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We analyze three non-local models describing the evolutionary dynamics of a continuous phenotypic trait undergoing the joint action of mutations and selection. We establish the existence and uniqueness of the solutions to the Cauchy problem, and give a description of the long-time behaviour of the solution. In the first work we study the replicator-mutator equation in the unbounded domain and generalize to cases of selective values confining the known results in the harmonic case. Namely, the existence of a unique global regular solution, converging towards a universal profile; for this, we use spectral decomposition techniques of Schrödinger operators. In the second work, we discuss a model whose fitness value is density-dependent. In order to show the well-posedness of the equation, we combine two approaches. The first is based on the study of the cumulant generating functions, satisfying a non-local transport equation and making it possible to implicitly obtain the average trait. The second uses a change of variable (Avron-Herbst formula), allowing the solution to be written in terms of the average trait and the solution of the heat equation with the same initial data. Finally, we study a model whose mutation rate is proportional to the average value of the trait. We establish a bijective link between this last model and the second, thus making it possible to describe the dynamics of the solution in detail. In particular, we show the exponential growth of the average trait.; Nous analysons trois modèles non-locaux décrivant la dynamique évolutive d’un trait phénotypique continu soumis à l’action conjointe des mutations et de la sélection. Nous établissons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy, et donnons la description du comportement en temps long de la solution. Dans le premier travail nous étudions l’équation du réplicateur-mutateur en domaine non borné et généralisons aux cas des valeurs sélectives confinantes les résultats connus dans le cas harmonique. À savoir, l’existence d’une unique solution globale, régulière, convergeant en temps long vers un profil universel ; pour cela, nous employons des techniques de décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger. Le deuxième travail traite d’un modèle dont la valeur sélective est densité-dépendante. Afin de montrer le caractère bien posé de l’équation, nous combinons deux approches. La première est basée sur l’étude de la fonction génératrice des cumulants, satisfaisant une équation de transport non locale et permettant d’obtenir implicitement le trait moyen. La deuxième exploite un changement de variable (formule d’Avron-Herbst), permettant d’écrire la solution en termes du trait moyen et de la solution de l’équation de la chaleur avec même donnée initiale. Finalement, nous étudions un modèle dont le taux de mutation est proportionnel à la valeur moyenne du trait. Nous établissons un lien bijectif entre ce dernier modèle et le deuxième, permettant ainsi de décrire finement la dynamique de la solution. Nous montrons en particulier la croissance exponentielle du trait moyen.

We analyze three non-local models describing the evolutionary dynamics of a continuous phenotypic trait undergoing the joint action of mutations and selection. We establish the existence and uniqueness of the solutions to the Cauchy problem, and give a description of the long-time behaviour of the solution. In the first work we study the replicator-mutator equation in the unbounded domain and generalize to cases of selective values confining the known results in the harmonic case. Namely, the existence of a unique global regular solution, converging towards a universal profile; for this, we use spectral decomposition techniques of Schrödinger operators. In the second work, we discuss a model whose fitness value is density-dependent. In order to show the well-posedness of the equation, we combine two approaches. The first is based on the study of the cumulant generating functions, satisfying a non-local transport equation and making it possible to implicitly obtain the average trait. The second uses a change of variable (Avron-Herbst formula), allowing the solution to be written in terms of the average trait and the solution of the heat equation with the same initial data. Finally, we study a model whose mutation rate is proportional to the average value of the trait. We establish a bijective link between this last model and the second, thus making it possible to describe the dynamics of the solution in detail. In particular, we show the exponential growth of the average trait.; Nous analysons trois modèles non-locaux décrivant la dynamique évolutive d’un trait phénotypique continu soumis à l’action conjointe des mutations et de la sélection. Nous établissons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy, et donnons la description du comportement en temps long de la solution. Dans le premier travail nous étudions l’équation du réplicateur-mutateur en domaine non borné et généralisons aux cas des valeurs sélectives confinantes les résultats connus dans le cas harmonique. À savoir, l’existence d’une unique solution globale, régulière, convergeant en temps long vers un profil universel ; pour cela, nous employons des techniques de décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger. Le deuxième travail traite d’un modèle dont la valeur sélective est densité-dépendante. Afin de montrer le caractère bien posé de l’équation, nous combinons deux approches. La première est basée sur l’étude de la fonction génératrice des cumulants, satisfaisant une équation de transport non locale et permettant d’obtenir implicitement le trait moyen. La deuxième exploite un changement de variable (formule d’Avron-Herbst), permettant d’écrire la solution en termes du trait moyen et de la solution de l’équation de la chaleur avec même donnée initiale. Finalement, nous étudions un modèle dont le taux de mutation est proportionnel à la valeur moyenne du trait. Nous établissons un lien bijectif entre ce dernier modèle et le deuxième, permettant ainsi de décrire finement la dynamique de la solution. Nous montrons en particulier la croissance exponentielle du trait moyen.

In this thesis we consider several models of propagation arising in evolutionary epidemiology. We aim at performing a rigorous mathematical analysis leading to new biological insights. At first we investigate the spread of an epidemic in a population of homogeneously distributed hosts on a straight line. An underlying mutation process can shift the virulence of the pathogen between two values, causing an interaction between epidemiology and evolution. We study the propagation speed of the epidemic and the influence of some biologically relevant quantities, like the effects of stochasticity caused by the hosts' finite population size (numerical explorations), on this speed. In a second part we take into account a periodic heterogeneity in the hosts' population and study the propagation speed and the existence of pulsating fronts for the associated (non-cooperative) reaction-diffusion system. Finally, we consider a model in which the pathogen is allowed to shift between a large number of different phenotypes, and construct possibly singular traveling waves for the associated nonlocal equation, thus modelling concentration on an optimal trait.; Cette thèse porte sur différents modèles de propagation en épidémiologie évolutive. L'objectif est d'en faire une analyse mathématique rigoureuse puis d'en tirer des enseignements biologiques. Dans un premier temps nous envisageons le cas d'une population d'hôtes répartis de manière homogène dans un espace linéaire, dans laquelle se propage un pathogène pouvant muter entre deux phénotypes plus ou moins virulents. Ce phénomène de mutation est à l'origine d'une interaction entre les dynamiques évolutive et épidémiologique du pathogène. Nous étudions la vitesse de propagation de l'épidémie et l'existence de fronts progressifs, ainsi que l'influence sur la vitesse de différents facteurs biologiques, comme des effets stochastiques liés à la taille de la population d'hôtes (explorations numériques). Dans un deuxième temps nous envisageons une hétérogénéité spatiale périodique dans la population d'hôtes, et l'existence de fronts pulsatoires pour le système de réaction-diffusion (non-coopératif) associé. Enfin nous considérons un pathogène pouvant muter vers un grand nombre de phénotypes différents et étudions l'existence de fronts potentiellement singuliers, modélisant ainsi une concentration sur un trait optimal.