues of the order of the square of. the medium period. We prove that such a renormalized limit spectrum is made of two parts: the so-called Bloch spectrum, which is explicitly defined as the spectrum of a family of limit problems, and the so-called boundary layer spectrum, which is made of limit eigenvalues corresponding to sequences of eigenvectors concentrating on the boundary of the domain. This analysis relies also on a notion of Bloch measures which can be seen as ad hoc Wigner measures in the context of semi-classical analysis. Finally, for rectangular domains made of entire periodicity cells, a variant of the Bloch wave homogenization method gives an explicit characterization of the boundary layer spectrum too. 0 Elsevier, Paris

International audience; This article addresses one of the major constraints imposed by additive manufacturing processes on shape optimization problems-that of overhangs, i.e. large regions hanging over void without sufficient support from the lower structure. After revisiting the 'classical' geometric criteria used in the literature, based on the angle between the structural boundary and the build direction, we propose a new mechanical constraint functional, which mimics the layer by layer construction process featured by additive manufacturing technologies, and thereby appeals to the physical origin of the difficulties caused by overhangs. This constraint, as well as some variants, are precisely defined; their shape derivatives are computed in the sense of Hadamard's method and numerical strategies are extensively discussed, in two and three space dimensions, to efficiently deal with the appearance of overhang features in the course of shape optimization processes.

International audience; We consider the homogenization of a non-stationary convection-diffusion equation posed in a bounded domain with periodically oscillating coefficients and homogeneous Dirichlet boundary conditions. Assuming that the convection term is large, we give the asymptotic profile of the solution and determine its rate of decay. In particular, it allows us to characterize the ''hot spot'', i.e., the precise asymptotic location of the solution maximum which lies close to the domain boundary and is also the point of concentration. Due to the competition between convection and diffusion the position of the ''hot spot'' is not always intuitive as exemplified in some numerical tests.

The purpose of this note is to report on the recent work [2, 3], where new structural optimization strategies are proposed so that the optimized designs are free of overhang regions, which jeopardize their constructibility by additive manufacturing technologies. After showing numerical evidence that the intuitive angle-based criteria alone are insufficient to overcome this difficulty, a new constraint functional of the domain is introduced, which aggregates the self-weights of all the intermediate structures appearing in the course of the layer by layer assembly of the total structure. The mathematical analysis of this constraint is outlined and an algorithm is proposed to accelerate the significant computational effort entailed by the implementation of these ideas. Eventually, a numerical validation and several concrete examples are discussed.

The level set method applied to shape and topology optimization has recently proven its efficiency and its ability to deal with various models and objective functions. We have extended the classical level set method in order to allow the numerical simulation of the evolution of damage in brittle materials following the Francfort-Marigo model. This model is based on a Griffith energy criterion for the competition between the two phases, healthy and damaged, separated by a sharp interface. In a quasi-static and irreversible framework, the damage configuration is obtained by minimizing a total energy using a gradient descent method. Following the ideas developped for example in in the context of structural topology optimization, the interface is modeled by a level set function which is advected by the energy gradient issued from a shape derivation. The efficiency of this approach will be demonstrated at the conference through several numerical examples in 2d and 3d.

The main contribution of this thesis is the theoretical and the numerical study shape and topology optimization for nonlinear phenomena, like contact, plasticity, and fracture using the level-set method. One application of the contact boundary condition for an idealized-bolt model is also proposed.The governing equations of the three physics dealt with in this thesis: contact, plasticity and damage, are theoretically not shape-differentiable. In each case, we construct an approximation by penalization, regularization or a combination of the two. The approximations for contact and plasticity are shown to be well-posed and to admit solutions that converge to the exact solution. For each physics, the shape sensitivity analysis is performed on the approximate model and the resultant adjoint problem is shown to be well-posed under technical assumptions. The shape optimization is implemented numerically using a level-set method with body-fitted remeshing, which captures the boundary of the shapes while allowing for topology changes. Numerical results are presented in 2D and 3D. We also discuss high-performance computing for linear elasticity and for fracture model, and present a few 3D results.; La contribution principale de cette thèse est l'étude théorique et numérique de l'optimisation topologique pour des phénomènes non-linéaires, comme le contact, la plasticité, et l’endommagement en utilisant la méthode des lignes de niveaux. Une application de la condition de contact dans un modèle de vis idéalisée est aussi proposée. Les trois modèles physiques traités - le contact, la plasticité et l'endommagement - ne sont pas différentiables théoriquement par rapport la forme. Pour chaque modèle nous construisons une approximation par pénalisation, régularisation, ou une combinaison des deux. Les problèmes approchés sont alors bien posés (sauf dans le cas de l'endommagement) et convergent vers les solutions des problèmes initiaux. Pour chaque physique, nous faisons une analyse de sensibilité sur le modèle approché et nous démontrons que le problème d'adjoint est bien posé sous quelques hypothèses. L'optimisation de forme est implémentée numériquement avec une méthode de ligne de niveaux, qui capte le bord des formes, en permettant les changements topologiques. Les résultats numériques sont présentés en 2D et en 3D. Nous abordons le calcul haute performance (HPC) pour l'élasticité linéaire et le modèle de fracture et nous présentons quelques résultats numériques.

Topology optimization is commonly used for mechanical parts. It usually involves a single part and connections to other parts are assumed to be fixed. This thesis proposes an other approach of topology optimization in which connections are design variables, as well as the structure. We focus on standard long bolt with prestressed state. This connection model is idealized to be enough representative but computationally cheap. The idealized model is complemented with mechanical constraints specific to the bolt.The problem is to optimize concurrently the topology and the geometry of a structure, on the one hand, and the locations and the number of bolts, on the other hand. The elastic structure is represented by a level-set function and is optimized with Hadamard's boundary variation method. The locations are optimized using a parametric gradient-based algorithm. The concept of topological derivative is adapted to add a small idealized bolt at the best location with the optimal orientation, and thus optimizes the number of bolts. This coupled topology optimization (shape and connections) is illustrated with 2d and 3d academic test cases. It is then applied on a simplified industrial test case. The coupling provides more satisfactory performance of a part than shape optimization with fixed connections. The approach presented in this work is therefore one step closer to the optimization of assembled systems.; L'optimisation topologique est communément appliquée aux pièces mécaniques. En général, elle n'implique qu'une seule pièce dont les liaisons mécaniques sont supposées fixes. Cette thèse propose une autre approche de l'optimisation topologique où les liaisons sont des variables de conception, au même titre que la géométrie et la topologie de la forme de la pièce. On s'intéresse aux vis longues normalisées avec précontrainte de serrage. Le modèle de la vis est idéalisé, le but étant d'obtenir une représentation fonctionnelle, mais réaliste et peu coûteuse en termes de temps de calcul. Le modèle idéalisé est complété par des contraintes mécaniques spécifiques à la vis.Le problème consiste à optimiser simultanément la structure d'une pièce, d'une part, et les positions et le nombre de vis, d'autre part. La structure élastique est représentée par une fonction ligne de niveaux et elle est optimisée avec la méthode de variations de frontière d'Hadamard. Les positions sont optimisées avec un algorithme de descente de gradient paramétrique. Le concept de gradient topologique est adapté pour ajouter une petite vis idéalisée au meilleur emplacement avec une orientation optimale pour optimiser le nombre de vis. Cette optimisation couplée (structure et liaisons) est illustrée par des cas tests académiques 2d et 3d. Elle est ensuite appliquée à un cas test industriel simplifié. Le couplage fournit une pièce plus performante que l'optimisation de forme à liaisons fixées. Cette approche tend par conséquent à optimiser les systèmes assemblés.

This work investigates path planning optimization for powder bed fusion additive manufacturing processes, and relates them to the design of the built part. The state of the art mainly studies trajectories based on existing patterns and, besides their mechanical evaluation, their relevance has not been related to the object’s shape. We propose in this work a systematic approach to optimize the path without any a priori restriction. The typical optimization problem is to melt the desired structure, without over-heating (to avoid thermally induced residual stresses) and possibly with a minimal path length. The state equation is the heat equation with a source term depending on the scanning path. Two physical 2-d models are proposed, involving temperature constraint: a transient and a steady state one (in which time dependence is removed). Based on shape optimization for the steady state model and control for the transient model, path optimization algorithms are developed. Numerical results are then performed allowing a critical assessment of the choices we made. To increase the path design freedom, we modify the steady state algorithm to introduce path splits. Two methods are compared. In the first one, the source power is added to the optimization variables and an algorithm mixing relaxation-penalization techniques and the control of the total variation is set. In a second method, notion of topological derivative are applied to the path to cleverly remove and add pieces. eventually, in the steady state, we conduct a concurrent optimization of the part’s shape and of the scanning path. This multiphysics optimization problem raises perspectives gathering direct applications and future generalizations.; Cette thèse porte sur l’optimisation des trajectoires de lasage pour la fabrication additive sur lit de poudre, ainsi que leur lien avec la géométrie de la pièce à construire. L’état de l’art est principalement constitué par des trajectoires basées sur des motifs, dont l’impact sur les propriétés mécaniques des objets finaux est quantifié. Cependant, peu d’analyses permettent de relier leur pertinence à la forme de la pièce elle-même. Nous proposons dans ce travail une approche systématique visant à optimiser la trajectoire sans restriction a priori. Le problème d’optimisation consiste à fusionner la structure en évitant de surchauffer (ce qui induirait des contraintes résiduelles) tout en minimisant le temps de fabrication. L’équation d’état est donc l’équation de la chaleur, dont le terme source dépend de la trajectoire. Deux modèles 2-d sont proposés pour contrôler la température : l’un transitoire et le second stationnaire (pas de dépendance en temps). Basés sur des techniques d’optimisation de forme pour le stationnaire et sur des outils de contrôle pour le transitoire, des algorithmes d’optimisation sont développés. Les applications numériques qui en découlent permettent une analyse critique des différents choix effectués. Afin de laisser plus de liberté dans la conception, l’algorithme stationnaire est adapté à la modification du nombre de composantes connexes de la trajectoire lors de l’optimisation. Deux méthodes sont comparées. Dans la première, la puissance de la source est ajoutée aux variables d’optimisation et un algorithme impliquant une relaxation-pénalisation et un contrôle de la variation totale est proposé. Dans la seconde, la notion de dérivation topologique est adaptée à la source. Enfin, dans le cadre stationnaire, nous détaillons le couplage de l’optimisation de la forme de la pièce, pour améliorer ses performances mécaniques, et de la trajectoire de lasage. Ce problème multiphysique ouvre des perspectives d'applications et de généralisations futures.

En étudiant les phénomènes de la propagation d'ondes acoustiques linéaires et non linéaires venant de différents problèmes applicatifs physiques, on s'intéresse en particulier aux bords irréguliers et fractales. On développe les bases mathématiques d'analyse fonctionnelle qui permettent de résoudre des problèmes aux dérivées partielles sur des domaines aux bords irréguliers. Les notions principales requises sont la compacité de l'opérateur de trace sur le bord et la continuité des opérateurs d'extension. On étudie dans ce cadre la régularité maximale des solutions faibles et on définit la notion des domaines Sobolev-admissible, pour représenter la plus large classe des bords et des domaines sur lesquels on pourrait avoir la compacité de l'opérateur de trace et la continuité des opérateurs d'extension, permettant d'avoir les résultats d'existence des solutions faibles ; par exemple, un problème de Poisson avec des conditions mixtes sur le bord. Dans ce cadre générale des bords, en particulier sur des ensembles, on définit l'opérateur Dirichlet-à-Neumann et on précise l'hypothèse de P.-G. de Gennes sur le comportement asymptotique aux temps cours de la vitesse de la propagation de la chaleur entre deux milieux aux coefficients de la diffusion et à la température initiale différente. Ayant considéré différents problèmes de Cauchy pour des modèles d'acoustique non-linéaire (les équations de Kuznetsov, de Westervelt, de KZK et de NPE, qui font parties des modèles de la propagation des ultrasons, dont on a étudié la dérivation et le temps de leur approximation non seulement entre eux, mais également du système de Navier-Stokes/Euler compressible isentropique), on s'intéresse au problème aux limites mixtes pour l'équation de Westervelt, c’est-à-dire, l'équation des ondes non linéaires avec un terme de viscosité, sur les domaines Sobolev-admissibles. On montre comment on peut contrôler la non-linéarité dans le cas d'absence de la régularité H^2. On traite également les questions de Mosco-convergence, pour l'équation de Westervelt en particulier, permettant d'approximer les solutions sur les domaines à bord fractals, plus généralement d-ensembles, avec des solutions sur les domaines Lipschitziens. La philosophie d'approximation et de la convergence, un peu différente, mais assez proche, est utilisée dans les problèmes d'optimisation des formes pour des problèmes aux limites mixtes. Le problème typique d'optimisation des formes est de montrer l'existence dans une classe des domaines, déclarés admissibles, d'un domaine optimale au sens que la solution sur ce domaine du problème aux limites considérés réalise le minimum d'énergie pour des sources et d’autres paramètres du problème fixés. On montre que sur des ensembles aux bords Lipschitziens avec certaines propriétés d'uniformité géométrique il est possible de trouver un infimum de l'énergie acoustique par rapport à la solution d'un problème dissipatif d'Helmholtz, mais pour pouvoir assurer l'existence d'un domaine sur lequel l'énergie réalise son minimum, il faut autoriser au bord d'être un bord fractal (au sens de la dimension bornée du bord).

This work investigates path planning optimization for powder bed fusion additive manufacturing processes, and relates them to the design of the built part. The state of the art mainly studies trajectories based on existing patterns and, besides their mechanical evaluation, their relevance has not been related to the object’s shape. We propose in this work a systematic approach to optimize the path without any a priori restriction. The typical optimization problem is to melt the desired structure, without over-heating (to avoid thermally induced residual stresses) and possibly with a minimal path length. The state equation is the heat equation with a source term depending on the scanning path. Two physical 2-d models are proposed, involving temperature constraint: a transient and a steady state one (in which time dependence is removed). Based on shape optimization for the steady state model and control for the transient model, path optimization algorithms are developed. Numerical results are then performed allowing a critical assessment of the choices we made. To increase the path design freedom, we modify the steady state algorithm to introduce path splits. Two methods are compared. In the first one, the source power is added to the optimization variables and an algorithm mixing relaxation-penalization techniques and the control of the total variation is set. In a second method, notion of topological derivative are applied to the path to cleverly remove and add pieces. eventually, in the steady state, we conduct a concurrent optimization of the part’s shape and of the scanning path. This multiphysics optimization problem raises perspectives gathering direct applications and future generalizations., Cette thèse porte sur l’optimisation des trajectoires de lasage pour la fabrication additive sur lit de poudre, ainsi que leur lien avec la géométrie de la pièce à construire. L’état de l’art est principalement constitué par des trajectoires basées sur des motifs, dont l’impact sur les propriétés mécaniques des objets finaux est quantifié. Cependant, peu d’analyses permettent de relier leur pertinence à la forme de la pièce elle-même. Nous proposons dans ce travail une approche systématique visant à optimiser la trajectoire sans restriction a priori. Le problème d’optimisation consiste à fusionner la structure en évitant de surchauffer (ce qui induirait des contraintes résiduelles) tout en minimisant le temps de fabrication. L’équation d’état est donc l’équation de la chaleur, dont le terme source dépend de la trajectoire. Deux modèles 2-d sont proposés pour contrôler la température : l’un transitoire et le second stationnaire (pas de dépendance en temps). Basés sur des techniques d’optimisation de forme pour le stationnaire et sur des outils de contrôle pour le transitoire, des algorithmes d’optimisation sont développés. Les applications numériques qui en découlent permettent une analyse critique des différents choix effectués. Afin de laisser plus de liberté dans la conception, l’algorithme stationnaire est adapté à la modification du nombre de composantes connexes de la trajectoire lors de l’optimisation. Deux méthodes sont comparées. Dans la première, la puissance de la source est ajoutée aux variables d’optimisation et un algorithme impliquant une relaxation-pénalisation et un contrôle de la variation totale est proposé. Dans la seconde, la notion de dérivation topologique est adaptée à la source. Enfin, dans le cadre stationnaire, nous détaillons le couplage de l’optimisation de la forme de la pièce, pour améliorer ses performances mécaniques, et de la trajectoire de lasage. Ce problème multiphysique ouvre des perspectives d'applications et de généralisations futures.

Topology optimization is commonly used for mechanical parts. It usually involves a single part and connections to other parts are assumed to be fixed. This thesis proposes an other approach of topology optimization in which connections are design variables, as well as the structure. We focus on standard long bolt with prestressed state. This connection model is idealized to be enough representative but computationally cheap. The idealized model is complemented with mechanical constraints specific to the bolt.The problem is to optimize concurrently the topology and the geometry of a structure, on the one hand, and the locations and the number of bolts, on the other hand. The elastic structure is represented by a level-set function and is optimized with Hadamard's boundary variation method. The locations are optimized using a parametric gradient-based algorithm. The concept of topological derivative is adapted to add a small idealized bolt at the best location with the optimal orientation, and thus optimizes the number of bolts. This coupled topology optimization (shape and connections) is illustrated with 2d and 3d academic test cases. It is then applied on a simplified industrial test case. The coupling provides more satisfactory performance of a part than shape optimization with fixed connections. The approach presented in this work is therefore one step closer to the optimization of assembled systems., L'optimisation topologique est communément appliquée aux pièces mécaniques. En général, elle n'implique qu'une seule pièce dont les liaisons mécaniques sont supposées fixes. Cette thèse propose une autre approche de l'optimisation topologique où les liaisons sont des variables de conception, au même titre que la géométrie et la topologie de la forme de la pièce. On s'intéresse aux vis longues normalisées avec précontrainte de serrage. Le modèle de la vis est idéalisé, le but étant d'obtenir une représentation fonctionnelle, mais réaliste et peu coûteuse en termes de temps de calcul. Le modèle idéalisé est complété par des contraintes mécaniques spécifiques à la vis.Le problème consiste à optimiser simultanément la structure d'une pièce, d'une part, et les positions et le nombre de vis, d'autre part. La structure élastique est représentée par une fonction ligne de niveaux et elle est optimisée avec la méthode de variations de frontière d'Hadamard. Les positions sont optimisées avec un algorithme de descente de gradient paramétrique. Le concept de gradient topologique est adapté pour ajouter une petite vis idéalisée au meilleur emplacement avec une orientation optimale pour optimiser le nombre de vis. Cette optimisation couplée (structure et liaisons) est illustrée par des cas tests académiques 2d et 3d. Elle est ensuite appliquée à un cas test industriel simplifié. Le couplage fournit une pièce plus performante que l'optimisation de forme à liaisons fixées. Cette approche tend par conséquent à optimiser les systèmes assemblés.

This work is devoted to shape and topology optimization of multiphysics systemsmotivated by aeronautic industrial applications. Shape derivatives of arbitraryobjective functionals are computed for a weakly coupled thermal fluid-structuremodel. A novel gradient flow type algorithm is then developed for solving genericconstrained shape optimization problems without the need for tuning non-physicalmetaparameters. Motivated by the need for enforcing non-mixing constraints in thedesign of liquid-liquid heat exchangers, a variational method is developed in orderto simplify the numerical evaluation of geometric constraints: it allows to computeline integrals on a mesh by solving a variational problem without requiring theexplicit knowledge of these lines on the spatial discretization. All theseingredients allowed us to implement a variety of 2-d and 3-d multiphysics shapeoptimization test cases: from single, double or three physics problems in 2-d, tomoderately large-scale 3-d test cases for structural design, thermal conduction,aerodynamic design and a fluid-structure interacting system. A final opening chapterderives high order homogenized equations for perforated elliptic systems. These highorder equations encompass the three classical regimes of homogenized modelsassociated with different obstacle's size scalings. They could allow, in futureworks, to develop new topology optimization methods for fluid systems characterizedby multi-scale patterns as commonly encountered in industrial heat exchanger designs., Cette thèse est consacrée à l'optimisation de la topologie et de la forme de systèmesmultiphysiques motivés par des applications de l'industrie aéronautique. Nouscalculons les dérivées de forme de fonctions de coût arbitraires pour un modèlefluide, thermique et mécanique faiblement couplé. Nous développons ensuite unalgorithme de type gradient adapté à la résolution de problèmes d'optimisation deformes sous contraintes qui ne requiert par de réglage de paramètres nonphysiques. Nous introduisons ensuite une méthode variationnelle qui permet decalculer des intégrales le long de rayons sur un maillage par la résolution d'unproblème variationnel qui ne requiert pas la détermination explicite de ces lignessur la discrétisation spatiale. Cette méthode nous a ainsi permis d'imposer unecontrainte de non-mélange de phases pour une application à l'optimisationd'échangeurs de chaleur bi-tubes. Tous ces ingrédients ont été employés pour traiterune variété de cas tests d'optimisation de formes pour des systèmes multi-physiques2-d ou 3-d. Nous avons considéré des problèmes à une seule, deux ou bien troisphysiques couplées en 2-d, et des problèmes de tailles relativement élevées en 3-dpour la mécanique, la conduction thermique, l'optimisation de profils aérodynamiques,et de la forme de systèmes en interaction fluide-structure. Un dernier chapitred'ouverture est consacré à l'étude de modèles homogénéisées d'ordres élevés pour lessystèmes elliptiques perforés. Ces équations d'ordres élevés englobent les troisrégimes homogénéisés classiques associés à divers rapports d'échelles pour la tailledes obstacles. Elles pourraient permettre, dans de futurs travaux, de développer denouvelles méthodes d'optimisation pour les systèmes fluides caractérisés par desmotifs multi-échelles, ainsi que couramment rencontré dans la conception deséchangeurs thermiques industriels.

The nuclear reactor core is a highly heterogeneous medium crowded with numerous solid obstacles and macroscopic thermohydraulic phenomena are directly affected by localized phenomena. However, modern computing resources are not powerful enough to carry out direct numerical simulations of the full core with the desired accuracy. This thesis is devoted to the development of Multiscale Finite Element Methods (MsFEMs) to simulate incompressible flows in heterogeneous media with reasonable computational costs. Navier-Stokes equations are approximated on the coarse mesh by a stabilized Galerkin method, where basis functions are solutions of local problems on fine meshes by taking precisely local geometries into account. Local problems are defined by Stokes or Oseen equations with appropriate boundary conditions and source terms. We propose several methods to improve the accuracy of MsFEMs, by enriching the approximation space of basis functions. In particular, we propose high-order MsFEMs where boundary conditions and source terms are chosen in spaces of polynomials whose degrees can vary. Numerical simulations show that high-order MsFEMs improve significantly the accuracy of the solution. A multiscale simulation chain is constructed to simulate successfully flows in two- and three-dimensional heterogeneous media.; Le cœur d'un réacteur nucléaire est un milieu très hétérogène encombré de nombreux obstacles solides et les phénomènes thermohydrauliques à l'échelle macroscopique sont directement impactés par les phénomènes locaux. Toutefois les ressources informatiques actuelles ne suffisent pas à effectuer des simulations numériques directes d'un cœur complet avec la précision souhaitée. Cette thèse est consacré au développement de méthodes d'éléments finis multi-échelles (MsFEMs) pour simuler les écoulements incompressibles dans un milieu hétérogène avec un coût de calcul raisonnable. Les équations de Navier-Stokes sont approchées sur un maillage grossier par une méthode de Galerkin stabilisé, dans laquelle les fonctions de base sont solutions de problèmes locaux sur des maillages fins prenant précisément en compte la géométrie locale. Ces problèmes locaux sont définis par les équations de Stokes ou d'Oseen avec des conditions aux limites ou des termes sources appropriés. On propose plusieurs méthodes pour améliorer la précision des MsFEMs, en enrichissant l'espace des fonctions de base locales. Notamment, on propose des MsFEMs d'ordre élevée dans lesquelles ces conditions aux limites et termes sources sont choisis dans des espaces de polynômes dont on peut faire varier le degré. Les simulations numériques montrent que les MsFEMs d'ordre élevés améliorent significativement la précision de la solution. Une chaîne de simulation multi-échelle est construite pour simuler des écoulements dans des milieux hétérogènes de dimension deux et trois.

Thanks to the recent developments of the additive manufacturing processes, structures built with modulated microstructures and featuring a complex topology are now manufacturable. This leads to a resurrection of the homogenization method for shape optimization, an approach developed in the 80’s but which progressively faded away because yielding too complex structures for manufacturing processes at this time.The goal of this thesis is to develop shape optimization methods for structures built with modulated locally periodic lattice microstructures.Three steps have been defined. The first consists in computing the homogenized, or effective, elastic properties of microstructures according to few parameters characterizing their geometry. In the second step, the geometric properties of the microstructure and its orientation are optimized in the working domain, yielding a homogenized optimized structure. Such a structure is nevertheless not straightforwardly manufacturable. Indeed, the homogenization is equivalent to have a structure featuring cells whose size is converging to zero. Hence, in the third and last step, a deshomogenization process is proposed. It consists in building a sequence of genuine structures converging to the homogenized optimal structures. The key point is to respect locally the orientation of the cells, which is performed thanks to a grid diffeomorphism.In this thesis, we present the details of the whole method, for isotropic and orthotropic microstructures, in 2D and in 3D.A coupling of this method with the level-set shape optimization method is also presented, thanks which the set of geometric constraints on the final structures may be enlarged., Les développements récents des méthodes de fabrication additive permettent aujourd'hui d'envisager l'usinage de pièces à la topologie complexe, composées de microstructures. Ceci ranime l'intérêt pour les méthodes d'optimisation topologique par méthode d'homogénéisation, développées dans les années 80 et quelque peu oubliées par manque d'applications industrielles.L'objectif de cette thèse est de fournir des méthodes d'optimisation topologique pour des structures constituées de matériau lattice localement périodique, c'est-à-dire dont la microstructure est modulée au sein de la pièce.Trois phases ont été définies. La première consiste à calculer les propriétés élastiques homogénéisées de microstructures en fonction de paramètres définissant leur géométrie. Dans la seconde étape, on optimise la structure constituée de matériau homogénéisé selon les paramètres géométriques de la microstructure ainsi que son orientation. Une structure homogénéisée n'est pas usinable en l'état. En effet, l'homogénéisation revient à considérer que la taille des cellules la composant converge vers zéro. Dans une troisième étape, on propose donc de déshomogénéiser la structure optimisée, c'est-à-dire de construire une suite de structures convergeant vers elle. Pour cela, on introduit un difféomorphisme déformant une grille régulière de sorte que chaque cellule soit orientée selon l'orientation optimale.Nous présentons dans cette thèse les détails de cette méthode, pour des microstructures élastiques isotropes et orthotropes, en deux et en trois dimensions.Nous proposons également un couplage de cette méthode avec la méthode d'optimisation de forme par les lignes de niveau, ce qui permet notamment d'inclure des contraintes géométriques sur les structures finales.

The recent development of Additive Layer Manufacturing (ALM) technologies has made possible new opportunities in terms of design. Complicated shapes and topologies, resulting from dedicated optimisation processes or by the designer decisions, are nowadays attainable. Generally, a Topology Optimisation (TO) step is considered when dealing with ALM structures and today this task is facilitated by commercial software packages, like Altair OptiStruct or Simulia TOSCA. Nevertheless, the freedom granted by ALM is only apparent and there are still major issues hindering a full and widespread exploitation of this technology.The first important shortcoming comes from the integration of the result of a TO calculation into a suitable CAD environment. The optimised geometry is available only in a discretised form, i.e. in terms of Finite Elements (FE), which are retained into the computational domain at the end of the TO analysis. Therefore, the boundary of the optimised geometry is not described by a geometrical entity, hence the resulting topology is not compatible with CAD software that constitutes the natural environment for the designer. A time consuming CAD-reconstruction phase is needed and the designer is obliged to make a considerable amount of arbitrary decisions. Consequently, often the resulting CAD-compatible topology does not meet the optimisation constraints.The second major restriction is related to ALM specific technological requirements that should be integrated directly within the optimisation problem formulation and not later: considering ALM specificity only as post-treatment of the TO task would imply so deep modifications of the component that the optimised configuration would be completely overturned.This PhD thesis proposes a general methodology to overcome the aforementioned drawbacks. An innovative TO algorithm has been developed: it aims at providing a topology description based on purely geometric, intrinsically CAD-compliant entities. In this framework, NURBS and B-Spline geometric entities have been naturally considered and FE analyses are used only to evaluate the physical responses for the problem at hand. In particular, a NURBS/B-Spline geometric entity of dimension D+1 is used to solve the TO problem of dimension D. The D+1 coordinate of the NURBS/B-Spline entity is related to a pseudo-density field that is affected to the generic element stiffness matrix; according to the classical penalisation scheme employed in density-based TO methods.The effectiveness of this approach has been tested on some 2D and 3D benchmarks, taken from literature. The use of NURBS entities in the TO formulation significantly speeds up the CAD reconstruction phase for 2D structures and exhibits a great potential for 3D TO problems. Further, it is proven that geometrical constraints, like minimum and maximum length scales, can be effectively and consistently handled by means of the proposed approach. Moreover, special geometric constraints (not available in commercial tools), e.g. on the local curvature radius of the boundary, can be formulated thanks to the NURBS formulation as well. The robustness of the proposed methodology has been tested by taking into account other mechanical quantities of outstanding interest in engineering, such as buckling loads and natural frequencies.Finally, in spite of the intrinsic CAD-compliant nature of the NURBS-based TO algorithm, some support tools have been developed in order to perform the curve and surface fitting in a very general framework. The automatic curve fitting has been completely developed and an original algorithm is developed for choosing the best values of the NURBS curve parameters, both discrete and continuous. The fundamentals of the method are also discussed for the more complicated surface fitting problem and ideas/suggestions for further researches are provided.; Le développement récent des technologies de fabrication additive par couches (Additive Layer Manufacturing) a généré de nouvelles opportunités en termes de conception. Généralement, une étape d'optimisation topologique est réalisée pour les structures ALM. Cette tâche est aujourd'hui facilitée par des progiciels commerciaux, comme Altair OptiStruct ou Simulia TOSCA. Néanmoins, la liberté accordée par l’ALM est seulement apparente et des problèmes majeurs empêchent une exploitation complète et généralisée de cette technologie.La première lacune importante provient de l'intégration directe du résultat d'un calcul d’optimisation topologique dans un environnement CAO approprié. Quoi qu'il en soit, la géométrie optimisée résultante n'est disponible que sous une forme discrétisée, c'est-à-dire en termes d'éléments finis (FE) obtenus à la fin de l'optimisation. La frontière de la géométrie optimisée n'est pas décrite par une entité géométrique, par conséquent la topologie résultante n'est pas compatible avec les logiciels de CAO qui constituent l'environnement naturel du concepteur. Une phase de reconstruction CAO longue est nécessaire et le concepteur est obligé de prendre une quantité considérable de décisions arbitraires. Souvent la topologie CAO compatible résultante ne répond plus aux contraintes d'optimisation.La deuxième restriction majeure est liée aux exigences technologiques spécifiques à l’ALM qui doivent être intégrées directement dans la formulation du problème d'optimisation: considérer la spécificité de l’ALM uniquement comme un post-traitement de la tâche d’optimisation topologique impliquerait des modifications si importantes de la pièce que la topologie optimisée pourrait être complètement différente de la solution optimisée.Cette thèse propose une méthodologie générale pour résoudre les inconvénients mentionnés ci-dessus. Un algorithme d’optimisation topologique innovant a été développé: il vise à fournir une description de la topologie basée sur des entités NURBS et B-Spline purement géométriques, qui sont nativement CAO compatibles. Dans ce cadre, les analyses éléments finis sont utilisées uniquement pour évaluer les réponses physiques du problème étudié. En particulier, une entité géométrique NURBS / B-Spline de dimension D + 1 est utilisée pour résoudre le problème d’optimisation topologique de dimension D.L'efficacité de cette approche a été testée sur certains benchmarks 2D et 3D, issus de la littérature. L'utilisation d'entités NURBS dans la formulation de l’optimisation topologique accélère considérablement la phase de reconstruction CAO pour les structures 2D et présente un grand potentiel pour les problèmes 3D. En outre, il est prouvé que les contraintes géométriques, comme par exemple les épaisseurs minimale et maximale de matière, peuvent être efficacement et systématiquement traitées au moyen de l'approche proposée. De plus, des contraintes géométriques spéciales (non disponibles dans les outils commerciaux), par exemple le rayon de courbure local de la frontière de la phase solide, peuvent être formulées également grâce à la formulation NURBS. La robustesse de la méthodologie proposée a été testée en prenant en compte d'autres grandeurs mécaniques, telles que les charges de flambement et les fréquences naturelles liées aux modes de vibration.Enfin, malgré la nature intrinsèque de l'algorithme d’optimisation topologique basé sur les NURBS, certains outils ont été développés pour déterminer automatiquement le contour des pièces 2D sous forme de courbe et sous forme de surface dans le cadre 3D. L’identification automatique des paramètres des courbes 2D a été entièrement développée et un algorithme original a été proposé. Les principes fondamentaux de la méthode sont également discutés pour l'identification des paramètres des surfaces limites pour les pièces 3D.

The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation., Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG.

This PhD work presents the implementation of the simulation of two-phase flows in conditions of water-cooled nuclear reactors, at the scale of individual bubbles. To achieve that, we study several models for Thermal-Hydraulic flows and we focus on a technique for the capture of the thin interface between liquid and vapour phases. We thus review some possible techniques for Adaptive Mesh Refinement (AMR) and provide algorithmic and computational tools adapted to patch-based AMR, which aim is to locally improve the precision in regions of interest. More precisely, we introduce a patch-covering algorithm designed with balanced parallel computing in mind. This approach lets us finely capture changes located at the interface, as we show for advection test cases as well as for models with hyperbolic-elliptic coupling. The computations we present also include the simulation of the incompressible Navier-Stokes system, which models the shape changes of the interface between two non-miscible fluids., Ce travail de thèse présente l'implémentation de la simulation d'écoulements diphasiques dans des conditions de réacteurs nucléaires à caloporteur eau, à l'échelle de bulles individuelles. Pour ce faire, nous étudions plusieurs modèles d'écoulements thermohydrauliques et nous focalisons sur une technique de capture d'interface mince entre phases liquide et vapeur. Nous passons ainsi en revue quelques techniques possibles de maillage adaptatif (AMR) et nous fournissons des outils algorithmiques et informatiques adaptés à l'AMR par patchs dont l'objectif localement la précision dans des régions d'intérêt. Plus précisément, nous introduisons un algorithme de génération de patchs conçu dans l'optique du calcul parallèle équilibré. Cette approche nous permet de capturer finement des changements situés à l'interface, comme nous le montrons pour des cas tests d'advection ainsi que pour des modèles avec couplage hyperbolique-elliptique. Les calculs que nous présentons incluent également la simulation du système de Navier-Stokes incompressible qui modélise la déformation de l'interface entre deux fluides non-miscibles.