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Phytoplankton movement patterns and swimming behavior are important and basic topics in aquatic biology. Heavy tail distribution exists in diverse taxa and shows theoretical advantages in environments. The fat tails in the movement patterns and swimming behavior of phytoplankton in response to the food supply were studied. The log-normal distribution was used for fitting the probability density values of the movement data of Oxyrrhis marina. Results showed that obvious fat tails exist in the movement patterns of O. marina without and with positive stimulations of food supply. The algal cells tended to show a more chaotic and disorderly movement, with shorter and neat steps after adding the food source. At the same time, the randomness of turning rate, path curvature and swimming speed increased in O. marina cells with food supply. Generally, the responses of phytoplankton movement were stronger when supplied with direct prey cells rather than the cell-free filtrate. The scale-free random movements are considered to benefit the adaption of the entire phytoplankton population to varied environmental conditions. Inferentially, the movement pattern of O. marina should also have the characteristics of long-range dependence, local self-similarity and a system of fractional order.

The paper examines the ability of neural networks to classify Internet traffic data in terms of self-similarity expressed by the Hurst exponent. Fractional Gaussian noise is used for the generation of synthetic data for modeling the genuine ones. It is presented that the trained model is capable of classifying the synthetic data obtained from the Pareto distribution and the real traffic data. We present the results of training for different optimizers of the cost function and a different number of convolutional layers in the neural network.

Analyzing equity market co-movements is important for risk diversification of an international portfolio. Copulas have several advantages compared to the linear correlation measure in modeling co-movement. This paper introduces a copula ARMA-GARCH model for analyzing the co-movement of international equity markets. The model is implemented with an ARMA-GARCH model for the marginal distributions and a copula for the joint distribution. After goodness of fit testing, we find that the Student’s t copula ARMA(1,1)-GARCH(1,1) model with fractional Gaussian noise is superior to alternative models investigated in our study where we model the simultaneous co-movement of nine international equity market indexes. This model is also suitable for capturing the long-range dependence and tail dependence observed in international equity markets.

The paper discusses various models of self-similar Internet traffic and techniques for estimating the intensity of Long-Range Dependence (LRD). In the experimental part real data sets collected in IITiS PAN are used together with synthetic LRD flows generated using Fractional Gaussian noise and Markov modulated Poisson processes. We are especially interested in Markov models since they can be incorporated in Markov queueing models, for which powerful analytical and numerical techniques are available.

The necessary scale-based representation of the world leads us to explain why the wavelet theory is the best suited formalism. Its performances are compared to other tools: R/S analysis and empirical modal decomposition method (EMD). The great diversity of analyzing bases of wavelet theory leads us to propose a morphological approach of the analysis. The study is organized into three parts. The first chapter is dedicated to the constituent elements of wavelet theory. Then we will show the surprising link existing between recurrence concept and scale analysis (Daubechies polynomials) by using Pascal's triangle. A general analytical expression of Daubechies' filter coefficients is then proposed from the polynomial roots. The second chapter is the first application domain. It involves edge plasmas of tokamak fusion reactors. We will describe how, for the first time on experimental signals, the Hurst coefficient has been measured by a wavelet-based estimator. We will detail from fbm-like processes (fractional Brownian motion), how we have established an original model perfectly reproducing fBm and fGn joint statistics that characterizes magnetized plasmas. Finally, we will point out the reasons that show the lack of link between high values of the Hurst coefficient and possible long correlations. The third chapter is dedicated to the second application domain which is relative to the backscattered echo analysis of an immersed target insonified by an ultrasonic plane wave. We will explain how a morphological approach associated to a scale analysis can extract the diameter information, La nécessaire représentation en échelle du monde nous amène à expliquer pourquoi la théorie des ondelettes en constitue le formalisme le mieux adapté. Ses performances sont comparées à d'autres outils : la méthode des étendues normalisées (R/S) et la méthode par décomposition empirique modale (EMD).La grande diversité des bases analysantes de la théorie des ondelettes nous conduit à proposer une approche à caractère morphologique de l'analyse. L'exposé est organisé en trois parties.Le premier chapitre est dédié aux éléments constitutifs de la théorie des ondelettes. Un lien surprenant est établi entre la notion de récurrence et l'analyse en échelle (polynômes de Daubechies) via le triangle de Pascal. Une expression analytique générale des coefficients des filtres de Daubechies à partir des racines des polynômes est ensuite proposée.Le deuxième chapitre constitue le premier domaine d'application. Il concerne les plasmas de bord des réacteurs de fusion de type tokamak. Nous exposons comment, pour la première fois sur des signaux expérimentaux, le coefficient de Hurst a pu être mesuré à partir d'un estimateur des moindres carrés à ondelettes. Nous détaillons ensuite, à partir de processus de type mouvement brownien fractionnaire (fBm), la manière dont nous avons établi un modèle (de synthèse) original reproduisant parfaitement la statistique mixte fBm et fGn qui caractérise un plasma de bord. Enfin, nous explicitons les raisons nous ayant amené à constater l'absence de lien existant entre des valeurs élevées du coefficient d'Hurst et de supposées longues corrélations.Le troisième chapitre est relatif au second domaine d'application. Il a été l'occasion de mettre en évidence comment le bien-fondé d'une approche morphologique couplée à une analyse en échelle nous ont permis d'extraire l'information relative à la taille, dans un écho rétrodiffusé d'une cible immergée et insonifiée par une onde ultrasonore

We present a new method to estimate the Hurst parameter. The method exploits the form of the autocorrelation function for second-order self-similar processes and is based on one-pass digital filtration. We compare the performance and properties of the new method with that of the most common methods.

International audience; In order to interpret and explain the physiological signal behaviors, it can be interesting to find some constants among the fluctuations of these data during all the effort or during different stages of the race (which can be detected using a change points detection method). Several recent papers have proposed the long-range dependence (Hurst) parameter as such a constant. However, their results induce two main problems. Firstly, DFA method is usually applied for estimating this parameter. Clearly, such a method does not provide the most efficient estimator and moreover it is not at all robust even in the case of smooth trends. Secondly, this method often gives estimated Hurst parameters larger than $1$, which is the larger possible value for long memory stationary processes. In this article we propose solutions for both these problems and we define a new model allowing such estimated parameters.

This work focuses on the modeling and the estimation of relevant parameters characterizing instantaneous heart rate (HR) signals. We choose to focus especially in an exponent that can be called "Fractal", which indicates the local regularity of the path and the dependency between data. The asymptotic properties of the DFA (Detrended Fluctuation Analysis) function and the deduced estimator of H are studied in the case of fractional Gaussian noise (FGN) and extended to a general class of stationary semi-parametric long-range dependent processes with or without trend. We show that this method is not at all robust. We propose the modeling of HR data with a generalization of FGN, called locally fractional Gaussian noise. Such stationary process is built from a parameter called of local fractality which is a kind of Hurst parameter (that may take values in IR) in restricted band frequency. The estimation of local fractality parameter and also the construction of goodness-of-fit test can be made with wavelet analysis. We also show the relevance of model and an evolution of the parameter during the race. Then, change detection in this parameter can be extremely meaningful. We propose a method detecting multiple abrupt changes of long memory parameter (respectively self-similarity, local fractality). From a wavelet analysis, an estimator of the change points is proved to satisfy a limit theorem. A central limit theorem is established for the estimator of each parameter and a goodness-of-fit test is also built in each zona where the parameter does not change. Finally, we show the same evolution of local fractality parameter relating to HR time series.; Ce travail de thèse porte sur la modélisation et l'estimation de paramètres pertinents pour les signaux de fréquences cardiaques (FC) instantanées. Nous nous intéressons à un paramètre (appelé grossièrement "fractal"), qui témoigne de la régularité locale de la trajectoire et de la dépendance entre les données. Les propriétés asymptotiques de la fonction DFA (Detrended Fluctuation Analysis) et de l'estimateur de H sont étudiées pour le bruit gaussien fractionnaire (FGN) et plus généralement pour une classe semi-paramétrique de processus stationnaires à longue mémoire avec ou sans tendance. On montre que cette méthode n'est pas robuste. On propose la modélisation des séries de FC par une généralisation du FGN, appelée bruit gaussien localement fractionnaire. Un tel processus stationnaire est construit à partir du paramètre dit de fractalité locale (une sorte de paramètre de Hurst avec des valeurs dans IR) sur une bande de fréquences. L'estimation du paramètre est faite par une analyse par ondelettes, tout comme le test d'adéquation. On montre la pertinence du modèle et une évolution du paramètre pendant la course. Une détection des changements de ce paramètre pourrait être extrêmement appropriée. On propose alors une méthode de détection de multiples ruptures du paramètre de longue mémoire (respectivement d'autosimilarité, de fractalité locale). Un estimateur des points de changements est construit, il vérifie un théorème limite. Un théorème de la limite centrale est établi pour l'estimateur des paramètres et un test d'ajustement est mis en place dans chaque zone où le paramètre est inchangé. Enfin, on montre la même évolution du paramètre de fractalité locale sur les FC.

This work focuses on the modeling and the estimation of relevant parameters characterizing instantaneous heart rate (HR) signals. We choose to focus especially in an exponent that can be called "Fractal", which indicates the local regularity of the path and the dependency between data. The asymptotic properties of the DFA (Detrended Fluctuation Analysis) function and the deduced estimator of H are studied in the case of fractional Gaussian noise (FGN) and extended to a general class of stationary semi-parametric long-range dependent processes with or without trend. We show that this method is not at all robust. We propose the modeling of HR data with a generalization of FGN, called locally fractional Gaussian noise. Such stationary process is built from a parameter called of local fractality which is a kind of Hurst parameter (that may take values in IR) in restricted band frequency. The estimation of local fractality parameter and also the construction of goodness-of-fit test can be made with wavelet analysis. We also show the relevance of model and an evolution of the parameter during the race. Then, change detection in this parameter can be extremely meaningful. We propose a method detecting multiple abrupt changes of long memory parameter (respectively self-similarity, local fractality). From a wavelet analysis, an estimator of the change points is proved to satisfy a limit theorem. A central limit theorem is established for the estimator of each parameter and a goodness-of-fit test is also built in each zona where the parameter does not change. Finally, we show the same evolution of local fractality parameter relating to HR time series.; Ce travail de thèse porte sur la modélisation et l'estimation de paramètres pertinents pour les signaux de fréquences cardiaques (FC) instantanées. Nous nous intéressons à un paramètre (appelé grossièrement "fractal"), qui témoigne de la régularité locale de la trajectoire et de la dépendance entre les données. Les propriétés asymptotiques de la fonction DFA (Detrended Fluctuation Analysis) et de l'estimateur de H sont étudiées pour le bruit gaussien fractionnaire (FGN) et plus généralement pour une classe semi-paramétrique de processus stationnaires à longue mémoire avec ou sans tendance. On montre que cette méthode n'est pas robuste. On propose la modélisation des séries de FC par une généralisation du FGN, appelée bruit gaussien localement fractionnaire. Un tel processus stationnaire est construit à partir du paramètre dit de fractalité locale (une sorte de paramètre de Hurst avec des valeurs dans IR) sur une bande de fréquences. L'estimation du paramètre est faite par une analyse par ondelettes, tout comme le test d'adéquation. On montre la pertinence du modèle et une évolution du paramètre pendant la course. Une détection des changements de ce paramètre pourrait être extrêmement appropriée. On propose alors une méthode de détection de multiples ruptures du paramètre de longue mémoire (respectivement d'autosimilarité, de fractalité locale). Un estimateur des points de changements est construit, il vérifie un théorème limite. Un théorème de la limite centrale est établi pour l'estimateur des paramètres et un test d'ajustement est mis en place dans chaque zone où le paramètre est inchangé. Enfin, on montre la même évolution du paramètre de fractalité locale sur les FC.

In semi-parametric models, the long-range dependence parameter is estimated without assuming that the short-range dependence structure of the covariance function is known. We review some of the estimation methods and present new ones which have not been tested before on simulated data.