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A bisecting line divides a polygon in two parts of equal areas and the envelope of bisecting lines $\mathcal{H}$ is a concatenation of hyperbolic arcs. Some concatenation points are cusps, while other are not. In this paper we consider two closely related sets, the mid-point locus $\mathcal{M}$ and the discrete envelope $\mathcal{E}$, that help in characterizing the cusp points. Moreover, these sets allow us to give a natural solution to the inverse problem, i.e., the problem of finding polygons with a given envelope of bisecting lines., Comment: 18 pages, 10 figures

Orientador: Nir Cohen Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: A Tese aborda o problema de recuperação da fase de um objeto original f (uni ou bidimensional), a partir dos dados das amplitudes de sua transformada de Fourier discreta F. O problema é abordado de maneira teórica e numérica. Teoricamente nós tentamos encontrar condições necessárias e suficientes sobre as amplitudes de F a fim de que exista uma solução real f para o problema inverso associado. Para alguns casos particulares, damos uma descrição completa destas condições. No entanto a generalização destas condições para problemas maiores torna-se extremamente complexa, exceto a de um determinado conjunto, C, de identidades, que descrevem certas condições necessárias sobre as amplitudes de F para a solvência do problema e que foram devidamente exibidas nesta tese, tanto para o caso unidimensional quanto bidimensional. Jorge L. C. Sanz afirma em um de seus artigos que existe um certo conjunto, S, de identidades polinomiais que formam condições necessárias para o problema inverso da fase. Sanz conjeturou que encontrar tais identidades seria uma tarefa desafiadora e extremamente complicada. O conjunto C a que nos referimos anteriormente é na verdade um subconjunto de S. Numericamente, nós propomos um novo algoritmo para recuperar as fases de F a partir de suas amplitudes. Esse algoritmo se resume em aplicar um método de otimização Quasi-Newton denominado L-BFGS-B para minimizar a função custo dada pela norma quadrada de um objeto real discreto avaliado fora do suporte. Os comentários acerca da convergência do método bem como sua comparação com outros algoritmos, já existentes, de reconstrução da fase foram devidamente registrados Abstract: The thesis discusses theoretical and numerical aspects of the (one or two dimensional) phase retrieval problem for an object f, from the amplitudes of its Discrete Fourier Transform F. Theoretically we try to find out necessary and sufficient conditions on the amplitudes of F to guarantee the solvability of the related inverse problem. We completely describe these conditions in some particular cases despite their generalization for bigger problems becoming extremely complex. In spite of these difficulties we exhibit, in both the one and two dimensional cases, a certain class, C, of identities that describes some of those necessary conditions. Jorge L. C. Sanz confirms, in one of his papers, the existence of some class, 5, of polinomial identities that are necessary conditions for the phase retrieval problem. He conjectured that to find out such a set of identities would be an overwhelmingly difficult job. Our set C above actually is a subset of S. Numerically, we suggest a new algorithm to recover the phases of F from its amplitudes. Actually this algorithm uses a Quasi-Newton optimization method called L-BFGS-B, to minimize the cost function given by the squared norm of a real discrete object, computed off the support. In addition, we comment on the convergence of the method, as well as its comparison to other phase recovery algorithms Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

O objetivo deste trabalho é estudar os invariantes afins, por transformações afins, invariantes projetivos, por transformações projetivas, e invariantes conformes, por transformações de Mobius, pra certos pares de curvas. Basicamente teremos estes três casos: par de curvas planas tendo uma tangente em comum nos dois pontos de tangência quadrática, par de curvas planas intersectando em um ponto comum, e por fim, par de curvas planas tangentes em um ponto em comum. The objective of this work is to study the affine invariants, by affine transformations, projective invariants, by projective transformations, and conforming invariants, by Mobius transformations, for certain pairs of curves. Basically we will have these three cases: pair of plane curves having a tangent in common at the two points of quadratic tangency, pair of plane curves intersecting at a common point, and finally, pair of tangent plane curves at a common point. Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq

Submitted by Aglair Aguiar (aglair@ct.ufrj.br) on 2020-03-31T01:34:27Z No. of bitstreams: 1 888355.pdf: 1185846 bytes, checksum: 94afd664dd671291b9ecc57ff860874e (MD5) Made available in DSpace on 2020-03-31T01:34:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 888355.pdf: 1185846 bytes, checksum: 94afd664dd671291b9ecc57ff860874e (MD5) Previous issue date: 2018-09 Apresentamos dois métodos baseados em decomposições esparsas que podem detectar anomalias em sequências de vídeo obtidas por câmeras em movimento. O primeiro método estima a união de subespaços (UdS) que melhor representa todos os quadros de um vídeo de referência (livre de anomalias) como uma projeção de baixo-posto mais um resíduo esparso. Em seguida, é realizada uma representação de baixo-posto do vídeo alvo (possivelmente anômalo) aproveitando a UdS e o resíduo esparso calculado a partir do vídeo de referência. As anomalias são extraídas após o pós-processamento destas informações residuais. Esse algoritmo fornece bons resultados de detecção, além de eliminar a necessidade de uma sincronização prévia dos vídeos. No entanto, essa técnica perde eficiência quando os vídeos de referência e alvo apresentam desalinhamentos mais graves entre si. Isso pode ocorrer devido a pequenos movimentos descontrolados da câmera e tremores durante a fase de aquisição. Para estender sua aplicabilidade, uma segunda contribuição é proposta a fim de lidar com esse possível desalinhamento. Isso é feito modelando a discrepância de pose de câmera entre os vídeos de referência e alvo com transformações geométricas agindo no domínio dos quadros do vídeo alvo. Um algoritmo completo de decomposição de matrizes é apresentado para realizar uma representação esparsa do vídeo alvo como uma combinação esparsa do vídeo de referência, levando em consideração as transformações que atuam sobre seus quadros. Nosso método é então verificado e comparado com técnicas de última geração com auxílio de vídeos de uma base desafiadora, apresentando os desalinhamentos em questão. Sob as métricas de avaliação usadas, o segundo método proposto exibe uma melhoria de pelo menos 16% em relação ao primeiro, e 22% sobre o método melhor avaliado logo em seguida. This work presents two methods based on sparse decompositions that can detect anomalies in video sequences obtained from moving cameras. The first method starts by computing the union of subspaces (UoS) that best represents all the frames from a reference (anomaly-free) video as a low-rank projection plus a sparse residue. Then it performs a low-rank representation of the target (possibly anomalous) video by taking advantage of both the UoS and the sparse residue computed from the reference video. The anomalies are extracted after post-processing this video with these residual data. Such algorithm provides good detection results while at the same time obviating the need for previous video synchronization. However, this technique looses its detection efficiency when target and reference videos presents more severe misalignments. This may happen due to small uncontrolled camera moviment and shaking during the acquisition phase, which is often common in realworld situations. To extend its applicability, a second contribution is proposed in order to cope with these possible pose misalignments. This is done by modeling the target-reference pose discrepancy as geometric transformations acting on the domain of frames of the target video. A complete matrix decomposition algorithm is presented in order to perform a sparse representation of the target video as a sparse combination of the reference video plus a sparse residue, while taking into account the transformation acting on it. Our method is then verified and compared against state-of-the-art techniques using a challenging video dataset, that comprises recordings presenting the described misalignments. Under the evaluation metrics used, the second proposed method exhibits an improvement of at least 16% over the first proposed one, and 22% over the next best rated method.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In the 1990s, mathematicians Peter Giblin and Guillermo Sapiro have introduced the theory of affine invariant symmetry sets of plane curves. This dissertation is devoted to the study of some of these symmetry sets centre symmetry sets (CSS), affine distance symmetry set (ADSS) and affine envelope symmetry set (A6'SS) of a a simple closed convex smooth curve. We study these symmetry sets of through the locus of centers of conics and as an envelope of curves. We analyze the conditions of singularities, studying some in particular. We also study conditions of contact of the curve and of the conics that defined this symmetry sets. No final dos anos 1990, os matemáticos Peter Giblin e Guillermo Sapiro introduziram a teoria sobre conjuntos de simetria de curvas planas invariantes por transformações afins. Esta dissertação é dedicada ao estudo de alguns destes conjuntosz 0 conjunto de simetria centml (CSS), 0 conjunto de simetria da distância afim(ADSS) e 0 conjunto de simetria da envolvente afim (A6'SS) de uma curva plana diferenciável fechada e convexa. Estudamos os conjuntos de simetria através do local geométrico dos centros de cônicas e como envolvente de curvas. Analisamos as condições de singularidades de cada um, estudando algumas em particular. Também estudamos condições de contato da curva e das cônicas que definem conjuntos de simetria. O estudo está baseado principalmente nos artigos [16] e [14].

Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais In this work, we study the graphs as invariants of stable Gauss maps from closed surfaces embedded in R3. We study the problem of realization of graphs by stable Gauss maps, emphasizing also cusp number of these maps. Neste trabalho, estudamos os grafos como invariantes de aplicações de Gauss estáveis de superfícies fechadas mergulhadas em R3. Abordamos o problema de realização de grafos por aplicações de Gauss estáveis, enfatizando também o número de cúspides destas aplicações.