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This thesis deals with anisotropic regular random fields, defined on the Euclidian space and studied from a geometric perspective. Some of our framework is Gaussian. We focus on three geometric characteristics: the number of critical points, the level sets measure and the Euler characteristic of excursion sets. Our main tools are Rice formulas for the expectation and the variance. We first address the question of the finiteness of the variance of the number of critical points of a stationary and Gaussian random field. The so-called Geman condition, which is known as a sufficient condition in dimension one, is extended to higher dimensions and to an anisotropic setting. Then two different anisotropic models are studied. On the one hand, the anisotropy of the deformed random field model (studied in dimension two) is due to a deterministic deformation of the parameter space. We give an explicit characterization of the deformations that preserve the isotropy of deformed random field. The cases of isotropy are proved to match a certain invariance property of the expected Euler characteristic of some excursion sets. This geometric characteristic also allows to identify the deformation of the model, when the latter is unknown. On the other hand, the anisotropy of the random wave model stems from the spectral domain. Our anisotropic random wave model allows to generalize existing models, for instance Berry’s planar waves and a spatiotemporal sea wave model. Our purpose is tolink geometric characteristics of a random wave, such as the expected measure of its level sets, with the distribution of its random wavevector, in particular its moments of finite order and its directional statistics. Considering Berry’s anisotropic planar waves, we prove that the expected length of its nodal lines is a decreasing function of the anisotropy of the random wavevector., Cette thèse a pour sujet l’étude géométrique de champs aléatoires anisotropes réguliers, définis sur l’espace euclidien, en partie dans le cadre gaussien. Nous nous intéressons à trois caractéristiques géométriques: le nombre de points critiques, la mesure des ensembles de niveaux et la caractéristique d’Euler des ensembles d’excursion. Des formules de Rice permettent d’exprimer leur espérance ou leur variance. Nous proposons d’abord une condition suffisante sous laquelle le nombre de points critiques d’un champ stationnaire gaussien est de variance finie. Cette condition s’avère être une généralisation de la condition de Geman, connue en dimension un, au cadre multidimensionnel et anisotrope. Nous étudions ensuite deux modèles de champs aléatoires anisotropes. Pour les champs déformés, en dimension deux, l’anisotropie est liée à une déformation de l’espace des paramètres par unebijection du plan déterministe. Nous exhibons les déformations qui préservent l’isotropie, et nous prouvons que les champs déformés correspondants sont caractérisés par une propriété d’invariance de la caractéristique d’Euler moyenne de leurs ensembles d’excursion. Cette même caractéristique permet d’identifier les déformations en jeu, lorsque celles-ci sont inconnues. L’anisotropie des ondes aléatoires, quant à elles, est liée au domaine spectral. Notre modèle d’onde aléatoire anisotrope permet de généraliser plusieurs modèles existant, tels que les ondes planaires de Berry et un modèle spatio-temporel pour l’étude des vagues. On met en évidence la dépendance entre des caractéristiques géométriques d’une onde (en particulier l’espérance de la mesure de ses ensembles de niveau) et la loi de son vecteur d’onde (notamment ses moments et ses statistiques directionnelles). La longueur moyenne des lignes nodales du modèle planaire anisotrope de Berry s’avère décroître à mesure que l’anisotropie du vecteur d’onde augmente.

Thèse réalisée au laboratoire MAP5 de l'université Paris Descartes.; This thesis deals with anisotropic regular random fields, defined on the Euclidian space and studied from a geometric perspective. Some of our framework is Gaussian. We focus on three geometric characteristics: the number of critical points, the level sets measure and the Euler characteristic of excursion sets. Our main tools are Rice formulas for the expectation and the variance. We first address the question of the finiteness of the variance of the number of critical points of a stationary and Gaussian random field. The so-called Geman condition, which is known as a sufficient condition in dimension one, is extended to higher dimensions and to an anisotropic setting. Then two different anisotropic models are studied. On the one hand, the anisotropy of the deformed random field model (studied in dimension two) is due to a deterministic deformation of the parameter space. We give an explicit characterization of the deformations that preserve the isotropy of deformed random field. The cases of isotropy are proved to match a certain invariance property of the expected Euler characteristic of some excursion sets. This geometric characteristic also allows to identify the deformation of the model, when the latter is unknown. On the other hand, the anisotropy of the random wave model stems from the spectral domain. Our anisotropic random wave model allows to generalize existing models, for instance Berry’s planar waves and a spatiotemporal sea wave model. Our purpose is tolink geometric characteristics of a random wave, such as the expected measure of its level sets, with the distribution of its random wavevector, in particular its moments of finite order and its directional statistics. Considering Berry’s anisotropic planar waves, we prove that the expected length of its nodal lines is a decreasing function of the anisotropy of the random wavevector.; Cette thèse a pour sujet l’étude géométrique de champs aléatoires anisotropes réguliers, définis sur l’espace euclidien, en partie dans le cadre gaussien. Nous nous intéressons à trois caractéristiques géométriques: le nombre de points critiques, la mesure des ensembles de niveaux et la caractéristique d’Euler des ensembles d’excursion. Des formules de Rice permettent d’exprimer leur espérance ou leur variance. Nous proposons d’abord une condition suffisante sous laquelle le nombre de points critiques d’un champ stationnaire gaussien est de variance finie. Cette condition s’avère être une généralisation de la condition de Geman, connue en dimension un, au cadre multidimensionnel et anisotrope. Nous étudions ensuite deux modèles de champs aléatoires anisotropes. Pour les champs déformés, en dimension deux, l’anisotropie est liée à une déformation de l’espace des paramètres par unebijection du plan déterministe. Nous exhibons les déformations qui préservent l’isotropie, et nous prouvons que les champs déformés correspondants sont caractérisés par une propriété d’invariance de la caractéristique d’Euler moyenne de leurs ensembles d’excursion. Cette même caractéristique permet d’identifier les déformations en jeu, lorsque celles-ci sont inconnues. L’anisotropie des ondes aléatoires, quant à elles, est liée au domaine spectral. Notre modèle d’onde aléatoire anisotrope permet de généraliser plusieurs modèles existant, tels que les ondes planaires de Berry et un modèle spatio-temporel pour l’étude des vagues. On met en évidence la dépendance entre des caractéristiques géométriques d’une onde (en particulier l’espérance de la mesure de ses ensembles de niveau) et la loi de son vecteur d’onde (notamment ses moments et ses statistiques directionnelles). La longueur moyenne des lignes nodales du modèle planaire anisotrope de Berry s’avère décroître à mesure que l’anisotropie du vecteur d’onde augmente.

A deterministic application $\theta\,:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ deforms bijectively and regularly the plane and allows to build a deformed random field $X\circ\theta\,:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ from a regular, stationary and isotropic random field $X\,:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$. The deformed field $X\circ\theta$ is in general not isotropic, however we give an explicit characterization of the deformations $\theta$ that preserve the isotropy. Further assuming that $X$ is Gaussian, we introduce a weak form of isotropy of the field $X\circ\theta$, defined by an invariance property of the mean Euler characteristic of some of its excursion sets. Deformed fields satisfying this property are proved to be strictly isotropic. Besides, assuming that the mean Euler characteristic of excursions sets of $X\circ\theta$ over some basic domains is known, we are able to identify $\theta$., Comment: 23 pages