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Vor einiger Zeit hat ein technischer Fachausdruck seinen Weg in die Mathematik gefunden. ”Annealing“ ist ursprunglich ein Begriff aus der Glasherstellung, er bezeichnet das kontrollierte Abkuhlen einer Glasschmelze.

Schon Galilei fiel auf, dass die Unendlichkeit voll von Uberraschungen ist. Als Gedankenexperiment wollen wir heute Kettenbriefe in einer unendlichen Welt verschicken. Die Idee der Kettenbriefe ist bestechend: Ich schicke einen Euro an eine angegebene Adresse und halte die Kette am Leben, indem ich einen Brief an zehn Bekannte weiterleite. Die suchen sich wieder zehn Freunde, und jeder von denen schreibt wieder zehnmal. Insgesamt sind das dann 1000 Personen, die mir nun jeweils einen Euro schicken. Es ist nur schade, dass die gute Idee regelmasig recht bald daran scheitert, dass es keine neuen Mitspieler mehr gibt.

Hier soll ein Problem besprochen werden, fur dessen Losung eine Million Dollar ausgelobt sind. Als Vorbereitung kummern wir uns um die Klassifikation von Losungsverfahren. Jeder weis doch, dass Addieren leichter ist als Multiplizieren. Um das zu prazisieren, schaue man sich fur irgendeine Aufgabe im Zusammenhang mit Zahlen die Anzahl der auftretenden Ziffern an.

Immer wieder hort man die Meinung, dass mathematische Hochstleistungen nur von ganz jungen Forschern zu erwarten sind. Stimmt das? Richtig ist, dass die Mathematik quer durch die Jahrhunderte ganz wichtige Impulse von jungen Wissenschaftlern bekam, die nach heutigen Masstaben noch weit unter der Regelstudienzeit waren.

Mathematiker reagieren etwas sauerlich, wenn sie nach der Bekanntgabe ihres Berufes von ihren Gesprachspartnern gefragt werden: ”Gibt es in der Mathematik denn uberhaupt noch etwas Neues zu entdecken?“. Dass Mathematik spannend ist, hochste kreative Leistungen verlangt und konkrete Losungen fur aktuelle Probleme liefert, hat sich noch nicht zu allen herumgesprochen. Deswegen schauen wir heute zur Imagekorrektur einmal einem Mathematiker uber die Schulter. Um die Problemstellung zu verstehen, stellen wir uns den Harz mit einer dicken und spiegelglatten Eisschicht uberzogen vor. Wenn Sie dann von der Spitze eines Berges zu einem anderen etwa gleich hohen Gipfel gelangen wollen, brauchen Sie nur in der richtigen Richtung herunterzurutschen: Durch die Schwerkraft werden Sie beschleunigt, und die bei der Talfahrt aufgesammelte Energie reicht aus, Sie noch auf den Berg Ihrer Wahl hinaufrutschen zu lassen.

In den letzten Jahrzehnten hat sich immer mehr herausgestellt, dass der Zufall nicht nur ein unberechenbarer Storfaktor ist, sondern auch eine produktive Rolle spielen kann. Von Monte-Carlo-Verfahren war hier schon in Beitrag 73 die Rede: Durch sie kann man komplizierte Rechnungen an den Zufall delegieren. Heute geht es um Grundsatzlicheres, denn der Zufall kann sogar beim Auffinden von Wahrheiten helfen.

In diesem Abschnitt soll skizziert werden, wie stochastische Differentialgleichungen zur Losung partieller Differentialgleichungen benutzt werden. Es handelt sich um Monte-Carlo-Methoden, man muss also ”sehr oft“ simulieren, und die Ergebnisse erhalt man nur approximativ und ”mit hoher Wahrscheinlichkeit soundso genau“.

Vor einigen Jahren war viel von Quantencomputern zu horen, inzwischen ist es etwas stiller darum geworden. Das liegt daran, dass solche Computer zwar unglaubliche Leistungen vollbringen konnten, wenn man sie denn in der erforderlichen Komplexitat bauen konnte, doch muss man zurzeit wohl pessimistisch sein, dass das jemals geschehen wird.

Konnen Sie ein bisschen Schach spielen, kennen Sie wenigstens die Regeln? Einige Aspekte der Mathematik kann man namlich ganz gut erklaren, wenn man sie in andere Bereiche ubersetzt, heute soll dazu die Welt des Schachspiels verwendet werden.

Manchmal verwenden Mathematiker zur Beschreibung eines Sachverhalts Begriffe, die es auch in anderen Bereichen gibt und die dort eine ganz andere Bedeutung haben. Das ist fur Ausenstehende dann manchmal ein bisschen verwirrend.

In diesem Kapitel soll eine beruhmteste Formel der Finanzmathematik hergeleitet werden, die Black-Scholes-Formel . Es ist nicht ubertrieben, die Entdeckung dieser Formel als den Beginn der modernen Finanzmathematik zu bezeichnen. Wir beschreiben in Abschnitt 10.1 das Problem, in Abschnitt 10.2 wird es auf eine partielle Differentialgleichung zuruckgefuhrt (Black-Scholes-Gleichung), und in Abschnitt 10.3 wird die Losung explizit angegeben.

Vor einigen Jahren gab es eine Umfrage unter Mathematikern: Was ist die schonste Formel? Zur Auswahl standen Beispiele aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, am Ende siegte eine Formel, die auf den Mathematiker Euler zuruckgeht. Sie stammt schon aus dem 18. Jahrhundert, Euler war damals Mathematiker am Hof Friedrichs des Grosen in Berlin.

Eine Firma hat in verschiedenen Stadten Deutschlands Geschaftspartner. Nun soll ein Firmenvertreter mit dem Firmenwagen eine Rundreise machen, um ein neues Produkt uberall vorzustellen. Wie sollte er fahren? Naturlich so, dass er uberall vorbeikommt (und auch nur einmal) und dass die zuruckgelegte Gesamtstrecke so klein wie moglich ist. Das Problem, solch eine optimale Route zu finden, ist das (unter Mathematikern) beruhmte ”Problem des Handlungsreisenden“. Der Name suggeriert falschlich, dass es sich um eine sehr spezielle Fragestellung handelt. Das ist nicht so, die gleiche Situation findet man bei sehr vielen Planungsproblemen (z.B. dann, wenn man eine Bohrmaschine zum Vorbereiten der Locher in Leiterplatten optimal steuern mochte).

Betreiben wir die ”richtige“ Mathematik? Die naive Antwort ist ein klares ”ja“, denn viele mathematische Regeln sind an der Lebenserfahrung modelliert und geben diese deswegen auch richtig wieder. Zum Beispiel hangt das abstrakte Ergebnis ”Ungleichungen durfen addiert werden“ mit der Erfahrung zusammen, dass ein Einkauf bei Aldi am Ende billiger ist, als wenn man sich alles in einem Feinkostgeschaft besorgt: Fur jeden einzelnen Artikel ist Aldi gunstiger, und deswegen muss das auch fur die Summe stimmen.

Stellen Sie sich ein Spiel vor, bei dem Sie mit Wahrscheinlichkeit 0.5 Ihren Einsatz verlieren und mit Wahrscheinlichkeit 0.5 den doppelten Einsatz ausgezahlt bekommen. (Man konnte eine Munze werfen: Bei ”Kopf“ ist das Geld weg, und bei ”Zahl“ wird ein Gewinn gemacht.) Das ist sicher ein faires Spiel, aber kann man vielleicht den Zufall uberlisten, kann man mit diesem Spiel reich werden? Im Prinzip ja, es gibt sogar mehrere Moglichkeiten. Die erste scheidet fur uns Sterbliche leider aus: Wer in die Zukunft sehen und das Ergebnis des Munzwurfs voraussagen konnte, musste nur die Spielrunden auswahlen, die zum Gewinn fuhren. Das ist im Mittel jede zweite, in einer Nacht kommt da eine Menge zusammen.

Vor einiger Zeit war es bei Waschmaschinen und Staubsaugern noch ein Gutesiegel, wenn sie mit Fuzzy-Logik arbeiteten. Die bestechende Idee dieser von dem kalifornischen Mathematikprofessor Lotfi Zadeh in den siebziger Jahren vorgeschlagenen Logik besteht darin, der alltaglichen Art zu denken eine mathematische Grundlage zu geben.

Nimmt man ein Blatt Papier und skizziert darauf eine Landkarte, so kann man, um es etwas netter aussehen zu lassen, doch versuchen, die einzelnen Lander zu farben. Dabei wird man sicher aus Grunden der Ubersichtlichkeit Lander verschieden farben wollen, die eine gemeinsame Grenze haben. Wie viele Farben braucht man dafur? Sicher hat man keine Probleme, wenn man so viele Farben hat, wie Lander auf der Karte sind. Es reichen aber offensichtlich weniger, da ja nicht alle Lander mit allen anderen eine gemeinsame Grenze haben konnen. Uberraschenderweise wird man bald feststellen, dass es mit vier Farben immer klappt, wenn man sich nur geschickt genug anstellt.

Rene Descartes war eine bemerkenswerte Personlichkeit. Er beschloss schon in jungen Jahren, sein Leben ganz der Wissenschaft zu widmen. Im ”Discours de la methode“ von 1637 findet man nicht nur die Grundlagen seiner Philosophie (”Cogito, ergo sum“). Das Werk hat auch drei gewichtige Anhange, in denen er in vielen konkreten Fallstudien die Fruchtbarkeit seiner neuen Methode demonstrieren wollte.

Die ”Quadratur des Kreises“ ist in den allgemeinen Sprachgebrauch ubergegangen, man bezeichnet damit die Bewaltigung einer fast unlosbaren Aufgabe. Fur Mathematiker verbirgt sich hinter diesen Worten eine spannende Geschichte, die viele wahrend eines Zeitraums von uber 2000 Jahren faszinierte.

Mathematik gilt – sicher zu Recht – als besonders exakte Wissenschaft. Der strenge logische Aufbau hatte Vorbildfunktion fur viele andere Bereiche in den Natur- und Geisteswissenschaften. Ein beruhmtes Beispiel dafur ist Newtons Hauptwerk, die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Es beginnt mit grundlegenden Begriffen und Annahmen uber die Welt (Was ist Kraft, was ist Masse, wie lauten die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik?), und dann wird daraus streng deduktiv ein Modell der Welt hergeleitet, das die Wissenschaft revolutioniert hat.

Das Gluck gilt als unberechenbar: Es ist auch fur den klugsten Mathematiker unmoglich, mehr als Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten auszurechnen.

Es ist wie mit den Gutachten: Fast egal, welche These man vertreten mochte, es ist nicht allzu schwer, das durch eine geeignete Statistik zu illustrieren. Es folgen einige Beispiele. Mal angenommen, es soll eine Umfrage gemacht werden, ob man den Pfingstmontag nicht wieder zu einem gewohnlichen Arbeitstag degradieren konnte. Je nach Fragestellung werden dann die Antworten sehr unterschiedlich aussehen: Aus Gewerkschaftssicht wird die Frage ganz anders formuliert werden als vom Verband der Unternehmer: Sozialer Besitzstand gegen Erhohung der Attraktivitat des Standorts Deutschland. Beide haben aus ihrer Sicht Recht, aber durch die Formulierung werden schon Vorentscheidungen getroffen, die durch noch so viel Mathematik nicht wieder korrigiert werden konnen.

In der Mathematik ist es hin und wieder so, dass man zwingend logisch beweisen kann, dass es Objekte mit den geforderten Eigenschaften gibt, dass man eventuell aber nicht in der Lage ist, ein konkretes Beispiel zu nennen. Man spricht dann etwas schwerfallig von ”nichtkonstruktiven Existenzaussagen“.

Es ist ein offenes Geheimnis, dass die Mehrheit der Zeitgenossen den Mathematikunterricht ihrer Schulzeit in bemerkenswert schlechter Erinnerung hat. Schulanfanger sind noch Feuer und Flamme, die meisten rechnen mit Begeisterung, und es kann ihnen nicht schnell genug gehen, bis sie endlich bis Hundert zahlen konnen. Das verliert sich leider, irgendwo zwischen Klasse 7 und 9 verandert sich das Ansehen der Mathematik, und danach gehort sie nur noch fur eine kleine Minderheit zu den attraktiven Fachern.

Heute soll wieder einmal von Bemuhungen die Rede sein, Lebenserfahrung mathematisch zu modellieren. Diesmal geht es um das Problem, mogliche Fehlentscheidungen richtig zu bewerten, um eine Grundlage fur die Entscheidung zwischen verschiedenen Handlungen zu haben.

Kinder im Alter von drei bis sechs Jahren konnen ihre Umgebung manchmal dadurch nerven, dass sie immer weiter fragen: Mit einem harmlosen ”Wie funktioniert ein Auto“ geht es los, doch uber die Stichworte Motor, Verbrennung, chemische Reaktion kommen auch Experten ganz schnell zu einem Punkt, an dem ein ”Es ist halt so!“ die Diskussion beendet.

Der Mensch wurde in seiner Entwicklungsgeschichte auf physikalische und mathematische Wahrheiten nur unzulanglich vorbereitet. Fur die Zwecke der Fortpflanzung und des Uberlebens ist wirklich nur ein kleiner Ausschnitt von Bedeutung: mittlere Geschwindigkeiten, Langen, die nicht zu gros und nicht zu klein sind, masig grose Zahlen usw. So, wie man das heute als wahr angesehene Bild der Welt nur schwer verstehen kann, weil bei grosen Geschwindigkeiten sehr merkwurdige Phanomene auftreten, so gibt es auch eine quasi eingebaute Sperre zum Begreifen gewisser mathematischer Sachverhalte.

Es gibt nicht allzu viele deutsche Mathematiker, die auch uber die Fachgrenzen hinaus bekannt sind. Cantor, der Erfinder der Mengenlehre, gehort sicher dazu. Warum ist Mengenlehre eigentlich wichtig, warum wurde sogar von einem ”Paradies der Mengenlehre“ gesprochen, das fur die Mathematik unverzichtbar ist8)? Der Grund besteht darin, dass sich mit Hilfe dieser Theorie samtliche Teilgebiete der Mathematik wunderbar streng deduktiv entwickeln lassen.

Die heutige Hauptperson ist Joseph Fourier, der seine ”Fourier-Analyse“ zu Beginn des 19. Jahrhunderts entwickelte. Er hatte, bedingt durch die Wirren wahrend und nach der franzosischen Revolution, ein sehr abwechslungsreiches Leben. Unter anderem war er mit Napoleon in Agypten, dort schrieb er als Erster einen systematischen wissenschaftlichen Bericht uber agyptische Geschichte und Kultur.

Stellen Sie sich vor, dass Sie in Ihrem Bastelkeller eine ziemlich lange Verlangerungsschnur haben. Sie stecken das eine Ende – den Stecker – in das andere Ende – die Dose – und haben dann einen geschlossenen Stromkreis. Wenn die Verlangerungsschnur vor dieser Aktion mehr oder weniger verschlungen war, so wird sie nun hoffnungslos verknotet sein. Kann man sie, ohne die Stecker zu losen, entknoten, d.h. in einen grosen Kreis legen? Es ist offensichtlich, dass das manchmal klappen wird, manchmal aber auch nicht.

Es ist ein alter Traum, Moglichkeiten dafur zu finden, dass geheime Nachrichten auch wirklich geheim bleiben. Unter dem Namen Kryptographie ist die Verwirklichung des Traums mittlerweile auch ein Teilgebiet der Mathematik geworden, in dem sehr intensiv geforscht wird.

”Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben“: So poetisch formulierte es Galileo Galilei vor fast vierhundert Jahren. Damit meinte er, dass man viele Aspekte der Wirklichkeit in Mathematik ubersetzen kann. Stellen wir uns als Beispiel vor, dass Sie das Wohnzimmer Ihrer neuen Wohnung mit Auslegware verschonern wollen. Dann konnen Sie doch die voraussichtlichen Kosten sehr leicht mit elementarer Geometrie ermitteln: Sie mussen nur die Flache eines Rechtecks berechnen.

In diesem Beitrag soll es wieder um Psychologie gehen: Kennen Sie das Gefuhl, dass es an den anderen Kassen oder Postschaltern immer schneller geht als an der eigenen? Beruhigenderweise geht es allen so, und es ist auch ganz leicht erklarlich.

Es ist wirklich verwirrend mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Stellen Sie sich bitte einen Wurfel vor, wir wollen ihn ganz oft werfen. Einerseits wird immer gesagt, dass bei ”vielen“ Versuchen im Mittel alle Zahlen etwa gleich oft vorkommen. Gleichzeitig wird aber behauptet, dass der Zufall kein Gedachtnis hat, die Chancen also bei jedem neuen Wurf genauso sind wie am Anfang.

Um ein Problem optimal erfassen zu konnen, sollte man es aus einem geeigneten Blickwinkel betrachten. In der Mathematik ist es genau so: Viel Muhe wird darauf verwendet, fur die auftretenden Objekte eine Vielzahl von Darstellungsmoglichkeiten bereit zu stellen, um dann fur die gerade anstehende Frage etwas Passendes zu finden.

Monte-Carlo ist allgemein bekannt: durch das regierende Furstenhaus, die Rallye und die Spielbank. Mathematiker haben bei diesem Namen noch eine andere Assoziation, sie denken an Monte-Carlo-Verfahren. Das sind Rechenverfahren, bei denen der Zufall als Rechenknecht eingesetzt wird.

Ist es Ihnen schon einmal aufgefallen? Wenn man sich Tabellen von Zahlen ansieht, so ist in den meisten Fallen der Gleichheitsgrundsatz verletzt: Eigentlich sollte man doch annehmen, dass als erste Ziffer die ”1“, die ”2“ usw. in etwa gleich haufig vertreten sind, doch das ist im Allgemeinen nicht der Fall. Das ist das Benfordsche Gesetz, benannt ist es nach dem Physiker Frank Benford (1883- 1948). Dabei darf man das Wort ”Gesetz“ nicht so wortlich nehmen, anders als etwa die Newtonschen Gesetze der Mechanik – durch die wirklich von der Natur streng einzuhaltende Regeln beschrieben werden – ist das Benfordsche Gesetz eher ein qualitativer Erklarungsversuch.

Damals stellte Euklid die Grundlagen der ebenen Geometrie systematisch zusammen. Wie verhalten sich die Winkel, wenn man eine Gerade mit zwei anderen parallelen Geraden schneidet, welche Winkelsumme hat ein Dreieck, welche ein Trapez, was bedeutet eine Konstruktion ”mit Zirkel und Lineal“?

Altere werden sich noch – vielleicht mit Schrecken – an die Logarithmenrechnung ihrer Schulzeit erinnern. Hier soll es heute so etwas wie einen Nachruf geben: Logarithmen sind zwar weiterhin fur die Mathematik unersetzlich, in der Welt der Ingenieure und Techniker sind sie aber vom Aussterben bedroht.

Durch die Evolution sind wir gut darauf vorbereitet, Wahrscheinlichkeiten abzuschatzen. In Sekundenbruchteilen bewerten wir eine Situation und entscheiden uns dann: weglaufen oder kampfen, loschen oder lieber alle in Sicherheit bringen, . . . ? Auch sind wir perfekt darin, die Auswirkung von Informationen auf die Veranderung von Wahrscheinlichkeiten zu erfassen. Wenn Sie zum Beispiel einschatzen wollen, ob Ihre neue Freundin an klassischer Musik interessiert ist, so wird die Wahrscheinlichkeit dafur, dass das zutrifft, wohl sehr klein sein, wenn sich herausstellt, dass sie Schumann und Schubert verwechselt.

Aus zwei Grunden sind die durch Bruche darstellbaren Zahlen – die so genannten rationalen Zahlen – von fundamentaler Bedeutung. Erstens gibt es davon so viele, dass alle praktisch wichtigen Zahlen ohne grose Verluste durch eine rationale Zahl ersetzt werden konnen. So darf man zum Beispiel ohne irgendwelche Nachteile bei der Berechnung des Saatguts fur ein kreisrundes Beet die Kreiszahl π durch den Bruch 314/100 ersetzen.

Beginnen wir mit einem Gedankenexperiment. Ihre kleine Tochter hat sich an den PC gesetzt und maltratiert frohlich die Tastatur. Wenn sie das lange genug darf, wird hin und wieder auch einmal ein sinnvolles Wort dabei sein. Kann sie deswegen schon schreiben?