Search

Одной из фундаментальных задач математической физики является изучение поведение колеблющейся струны, которая некорректна, если краевые условия заданы на всей границе области. А.В.Бицадзе и А.М.Нахушев отметили,что задача Дирихле некорректна(в смысле однозначной разрешимости) не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. С.А.Алдашевым ранее была изучена задача Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений, где была доказана однозначная разрешимость этой задачи, котоая существенно зависит от высоты рассматриваемой цилиндрической области. В данной статье показана разрешимость задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка.

Корректность краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучены. При исследовании ана- логичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают труд- ности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряют свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. В цилиндрической области евклидо- ва пространства для одного класса многомерных эллиптических уравнений рассматривается спектральная задача Дирихле с однородными краевыми условиями. Решение ищется в виде разложения по многомерным сферическим функциям. Доказаны теоремы существования и единственности решения. Получены условия однозначной разрешимости поставленной зада- чи, которые существенно зависят от высоты цилиндра.

Разрешимость и построение общего решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода относятся к числу мало исследованных проблем математики. Существуют различные подходы к решению данной проблемы. Следует отметить следующие методы решения некор- ректной задачи: метод регуляризации, метод последовательных приближений, метод неопре- деленных коэффициентов. Цель данной работы создание нового метода для разрешимости и построение решения интегрального уравнения первого рода. Как следует из вышеизложенно- го, исследования разрешимости и построение решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода является актуальным. В данной работе рассматриваются разрешимость и по- строение решения матричного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Постро- ение приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Получен- ные результаты верны для матричного интегрального уравнения Фредгольма первого рода, как с несимметричным ядром, так и с симметричным. Предлагается новый метод исследо- вания разрешимости и построения решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Получены необходимое и достаточное условия существования решения при заданной правой части, для двух случаев: когда искомая функция принадлежит пространству L2; ис- комая функция принадлежит заданному множеству из L2: Получены условия разрешимости и метод построения приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены,где исследованы задача Трикоми и первая краевая задача. Смешанная задача, характеристиче- ская задача Коши и задача Дарбу для многомерных гиперболо-параболических уравнений ранее рассмотрены. Проблема задачи Трикоми для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях ставилась и исследовалась разными авторами. Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо - параболических уравнений на плоскости также хорошо изу- чены. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы. Коррект- ности задач Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений доказа- ны. В данной работе в цилиндрической области для трехмерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка цилиндрической области показана разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле.

Корректность краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучены. При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряют свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. В работах С.А. Алдашева, показана однозначная разрешимость и получен явный вид задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных эллиптико-параболических уравнений. В данной работе для трехмерных эллиптико-параболических уравнений с вырождением типа и порядка в цилиндрической области показано разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле.