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The main objective of this dissertation is to analyse thoroughly the construction of self-adjoint extensions of the Laplace-Beltrami operator defined on a compact Riemannian manifold with boundary and the role that quadratic forms play to describe them. Moreover, we want to emphasise the role that quadratic forms can play in the description of quantum systems., El objetivo principal de esta memoria es analizar en detalle tanto la construcción de extensiones autoadjuntas del operador de Laplace-Beltrami definido sobre una variedad Riemanniana compacta con frontera, como el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describirlas. Más aún, queremos enfatizar el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describir sistemas cuánticos.