Search

In questo lavoro di tesi abbiamo analizzato alcuni modelli conformi con perturbazioni integrabili, in particolare il modello di Ising tri-critico e i successivi modelli minimali. Abbiamo costruito un protocollo che realizza questi modelli in un regime fuori dall'equilibrio termodinamico. Questo sistema è stato ottenuto connettendo due sistemi semi-infiniti termalizzati a due diverse temperature. In tempi e spazi grandi ci si aspetta che questo sistema evolva verso uno stato stazionario indipendente dal tempo. Le quantità fisiche di nostro interesse sono le correnti stazionarie generate in tale situazione. Per studiare questo sistema abbiamo utilizzato strumenti di integrabilità come il Bethe ansatz termodinamico, concetti di idrodinamica generalizzata e l'insieme di Gibbs generalizzato. Finora questo schema è stato formulato per le teorie di campo con un'interazione tra le particelle data da una matrice S diagonale, ovvero per i modelli con lo spettro di quasi-particelle prive di gradi di libertà interni. In questa tesi abbiamo proposto un'estensione di questo metodo a un modello dotato di uno spettro contenente quasi-particelle organizzate in multipletti di simmetrie e quindi dotate di gradi di libertà interni detti magnoni con processi d'urto descritti da matrici S non diagonali. Abbiamo quindi risolto numericamente le equazioni differenziali che descrivono il sistema di non equilibrio e abbiamo discusso questi risultati.

Diamo un' introduzione sui due metodi fondamentali per risolvere sistemi integrabili in una dimensione: il Coordinate Bethe Ansatz e l'Algebraic Bethe Ansatz. Concentriamo particolarmente la nostra attenzione su due catene di Heisenberg ampiamente studiate: il modello XXX e il modello XXZ. Successivamente presentiamo una breve panoramica nell'ambito del quench (in inglese il verbo to quench significa spegnere), che ha portato negli ultimi dieci anni a grandi progressi nel campo della fisica del non-equilibrio. Le tecniche fondamentali usate per implementare l'idea del quench sono l' Ensemble di Gibbs Generalizzato e l'Azione Quench. Affrontiamo con più dettagli la tecnica dell' Ensemble di Gibbs Generalizzato, costruito attraverso l' insieme infinito di cariche conservate locali di un sistema integrabile. Recentemente la tecnica dell' Ensemble di Gibbs Generalizzato è stata migliorata, aggiungendo all'insieme di cariche conservate locali, le cosiddette cariche conservate quasilocali. Proponiamo infine un procedimento per costruire un insieme di cariche quasilocali per il modello XXZ nel regime critico, detto anche senza gap (salto), attraverso il cosiddetto Y-system, ovvero un sistema gerarchico di equazioni, che appare spesso nel contesto delle teorie integrabili.

Questo lavoro di tesi si concentra sulla teoria dei Form Factors di operatori locali in due dimensioni. Si espone innanzitutto la teoria dello scattering fattorizzato, propria dei sistemi integrabili, per poi trattare sia classicamente che quantisticamente due modelli integrabili massivi, Sine-Gordon e Sinh-Gordon. Viene esposta l'algebra di Faddeev-Zamolodchikov, per mezzo di cui è possibile trovare lo spazio di Hilbert per modelli integrabili come spazio delle sue rappresentazioni. L'attenzione è infine posta sul regime in cui l'ampiezza relativa alla riflessione solitone-antisolitone nella matrice di scattering è nulla; tale caso si ottiene per valori particolari della costante di accoppiamento del modello di Sine-Gordon, coincidenti con i valori di soglia degli stati legati. Due proposte per l'espressione dei form factors per solitoni sono state prese in considerazione, avanzate una da Lukyanov, l'altra da Babelon, Bernard e Smirnov, tentando un confronto.

Lo studio della dinamica dei sistemi quantistici fuori dall’equilibrio ha introdotto delle problematiche ancora irrisolte in fisica. Negli ultimi anni si è assistito a un enorme progesso teorico in questo campo, mosso da incredibili progressi tecnologici sia nell’ambito di gas atomici e molecolari a basse temperature, che hanno reso possibile la manipolazione di sistemi quantistici con molti gradi di libertà, che in quello di algoritmi in grado di simulare l’evoluzione temporale. In questa lavoro rivolgiamo la nostra attenzione su di un semplice paradigma: lo studio della dinamica fuori dall’equilibrio di sistemi quantistici isolati unidimensionali a seguito della variazione di uno o più parametri del sistema (quench quantistico). In particolare viene studiata la dinamica di catene di spin con simmetria Zn e come questa venga modificata dalla rottura esplicita di tale simmetria. La parte originale del lavoro è nello studio della propagazione dell’entanglement nel modello di Potts con campo longitudinale nella sua fase paramagnetica, dove si è osservato, come recentemente nel modello di Ising con campo longitudinale, un repentino aumento nel tasso di produzione di entanglement. Questo si associa alla comparsa di una nuova particella nello spettro dell’Hamiltoniana dopo il quench. Il fenomeno viene spiegato come la versione fuori dall’equilibrio del noto paradosso di Gibbs. Tutti i risultati numerici della tesi sono stati ottenuti con l’algoritmo iTEBD sviluppato dall’autore.

Negli ultimi anni l’entropia di entaglement è stata ampiamente studiata nel campo dell‘integrabilità. Con l‘introduzione del modello a replica è stato possibile portare alla luce le proprietà universali dell’ entropia di entanglement di un sistema bipartito nello stato di vuoto. In questa tesi si è investigato il problema dell’entropia di entanglement di un sistema bipartito in uno stato eccitato di singola particella. In particolare, si è considerata una teoria bosonica libera in un volume finito, in modo da sfruttare al meglio le tecniche dell‘integrabilità. Nel corso di questa analisi, è stato possibile rielaborare il modello a replica in un volume finito grazie ad un raddoppiamento della teoria bosonica che ha indotto una simmetria U(1) su ogni copia del modello. Tale tecnica, nota in letter- atura come doubling trick ha permesso di ricondurre il calcolo dell’entropia di Renyi a un’opportuna espansione in form factors dei campi U(1) implementanti tale simmetria e valutarne il contributo dominante nel limite in cui il volume è grande. I risultati ottenuti per la Second Rènyi entropy mostrano che in tale limite, l’eccesso di entanglement dovuto allo stato eccitato rispetto a quello di vuoto è indipendente dall’energia dello stato stesso e può essere interpretato come quantità che misura l’incertezza sulla localizzazione dell’eccitazione nelle due parti di cui è composto il sistema.

Nel presente elaborato di tesi, D. Gregori ha sviluppato un metodo ricorsivo molto efficiente, per calcolare gli integrali del moto locali delle teorie conformi quantistiche. Tale calcolo è stato svolto nel contesto della corrispondenza ODE/IM, tra certe equazioni di Schrödinger e i modelli integrabili conformi. A tal fine, è stato sfruttato il semplice comportamento ricorsivo dei cosiddetti polinomi di Gelfand-Dikii, grazie anche a una precedente dimostrazione di D. Fioravanti, concernente l’espansione asintotica, per grande energia, della funzione d’onda. Inoltre, D. Gregori, ha adattato tale dimostrazione alla cosiddetta espansione WKB (nota anche come approssimazione WKB), cioè per piccola constante di Planck, ottenendo così una ricorsione efficiente anche per questo noto metodo di soluzione delle equazioni di Schrödinger con singolarità. Questo nuovo approccio all’approssimazione WKB ha permesso di dimostrare una congettura di W. He a Y. Miao, nel contesto delle teorie di gauge con N = 2 supersimmetrie (SUSY). Inoltre, nel presente elaborato, è stato parzialmente completato un lavoro, molto incompleto e pubblicato postumo, di Al. B. Zamolodchikov, riguardo alla costruzione della corrispondenza ODE/IM per il modello di Liouville, ovvero per carica centrale c ≥ 25. L’equazione della ODE/IM da utilizzare, in questo caso, è l’equazione di Mathieu Generalizzata, così battezzata da Al. B. Zamolodchikov. Per il caso c = 25 "autoduale", tale equazione si riduce all’equazione di Mathieu e questo permette una diretta connessione con le teorie di gauge N = 2 SUSY. In questo caso autoduale, D. Gregori ha dimostrato una congettura di Al. B. Zamolodchikov, secondo cui la funzione T di Baxter delle teorie integrabili coincide con il coseno dell’indice di Floquet dell’equazione di Mathieu; dove quest’ultimo è proporzionale alla deformazione quantistica (nel limite di Nekrasov-Shatashvili) del ciclo classico di Seiberg-Witten, delle teorie di gauge con N = 2 SUSY.

In questo lavoro di tesi vengono presentati inizialmente i postulati della meccanica quantistica, passando poi alla descrizione di stati tramite vettori in uno spazio di Hilbert e, successivamente, alla descrizione tramite l’operatore densità associato al sistema. Introducendo quindi i concetti di qubit e di decomposizione di Schmidt, si mostra il fenomeno chiamato Entanglement, illustrando alcuni esempi. Nel quinto capitolo viene trattata l’Entropia di Von Neumann come stumento per quantificare l’Entanglement di un sistema, mentre nel sesto si discute il problema del paradosso EPR, accompagnato dal teorema di Bell. Viene presentato infine uno degli eseprimenti di Aspect, prova sperimentale della non validità della teoria a varibili nascoste locali di cui Einstein, Podolski e Rosen furono sostenitori.

In questo lavoro di tesi verranno presentati inizialmente i concetti di onda solitaria e di solitone e ne verranno descritte le principali proprietà. Questa prima parte dal carattere prettamente matematico verrà poi sfruttata per analizzare a fondo l'equazione di Sine-Gordon, la quale emerge nelle più disparate aree della fisica. In particolare ne ricaveremo alcune soluzioni solitoniche utilizzando il metodo dello scattering inverso, sviluppato appositamente per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari di questo tipo. Infine, vedremo come l'equazione di Sine-Gordon emerga dallo studio del fenomeno della self-induced transparency.

Recentemente sono stati valutati come fisicamente consistenti diversi modelli non-hermitiani sia in meccanica quantistica che in teoria dei campi. La classe dei modelli pseudo-hermitiani, infatti, si adatta ad essere usata per la descrizione di sistemi fisici dal momento che, attraverso un opportuno operatore metrico, risulta possibile ristabilire una struttura hermitiana ed unitaria. I sistemi PT-simmetrici, poi, sono una categoria particolarmente studiata in letteratura. Gli esempi riportati sembrano suggerire che anche le cosiddette teorie conformi non-unitarie appartengano alla categoria dei modelli PT-simmetrici, e possano pertanto adattarsi alla descrizione di fenomeni fisici. In particolare, si tenta qui la costruzione di determinate lagrangiane Ginzburg-Landau per alcuni modelli minimali non-unitari, sulla base delle identificazioni esistenti per quanto riguarda i modelli minimali unitari. Infine, si suggerisce di estendere il dominio del noto teorema c alla classe delle teorie di campo PT-simmetriche, e si propongono alcune linee per una possibile dimostrazione dell'ipotizzato teorema c_{eff}.

In questa tesi viene affrontato il problema della stabilità delle strutture stellari da un punto di vista relativistico. La stella è approssimata ad un fluido perfetto a simmetria sferica, e le equazioni che ne governano la struttura vengono ricavate grazie alle risoluzione delle equazioni di campo della relatività generale in questo caso particolare. L'approssimazione di fluido perfetto permette anche di ricavare un'equazione di stato che lega densità di energia e pressione tramite un parametro, detto parametro di rigidità. Un'analisi del comportamento della materia al variare della densità consente di stabilire l'andamento di questo parametro, mentre uno studio delle piccole oscillazioni radiali della stella permette di stabilire quali sono i valori del parametro che consentono un equilibrio stabile. La stabilità risulta possibile in due differenti intervalli di densità, che corrispondono ai due tipici stadi finali dell'evoluzione stellare: nana bianca e stella di neutroni. Grazie alle equazioni che descrivono la struttura stellare è possibile stabilire, nei due intervalli di densità, quale sia il valore che la massa della stella non può superare: si ricavano il limite di Chandrasekhar e il limite di Oppenheimer-Volkoff. Infine viene mostrato come la relatività generale imponga un limite assoluto alla stabilità di una distribuzione di materia, sostenuta da una qualsiasi forza della natura: superato questo confine, la materia non può fare altro che collassare in un buco nero.

Scopo di questa tesi é di evidenziare le connessioni tra le categorie monoidali, l'equazione di Yang-Baxter e l’integrabilità di alcuni modelli. Oggetto prinacipale del nostro lavoro é stato il monoide di Frobenius e come sia connesso alle C∗-algebre. In questo contesto la totalità delle dimostrazioni sfruttano la strumentazione dell'algebra diagrammatica. Nel corso del lavoro di tesi sono state riprodotte tali dimostrazioni tramite il più familiare linguaggio dell’algebra multilineare allo scopo di rendere più fruibili questi risultati ad un raggio più ampio di potenziali lettori.

In questa tesi abbiamo studiato il comportamento delle entropie di Entanglement e dello spettro di Entanglement nel modello XYZ attraverso delle simulazioni numeriche. Le formule per le entropie di Von Neumann e di Renyi nel caso di una catena bipartita infinita esistevano già, ma mancavano ancora dei test numerici dettagliati. Inoltre, rispetto alla formula per l'Entropia di Entanglement di J. Cardy e P. Calabrese per sistemi non critici, tali relazioni presentano delle correzioni che non hanno ancora una spiegazione analitica: i risultati delle simulazioni numeriche ne hanno confermato la presenza. Abbiamo inoltre testato l'ipotesi che lo Schmidt Gap sia proporzionale a uno dei parametri d'ordine della teoria, e infine abbiamo simulato numericamente l'andamento delle Entropie e dello spettro di Entanglement in funzione della lunghezza della catena di spin. Ciò è stato possibile solo introducendo dei campi magnetici ''ad hoc'' nella catena, con la proprietà che l'andamento delle suddette quantità varia a seconda di come vengono disposti tali campi. Abbiamo quindi discusso i vari risultati ottenuti.

In questa tesi abbiamo presentato il calcolo dell’Entropia di Entanglement di un sistema quantistico unidimensionale integrabile la cui rappresentazione statistica é data dal modello RSOS, il cui punto critico é una realizzazione su reticolo di tutti i modelli conformi minimali. Sfruttando l’integrabilitá di questi modelli, abbiamo svolto il calcolo utilizzando la tecnica delle Corner Transfer Matrices (CTM). Il risultato ottenuto si discosta leggermente dalla previsione di J. Cardy e P. Calabrese ricavata utilizzando la teoria dei campi conformi descriventi il punto critico. Questa differenza é stata imputata alla non-unitarietá del modello studiato, in quanto la tecnica CTM studia il ground state, mentre la previsione di Cardy e Calabrese si focalizza sul vuoto conforme del modello: nel caso dei sistemi non-unitari questi due stati non coincidono, ma possono essere visti come eccitazioni l’uno dell’altro. Dato che l’Entanglement é un fenomeno genuinamente quantistico e il modello RSOS descrive un sistema statistico classico bidimensionale, abbiamo proposto una Hamiltoniana quantistica unidimensionale integrabile la cui rappresentazione statistica é data dal modello RSOS.

In this work it is presented a study on the sine-Gordon model thermodynamic Bethe Ansatz (TBA) equations, with particular emphasis on its underlying mathematical structures and diagrammatic encoding. An outline of the sine-Gordon model foundations and main features, it is proposed an in-depth review of the TBA system derivation up to its 'raw' formulation. Some Fourier-space identities are introduced in order to simplify the equations and bring them in their 'universal' form. This is done for all the rational values of the sine-Gordon parameter. The 'universal' TBA equations enjoy a diagrammatic representation that casts light on the inherent mathematical structures of the theory. The Y-system formulation is also considered at reflectionless points: possible generalizations are discussed.

This Thesis is centered on the analysis of structures typical of integrable models that are found also in the context of the Schrödinger equation. Among the many relations that can be derived, particular focus is devoted to the study of the Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA) equations, and the related Y-systems, for the Borel resummed version of the quantum periods associated to a given choice of potential function. These quantum periods are defined as loop integrals of formal solutions to the Riccati equation, which get promoted to actual functions through the resummation procedure. They are part of the monodromy data of the equation, and can be used to find exact quantisation conditions that allow to solve for the energy spectrum. Once the type of potential has been selected, the form of the TBA equations for the resummed quantum periods depends on the value chosen for the parameters entering in the potential; the parameter space may be in fact organised in regions, called chambers, differing for the type of TBA. Building on the results found by K. Ito et al. (2019), we have developed an algorithmic procedure that allows to find the TBA equations for the resummed quantum periods associated to a generic polynomial potential, and so in a generic chamber of the related parameter space, only through algebraic manipulations of the Y-system of a minimal chamber, where the form of the Y-system is always known. To further investigate the realm of applicability of this procedure, we then studied its possible implementation for the case of the modified Mathieu equation, a Schrödinger-like equation with a periodic potential, whose relevance lies in a connection with the deformation of the 4d N=2 supersymmetric SU(2) pure gauge theory.