Search

In this thesis, we investigate model reduction for parameter-dependent variational inequalities. First, we consider the case where the problem is formulated by a mixed method, where the challenge is that the reduced model must satisfy an inf-sup stability condition. For this purpose, we have devised a new greedy algorithm, based on a theoretical result, which allows to efficiently build a stable reduced model. In addition, we have also devised a method to construct the dual basis leading to a larger aperture. In the case of friction, a new idea deals with the enforcement of the tangential constraints in the reduced model by means of a collocation method. Numerical results are presented for the problem of contact with and without friction. A first integration in the industrial software code_aster has been achieved in the frictionless case. In a second step, we study the reduced basis method applied to the contact problem formulated with Nitsche's method. This method, which is purely primal, leads to an inefficient reduced model owing to the nonlinearity in the formulation. To overcome this problem, we propose an model reduction procedure based on the empirical interpolation method. Numerical tests confirm the robustness and efficiency of the approach.; Dans cette thèse, nous nous intéressons à la réduction de modèle pour les inéquations variationnelles dépendant d'un paramètre. Dans un premier temps, nous considérons le cas où le problème est formulé par une méthode mixte où la difficulté est que le modèle réduit doit satisfaire une condition de stabilité inf-sup. Pour ce faire, nous avons établi un algorithme glouton, basé sur un résultat théorique, qui permet de construire efficacement un modèle réduit stable. Nous avons également développé une méthode de construction de la base duale permettant de générer un cône de plus grande ouverture. Dans le cas du frottement, des nouveaux résultats concernent l'imposition des contraintes tangentielles dans le modèle réduit par une méthode de collocation. Des résultats numériques sont présentés pour le problème de contact avec et sans frottement, et une première intégration dans le code de calcul industriel code aster a été réalisée pour le cas sans frottement. Dans un deuxième temps, nous étudions la méthode des bases réduites appliquée au problème de contact formulé avec la méthode de Nitsche. Cette méthode, purement primale, conduit à un modèle réduit inefficace en raison de la non-linéarité. Pour palier ce problème, nous proposons une procédure de réduction de modèle s'appuyant sur la méthode d'interpolation empirique. Des tests numériques confirment la robustesse et l'efficacité de l'approche.

Performing a crash test simulation quickly and accurately remains a challenge for car manufacturers despite the generalization of high-performance computing and the progress in numerical methods. Indeed, engineers introduce mesoscale models of small components in the car model to obtain excellent prediction accuracy, but the integration of these local models increases computational time. Model order reduction methods that exploit the generally low dimensionality of the loading space of a physical phenomenon and the correlations in the loading are interesting to improve the accuracy of a crash test model at a low computational cost. In this thesis, we address the reduction of mesoscale spot weld models in ESI Group's high-fidelity crash test model to decrease the computational time of a simulation. Professor Chinesta and Dr. Daim supervised this work conducted inside the consortium dedicated to model order reduction for industrial problems, comprising Gestamp, Renault, ESI Group, and Arts et Métiers.We propose (i) a new data-driven reduction technique called incremental Dynamic Mode Decomposition (iDMD) and (ii) an integration scheme, the local-global approach, to introduce this reduced model into a finite element model. We applied these techniques to reduce a mesoscale model of a spot weld. The use case represents an assembly of two metal sheets subject to tensile and shear stresses until failure. In less than 10 minutes, we performed a simulation comparable to the reference simulation performed in 1h30, with the same computing power. The accuracy of the reduced model is excellent as long as the damage is not advanced. During the rupture, the prediction error remains low even with a reduced training compared to the problem's dimensionality. Additionally, we integrated the spot weld reduced model into a global model representing two sheets using the local-global approach. We obtained results comparable to a high-fidelity simulation integrating a spot weld mesoscale model. Thus, the iDMD and the local-global approach associated with a crash-test model would integrate the spot welds' local behaviors without explicitly describing them. Following these encouraging results, we started a more extensive study with Renault on national supercomputers (Jean Zay). These supercomputers allow us to explore the parametric loading space encountered during a crash test to integrate our approach in the dedicated ESI Group software.This thesis is divided into four chapters. In the first chapter, we introduce the crash test simulation and present our state of the art on model order reduction. In the second chapter, we present the iDMD and the local-global approach. In the third chapter, we present the use case on spot welds. Finally, the last chapter is the conclusion of our approach., Réaliser rapidement et précisément une simulation de crash-test reste un défi pour les constructeurs automobiles malgré la généralisation du calcul haute-performance et les progrès des méthodes numériques. En effet, des modèles à méso-échelle de petits composants sont intégrés dans le modèle global de la voiture pour obtenir une excellente précision sur l'ensemble mais l'introduction de ces modèles locaux augmente fortement le temps d'exécution du calcul. Les méthodes de réduction de modèle qui exploitent la dimension généralement faible de l'ensemble des sollicitations d'un phénomène physique et les corrélations entre celles-ci sont intéressantes pour améliorer la précision d'un modèle de crash-test à moindre coût. Cette thèse traite de la réduction des modèles méso-échelle des points de soudure dans le modèle de crash-test haute-fidélité d’ESI Group afin de diminuer le temps de calcul d’une simulation. Ce travail est supervisé par le professeur Chinesta et le docteur Daim dans le cadre du consortium dédié à la réduction de modèle pour des problèmes industriels comprenant Gestamp, Renault, ESI Group et les Arts et Métiers.Nous proposons (i) une nouvelle technique de réduction à partir de données appelée incremental Dynamic Mode Decomposition (iDMD) et (ii) un schéma d'intégration, l’approche locale-globale, introduisant ce modèle réduit dans un modèle éléments finis. Nous avons utilisé ces méthodes pour réduire un modèle méso-échelle de point de soudure. Le cas d’application représente un assemblage de deux tôles soumises à des sollicitations mécaniques de traction et de cisaillement jusqu’à rupture. Nous avons réalisé en moins de 10 minutes une simulation comparable à la simulation de référence réalisée en 1h30, à puissance de calcul égale. La précision du modèle réduit est excellente tant que le dommage n’est pas avancé. Lors de la rupture, l’erreur de prédiction reste faible même avec un entrainement modeste comparé à la dimensionnalité du problème. Par ailleurs, nous avons réalisé l’intégration du modèle réduit d’un point de soudure dans un modèle global représentant deux tôles suivant l’approche locale-globale et obtenu des résultats comparables à une simulation haute-fidélité intégrant un modèle méso-échelle de point de soudure. Ainsi, l'iDMD et l’approche locale-globale associées dans un modèle de crash-test permettraient d’intégrer les comportements locaux des points de soudure sans les décrire explicitement. À la suite de ces résultats encourageants, nous avons débuté une étude plus approfondie avec Renault sur des supercalculateurs nationaux (Jean Zay). Ceux-ci permettent d’explorer l’espace paramétrique des chargements rencontrés lors d’un crash-test afin d’intégrer notre approche dans le logiciel dédié d’ESI Group.Cette thèse se décompose en quatre chapitres. Le premier chapitre introduit la simulation de crash-test et présente notre état de l'art sur la réduction de modèle. Le deuxième chapitre présente l'iDMD et l'approche locale-globale. Le troisième chapitre expose le cas d'usage sur un point de soudure. Finalement, le quatrième chapitre présente les conclusions sur notre approche.

In an aeronautics industry increasingly concerned by the environmental issues of our time, the mastery of dynamic behavior is of particular interest in terms of compliance with the environmental legislation. Indeed, this allows the structures to be designed as accurately as possible and therefore optimizes the total weight of the turbojet engine, while maintaining an exemplary level of reliability and safety as well as excellent performances. Fully integrated into this theme, the problematics of mistuning and nonlinear dynamics are eminently studied by present academic research, leading to the development of numerical methods that allow these two effects to be taken into account simultaneously. However, the representativity of these numerical methods with respect to the behavior of an actual engine can hardly be evaluated because of the few tests available in the literature. In addition to improving the understanding and prediction of bladed disks vibratory phenomena, this doctoral work has a twofold objective: experimental and numerical. The latter aimed at investigating the representativity of numerical models and methods, particularly developed at the LTDS on the problematics of mistuning and nonlinear dynamics, in comparison with rotating tests on a latest-generation industrial fan made of composite materials. For this purpose, the PHARE#1 test bench, developed over the last few years at the LTDS, allows the testing of bladed disks on a 1:1 scale, rotating in vacuum, while exciting the blades by means of piezoelectric actuators. The numerical methods used to simulate the fan are based on the concept of substructuring associated with a triple modal synthesis, thus allowing the consideration of mistuning within nonlinear problems of industrial size. Two case studies, both experimental and numerical, were conducted and analyzed during this doctoral work. These studies exploit an excitation by means of piezoelectric actuators whose modeling required the development of an electrical degrees of freedom condensation technique in order to benefit from the numerical methods of purely mechanical reduction and resolution. The first study has been carried out on a fan blade embedded in clamping jaws. This application made possible to focus on the nonlinear aspects of contact and friction at the dovetail by comparing the test results and the numerical simulations. The second study was performed on the composite bladed fan rotating in vacuum, thus achieving analyses and comparisons concerning the mistuning of the response and modal shapes coupled with nonlinear effects. The results obtained show a very good representativity of the numerical simulations with respect to the rotating tests in terms of mistuning, especially with respect to the decompositions in diameter components and the spatial distributions of the vibration amplitudes of the blades., Dans une industrie aéronautique de plus en plus concernée par les enjeux environnementaux de notre époque, la maîtrise du comportement dynamique revêt un intérêt tout particulier dans le respect des normes environnementales. En effet, celle-ci permet un dimensionnement au plus juste des structures et donc une optimisation de la masse totale du turboréacteur, tout en permettant de maintenir un niveau exemplaire de fiabilité́ et de sureté́ ainsi que d’excellentes performances. S’intégrant pleinement dans cette thématique, les problématiques de désaccordage et de dynamique non-linéaire sont éminemment étudiées par la recherche académique actuelle, aboutissant au développement de méthodes numériques permettant de prendre en compte ces deux effets simultanément. Toutefois, la représentativité́ de ces méthodes par rapport au comportement en fonctionnement peut difficilement être évaluée en raison du peu d’essais disponibles dans la littérature. Outre le perfectionnement de la compréhension et de la prédiction des phénomènes vibratoires des roues aubagées, ces travaux de thèse revêtent un double enjeu : expérimental et numérique. Celui-ci vise à étudier la représentativité́ des modélisations et méthodes numériques, notamment développées au LTDS sur les problématiques de désaccordage et de dynamique non-linéaire, par rapport à des essais en rotation sur une soufflante industrielle de dernière génération en matériau composite. À cet effet, le banc d’essais PHARE#1, développé́ ces dernières années au LTDS, permet de tester des roues aubagées à l’échelle 1:1, en rotation dans le vide, tout en excitant les aubes au moyen d’actionneurs piézoélectriques. Les méthodes numériques exploitées pour simuler la soufflante reposent sur le concept de sous-structuration associé à une triple synthèse modale, permettant ainsi la prise en compte du désaccordage au sein de problèmes non-linéaires de taille industrielle. Deux cas d’études, présentant un aspect expérimental et numérique, ont été réalisés et analysés durant ces travaux de thèse. Ces derniers exploitent une excitation au moyen d’actionneurs piézoélectriques dont la modélisation a nécessité́ le développement d’une technique de condensation des degrés de liberté́ électriques dans le but d’exploiter les méthodes numériques de réduction et de résolution purement mécaniques. La première étude a été accomplie sur une aube de la soufflante enchâssée dans un mors, ce qui a permis de concentrer les analyses et les comparaisons, entre essais et simulations numériques, sur les aspects non-linéaires de contact et de frottement en pied d’aube. La seconde étude a été réalisée sur la soufflante composite en rotation dans le vide parvenant ainsi à des analyses et comparaisons concernant le désaccordage de la réponse et des formes modales, couplé à des effets non-linéaires. Les résultats obtenus permettent de montrer une très bonne représentativité́ des simulations numériques par rapport aux essais en rotation en termes de désaccordage, notamment à l’égard des décompositions en composantes à diamètres et des répartitions spatiales des amplitudes vibratoires des aubes.

In an aeronautics industry increasingly concerned by the environmental issues of our time, the mastery of dynamic behavior is of particular interest in terms of compliance with the environmental legislation. Indeed, this allows the structures to be designed as accurately as possible and therefore optimizes the total weight of the turbojet engine, while maintaining an exemplary level of reliability and safety as well as excellent performances. Fully integrated into this theme, the problematics of mistuning and nonlinear dynamics are eminently studied by present academic research, leading to the development of numerical methods that allow these two effects to be taken into account simultaneously. However, the representativity of these numerical methods with respect to the behavior of an actual engine can hardly be evaluated because of the few tests available in the literature. In addition to improving the understanding and prediction of bladed disks vibratory phenomena, this doctoral work has a twofold objective: experimental and numerical. The latter aimed at investigating the representativity of numerical models and methods, particularly developed at the LTDS on the problematics of mistuning and nonlinear dynamics, in comparison with rotating tests on a latest-generation industrial fan made of composite materials. For this purpose, the PHARE#1 test bench, developed over the last few years at the LTDS, allows the testing of bladed disks on a 1:1 scale, rotating in vacuum, while exciting the blades by means of piezoelectric actuators. The numerical methods used to simulate the fan are based on the concept of substructuring associated with a triple modal synthesis, thus allowing the consideration of mistuning within nonlinear problems of industrial size. Two case studies, both experimental and numerical, were conducted and analyzed during this doctoral work. These studies exploit an excitation by means of piezoelectric actuators whose modeling required the development of an electrical degrees of freedom condensation technique in order to benefit from the numerical methods of purely mechanical reduction and resolution. The first study has been carried out on a fan blade embedded in clamping jaws. This application made possible to focus on the nonlinear aspects of contact and friction at the dovetail by comparing the test results and the numerical simulations. The second study was performed on the composite bladed fan rotating in vacuum, thus achieving analyses and comparisons concerning the mistuning of the response and modal shapes coupled with nonlinear effects. The results obtained show a very good representativity of the numerical simulations with respect to the rotating tests in terms of mistuning, especially with respect to the decompositions in diameter components and the spatial distributions of the vibration amplitudes of the blades.; Dans une industrie aéronautique de plus en plus concernée par les enjeux environnementaux de notre époque, la maîtrise du comportement dynamique revêt un intérêt tout particulier dans le respect des normes environnementales. En effet, celle-ci permet un dimensionnement au plus juste des structures et donc une optimisation de la masse totale du turboréacteur, tout en permettant de maintenir un niveau exemplaire de fiabilité́ et de sureté́ ainsi que d’excellentes performances. S’intégrant pleinement dans cette thématique, les problématiques de désaccordage et de dynamique non-linéaire sont éminemment étudiées par la recherche académique actuelle, aboutissant au développement de méthodes numériques permettant de prendre en compte ces deux effets simultanément. Toutefois, la représentativité́ de ces méthodes par rapport au comportement en fonctionnement peut difficilement être évaluée en raison du peu d’essais disponibles dans la littérature. Outre le perfectionnement de la compréhension et de la prédiction des phénomènes vibratoires des roues aubagées, ces travaux de thèse revêtent un double enjeu : expérimental et numérique. Celui-ci vise à étudier la représentativité́ des modélisations et méthodes numériques, notamment développées au LTDS sur les problématiques de désaccordage et de dynamique non-linéaire, par rapport à des essais en rotation sur une soufflante industrielle de dernière génération en matériau composite. À cet effet, le banc d’essais PHARE#1, développé́ ces dernières années au LTDS, permet de tester des roues aubagées à l’échelle 1:1, en rotation dans le vide, tout en excitant les aubes au moyen d’actionneurs piézoélectriques. Les méthodes numériques exploitées pour simuler la soufflante reposent sur le concept de sous-structuration associé à une triple synthèse modale, permettant ainsi la prise en compte du désaccordage au sein de problèmes non-linéaires de taille industrielle. Deux cas d’études, présentant un aspect expérimental et numérique, ont été réalisés et analysés durant ces travaux de thèse. Ces derniers exploitent une excitation au moyen d’actionneurs piézoélectriques dont la modélisation a nécessité́ le développement d’une technique de condensation des degrés de liberté́ électriques dans le but d’exploiter les méthodes numériques de réduction et de résolution purement mécaniques. La première étude a été accomplie sur une aube de la soufflante enchâssée dans un mors, ce qui a permis de concentrer les analyses et les comparaisons, entre essais et simulations numériques, sur les aspects non-linéaires de contact et de frottement en pied d’aube. La seconde étude a été réalisée sur la soufflante composite en rotation dans le vide parvenant ainsi à des analyses et comparaisons concernant le désaccordage de la réponse et des formes modales, couplé à des effets non-linéaires. Les résultats obtenus permettent de montrer une très bonne représentativité́ des simulations numériques par rapport aux essais en rotation en termes de désaccordage, notamment à l’égard des décompositions en composantes à diamètres et des répartitions spatiales des amplitudes vibratoires des aubes.

This work has been undertaken in the context of an international research cooperation between the University of Brasilia, the Brazilian Space Agency (AEB), the ENS Paris-Saclay and the SAFRAN group. The main subject of this cooperation is the investigation of fretting fatigue, which is a contact problem in conjunction with fatigue loads responsible for reducing considerably components’ fatigue life due to the high stress concentration, wear and non-proportional loading conditions involved in such problems. Regarding the high computational costs involved when assessing industrial applications, one of the aims of this work is to improve the performance of fretting simulations making use of an enrichment approach. The idea is to take advantage of the fact that the mechanical fields around the contact edges in cylindrical contact configurations under fretting conditions are similar to the ones found close to the crack tip in linear elastic fracture mechanics problems. This similarity makes attractive the idea of enriching finite element fretting simulations through the X-FEM framework, which enables us to work with coarser meshes while keeping a good accuracy. As it will be shown in this work, it is possible to work with meshes up to 10 times coarser than it should be if a conventional FE method was used allowing a strong improvement of the computational performances.This work will also investigate the influence of considering wear effects in the prediction of fretting fatigue lives. Therefore, fretting fatigue FE simulations have been carried considering the geometry update due to the material removal and results were compared to both experimental data and FE simulations where wear effects were neglected (simplifying strategy usually adopted when evaluating fretting fatigue problems). Conventional multiaxial fatigue criteria in association with the Theory of Critical Distances have been used in order to predict life. Results have shown that, for the data here assessed, where fretting fatigue tests were conducted on a Ti-6Al-4V alloy under partial slip conditions, considering wear effects might slightly increase the accuracy of life predictions. However, this slight improvement may not be worthwhile regarding the increase in the computational cost when compared to standard approaches where wear is neglected.; Ce travail a été entrepris dans le cadre d’une coopération internationale entre l’Université de Brasilia, l’Agence spatiale brésilienne (AEB), l’ENS Paris-Saclay et le groupe SAFRAN. L’objet principal de cette coopération est l’étude du fretting-fatigue, problème de contact associé à des charges de fatigue qui réduisent considérablement la durée de vie des composants en raison de la concentration élevée de contraintes, de l’usure et des conditions de chargement non proportionnelles. En ce qui concerne les coûts de calcul élevés impliqués dans l’évaluation des applications industrielles, l’un des objectifs de ce travail est d’améliorer les performances des simulations de frettage utilisant une approche d’enrichissement. L'idée est de tirer parti du fait que les champs mécaniques autour des bords de contact dans des configurations de contact cylindriques dans des conditions de frottement sont similaires à ceux trouvés près du fond de fissure dans les problèmes de mécanique de rupture élastique linéaire. Cette similitude rend attrayante l’idée d’enrichir les simulations de frettage par éléments finis via le framework X-FEM, ce qui nous permet de travailler avec des maillages plus grossiers tout en conservant une bonne précision. Comme nous le montrerons dans ce travail, il est possible de travailler avec des maillages jusqu'à 10 fois plus grossiers que si une méthode par élements finis classique était utilisée, permettant une forte amélioration des performances de calcul.Ce travail étudiera également l’influence de la prise en compte des effets de l’usure dans la prévision de la durée de vie en fatigue. Par conséquent, des simulations par éléments finis du fretting-fatigue ont été effectuées en tenant compte de la mise à jour de la géométrie due à l'enlèvement de matière et les résultats ont été comparés aux données expérimentales et aux simulations par éléments finis dans lesquels les effets de l'usure ont été négligés (stratégie simplificatrice généralement adoptée pour évaluer les problèmes de fatigue de frottement). Les critères de fatigue multiaxiaux conventionnels associés à la théorie des distances critiques ont été utilisés pour prédire la vie. Les résultats ont montré que, pour les données évaluées ici, lorsque des essais de fretting-fatigue ont été menés sur un alliage Ti-6Al-4V dans des conditions de glissement partiel, considérer les effets de l'usure pourraient augmenter légèrement la précision des prévisions de durée de vie. Cependant, cette amélioration n’est peut-être pas digne d’intérêt si nous prenons en compte les coûts de calcul élevés dans les analyses d’usure.

This work has been undertaken in the context of an international research cooperation between the University of Brasilia, the Brazilian Space Agency (AEB), the ENS Paris-Saclay and the SAFRAN group. The main subject of this cooperation is the investigation of fretting fatigue, which is a contact problem in conjunction with fatigue loads responsible for reducing considerably components’ fatigue life due to the high stress concentration, wear and non-proportional loading conditions involved in such problems. Regarding the high computational costs involved when assessing industrial applications, one of the aims of this work is to improve the performance of fretting simulations making use of an enrichment approach. The idea is to take advantage of the fact that the mechanical fields around the contact edges in cylindrical contact configurations under fretting conditions are similar to the ones found close to the crack tip in linear elastic fracture mechanics problems. This similarity makes attractive the idea of enriching finite element fretting simulations through the X-FEM framework, which enables us to work with coarser meshes while keeping a good accuracy. As it will be shown in this work, it is possible to work with meshes up to 10 times coarser than it should be if a conventional FE method was used allowing a strong improvement of the computational performances.This work will also investigate the influence of considering wear effects in the prediction of fretting fatigue lives. Therefore, fretting fatigue FE simulations have been carried considering the geometry update due to the material removal and results were compared to both experimental data and FE simulations where wear effects were neglected (simplifying strategy usually adopted when evaluating fretting fatigue problems). Conventional multiaxial fatigue criteria in association with the Theory of Critical Distances have been used in order to predict life. Results have shown that, for the data here assessed, where fretting fatigue tests were conducted on a Ti-6Al-4V alloy under partial slip conditions, considering wear effects might slightly increase the accuracy of life predictions. However, this slight improvement may not be worthwhile regarding the increase in the computational cost when compared to standard approaches where wear is neglected., Ce travail a été entrepris dans le cadre d’une coopération internationale entre l’Université de Brasilia, l’Agence spatiale brésilienne (AEB), l’ENS Paris-Saclay et le groupe SAFRAN. L’objet principal de cette coopération est l’étude du fretting-fatigue, problème de contact associé à des charges de fatigue qui réduisent considérablement la durée de vie des composants en raison de la concentration élevée de contraintes, de l’usure et des conditions de chargement non proportionnelles. En ce qui concerne les coûts de calcul élevés impliqués dans l’évaluation des applications industrielles, l’un des objectifs de ce travail est d’améliorer les performances des simulations de frettage utilisant une approche d’enrichissement. L'idée est de tirer parti du fait que les champs mécaniques autour des bords de contact dans des configurations de contact cylindriques dans des conditions de frottement sont similaires à ceux trouvés près du fond de fissure dans les problèmes de mécanique de rupture élastique linéaire. Cette similitude rend attrayante l’idée d’enrichir les simulations de frettage par éléments finis via le framework X-FEM, ce qui nous permet de travailler avec des maillages plus grossiers tout en conservant une bonne précision. Comme nous le montrerons dans ce travail, il est possible de travailler avec des maillages jusqu'à 10 fois plus grossiers que si une méthode par élements finis classique était utilisée, permettant une forte amélioration des performances de calcul.Ce travail étudiera également l’influence de la prise en compte des effets de l’usure dans la prévision de la durée de vie en fatigue. Par conséquent, des simulations par éléments finis du fretting-fatigue ont été effectuées en tenant compte de la mise à jour de la géométrie due à l'enlèvement de matière et les résultats ont été comparés aux données expérimentales et aux simulations par éléments finis dans lesquels les effets de l'usure ont été négligés (stratégie simplificatrice généralement adoptée pour évaluer les problèmes de fatigue de frottement). Les critères de fatigue multiaxiaux conventionnels associés à la théorie des distances critiques ont été utilisés pour prédire la vie. Les résultats ont montré que, pour les données évaluées ici, lorsque des essais de fretting-fatigue ont été menés sur un alliage Ti-6Al-4V dans des conditions de glissement partiel, considérer les effets de l'usure pourraient augmenter légèrement la précision des prévisions de durée de vie. Cependant, cette amélioration n’est peut-être pas digne d’intérêt si nous prenons en compte les coûts de calcul élevés dans les analyses d’usure.

Tesi en modalitat de cotutela: Universitat Politècnica de Catalunya i Université Bretagne Loire, École Centrale de Nantes. Solutions to high-dimensional parameter-dependent problems are in great demand in the contemporary applied science and engineering. The standard approximation methods for parametric equations can require computational resources that are exponential in the dimension of the parameter space, which is typically refereed to as the curse of dimensionality. To break the curse of dimensionality one has to appeal to nonlinear methods that exploit the structure of the solution map, such as projection-based model order reduction methods. This thesis proposes novel methods based on randomized linear algebra to enhance the efficiency and stability of projection-based model order reduction methods for solving parameter-dependent equations. Our methodology relies on random projections (or random sketching). Instead of operating with high-dimensional vectors we first efficiently project them into a low-dimensional space. The reduced model is then efficiently and numerically stably constructed from the projections of the reduced approximation space and the spaces of associated residuals. Our approach allows drastic computational savings in basically any modern computational architecture. For instance, it can reduce the number of flops and memory consumption and improve the efficiency of the data flow (characterized by scalability or communication costs). It can be employed for improving the efficiency and numerical stability of classical Galerkin and minimal residual methods. It can also be used for the efficient estimation of the error, and post-processing of the solution of the reduced order model. Furthermore, random sketching makes computationally feasible a dictionary-based approximation method, where for each parameter value the solution is approximated in a subspace with a basis selected from a dictionary of vectors. We also address the efficient construction (using random sketching) of parameter-dependent preconditioners that can be used to improve the quality of Galerkin projections or for effective error certification for problems with ill-conditioned operators. For all proposed methods we provide precise conditions on the random sketch to guarantee accurate and stable estimations with a user-specified probability of success. A priori estimates to determine the sizes of the random matrices are provided as well as a more effective adaptive procedure based on a posteriori estimates. Cette thèse introduit des nouvelles approches basées sur l’algèbre linéaire aléatoire pour améliorer l’efficacité et la stabilité des méthodes de réduction de modèles basées sur des projections pour la résolution d’équations dépendant de paramètres. Notre méthodologie repose sur des techniques de projections aléatoires ("random sketching") qui consistent à projeter des vecteurs de grande dimension dans un espace de faible dimension. Un modèle réduit est ainsi construit de manière efficace et numériquement stable à partir de projections aléatoires de l’espace d’approximation réduit et des espaces des résidus associés. Notre approche permet de réaliser des économies de calcul considérables dans pratiquement toutes les architectures de calcul modernes. Par exemple, elle peut réduire le nombre de flops et la consommation de mémoire et améliorer l’efficacité du flux de données (caractérisé par l’extensibilité ou le coût de communication). Elle peut être utilisée pour améliorer l’efficacité et la stabilité des méthodes de projection de Galerkin ou par minimisation de résidu. Elle peut également être utilisée pour estimer efficacement l’erreur et post-traiter la solution du modèle réduit. De plus, l’approche par projection aléatoire rend viable numériquement une méthode d’approximation basée sur un dictionnaire, où pour chaque valeur de paramètre, la solution est approchée dans un sous-espace avec une base sélectionnée dans le dictionnaire. Nous abordons également la construction efficace (par projections aléatoires) de préconditionneurs dépendant de paramètres, qui peuvent être utilisés pour améliorer la qualité des projections de Galerkin ou des estimateurs d’erreur pour des problèmes à opérateurs mal conditionnés. Pour toutes les méthodes proposées, nous fournissons des conditions précises sur les projections aléatoires pour garantir des estimations précises et stables avec une probabilité de succès spécifiée par l’utilisateur. Pour déterminer la taille des matrices aléatoires, nous fournissons des bornes a priori ainsi qu’une procédure adaptative plus efficace basée sur des estimations a posteriori

The principal objective of this thesis is the development of low-cost numerical tools for spatial mappingof pollutant concentrations from field observations and advanced deterministic models. With increasedpollutant emissions and exposure due to mass urbanization and development worldwide, air quality measurementcampaigns and epidemiology studies of the association between air pollution and adverse healtheffects have become increasingly common. However, as air pollution concentrations are highly variablespatially and temporally, the sensitivity and accuracy of these epidemiology studies is often deterioratedby exposure misclassiffication due to poor estimates of individual exposures. Data assimilation methodsincorporate available measurement data and mathematical model to provide improved approximations ofthe concentration. These methods, when based on an advanced deterministic air quality models (AQMs),could provide spatially-rich small-scale approximations and can enable better estimates of effects andexposures. However, these methods can be computationally expensive. They require repeated solution ofthe model, which could itself be costly.In this work we investigate a combined reduced basis (RB) data assimilation method for use withadvanced AQMs on urban scales. We want to diminish the cost of resolution, using RB arguments, andincorporate measurement data to improve the quality of the solution. We extend the Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) method to physically-based AQMs. This method can rapidly estimate"online" pollutant concentrations at urban scale, using available AQMs in a non-intrusive and computationallyefficient manner, reducing computation times by factors up to hundreds. We apply this methodin case studies representing urban residential pollution of PM2.5, and we study the stability of the methoddepending on the placement of air quality sensors. Results from the PBDW are compared to the GeneralizedEmpirical Interpolation Method (GEIM) and a standard inverse problem, the adjoint method,in order to measure efficiency of the method. This comparison shows possible improvement in precisionand great improvement in computation cost with respect to classical methods. We find that the PBDWmethod shows promise for the real-time reconstruction of a pollution field in large-scale problems, providingstate estimation with approximation error generally under 10% when applied to an imperfect model.; L'objectif principal de cette thèse est le développement d'outils numériques peu coûteux pour lacartographie de concentrations de polluants à partir de mesures et de modèles déterministes avancés.L'urbanisation de la population et le développement mondial de ces dernières années a entraîné une haussedes émissions de polluants. Avec une population de plus en plus exposée à la pollution, les campagnes demesure de qualité de l'air et les études sur les effets de la pollution sur la santé n'ont cessé d'augmenter.Cependant, la sensibilité et la précision de ces études est souvent altérée par des estimations grossièresdes taux d'expositions individuelles. Ceci à cause d'un manque d'information sur la concentration despolluants qui est très variable dans l'espace et dans le temps. Les méthodes d'assimilation de donnéesintègrent des données de mesures et des modèles mathématiques an de mieux approcher le champ deconcentration. Quand ces méthodes sont fondées sur un modèle de qualité de l'air déterministe avancé, ellessont capables de fournir des approximations détaillées. Ces informations précises permettraient d'avoirde meilleures estimations des taux d'exposition. Néanmoins, ces méthodes sont souvent très coûteuses.En effet, elles nécessitent de multiples résolutions du modèle, souvent coûteuses.Dans cette thèse nous nous intéressons à l'étude et la mise en oeuvre de méthodes reposant sur laméthode des bases réduites et l'assimilation des données pour des modèles déterministes de qualité del'air à l'échelle urbaine. Nous souhaitons diminuer le coût de résolution en utilisant des bases réduiteset incorporer des données de mesure an d'améliorer la qualité de la solution. On étend la méthodeParameterized-Background Data-Weak (PBDW) à des modèles de qualité de l'air. Cette méthode estcapable d'estimer online des concentrations de polluants rapidement, à l'échelle du quartier. Cette méthode,qui est non intrusive, permet de diviser le coût de résolution par cent, sans détériorer la qualité dessolutions. Nous avons implanté cette méthode et étudié sa stabilité en fonction de la position des capteurs.Cette étude a été faite pour différents scénarios de pollution d'une zone résidentielle. Ces résultatsont été comparés à ceux donnés par la méthode d'interpolation empirique généralisée (GEIM) et ceux d'une méthode inverse de type problème adjoint. Cette comparaison montre la possibilité d'augmenter laprécision de la solution et de réduire signicativement les temps de calcul par rapport aux méthodes classiques.Lorsque la méthode PBDW est utilisée avec un modèle imparfait, elle donne des cartographies deconcentration avec une erreur d'approximation de moins de 10%. Les résultats de la PBDW se montrentprometteurs pour la reconstruction en temps réel de champs de pollution à grande échelle.

The principal objective of this thesis is the development of low-cost numerical tools for spatial mappingof pollutant concentrations from field observations and advanced deterministic models. With increasedpollutant emissions and exposure due to mass urbanization and development worldwide, air quality measurementcampaigns and epidemiology studies of the association between air pollution and adverse healtheffects have become increasingly common. However, as air pollution concentrations are highly variablespatially and temporally, the sensitivity and accuracy of these epidemiology studies is often deterioratedby exposure misclassiffication due to poor estimates of individual exposures. Data assimilation methodsincorporate available measurement data and mathematical model to provide improved approximations ofthe concentration. These methods, when based on an advanced deterministic air quality models (AQMs),could provide spatially-rich small-scale approximations and can enable better estimates of effects andexposures. However, these methods can be computationally expensive. They require repeated solution ofthe model, which could itself be costly.In this work we investigate a combined reduced basis (RB) data assimilation method for use withadvanced AQMs on urban scales. We want to diminish the cost of resolution, using RB arguments, andincorporate measurement data to improve the quality of the solution. We extend the Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) method to physically-based AQMs. This method can rapidly estimate"online" pollutant concentrations at urban scale, using available AQMs in a non-intrusive and computationallyefficient manner, reducing computation times by factors up to hundreds. We apply this methodin case studies representing urban residential pollution of PM2.5, and we study the stability of the methoddepending on the placement of air quality sensors. Results from the PBDW are compared to the GeneralizedEmpirical Interpolation Method (GEIM) and a standard inverse problem, the adjoint method,in order to measure efficiency of the method. This comparison shows possible improvement in precisionand great improvement in computation cost with respect to classical methods. We find that the PBDWmethod shows promise for the real-time reconstruction of a pollution field in large-scale problems, providingstate estimation with approximation error generally under 10% when applied to an imperfect model.; L'objectif principal de cette thèse est le développement d'outils numériques peu coûteux pour lacartographie de concentrations de polluants à partir de mesures et de modèles déterministes avancés.L'urbanisation de la population et le développement mondial de ces dernières années a entraîné une haussedes émissions de polluants. Avec une population de plus en plus exposée à la pollution, les campagnes demesure de qualité de l'air et les études sur les effets de la pollution sur la santé n'ont cessé d'augmenter.Cependant, la sensibilité et la précision de ces études est souvent altérée par des estimations grossièresdes taux d'expositions individuelles. Ceci à cause d'un manque d'information sur la concentration despolluants qui est très variable dans l'espace et dans le temps. Les méthodes d'assimilation de donnéesintègrent des données de mesures et des modèles mathématiques an de mieux approcher le champ deconcentration. Quand ces méthodes sont fondées sur un modèle de qualité de l'air déterministe avancé, ellessont capables de fournir des approximations détaillées. Ces informations précises permettraient d'avoirde meilleures estimations des taux d'exposition. Néanmoins, ces méthodes sont souvent très coûteuses.En effet, elles nécessitent de multiples résolutions du modèle, souvent coûteuses.Dans cette thèse nous nous intéressons à l'étude et la mise en oeuvre de méthodes reposant sur laméthode des bases réduites et l'assimilation des données pour des modèles déterministes de qualité del'air à l'échelle urbaine. Nous souhaitons diminuer le coût de résolution en utilisant des bases réduiteset incorporer des données de mesure an d'améliorer la qualité de la solution. On étend la méthodeParameterized-Background Data-Weak (PBDW) à des modèles de qualité de l'air. Cette méthode estcapable d'estimer online des concentrations de polluants rapidement, à l'échelle du quartier. Cette méthode,qui est non intrusive, permet de diviser le coût de résolution par cent, sans détériorer la qualité dessolutions. Nous avons implanté cette méthode et étudié sa stabilité en fonction de la position des capteurs.Cette étude a été faite pour différents scénarios de pollution d'une zone résidentielle. Ces résultatsont été comparés à ceux donnés par la méthode d'interpolation empirique généralisée (GEIM) et ceux d'une méthode inverse de type problème adjoint. Cette comparaison montre la possibilité d'augmenter laprécision de la solution et de réduire signicativement les temps de calcul par rapport aux méthodes classiques.Lorsque la méthode PBDW est utilisée avec un modèle imparfait, elle donne des cartographies deconcentration avec une erreur d'approximation de moins de 10%. Les résultats de la PBDW se montrentprometteurs pour la reconstruction en temps réel de champs de pollution à grande échelle.

The principal objective of this thesis is the development of low-cost numerical tools for spatial mapping of pollutant concentrations from field observations and advanced deterministic models. With increased pollutant emissions and exposure due to mass urbanization and development worldwide, air quality measurement campaigns and epidemiology studies of the association between air pollution and adverse health effects have become increasingly common. However, as air pollution concentrations are highly variable spatially and temporally, the sensitivity and accuracy of these epidemiology studies is often deteriorated by exposure misclassi cation due to poor estimates of individual exposures. Data assimilation methods incorporate available measurement data and mathematical models to provide improved approximations of the concentration. These methods, when based on an advanced deterministic air quality models (AQMs), could provide spatially-rich small-scale approximations and can enable better estimates of effects and exposures. However, these methods can be computationally expensive. They require repeated solution of the model, which could itself be costly. In this work we investigate a combined reduced basis (RB) data assimilation method for use with advanced AQMs on urban scales. We want to diminish the cost of resolution, using RB arguments, and incorporate measurement data to improve the quality of the solution. We extend the Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) method to physically-based AQMs. This method can rapidly estimate "online" pollutant concentrations at urban scale, using available AQMs in a non-intrusive and computationally effcient manner, reducing computation times by factors up to hundreds. We apply this method in case studies representing urban residential pollution of PM2.5, and we study the stability of the method depending on the placement or air quality sensors. Results from the PBDW are compared to the Generalized Empirical Interpolation Method (GEIM) and a standard inverse problem, the adjoint method, in order to measure effciency of the method. This comparison shows possible improvement in precision and great improvement in computation cost with respect to classical methods. We fi nd that the PBDW method shows promise for the real-time reconstruction of a pollution eld in large-scale problems, providing state estimation with approximation error generally under 10% when applied to an imperfect model, L'objectif principal de cette thèse est le développement d'outils numériques peu coûteux pour la cartographie de concentrations de polluants a partir de mesures et de modèles déterministes avancés. Le développement mondial et l'urbanisation des populations génèrent une hausse d’émissions et d'expositions. A n d'estimer les expositions individuelles et évaluer leur association à des pathologies diverses, les campagnes de mesure de qualité de l'air, et des études épidémiologiques sur les effets de santé de la pollution sont devenues plus courantes. Cependant, les concentrations de pollution de l'air sont très variables en temps et en espace. La sensibilité et la précision de ces études est souvent détériorée par de mauvais classements des expositions dus aux estimations grossières des expositions individuelles. Les méthodes d'assimilation de données intègrent des données de mesures et des modèles mathématiques a n de mieux approximer le champ de concentration. Quand ces méthodes sont basées sur un modèle de qualité de l'air (AQM) déterministe avancé, elles sont capables de fournir des approximations détaillées et de petite échelle. Ces informations précises permettront de meilleures estimations d'exposition. Néanmoins, ces méthodes sont souvent tr es coûteuses. Elles nécessitent la résolution a plusieurs reprises du modèle, qui peut être coûteux soi-même. Dans ce travail nous enquêtons sur la combinaison des méthodes des bases réduites (RB) et d'assimilation de données pour des AQM avancés a l'échelle urbaine. Nous souhaitons diminuer le coût de résolution en exploitant les RB, et incorporer des données de mesure a n d'améliorer la qualité de la solution. On étend la méthode de Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) pour des AQMs basés sur la physique. Cette méthode est capable d'estimer de façon rapide et "online" des concentrations de polluants à l'échelle du quartier. Elle se sert des AQMs disponibles dans une procédure non intrusive et efficace par rapport aux temps de calculs pour réduire le coût de résolution par des centaines de fois. Les résultats de PBDW sont comparés à la méthode d'interpolation empirique généralisée (GEIM) et à une méthode inverse usuelle, la méthode adjointe, a n de mesurer l'efficacité de la PBDW. Cette comparaison montre la possibilité d'augmenter la précision de la solution, et d'une grande réduction en temps de calcul par rapport à des méthodes classiques. Dans nos applications sur un modèle imparfait, l'étude a fourni des estimations d'état avec erreur d'approximation de moins de 10% presque partout. Les résultats se montrent prometteurs pour la reconstruction en temps réel de champs de pollution sur de grands domaines par la PBDW

The principal objective of this thesis is the development of low-cost numerical tools for spatial mapping of pollutant concentrations from field observations and advanced deterministic models. With increased pollutant emissions and exposure due to mass urbanization and development worldwide, air quality measurement campaigns and epidemiology studies of the association between air pollution and adverse health effects have become increasingly common. However, as air pollution concentrations are highly variable spatially and temporally, the sensitivity and accuracy of these epidemiology studies is often deteriorated by exposure misclassi cation due to poor estimates of individual exposures. Data assimilation methods incorporate available measurement data and mathematical models to provide improved approximations of the concentration. These methods, when based on an advanced deterministic air quality models (AQMs), could provide spatially-rich small-scale approximations and can enable better estimates of effects and exposures. However, these methods can be computationally expensive. They require repeated solution of the model, which could itself be costly. In this work we investigate a combined reduced basis (RB) data assimilation method for use with advanced AQMs on urban scales. We want to diminish the cost of resolution, using RB arguments, and incorporate measurement data to improve the quality of the solution. We extend the Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) method to physically-based AQMs. This method can rapidly estimate "online" pollutant concentrations at urban scale, using available AQMs in a non-intrusive and computationally effcient manner, reducing computation times by factors up to hundreds. We apply this method in case studies representing urban residential pollution of PM2.5, and we study the stability of the method depending on the placement or air quality sensors. Results from the PBDW are compared to the Generalized Empirical Interpolation Method (GEIM) and a standard inverse problem, the adjoint method, in order to measure effciency of the method. This comparison shows possible improvement in precision and great improvement in computation cost with respect to classical methods. We fi nd that the PBDW method shows promise for the real-time reconstruction of a pollution eld in large-scale problems, providing state estimation with approximation error generally under 10% when applied to an imperfect model; L'objectif principal de cette thèse est le développement d'outils numériques peu coûteux pour la cartographie de concentrations de polluants a partir de mesures et de modèles déterministes avancés. Le développement mondial et l'urbanisation des populations génèrent une hausse d’émissions et d'expositions. A n d'estimer les expositions individuelles et évaluer leur association à des pathologies diverses, les campagnes de mesure de qualité de l'air, et des études épidémiologiques sur les effets de santé de la pollution sont devenues plus courantes. Cependant, les concentrations de pollution de l'air sont très variables en temps et en espace. La sensibilité et la précision de ces études est souvent détériorée par de mauvais classements des expositions dus aux estimations grossières des expositions individuelles. Les méthodes d'assimilation de données intègrent des données de mesures et des modèles mathématiques a n de mieux approximer le champ de concentration. Quand ces méthodes sont basées sur un modèle de qualité de l'air (AQM) déterministe avancé, elles sont capables de fournir des approximations détaillées et de petite échelle. Ces informations précises permettront de meilleures estimations d'exposition. Néanmoins, ces méthodes sont souvent tr es coûteuses. Elles nécessitent la résolution a plusieurs reprises du modèle, qui peut être coûteux soi-même. Dans ce travail nous enquêtons sur la combinaison des méthodes des bases réduites (RB) et d'assimilation de données pour des AQM avancés a l'échelle urbaine. Nous souhaitons diminuer le coût de résolution en exploitant les RB, et incorporer des données de mesure a n d'améliorer la qualité de la solution. On étend la méthode de Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) pour des AQMs basés sur la physique. Cette méthode est capable d'estimer de façon rapide et "online" des concentrations de polluants à l'échelle du quartier. Elle se sert des AQMs disponibles dans une procédure non intrusive et efficace par rapport aux temps de calculs pour réduire le coût de résolution par des centaines de fois. Les résultats de PBDW sont comparés à la méthode d'interpolation empirique généralisée (GEIM) et à une méthode inverse usuelle, la méthode adjointe, a n de mesurer l'efficacité de la PBDW. Cette comparaison montre la possibilité d'augmenter la précision de la solution, et d'une grande réduction en temps de calcul par rapport à des méthodes classiques. Dans nos applications sur un modèle imparfait, l'étude a fourni des estimations d'état avec erreur d'approximation de moins de 10% presque partout. Les résultats se montrent prometteurs pour la reconstruction en temps réel de champs de pollution sur de grands domaines par la PBDW

Numerical simulations are widely used during the design phase of a product but also for the validation of an innovative system. For example, during the conception of an electric vehicle’s powertrain, numerical simulations can be used to select the appropriate electric engine technology or for the development of control strategies taking into account decision criteria such as vehicle’s autonomy, but also its cost and performance.System’s complexity is always increasing, so they require more and more precise simulations in order to better understand the phenomena involved - for example to study iron losses in an electric engine. 3D simulations provide very accurate results to study a body but are still not appropriate today for the study of large scale systems (ie. with many degrees of freedom, many optimization parameters and several areas of Physics). Indeed, 3D simulations computing time cost is directly linked with the number of degrees of freedom. That’s why, in recent years, model order reduction techniques stir developments because they guarantee a good compromise between the computation time and accuracy of results produced by these models.In this study, we are interested in techniques that can be used in an industrial context around two axes: - the study of thermal phenomena (in the power electronics modules) - the study of electromagnetic phenomena (in electric engines); La simulation numérique occupe une part de plus en plus importante dans les phases de conception mais aussi de validation de systèmes innovants. Dans le cadre de la conception d’une chaîne de traction d’un véhicule électrique, la simulation numérique peut par exemple être employée pour choisir une technologie de moteur électrique ou encore pour mettre au point des stratégies de pilotage au regard de critères de décision tels que l’autonomie du véhicule, son coût mais aussi sa performance.Les systèmes devenant de plus en plus complexes, ils requièrent des simulations de plus en plus fines afin d’appréhender au mieux les phénomènes qu’ils mettent en œuvre - par exemple l’étude des pertes fer dans une machine électrique. L’utilisation de simulations 3D permet d’avoir des résultats très précis à l’échelle d’un organe mais ne se prête pas encore aujourd’hui à l’étude de systèmes de grande taille (c’est-à-dire avec beaucoup de degrés de liberté, de nombreux paramètres d’optimisation et plusieurs domaines de la Physique en jeu). En effet, les simulations 3D sont d’autant plus coûteuses en temps de calcul que le modèle à étudier contient de degrés de liberté. C’est pourquoi, depuis quelques années les techniques de réduction de modèles attisent les développements. En effet, elles permettent de garantir un bon compromis entre le temps de calcul et la précision des résultats produits par les modèles réduits.Nous nous intéressons ici à l’utilisation de ces techniques dans un contexte industriel autour de deux axes : - l’étude de phénomènes thermiques (dans les modules d’électronique de puissance) - l’étude de phénomènes électromagnétiques (dans les machines électriques)

Model order reduction has become an inescapable tool for the solution of high dimensional parameter-dependent equations arising in uncertainty quantification, optimization or inverse problems. In this thesis we focus on low rank approximation methods, in particular on reduced basis methods and on tensor approximation methods.The approximation obtained by Galerkin projections may be inaccurate when the operator is ill-conditioned. For projection based methods, we propose preconditioners built by interpolation of the operator inverse. We rely on randomized linear algebra for the efficient computation of these preconditioners. Adaptive interpolation strategies are proposed in order to improve either the error estimates or the projection onto reduced spaces. For tensor approximation methods, we propose a minimal residual formulation with ideal residual norms. The proposed algorithm, which can be interpreted as a gradient algorithm with an implicit preconditioner, allows obtaining a quasi-optimal approximation of the solution.Finally, we address the problem of the approximation of vector-valued or functional-valued quantities of interest. For this purpose we generalize the 'primal-dual' approaches to the non-scalar case, and we propose new methods for the projection onto reduced spaces. In the context of tensor approximation we consider a norm which depends on the error on the quantity of interest. This allows obtaining approximations of the solution that take into account the objective of the numerical simulation.; Les méthodes de réduction de modèle sont incontournables pour la résolution d'équations paramétrées de grande dimension qui apparaissent dans les problèmes de quantification d'incertitude, d'optimisation ou encore les problèmes inverses. Dans cette thèse nous nous intéressons aux méthodes d'approximation de faible rang, notamment aux méthodes de bases réduites et d'approximation de tenseur.L'approximation obtenue par projection de Galerkin peut être de mauvaise qualité lorsque l'opérateur est mal conditionné. Pour les méthodes de projection sur des espaces réduits, nous proposons des préconditionneurs construits par interpolation d'inverse d'opérateur, calculés efficacement par des outils d'algèbre linéaire "randomisée". Des stratégies d'interpolation adaptatives sont proposées pour améliorer soit les estimateurs d'erreur, soit les projections sur les espaces réduits. Pour les méthodes d'approximation de tenseur, nous proposons une formulation en minimum de résidu avec utilisation de norme idéale. L'algorithme de résolution, qui s'interprète comme un algorithme de gradient avec préconditionneur implicite, permet d'obtenir une approximation quasi-optimale de la solution.Enfin nous nous intéressons à l'approximation de quantités d'intérêt à valeur fonctionnelle ou vectorielle. Nous généralisons pour cela les approches de type "primale-duale" au cas non scalaire, et nous proposons de nouvelles méthodes de projection sur espaces réduits. Dans le cadre de l'approximation de tenseur, nous considérons une norme dépendant de l'erreur en quantité d'intérêt afin d'obtenir une approximation de la solution qui tient compte de l'objectif du calcul.

Numerical simulations are widely used during the design phase of a product but also for the validation of an innovative system. For example, during the conception of an electric vehicle’s powertrain, numerical simulations can be used to select the appropriate electric engine technology or for the development of control strategies taking into account decision criteria such as vehicle’s autonomy, but also its cost and performance.System’s complexity is always increasing, so they require more and more precise simulations in order to better understand the phenomena involved - for example to study iron losses in an electric engine. 3D simulations provide very accurate results to study a body but are still not appropriate today for the study of large scale systems (ie. with many degrees of freedom, many optimization parameters and several areas of Physics). Indeed, 3D simulations computing time cost is directly linked with the number of degrees of freedom. That’s why, in recent years, model order reduction techniques stir developments because they guarantee a good compromise between the computation time and accuracy of results produced by these models.In this study, we are interested in techniques that can be used in an industrial context around two axes: - the study of thermal phenomena (in the power electronics modules) - the study of electromagnetic phenomena (in electric engines), La simulation numérique occupe une part de plus en plus importante dans les phases de conception mais aussi de validation de systèmes innovants. Dans le cadre de la conception d’une chaîne de traction d’un véhicule électrique, la simulation numérique peut par exemple être employée pour choisir une technologie de moteur électrique ou encore pour mettre au point des stratégies de pilotage au regard de critères de décision tels que l’autonomie du véhicule, son coût mais aussi sa performance.Les systèmes devenant de plus en plus complexes, ils requièrent des simulations de plus en plus fines afin d’appréhender au mieux les phénomènes qu’ils mettent en œuvre - par exemple l’étude des pertes fer dans une machine électrique. L’utilisation de simulations 3D permet d’avoir des résultats très précis à l’échelle d’un organe mais ne se prête pas encore aujourd’hui à l’étude de systèmes de grande taille (c’est-à-dire avec beaucoup de degrés de liberté, de nombreux paramètres d’optimisation et plusieurs domaines de la Physique en jeu). En effet, les simulations 3D sont d’autant plus coûteuses en temps de calcul que le modèle à étudier contient de degrés de liberté. C’est pourquoi, depuis quelques années les techniques de réduction de modèles attisent les développements. En effet, elles permettent de garantir un bon compromis entre le temps de calcul et la précision des résultats produits par les modèles réduits.Nous nous intéressons ici à l’utilisation de ces techniques dans un contexte industriel autour de deux axes : - l’étude de phénomènes thermiques (dans les modules d’électronique de puissance) - l’étude de phénomènes électromagnétiques (dans les machines électriques)

These works aim at using finite element models in optimisation of multirate systems. Indeed, the finite element models are rarely used in optimisation because their computation time is too high. To reduce the duration of the optimisation process, simulation time of the model can be reduced, but the number of evaluations of the model can also be limited. In this perspective, multi-level optimisations are applied. They allow to correct or create fast models for the optimisation from a few number of evaluations of an initial model. The model is a multirate system including a finite element model. The modeling of such a system is done by waveform relaxation method which allows an efficient coupling in an acceptable computation time. Computation time is further reduced by applying model order reduction to the finite element models.The waveform relaxation method is applied to the modeling of a transformer. Then the transformer is optimised by space mapping and kriging techniques. The waveform relaxation method also allows the coupling of a finite element type electromagnetic non linear model with a rectifier and a finite element thermal model; Les travaux de thèse visent à utiliser les modèles éléments finis pour l'optimisation de systèmes multidynamiques. Les modèles éléments finis sont en effet rarement utilisés en optimisation car ils génèrent des temps de calcul trop importants. Pour réduire le temps global d'optimisation, le temps de simulation du modèle lui-même peut être diminué, mais le nombre d'évaluations du modèle peut aussi être limité. Dans cette optique, les stratégies d'optimisation multigranularités sont appliquées, permettant de corriger ou de créer des modèles rapides pour l'optimisation à partir de quelques évaluations d'un modèle initial. Ce modèle est un système multidynamique intégrant un modèle éléments finis. La modélisation d'un tel système est effectuée via la méthode de relaxation des formes d'onde qui permet un couplage efficace en un temps raisonnable. Le temps de calcul est encore réduit par l'application aux modèles éléments finis électromagnétiques de méthodes de réduction de modèle. La méthode de relaxation des formes d'onde est appliquée à la modélisation d'un transformateur. Le transformateur est ensuite optimisé par des méthodes de space mapping et de krigeage. La méthode de relaxation des formes d'onde permet également le couplage d'un modèle électromagnétique non linéaire de type éléments finis avec un redresseur commandé et un modèle thermique éléments finis

This thesis studies the modeling of complex systems. In this framework, the approach is based on Second Order Form Model (SOFM). In order to use this kind of models, properties such as the reachability, the observability, the gramians and the Markov parameters, well known for state-space representation, are extended to the SOFM. During the co-simulation of a system, its physical parts are interconnected to models which simulate the system environement and the simulation is performed in real time. However, the simulation of high order models consumes to much time to be performed in real time. Therefore, model order reduction methods are studied. Particularly, new methods preserving SOFM structure with a good approximation error are presented. These developments are applied to the vehicle dynamic. Hence, a vehicle SOFM model is developed. The created model is a blockwise model where each blocks describes a part of the vehicle. This model is complex and non-linear. In order to apply the model order reduction methods, model linearisation is necessary. The block modeling allows to linearise the full model or allows to linearise some part of the model. Then, the identification of the model parameters is done by vehicle sub-system. In addition, an interconnection method is proposed to build a monobloc model in order to reduce it. Finally, co-simulations of the model vehicle rear part interconnected to the physical front part of the vehicle show the capacity to make co-simulation with the reduced models.; Cette thèse traite de modélisation des systèmes complexes. Dans ce cadre, l'approche est basée sur les Modèles Structurés en Second Ordre (MSSO). Afin d'utiliser cette classe de modèles, les propriétés telles que l'atteignabilité, l'observabilité et les grammiens, bien connues pour les réalisations d'états, sont étendues aux MSSO.Lors de la co-simulation d'un système, des éléments de natures différentes (physiques et logicielles) sont intégrés et la simulation est effectuée en temps réel. Or, les modèles d'ordre élevés sont couteux en temps de calcul, ce qui rend difficile ce type de simulation. Ainsi, des méthodes de réduction de modèle sont explorées. En particulier, de nouvelles méthodes, permettant de préserver la structure des modèles avec une bonne erreur d'approximation sont présentées.Ces développements sont appliqués à la co-simulation de modèles véhicules sous forme de MSSO. Le modèle créé est un modèle par blocs, complexe et non-linéaire. Afin d'appliquer les méthodes de réduction de modèle il est nécessaire de le linéariser. La structure par blocs permet de linéariser l'ensemble du modèle ou de ne linéariser que certaines sous parties du modèle.Ensuite, l'identification des paramètres est effectuée pour chaque sous-systèmes du véhicule. Une méthode d'interconnexion est ensuite proposée pour créer une représentation monobloc du modèle afin de réduire ce dernier. Au final, des essais en co-simulation de la partie arrière du véhicule sous forme de modèle interconnectée avec la partie avant du véhicule physiquement présente sur un banc de test, valide notre approche pour effectuer de la co-simulation temps réel avec matériel.x

The traveling-wave tube (TWT) is a device wherein an electromagnetic wave interacts with an electron beam throughout a slow-wave structure. It is used nowadays as a powerful and wideband hyperfrequency signals amplifier. Moreover, it constitutes a quite simple and robust tool to study the wave-particle interaction.Currently the simulation of TWTs is mainly done using a frequency-domain approach. This approach assumes that only a finite number of a priori known frequencies are involved in the TWT dynamics, and is therefore limited to the study of stationary regimes.In order to simulate the non-stationary TWT dynamics, this thesis proposes to use a time-domain approach. Two ideas are proposed to modelise the slow-wave structure:• The use of an equivalent circuit.• The use of a Model Order Reduction method.Both methods are presented and tested on physical examples., Les tubes à onde progressive (TOP) sont des dispositifs où une onde électromagnétique interagit avec un faisceau d'électrons le long d'une structure à onde lente. Ils sont de nos jours utilisés comme amplificateurs de signaux hyperfréquences, et constituent par ailleurs un outil particulièrement simple et robuste pour étudier l'interaction onde-particule.Le fonctionnement des TOP est aujourd'hui majoritairement simulé en utilisant une approche fréquentielle. Cette approche suppose que l'on ait défini a priori les fréquences qui entrent en jeu dans la dynamique du TOP, ce qui limite son application aux régimes stationnaires.Motivée par le besoin de simuler les régimes non-stationnaires des TOP, cette thèse propose de recourir à une approche en domaine temporel. Deux méthodes pour modéliser la structure à onde lente sont montrées : 1. L'utilisation d'un circuit équivalent.2. L'utilisation d'une méthode de « réduction de modèle ».Chaque méthode est étudiée, puis implémentée et essayée sur des exemples physiques.