Search

We study the occurrence of chaos in the Atkinson-Allen model of four competing species, which plays the role as a discrete-time Lotka-Volterra-type model. We show that in this model chaos can be generated by a cascade of quasiperiod-doubling bifurcations starting from a supercritical Neimark-Sacker bifurcation of the unique positive fixed point. The chaotic attractor is contained in a globally attracting invariant manifold of codimension one, known as the carrying simplex. Biologically, our study implies that the invasion attempts by an invader into a trimorphic population under Atkinson-Allen dynamics can lead to chaos.

We study the occurrence of the chaotic attractor in the four-dimensional classical Leslie-Gower competition model. We find that chaos can be generated by a cascade of quasiperiod-doubling bifurcations starting from a supercritical Neimark-Sacker bifurcation of the positive fixed point in this model. The chaotic attractor is contained in the three-dimensional carrying simplex, that is a globally attracting invariant manifold. Biologically, the result implies that the invasion attempts by an invader into a trimorphic population under the Leslie-Gower dynamics can lead to chaos. (C) 2019 Elsevier B.V. All rights reserved.

Let $$K \subset {\mathbb {R}}^n$$ be a convex body with barycenter at the origin. We show there is a simplex $$S \subset K$$ having also barycenter at the origin such that $$(\frac{\text {vol}(S)}{\text {vol}(K)})^{1/n} \ge \frac{c}{\sqrt{n}},$$ where $$c>0$$ is an absolute constant. This is achieved using stochastic geometric techniques. Precisely, if K is in isotropic position, we present a method to find centered simplices verifying the above bound that works with extremely high probability. By duality, given a convex body $$K \subset {\mathbb {R}}^n$$ we show there is a simplex S enclosing Kwith the same barycenter such that $$\begin{aligned} \left( \frac{\text {vol}(S)}{\text {vol}(K)}\right) ^{1/n} \le d \sqrt{n}, \end{aligned}$$ for some absolute constant $$d>0$$ . Up to the constant, the estimate cannot be lessened.

In this paper we show that the dynamical behavior in R-+(3) (first octant) of the classical Kolmogorov systems T(x(1), x(2), x(3)) = (x(1)F(1)(x), x(2)F(2)(x), x(3)F(3)(x)) of competitive type admitting a carrying simplex can be sometimes determined completely by the number of fixed points on the boundary and the local behavior around them. Roughly speaking, T has trivial dynamics (i.e. the omega limit set of any orbit is a connected set contained in the set of fixed points) provided T has exactly four hyperbolic nontrivial fixed points {p(1), p(2), p(3), p(4)} in partial derivative R-+(3) with {p(1), p(3)} local attractors on the carrying simplex and {p(2), p(4)} local repellers on the carrying simplex; and there exists a unique hyperbolic fixed point in IntR(+)(3). Our results are applied to some classical models including the Leslie-Gower models, Atkinson-Allen systems and Ricker maps.

We propose the generalized competitive Atkinson-Allen map \begin{document}$T_i(x)=\frac{(1+r_i)(1-c_i)x_i}{1+\sum_{j=1}^nb_{ij}x_j}+c_ix_i, 0 0, i, j=1, ···, n, $ \end{document} which is the classical Atkson-Allen map when \begin{document}$r_i=1$\end{document} and \begin{document}$c_i=c$\end{document} for all \begin{document}$i=1, ..., n$\end{document} and a discretized system of the competitive Lotka-Volterra equations. It is proved that every \begin{document}$n$\end{document} -dimensional map \begin{document}$T$\end{document} of this form admits a carrying simplex Σ which is a globally attracting invariant hypersurface of codimension one. We define an equivalence relation relative to local stability of fixed points on the boundary of Σ on the space of all such three-dimensional maps. In the three-dimensional case we list a total of 33 stable equivalence classes and draw the corresponding phase portraits on each Σ. The dynamics of the generalized competitive Atkinson-Allen map differs from the dynamics of the standard one in that Neimark-Sacker bifurcations occur in two classes for which no such bifurcations were possible for the standard competitive Atkinson-Allen map. We also found Chenciner bifurcations by numerical examples which implies that two invariant closed curves can coexist for this model, whereas those have not yet been found for all other three-dimensional competitive mappings via the carrying simplex. In one class every map admits a heteroclinic cycle; we provide a stability criterion for heteroclinic cycles. Besides, the generalized Atkinson-Allen model is not dynamically consistent with the Lotka-Volterra system.

During the last 40 years, simplicial partitioning has been shown to be highly useful, including in the field of nonlinear optimization, specifically global optimization. In this article, we consider results on the exhaustivity of simplicial partitioning schemes. We consider conjectures on this exhaustivity which seem at first glance to be true (two of which have been stated as true in published articles). However, we will provide counter-examples to these conjectures. We also provide a new simplicial partitioning scheme, which provides a lot of freedom, whilst guaranteeing exhaustivity.

Let d and t be fixed positive integers, and let $$K^d_{t,\ldots ,t}$$ denote the complete d-partite hypergraph with t vertices in each of its parts, whose hyperedges are the d-tuples of the vertex set with precisely one element from each part. According to a fundamental theorem of extremal hypergraph theory, due to Erdi¾?si¾?[7], the number of hyperedges of a d-uniform hypergraph on n vertices that does not contain $$K^d_{t,\ldots ,t}$$ as a subhypergraph, is $$n^{d-\frac{1}{t^{d-1}}}$$. This bound is not far from being optimal. We address the same problem restricted to intersection hypergraphs of $$d-1$$-dimensional simplices in $$\mathbb {R}^d$$. Given an n-element set $$\mathcal {S}$$ of such simplices, let $$\mathcal {H}^d\mathcal {S}$$ denote the d-uniform hypergraph whose vertices are the elements of $$\mathcal {S}$$, and a d-tuple is a hyperedge if and only if the corresponding simplices have a point in common. We prove that if $$\mathcal {H}^d\mathcal {S}$$ does not contain $$K^d_{t,\ldots ,t}$$ as a subhypergraph, then its number of edges is On if $$d=2$$, and $$On^{d-1+\epsilon }$$ for any $$\epsilon >0$$ if $$d \ge 3$$. This is almost a factor of n better than Erdi¾?s's above bound. Our result is tight, apart from the error term $$\epsilon $$ in the exponent. In particular, for $$d=2$$, we obtain a theorem of Fox and Pachi¾?[8], which states that every $$K_{t,t}$$-free intersection graph of nsegments in the plane has On edges. The original proof was based on a separator theorem that does not generalize to higher dimensions. The new proof works in any dimension and is simpler: it uses size-sensitive cuttings, a variant of random sampling. We demonstrate the flexibility of this technique by extending the proof of the planar version of the theorem to intersection graphs of x-monotone curves.

We establish in this paper some inequalities for medians and volumes of two simplices whose form is analogous to the Neuberg-Pedoe inequality.

In this note, it is shown that the maximum number of pairwise touching translates of an [math] -simplex is at least [math] for [math] , and for all [math] such that [math] . The current best known lower bound for general [math] is [math] . For [math] and [math] , we will also present an alternative construction to give [math] touching simplices using Hadamard matrices.

A statistical model for global optimization is constructed generalizing some properties of the Wiener process to the multidimensional case. An approach to the construction of global optimization algorithms is developed using the proposed statistical model. The convergence of an algorithm based on the constructed statistical model and simplicial partitioning is proved. Several versions of the algorithm are implemented and investigated.

The conformality of the self-organizing network is studied in this work. We use multi-dimensional deformation analyses to interpret the self-organizing mapping. It can be shown that this mapping is quasi-conformal with a convergent deformation bound. Based on analyses, a deformation measure and a non-conformality measure are derived to indicate the evolution status of the network. These measures can serve as new criteria to evolve the network. We test these measures with simulations on surface mapping problems.

We give a bound for the Betti numbers of the Stanley-Reisner ring of a stellar subdivision of a Gorenstein* simplicial complex by applying unprojection theory. From this we derive a bound for the Betti numbers of iterated stellar subdivisions of the boundary complex of a simplex. The bound depends only on the number of subdivisions, and we construct examples which prove that it is sharp., Comment: 15 pages, no figures. Package may be downloaded at http://www.mathematik.uni-kl.de/~boehm/Macaulay2/BettiBounds/html/

Bu çalışmadaki temel amaç kuazimorfizmaların neler olduklarını anlamaktır. Homomorfizmaların daha genel bir durumu olan kuazimorfizmalar ikinci sınırlı kohomoloji gruplarının bariz olmayan elemanlarıdır, yani ikinci sınırlı kohomoloji grubu homomorfizma olmayan veya sınırlı olmayan kuazimorfizmalar tarafından oluşur. Difeomorfizma grupları için bu kuazimorfizmaların varlığı simplektik geometriciler arasında geniş bir çalışma alanıdır. Bu çalışmaların esas amacı bu grupların geometrilerini anlamak üzerine kuruludur. Temel olarak, eğer bu şekildeki difeomorfizma grupları üzerinde bariz olmayan kuazimorfizmalar var ise o zaman grubun çapı sonsuz olduğu sonucunu çıkarırız.Tezin ilk bölümü standart ve sınırlı kohomoloji grupları üzerine kuruludur. İlk olarak kozincirlerimizi oluşturarak bu grupların temellerini atıyoruz. Standart kozincirler bir ayrık grubun kuvvetlerinden bir abelyen gruba giden fonksiyonların kümesi olarak tanımlanırken sınırlı kozincirler ise bir ayrık grubun kuvvetlerinden bir abelyen gruba giden sınırlı fonksiyonların kümesi olarak tanımlanır. Oluşturduğumuz kozincirler arasında kosınır fonksiyonlarımızı tanımlıyoruz. Kozincirleri birbirine bağlayan kosınır fonksiyonları ile kokompleksler elde ediyoruz. Standart kohomoloji grubunu elde etmek için standart kokompleks yardımıyla bir kosınır fonksiyonumuzun çekirdeğindeki elemanların kümesini aynı kosınır fonksiyonumuzun bir alt derecesindeki kosınır fonksiyonunun görüntüsü olan elemanların kümesine bölüyoruz. Sınırlı kohomoloji grubunu da elde etmek için aynı yöntem ile bu sefer sınırlı kokompleks yardımıylı sınırlı kohomoloji grubumuzu elde ediyoruz. Kabaca diyebiliriz ki sınırlı kohomoloji grubu bir ayrık gruptan abelyen bir gruba giden sınırlı fonksiyonların kümesidir. Standart kohomoloji grubunda ise böyle bir sınırlılık kısıtlaması olmadığı için sınırlı kohomoloji grubu standart kohomoloji gurubunun özel bir durumudur, yani alt kümesidir. Gromov'un çalışmalarıyla birlikte bu alanda bir çok çalışma da başlamış oldu. Bu tezde Hatcher'ı takip ederek standart kohomoloji uzaylarından tanımlara yer veriyoruz. Daha sonra da ayrık grupların sınırlı kohomoloji gruplarını detaylı bir şekilde inceliyoruz. Ayrıca, amenable grupların tanımını veriyoruz. Bir ayrık grubun amenable olması için bu ayrık grup üzerinde normla donatılmış reel değerli sınırlı Banah uzayının var olması gerektiğini ifade ediyoruz. Amenable gruplara örnek olarak ise sonlu grupları ve abelyen grupları gösterebiliriz. Amenable grupların sınırlı kohomoloji ile bağıntısını gösteren Trauber teoremini ispatlıyoruz. Bu teoremin yardımıyla eğer ayrık grubumuz amenable ise bu ayrık gruptan herhangi bir abelyen gruba giden fonksiyonların oluşturduğu sınırlı kohomoloji grubunun aslında sıfır grubundan başka birşey olmadığını görüyoruz ve bu teoremin standart kohomoloji grupları için geçerli olmadığını gösteren Bucher'ın örneğini analiz ediyoruz.İkinci sınırlı kohomoloji grupları bu çalışmanın esas odak noktalarıdır. İkinci sınırlı kohomoloji grubu ile ikinci standart kohomoloji grubu arasında karşılaştırma fonksiyonu tanımlanır ve bariz olmayan kuazimorfizmalar bu karşılaştırma fonksiyonunun çekirdeğinin içinde kalırlar. Kabaca diyebiliriz ki kuazimorfizmalar homomorfizmaların hatalı halidir. Mükemmel gruplardan reel sayılara (veya herhangi bir abelyen gruba) tanımlı tüm homomorfizmalar sıfır homomorfizması olacağından bu gruplar üzerinde tanımlı kuazimorfizmaların varlığı önemli bir problem olur. Örnek olarak da iki üreteçli serbest gruplarda tanımlanan kuazimorfizmaların sonsuz bir ailesini tanımlayan Brooks'un sonucunu ayrıntılarıyla irdeliyoruz. Brooks'un bu örneğinde iki üreteçli serbest gruplar üzerinde tanımladığımız fonksiyonun homomorfizma olamayacağını ve buna ek olarak da bu fonksiyonun sınırlı da olamayacağını gösteriyoruz.Son bölüme başlamadan önce diferensiyel geometriden temel kavramları hatırlıyoruz. İlk olarak, bir vektör uzayının kendisiyle kartezyen çarpımı üzerinde tensörün tanımını reel değerli bir fonksiyon yardımıyla tanımlıyoruz. Bu tensörlere örnek olarak fonksiyonelleri, iç çarpımı ve determinantı verebiliriz. Daha sonra da herhangi iki bileşeninin yerini değiştirdiğimiz zaman tensörün aldığı değerin işaretinin değişmesi durumunu bu tensörün değişken olması olarak tanımlıyoruz. Böyle değişken tensörlere örnek olarak ise determinantı verebiliriz fakat iç çarpımı veremeyiz. Tensörler üzerinde tensör çarpımı tanımladıktan sonra bu tensör çarpımın değişkenleştirerek wedge çarpımı tanımlıyoruz. Daha sonra ise diferensiyel formun tanımını veriyoruz. Türevlenebilir bir manifoldtan her noktasında değişken tensörlere sahip olan bu manifoldun teğet uzayına bir fonksiyonu diferensiyel form olarak tanımlıyoruz. Bir manifold üzerindeki reel değerli fonksiyonlar tanım gereğince 0-form oluştururlar ve bu fonksiyonların türevleri de manifoldun teğet uzayı üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olarak tanımlanırlar. Daha sonra da geri çekme fonksiyonunun tanımını veriyoruz. Öklid uzayı üzerinde geri çekme fonksiyonunun aslında fonksiyonların bileşkesinden başka bir şey olmadığını gösteriyoruz. Böylece bu geri çekme fonksiyonu yardımıyla 1-formları 3 boyutlu öklid uzayındaki bir eğriden aslında birim kapalı aralığa geri çekerek bu 1-formun integralini hesaplayabiliyoruz ve benzer şekilde de 2-formları 3 boyutlu öklid uzayındaki bir yüzeyden geri çekerek bu 2-formun integralini hesaplayabiliyoruz. Daha sonra ise herhangi bir formun dış türevini tanımlıyoruz ve bu dış türevin formunun seçtiğimiz formdan derecesinin bir fazla olduğunu gösteriyoruz. Sonra da sırasıyla 3 boyutlu öklid uzayı üzerinde 0-form bir fonksiyonun türevinin 1-form olduğunu ve bunun da gradient vektörünü doğurduğunu, 1-form bir formun türevinin 2-form olduğunu ve bunun da rotasyon vektörünü doğurduğunu ve 2-form bir formun türevinin 3-form olduğunu ve bunun ise diverjans vektörünü doğurduğunu gösteriyoruz. Bunlara karşın 3 boyutlu öklid uzayı üzerinde 3-formların türevinin olmadığını çünkü 4-form bir formun 3 boyutlu bir manifoldta bulunamayacağını gösteriyoruz.Diferensiyel geometriden bu temel kavramları hatırladıktan sonra ikinci bölüme simplektik topolojinin temellerini detaylandırarak başlıyoruz. Gezegen sistemi gibi klasik mekanik sistem çalışmaları Hamilton denklemlerini sağlayan parçacıkların konfigürasyon uzaylarına dayalıdır. Konfigürasyon uzayları simplektik manifoldlardır ve son otuz yılda simplektik manifoldlar üzerine bir çok çalışmalar yapılmaktadır. Bu tezde ilk olarak simplektik fonksiyonu tanımlayarak simplektik vektör uzayların tanımını veriyoruz. Simplektik vektör uzayının bazının çift sayıda elemandan oluşması sebebiyle de simplektik vektör uzaylarının çift boyutlu olması gerektiği gerçeğine varıyoruz. Çift boyutlu vektör uzayları arasındaki simplektomorfizmayı da daha önce tanımladığımız geri çekme fonksiyonu yardımıyla tanımlıyoruz. Bu tanım yardımıyla da çift boyutlu vektör uzaylarının aslında aynı boyutlu öklid uzayına simplektomorfik olduğununun farkına varıyoruz. Benzer şekilde simplektik manifoldu da bu sefer manifoldun teğet uzayı üzarindeki simplektik bir 2-form yardımıyla kuruyoruz. Bir manifoldun simplektik manifold olması için gerek ve yeter şartın bu manifold üzerinde kurulan formun türevinin sıfıra eşit olması ve bu formun dejenere olmayan bir form olması gerektiği tanımını veriyoruz. Örnek olarak ise çift boyutlu öklid uzayı, karmaşık sayılar uzayı ve küre yüzeyi örneklerini inceliyoruz. Aynı vektör uzayında olduğu gibi manifoldlar arasındaki simplektomorfizmayı da geri çekme fonksiyonu yardımıyla tanımlıyoruz ve yine benzer şekilde çift boyutlu simplektik manifoldların yerel olarak aynı boyutlu öklid uzayına simplektomorfik olduğunun farkına varıyoruz. Daha geometrisel olarak açıklamak gerekirse iki simplektik manifoldun birbirlerine simplektomorfik olabilmesi için gerek ve yeter şart aralarında hacim formu koruyan bir difeomorfizmanın var olmasıdır, yani örneğin birbirine difeomorfik bir küre ile bir elipsoidin simplektomorfik olabilmesi için hacim formlarının (yani, yüzey alanlarının) birbirine eşit olması gerekir. Bu temelleri attıktan sonra ise bir manifold üzerindeki Hamilton difeomorfizmaları grubu ve Simplektomorfizmalar grubuna odaklanıyoruz. Banyaga'nın klasik sonucu gösteriyor ki bu gruplar basit gruplardır ve dolayısıyla bu gruplardan reel sayılara bariz olmayan homomorfizma bulmak mümkün olmamaktadır. Bu yüzden bu gruplar üzerindeki kuazimorfizmalar bariz olmayan kuazimorfizmalar olmasından dolayı önem kazanır. Örnek ve son olarak ise disk ve torus üzerindeki simplektomorfizmalar grubundan reel sayılara bariz olmayan kuazimorfizmalar buluyoruz ve bunu da ilk bölümde incelediğimiz ikinci sınırlı kohomoloji gruplarıyla bağdaştırıyoruz.Sonuç olarak, eğer bir manifold üzerindeki simplektormorfizmalar grubunda bariz olmayan kuazimorfizmalar bulabiliyorsak o halde; daha önce de bahsettiğimiz üzere bu simplektomorfizmalar grubunun çapı sonsuz olur (bu da bize bu grubun geometrisi hakkında bilgi verir), komütatörler çarpımı biçiminde yazılabilen bir difeomorifizmayı oluşturan komütatörün boyu sonsuz olur ve bu simplektomorfizmalar grubunun ikinci sınırlı kohomoloji grubu ikinci standart kohomoloji grubundan farklı olur. Bu sonuçları ifade ederek tezi noktalıyoruz. Son zamanlarda Polterovich ve öğrencileri ile Gambaudo ve Ghys simplektik manifoldlar için bir çok kuazimorfizma örnekleri kuruyorlar. Onların yapmakta olduğu ispatlar bu tezin sınırları ötesindedir. In this study, the main goal is to get an understanding of the concept of quasimorphisms. Quasimorphisms exist as the nontrivial elements of the second bounded cohomology group. The existence of quasimorphisms for certain groups of diffeomorphisms is an active research area among symplectic geometers. Main motivation of these studies focus on understanding the geometry of such groups. Basically, if there is a nontrivial quasimorphism on such diffeomorphism groups, then one concludes that the diameter of the group is infinite.The first part of the study is devoted to bounded cohomology. Roughly, bounded cohomology is the cohomology of chain complexes where cochains are bounded functions into reals, integers etc. Since the seminal paper of Gromov, various studies have been made on this subject. In this thesis, we recall the definitions from the usual cohomology of spaces, following Hatcher. Next, we examine the bounded cohomology of discrete groups in more detail. As an example, we analyze the theorem of Trauber proving that the bounded cohomology groups of amenable groups are trivial, folowing Bucher.The second bounded cohomology group is in the heart of this study. Namely, nontrivial quasimorphisms lie in the kernel of the comparison map between bounded and usual cohomology groups in the second degree. Roughly, quasimorphisms are homomorphisms up to an error. Since perfect groups do not admit nontrivial homomorphism into reals (or any abelian group), it is natural to seek nontrivial quasimorphisms defined for such groups. As an example, we include the result of Brooks in detail in which an infinite family of quasimorphisms are defined in the free group on two generators.In the final chapter, we recall basics of symplectic topology. The study of classical mechanical systems such as the planetary system is based on configuration spaces of particles satisfying certain equations (Hamilton equations). The configuration spaces are symplectic manifolds and there have been large number of studies on symplectic manifolds in the last three decades. In this thesis, we first review basics of symplectic topology and focus on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of symplectic manifolds. A classical result due to Banyaga shows that this group is perfect and hence, quasimorphisms on this group become important. Recently, Polterovich and his students and Gambaudo and Ghys construct quasimorphisms for certain symplectic manifolds. We finish the thesis by stating these results. Their proofs include spectral invariants of Floer theoretic backgrounds and are beyond the scope of this study. 61

In "Counting faces of randomly projected polytopes when the projection radically lowers dimension" the authors proved an asymptotic sampling theorem for sparse signals, showing that n random measurements permit to reconstruct an N-vector having k nonzeros providedn > 2 . k . log(N/n)(1 + o(1))reconstruction uses l(1) minimization. They also proved an asymptotic rate theorem, showing existence of real error-correcting codes for messages of length N which can correct all possible k-element error patterns using just n generalized checksum bits, wheren > 2e . klog(N/n)(1 + o(1))decoding uses l(1) minimization. Both results require an asymptotic framework, with N growing large. For applications, on the other hand, we are concerned with specific triples k, n, N. We exhibit triples (k, n, N) for which Compressed Sensing Matrices and Real Error-Correcting Codes surely exist and can be obtained with high probability by random sampling. These derive from exponential bounds on the probability of drawing 'bad' matrices. The bounds give conditions effective at finite-N, and converging to the known sharp asymptotic conditions for large N. Compared to other finite-N bounds known to us, they are much stronger, and much more explicit. Our bounds derive from asymptotics in "Counting faces of randomly projected polytopes when the projection radically lowers dimension" counting the expected number of k-dimensional faces of the randomly projected simplex TN-1 and cross-polytope C-N. We develop here finite-N bounds on the expected discrepancy between the number of k-faces of the projected polytope AQ and its generator Q, for Q = TN-1 and C-N. Our bounds also imply existence of interesting geometric objects. Thus, we exhibit triples (k, n, N) for which polytopes with 2N vertices can be centrally k-neighborly.

Bu tezde Lobachevski ve Schlafli diferensiyel formülünden farklı olarak küresel yada hiperbolik bir dörtyüzlünün sadece ayrıt uzunluklarına bağlı hacim formüllleri elde edilmiştir. Bu formül gösterim olarak Schlafli diferensiyel formülüne benzer olduğundan ayrıt uzunluklarına bağlı Schlafli diferensiyel formülü olarak adlandırılmıştır. Elde edilen formülün özel küresel ve hiperbolik dörtyüzlüler için formları elde edilmiştir. Bunun yanısıra özelde ideal regüler hiperbolik dörtyüzlü için bu ayrıt uzunluklarına bağlı Schlafli diferensiyel formülü ve Lobachevski formülü ile yapılan hesaplamalar karşılaştırılmış olup elde edilen formülün doğruluğu numeric olarak da gösterilmiştir. Küresel ve hiperbolik simplekslerin Feynman integralleriyle ilişkileri, ayrıt uzunluklarına bağlı Schlafli diferensiyel formülünün Feynman integrallerinin hesaplamalarındaki uygulamaları verilmiştir. Within this thesis, dominant formulas depending on only edge lengths of a spherical or hyperbolical tetrahedron which are different from Lobachevski and Schlafli differential formula are obtained. Since these formulas are similar to Schlafli differential formula, they are named as Schlafli differential formula depending on edge lengths. Forms of these formulas for particular spherical and hyperbolical tetrahedra are derived. Calculations with both Lobachevski formula and Schlafli differential formula depending on edge lengths were carried out for the ideal regular hyperbolical tetrahedron in order to make comparison also. So the formulas are validated numerically. The relations of spherical and hyperbolical simplices with Feynman integrals were given and the application of Schlafli differential formula depending on edge lengths on calculation of Feynman integrals was considered. 65

Bu tez 7 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olarak düzenlenmiştir, ikinci bölüm temel kavramlar. Üçüncü bölümde,bir hiperbolik dörtyüzlünün Gram matrisinin karakteristik değer ve karakteristik vektörlerine bağlı dihedral açıları ile Ayrıt matrisinin karakteristik değer ve karakteristik vektörlerine bağlı ayrıt uzunlukları verildi. Dördüncü bölümde, bir küresel dörtyüzlünün Gram matrisinin karakteristik değer ve karakteristik vektörlerine bağlı dihedral açıları ile Ayrıt matrisinin karakteristik değer ve karakteristik vektörlerine bağlı ayrıt uzunlukları verildi. Beşinci bölümde, hiperbolik uzayda bazı özel dörtyüzlülerin yükseklik ve tepe açıları arasında yeni sonuçlar verildi. Altıncı bölümde, küresel uzayda bazı özel dörtyüzlülerin yükseklik ve tepe açıları arasında yeni sonuçlar verildi. Yedinci bölümde de bulgular özetlendi. This thesis consist of seven chapters .The first and second chapters are prepared as introduction and basıc concepts. In the third chapter, dihedral angels in terms of characteristic values and characteristic vectors of Gram matrix, and edge lengths related with characteristic values and characteristic vectors of edge matrix of a hyperbolic tetrahedron are given. In the forth chapter, dihedral angels in terms of characteristic values and characteristic vectors of Gram matrix, and edge lengths related with characteristic values and characteristic vectors of edge matrix of a spherical tetrahedron are given. In the fifth chapter, new results among vertex angle and hights of some special tedrahedra in hyperbolic space are given. In the sixth chapter, new result among vertex angle and hights of some special tedrahedra in spherical space are given. In the seventh chapter, the conclusions of those findings are summarized. 58

Intersecting hypersurfaces in classical Lovelock gravity are studied exploiting the description of the Lovelock Lagrangian as a sum of dimensionally continued Euler densities. We wish to present an interesting geometrical approach to the problem. The analysis allows us to deal most efficiently with the division of space-time into a honeycomb network of cells produced by an arbitrary arrangement of membranes of matter. We write the gravitational action as bulk terms plus integrals over each lower dimensional intersection. The spin connection is discontinuous at the shared boundaries of the cells, which are spaces of various dimensionalities. That means that at each intersection there are more than one spin connections. We introduce a multi-parameter family of connections which interpolate between the different connections at each intersection. The parameters live naturally on a simplex. We can then write the action including all the intersection terms in a simple way. The Lagrangian of Lovelock gravity is generalized so as to live on the simplices as well. Each intersection term of the action is then obtained as an integral over an appropriate simplex. Lovelock gravity and the associated topological (Euler) density are used as an example of a more general formulation. In this example one finds that singular sources up to a certain co-dimensionality naturally carry matter without introducing conical or other singularities in spacetime geometry., Comment: 24 pages, 2 figures, version 4: lengthened introduction, section on explicit junction conditions for intersections added. Accepted in Journal of Geometry and Physics

StMPLEXLER İÇİN PİSAGORYEN TEOREMLER (Yüksek Lisans Tezi) Sema Özlem YILMAZ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Eylül 2003 ÖZET Bu çalışmada, simplexler, simplexlerin bazı özellikleri ve simplexlerin merkezleri incelendi. Bilim Kodu : 403.0201 Anahtar Kelimeler : Simplex, Pisagor, Tepe Açısı, Merkez. Sayfa Adedi : 75 Tez Yöneticisi : Prof.Dr. Baki KARLIĞA 11 PYTHAGOREAN THEOREMS FOR SIMPLICES (M.Sc.Thesis) Sema Özlem YILMAZ GAZİ UNIVERSITY INSTUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY September 2003 ABSTRACT In this study, simplices and their some properties and centers are examined. Science Code : 403.0201 Key Words : Pythagore, Simplex, Vertex Angle, Centre. Page Number : 75 Adviser : Prof.Dr. Baki KARLI?A 75

Bu çalışma üç bölümden oluşmuştur. Cebirsel Topolojide geniş bir yere sahip olan simpleks, kompleks, simpleksel kümeler kategorisi ve simpleksel öndemetlerin bir derlemesi yapılmıştır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanacağımız simpleks ve kompleks kavramı ile bunların bazı özellikleri verilmiştir. İkinci bölümde, kategori, simpleksel küme, simpleksel lifleme ile simpleksel kümeler kategorisindeki nesneler arasındaki homotopi verilerek homotopi grupları teşkil edilmiştir. Üçüncü bölümde, Grothendieck topoloji ve site kavramı tanıtılmış ve bu sitede simpleksel öndemet kavramı verilmiştir. Ayrıca simpleksel öndemetlerin kategorisi ve bu kategoride homotopi teorisi için fibrant nesnelerin kategorisi oluşturulmuştur. Bilim Kodu :403. 04. 01 Anahtar Kelimeler : Simpleksel kümeler, Simpleksel öndemet, simpleksel liflemeler This thesis gives very deep and large survey about the notions of simplex, complex, the category of simplicial sets and simplicial presheaves which are very important area in the algebraic topology. It is divided into three chapters. The first chapter contains the notions of simplex and complex with the some properties of them. The second chapter devoted to category of simplicial sets, the simplicial fibration and the homotopies among the objects in the category of simplicial sets. It also includes the costruction of the homotopy groups. In the third chapter the Grothendieck 's topology and the notion of site are introduced and the notion of simplicial presheaves is given in this notion of site. Besides, the category of the fibrant objects has been constructed for the category of simplicial presheaves and the homotopy theory this category. Science Code : 403. 04. 01 Key Words : Simplicial sets, Simplicial presheaves, Simplicial fibration 100

We establish in this paper a theorem for the volume of the largest parallelotope contained in a given simplex. Applying this theorem, we prove some inequalities for unions of parallelotopes in a given simplex and some spanning theorems for inscribed simplices.