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La question générale étudiée dans ce mémoire d’habilitation est de comprendre dans quelle mesure certains objets mathématiques associés à un groupe peuvent être déformés ou approchés non trivialement. On parle de malléabilité lorsque c'est possible et de rigidité sinon. En fonctions des chapitres, ces objets seront des représentations sur des espaces de Banach, des algèbres d'opérateurs, des espaces Lp non commutatifs ou des graphes de Cayley. Les trois premiers chapitres traitent de rigidité pour les groupes algébriques de rang supérieur dans un cadre linéaire, et plus précisément dans un cadre d'algèbres d'opérateurs, d'analyse harmonique et de représentations de groupes sur des espaces de Banach. On y démontre que les algèbres d’opérateurs associées aux réseaux en rang supérieur ont de très mauvaises propriétés d’approximation, de plus en plus lorque le rang croît. On prouve aussi une forme renforcée de la propriété (T) pour les actions sur les espaces de Banach. Le quatrième chapitre ne porte que sur l'aspect malléabilité. C'est une présentation des mes travaux sur la moyennabilité des groupes discrets et sur ce qu'on appelle les actions extensivement moyennables. Le cinquième et dernier chapitre porte sur mes travaux sur les aspects de malléabilité et de rigidité pour les graphes de Cayley de groupes de présentation finie, et plus généralement pour les graphes transitifs simplement connexes à grande échelle. J'y étudie l'espace topologique de tous les tels graphes, en essayant de comprendre les points isolés (les graphes ``rigides'') et les points non isolés (les graphes ``malléables'').

La question générale étudiée dans ce mémoire d’habilitation est de comprendre dans quelle mesure certains objets mathématiques associés à un groupe peuvent être déformés ou approchés non trivialement. On parle de malléabilité lorsque c'est possible et de rigidité sinon. En fonctions des chapitres, ces objets seront des représentations sur des espaces de Banach, des algèbres d'opérateurs, des espaces Lp non commutatifs ou des graphes de Cayley. Les trois premiers chapitres traitent de rigidité pour les groupes algébriques de rang supérieur dans un cadre linéaire, et plus précisément dans un cadre d'algèbres d'opérateurs, d'analyse harmonique et de représentations de groupes sur des espaces de Banach. On y démontre que les algèbres d’opérateurs associées aux réseaux en rang supérieur ont de très mauvaises propriétés d’approximation, de plus en plus lorque le rang croît. On prouve aussi une forme renforcée de la propriété (T) pour les actions sur les espaces de Banach. Le quatrième chapitre ne porte que sur l'aspect malléabilité. C'est une présentation des mes travaux sur la moyennabilité des groupes discrets et sur ce qu'on appelle les actions extensivement moyennables. Le cinquième et dernier chapitre porte sur mes travaux sur les aspects de malléabilité et de rigidité pour les graphes de Cayley de groupes de présentation finie, et plus généralement pour les graphes transitifs simplement connexes à grande échelle. J'y étudie l'espace topologique de tous les tels graphes, en essayant de comprendre les points isolés (les graphes ``rigides'') et les points non isolés (les graphes ``malléables'').

26 pages; International audience; We prove that connected higher rank simple Lie groups have Lafforgue's strong property (T) with respect to a certain class of Banach spaces E10 containing many classical superreflexive spaces and some non-reflexive spaces as well. This generalizes the result of Lafforgue asserting that SL(3,R) has strong property (T) with respect to Hilbert spaces and the more recent result of the second named author asserting that SL(3,R) has strong property (T) with respect to a certain larger class of Banach spaces. For the generalization to higher rank groups, it is sufficient to prove strong property (T) for Sp(2,R) and its universal covering group. As consequences of our main result, it follows that for the Banach spaces X∈E10, connected higher rank simple Lie groups and their lattices have property (FX) of Bader, Furman, Gelander and Monod, and that the expanders contructed from a lattice in a connected higher rank simple Lie group do not admit a coarse embedding into X.

We characterize the finitely generated groups that admit a Cayley graph whose only automorphisms are the translations, confirming a conjecture by Watkins from 1976. The proof relies on random walk techniques. As a consequence, every finitely generated group admits a Cayley graph with countable automorphism group. We also treat the case of directed graphs., v1: 17 pages v2: 19 pages, improvements in the presentation, Section 6 added. To appear in Annales Henri Lebesgue

��uk proved that if a finitely generated group admits a Cayley graph such that the Laplacian on the links of this Cayley graph has a spectral gap $> \frac{1}{2}$, then the group has property (T), or equivalently, every affine isometric action of the group on a Hilbert space has a fixed point. We prove that the same holds for affine isometric actions of the group on a uniformly curved Banach space (for example an $L^p$-space with $1 < p < \infty$ or an interpolation space between a Hilbert space and an arbitrary Banach space) as soon as the Laplacian on the links has a two-sided spectral gap $>1-\varepsilon$. This criterion applies to random groups in the triangular density model for densities $> \frac{1}{3}$. In this way, we are able to generalize recent results of Dru��u and Mackay to affine isometric actions of random groups on uniformly curved Banach spaces. Also, in the setting of actions on $L^p$-spaces, our results are quantitatively stronger, even in the case $p=2$. This naturally leads to new estimates on the conformal dimension of the boundary of random groups in the triangular model. Additionally, we obtain results on the eigenvalues of the $p$-Laplacian on graphs, and on the spectrum and degree distribution of Erd��s-R��nyi graphs., v2: Major revision; substantial improvements of the main results; 28 pages v3: Minor revision; 29 pages

National audience

A vertex-transitive graph X is called local-to-global rigid if there exists R such that every other graph whose balls of radius R are isometric to the balls of radius R in X is covered by X. Let $d\geq 4$. We show that the 1-skeleton of an affine Bruhat-Tits building of type $\widetilde A_{d-1}$ is local-to-global rigid if and only if the underlying field has characteristic 0. For example the Bruhat-Tits building of $SL(d,F_p((t)))$ is not local-to-global rigid, while the Bruhat-Tits building of $SL(d,Q_p)$ is local-to-global rigid., 11 pages

We prove some noncommutative analogues of a theorem by Plotkin and Rudin about isometries between subspaces of Lp-spaces. Let 0, Comment: 30 pages; revised version of the paper with previous title "Equimeasurabily and isometries in noncommutative Lp-spaces". Changes in the title, presentation and content. Added results on unbounded operators, and applications

If $E$ is an operator space, the non-commutative vector valued $L^p$ spaces $S^p[E]$ have been defined by Pisier for any $1 \leq p \leq \infty$. In this paper a necessary and sufficient condition for a Hankel matrix of the form $(a_{i+j})_{0 \le i,j}$ with $a_k \in E$ to be bounded in $S^p[E]$ is established. This extends previous results of Peller where $E=\C$ or $E=S^p$. The main theorem states that if $1 \leq p < \infty$, $(a_{i+j})_{0 \le i,j}$ is bounded in $S^p[E]$ if and only if there is an analytic function $\phi$ in the vector valued Besov Space $B_p^{1/p}(E)$ such that $a_n = \hat \phi(n)$ for all $n \in \N$. In particular this condition only depends on the Banach space structure of $E$. We also show that the norm of the isomorphism $\phi \mapsto (\hat \phi(i+j))_{i,j}$ grows as $\sqrt p$ as $p \to \infty$, and compute the norm of the natural projection onto the space of Hankel matrices., Comment: 17 pages