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In this paper we propose an algebraic model for a modal epistemic logic. Although it is known the existence of algebraic models for modal logics, considering that there are so many different modal logics, so it is not usual to give an algebraic model for each such system. The basic epistemic logic used in the paper is bimodal and we can show that the epistemic algebra introduced in the paper is an adequate model for it.

We present the closure operators and detach several distinct topics of mathematics in which we can observe the action of these closure operators. So, we can see these operators as a trans-topic concept. Considering that these mathematics theories can be applied to so many fields, then we enhance the closure operators as a transdisciplinary notion.

Neste trabalho, propomos a junção de dois tópicos algébricos bastante conhecidos, de modo independentes, e como eles se relacionam com sistemas lógicos subjacentes. Os tópicos algébricos são os reticulados distributivos e os pares de Galois. Como são vários os pares de Galois, optamos por tratar de um destes pares, a adjunção. Como é conhecido na literatura sobre lógicas algébricas, reticulados distributivos são modelos algébricos para a Lógica Positiva, um sistema lógico proposicional que não conta com o operador de negação. Os operadores de conjunção, disjunção e condicional se comportam de modo muito similar aos correspondentes operadores clássicos. Como em todo reticulado temos a noção de ordem, temos meios iniciais para caracterizarmos os pares de Galois sobre esta estrutura algébrica. Faremos, então, o acréscimo de operadores modais ao sistema positivo para formalizarmos o referido par de Galois, a adjunção, no ambiente lógico, como contraparte da justaposição das duas estruturas algébricas.

The logic PM4N was introduced by Jean-Yves Beziau as a modal and 4-valued system. In this introductory paper, the author presented the system from a matrix logic with four values disposed in a Boolean algebra with a modal operator for the notion of necessity. From that matrix semantics, the paper shows some valid results and stresses some motivations of the matrix semantics and of the system PM4N. In this paper we develop some additional aspects of that logic and present two deductive systems for it, a simple system of tableaux and a sequent calculus.