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We develop a framework, based on canonical permutations and firing sequences, for approaching classical computational problems (like reachability) for classes of Petri nets with arbitrary edge multiplicities. We apply this framework to conservative Petri nets, generalized communication-free Petri nets, and their inverse nets to obtain complexity results for these problems. Furthermore, we investigate generalized conflict-free, communication-free, and rings of Petri nets, as well as related grammars. Wir entwickeln ein auf kanonischen Permutationen und Schaltungsfolgen basierendes Rahmenkonzept für klassische Probleme (wie Erreichbarkeit) für Klassen von Petrinetzen mit allgemeinen Kantengewichten. Dieses wenden wir auf erhaltende Petrinetze, generalisierte kommunikationsfreie Petrinetze, sowie deren inverse Petrinetze an, um Komplexitätsschranken zu erhalten. Zudem untersuchen wir generalisierte konfliktfreie, kommunikationsfreie, und ringförmige Petrinetze, sowie mit diesen Klassen verwandte Grammatiken.