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Questo elaborato, dopo aver esposto alcune informazioni relative alle origini del Calcolo infinitesimale, si propone di studiare dettagliatamente L’Analista scritto da Berkeley nel 1734 e, soprattutto, di studiare l’effettiva fondatezza delle critiche al Calcolo mosse dall’autore.

Nel capitolo 1 della tesi introduciamo dapprima lo "spazio di Cantor'', uno spazio topologico che contiene tutte le successioni infinite di bit. Affrontiamo poi alcuni concetti classici di teoria della misura, individuando, in particolare, due modalità di introdurre una misura sullo spazio di Cantor. Il primo, basato sul teorema di estensione di Carathéodory, porta a definire la misura di Lebesgue, mentre il secondo permette di definire le misure e la dimensione di Hausdorff. In seguito richiamiamo alcune idee di teoria della computabilità e caratterizziamo le misure immagine della misura di Lebesgue tramite un funzionale di Turing. Questa discussione ci porta a definire la "complessità a priori" di una stringa. Nel secondo capitolo presentiamo la teoria della casualità di Martin-Lof, presentandone tre caratterizzazioni equivalenti. Esaminiamo poi le proprietà computazionali delle successioni casuali. Dimostriamo, in primo luogo che ogni classe effettivamente chiusa di misura positiva contiene rappresentanti per tutti i gradi di Turing di sequenze casuali. In seguito, descriviamo una procedura uniforme che permette di codificare una successione qualunque in una successione casuale (teorema di Kucera). Infine, introduciamo la nozione di stocasticità secondo von-Mises-Church e mostriamo che tutte le sequenze casuali nel senso di Martin-Lof sono stocastiche in questa accezione. Nel terzo capitolo introduciamo il concetto di dimensione effettiva e casualità rispetto alla misura di Hausdorff. Parallelamente, introduciamo una diversa e più forte nozione di casualità per la misura di Hausdorff, che si presta a essere caratterizzata tramite le supermartingale e la complessità a priori definita nel capitolo 1. In base a questi risultati, si ottiene una formula per calcolare la dimensione effettiva: $$\dim_H^1(A)= \lim \inf \frac{K(A|_n)}{n}.$$ La tesi si chiude con due esempi che mostrano che per ogni razionale r esiste una successione di dimensione effettiva r.

Utilizziamo una particolare logica rilevante (paraconsistente) per ricostruire la teoria ingenua degli insiemi senza che questa scada nella banalità. L'obiettivo del testo è mostrare come una logica più debole possa produrre una teoria soddisfacente gestendo le contraddizioni. Metteremo in luce alcune difficoltà formali mentre mostreremo alcuni teoremi insiemistici basilari. Infine cercheremo di definire i numeri ordinali.

L’elaborato tratta la decidibilità della teoria del campo esponenziale reale analizzando analogie e differenze con la teoria dei campi reali chiusi. La teoria dei campi reali chiusi nel linguaggio L:={+,-,*,0,1,<}, che è la teoria del campo dei numeri reali nello stesso linguaggio, ammette eliminazione dei quantificatori e il teorema di Tarski afferma che la teoria è decidibile. In generale se una L-teoria ammette eliminazione dei quantificatori ed esiste una procedura meccanica tale che per ogni L-formula chiusa senza quantificatori dia risposta positiva se essa è un teorema e negativa se non lo è, allora tale teoria è decidibile. La teoria del campo esponenziale reale nel linguaggio L:={+,-,*,0,1,<,exp} non ammette eliminazione dei quantificatori. Per questo motivo per verificare la sua decidibilità è necessario procedere in altro modo. In particolare si dimostra che se vale la congettura di Schanuel allora tale teoria è decidibile. L’idea è quella di dare uno schema di assiomi validi per espansioni opportune della teoria dei numeri reali, dimostrando poi che esiste una teoria ricorsiva che assiomatizza la teoria del campo reale esponenziale. Questo equivale a dire che la teoria è decidibile.

Questo elaborato, dopo aver esposto alcune informazioni relative alle origini del Calcolo infinitesimale, si propone di studiare dettagliatamente L’Analista scritto da Berkeley nel 1734 e, soprattutto, di studiare l’effettiva fondatezza delle critiche al Calcolo mosse dall’autore.

Nel capitolo 1 della tesi introduciamo dapprima lo "spazio di Cantor'', uno spazio topologico che contiene tutte le successioni infinite di bit. Affrontiamo poi alcuni concetti classici di teoria della misura, individuando, in particolare, due modalità di introdurre una misura sullo spazio di Cantor. Il primo, basato sul teorema di estensione di Carathéodory, porta a definire la misura di Lebesgue, mentre il secondo permette di definire le misure e la dimensione di Hausdorff. In seguito richiamiamo alcune idee di teoria della computabilità e caratterizziamo le misure immagine della misura di Lebesgue tramite un funzionale di Turing. Questa discussione ci porta a definire la "complessità a priori" di una stringa. Nel secondo capitolo presentiamo la teoria della casualità di Martin-Lof, presentandone tre caratterizzazioni equivalenti. Esaminiamo poi le proprietà computazionali delle successioni casuali. Dimostriamo, in primo luogo che ogni classe effettivamente chiusa di misura positiva contiene rappresentanti per tutti i gradi di Turing di sequenze casuali. In seguito, descriviamo una procedura uniforme che permette di codificare una successione qualunque in una successione casuale (teorema di Kucera). Infine, introduciamo la nozione di stocasticità secondo von-Mises-Church e mostriamo che tutte le sequenze casuali nel senso di Martin-Lof sono stocastiche in questa accezione. Nel terzo capitolo introduciamo il concetto di dimensione effettiva e casualità rispetto alla misura di Hausdorff. Parallelamente, introduciamo una diversa e più forte nozione di casualità per la misura di Hausdorff, che si presta a essere caratterizzata tramite le supermartingale e la complessità a priori definita nel capitolo 1. In base a questi risultati, si ottiene una formula per calcolare la dimensione effettiva: $$\dim_H^1(A)= \lim \inf \frac{K(A|_n)}{n}.$$ La tesi si chiude con due esempi che mostrano che per ogni razionale r esiste una successione di dimensione effettiva r.

L’elaborato nasce dall’interrogativo circa la correlazione tra esistenza di sottoinsiemi dei numeri reali non misurabili secondo Lebesgue e l’Assioma di scelta (AC). Una riposta in tal senso è fornita dal Teorema di Solovay, che, assumendo l’esistenza di un cardinale inaccessibile, individua un modello di ZF e del Principio delle scelte dipendenti, più debole di AC, in cui tutti i sottoinsiemi dei reali sono misurabili. Elemento cardine della dimostrazione di Solovay è la tecnica del forcing che permette di costruire un’estensione di un modello di una teoria a partire da un filtro generico definito su un ordine parziale. L’estensione ottenuta, presenta delle proprietà che possono essere controllate. Nello specifico, è utile poter intervenire sui cardinali, forzandoli ad avere determinate cardinalità. Dopo aver richiamato i principali risultati riguardanti la misura di Lebesgue, si mostra come sia possibile costruire l’insieme non misurabile di Vitali tramite AC. Si ripercorrono e sviluppano quindi i concetti e i metodi necessari a comprendere la linea dimostrativa del Teorema di Solovay: una volta introdotti nozioni e risultati di base riguardanti la teoria degli insiemi, si definisce l’insieme degli elementi ordinali definibili. Si entra nella trattazione generale della tecnica del forcing. Si definisce la specifica nozione di forcing adottata da Solovay, il Collasso di Levy. Si analizzano i legami tra teoria descrittiva degli insiemi e la misura di Lebesgue. Si delinea la dimostrazione del Teorema di Solovay evidenziando il ruolo giocato dal forcing.

Utilizziamo una particolare logica rilevante (paraconsistente) per ricostruire la teoria ingenua degli insiemi senza che questa scada nella banalità. L'obiettivo del testo è mostrare come una logica più debole possa produrre una teoria soddisfacente gestendo le contraddizioni. Metteremo in luce alcune difficoltà formali mentre mostreremo alcuni teoremi insiemistici basilari. Infine cercheremo di definire i numeri ordinali.

L’elaborato tratta la decidibilità della teoria del campo esponenziale reale analizzando analogie e differenze con la teoria dei campi reali chiusi. La teoria dei campi reali chiusi nel linguaggio L:={+,-,*,0,1,<}, che è la teoria del campo dei numeri reali nello stesso linguaggio, ammette eliminazione dei quantificatori e il teorema di Tarski afferma che la teoria è decidibile. In generale se una L-teoria ammette eliminazione dei quantificatori ed esiste una procedura meccanica tale che per ogni L-formula chiusa senza quantificatori dia risposta positiva se essa è un teorema e negativa se non lo è, allora tale teoria è decidibile. La teoria del campo esponenziale reale nel linguaggio L:={+,-,*,0,1,<,exp} non ammette eliminazione dei quantificatori. Per questo motivo per verificare la sua decidibilità è necessario procedere in altro modo. In particolare si dimostra che se vale la congettura di Schanuel allora tale teoria è decidibile. L’idea è quella di dare uno schema di assiomi validi per espansioni opportune della teoria dei numeri reali, dimostrando poi che esiste una teoria ricorsiva che assiomatizza la teoria del campo reale esponenziale. Questo equivale a dire che la teoria è decidibile.