Search

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde, iki ana başlık altında cebirsel ve geometrik temel kavramlar tanıtılmış ve cebirsel yapılarla projektif düzlemler arasındaki ilişkiler özet halinde verilmişti r. İkinci bölümün ilk beş kısmında, Moufang düzlemlerinde çifte oran ile ilgili Ferrar (1980) [11] ve Schleiermacher (1965) (211 in çalışmaları özetlenmiş. Elli deki hatalı bir ifadeden kaynaklanan yanlışlıklar düzeltilmiş ve bazı yeni Önermeler verilmiştir. İkinci bölümün altıncı kısmında Çiftçi,S. , (1984) (71 de yapılan çifte oranın Moufang düzlemlerine genişletilmesi verilmiştir. İkinci bölümün son kısmında ise Moufang düzlemlerinde doğruların çifte oranı tanımlanmış ve bu tanım Moufang düzleminin tamamına genişle— tilmiştir. Ayrıca Moufang düzlemlerinde doğru ve noktaların çifte oranı arasındaki ilişki kurulmuştur. üçüncü bölümün ilk kısmında lokal alternatif halkalar ile koordinatlanan geometrik yapılar olan Moufang-Klingenberg düzlemleri (MK-düzlemleri ) tanıtılmıştır. Takip eden dört kısımda MK-düzlemlerinin lokal alternatif halkalar yardımıyla koordinatlanmasmın yapıldığı Baker,C. A. ,v. d. (1991) [31, MK-düzlemlerinde noktaların çifte oranı ile ilgili Blunck»A. (1991) 151 ve MK-düzlemierinde izdüşellikleri inceleyen Blunck,A. (1991) [61 da yapılan çalışmalar özetlenmiştir. Daha sonra çifte oranın tüm MK-düzlemine genişletilmesi yapıl iniştir. Son bölümde ise bu düzlemlerde doğruların çifte oranı tanımlanmış ve bunlarla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. In this thesis we consider cross-ratio in Moufang planes which is introduced by Schleiermacher, A. ,(1965),[211 and Ferrar.J.C. (1981), ilil. We give a formal proofs of some results which are given in IHI by using a wrong algebraic expression. And also we found some new results related with the harmonicity of points. Morever by defining the cross-ratio of concurrent lines we obtain the relation between the cross-ratio of lines and points. Later, we summarize "a coordinatization of MK-planes", "cross-ratio in MK-planes” and "projectivities in MK-planes" which are given in [31, E5J and 16] respectively. Then, we extent the cross-ratio to whole MK-planes and study on the cross-ratio of concurrent lines in this plane.

Tez (yüksek lisans) - Anadolu Üniversitesi, Anadolu Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Kayıt no: 12132, mertebesi n olan sonlu bir projektif düzlem ve nin mertebesi m olan ve Baer altdüzlemi olmayan ( yani olan) bir altdüzlemi olsun. Bu durumda, ve nın kısıtlanmısı olmak üzere altyapısını gözönüne alalım. Bu tez çalışmasında, n ise ın, Graves anlamında, bir hiperbolik düzlem olduğu gösterilmiştir. Daha sonra ın bazı kombinatörsel özellikleri ve bazı parelel doğru sınıfları üzerinde durulmuştur.

Bu tezde, Öklidyen olmayan düzlemlerden önemli biri olan, hiperbolik düzlem kavramına ait temel bilgiler, bazı hiperbolik düzlem modelleri hakkında literatürde yer alan bilgiler ile bunlardan esinlenilerek elde edilen Hiperbolik-Klingenberg düzlemleri ile ilgili yapılan bazı çalışmalar özet olarak sunulmuştur.Öklid düzleminden elde edilen hiperbolik düzlem modelleri olan Poincaré modelleri, Sandler'in hiperbolik düzlem modeli ve Sandler'in modelinin genişletilmişi olan model için bir bölüm ayrılmış ve bu modellerin kuruluşu detaylarıyla verilmiştir. Ayrıca, projektif altdüzlemler ve hiperbolik düzlemler üzerine yapılan bazı çalışmalar incelenmiş olup sonlu bir projektif düzlemden Baer alt düzlemi olmayan bir projektif alt düzlemin tüm doğrularının üzerindeki noktalarla birlikte atılmasıyla elde edilen yapı tanıtılmış ve bu yapının hangi şartlar altında bir hiperbolik düzlem belirteceği verilmiştir. Son olarak bir Projektif-Klingenberg düzlemden m adet özel doğru sınıfının üzerindeki noktalarla birlikte atılması sonucu elde edilen yapının Hiperbolik-Klingenberg düzlem belirtme şartlarının tespit edildiği ve bu yapının bazı sayısal özelliklerinin ortaya konulduğu bir çalışmada elde edilen sonuçlar tanıtılmıştır. In this thesis, basic information about hyperbolic planes which are one of the important non-Euclidean planes, some information about hyperbolic plane models and some studies about Hyperbolic-Klingenberg planes which are constructed as a generalization of hyperbolic planes are presented briefly.Poincaré models which are the hyperbolic plane models obtained from the Euclidean plane, hyperbolic plane models of Sandler, the extension of the Sandler's model and the constructions of these models are given in detail in one chapter. In addition, some studies on projective subplanes and hyperbolic planes have been examined and the structure obtained by deleting all lines together with their points of projective non- Baer subplane from a finite projective plane has been introduced and the conditions under which remaining structure will indicate a hyperbolic plane have been given. Finally, results of Hyperbolic-Klingenberg models constructed by deleting a certain number m of equivalence classes of lines with their points from a finite Projective-Klingenberg plane are given. 65

Bu yüksek lisans tezinde projektif düzlemlerin bir genellemesi olan ProjektifKlingenberg düzlemleri tanıtılmış ve bu düzlemlerin cebirdeki karşılıkları olarak görülebilecek lokal halkalar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Özel olarak Z_4 halkası yardımıyla inşa edilen Z_4+Z_4 εdual lokal halkası ile koordinatlananProjektifKlingenberg düzleminin nokta ve doğruları üzerinde çalışılmıştır. Bu düzlemin aynı komşulukta olan ve olmayan doğrularının arakesit noktaları ayrı ayrı incelenmiştir. Bu inceleme sonucunda farklı tiplerden doğruların ve aynı tipten olup farklı komşulukta olan doğruların arakesit noktalarının bir tek noktadan oluşacağı cebirsel olarak gösterilmiştir. Aynı tipten ve aynı komşulukta olan doğruların arakesit noktaları ise çizelgeler yardımı ile belirlenmiştir. Böylece Z_4+Z_4 εdual lokal halkası yardımıyla koordinatlananProjektifKlingenberg düzleminin karakteristik özellikleri temel olarak elde edilmiştir. In this Master Thesis, Projective Klingenberg planes which are generalizations of the projective planes are introduced and also fundamental information about local rings which are regarded as the algebraic correspondencesof the Projective Klingenberg planes. In particular, points and lines of the Projective Klingenberg plane which has been coordinatized by the dual local ringZ_4+Z_4 ε. The intersection points of the lines which are or not in the same neighborhood are studied separately. As the result, the fact that the intersection of the lines of different types will be a unique point is obtained algebraically. The intersection points of the same type lines were investigated by constructing some tables. Hence the characteristic properties of the Projective Klingenberg plane coordinatized by the dual local ring Z_4+Z_4 ε are obtained. 115

Bu doktora tezinde, bir dual lokal halka sınıfı belirlenmiş ve bu sınıfa ait dual lokal halkalar yardımıyla inşa edilen projektif Klingenberg düzlemlerindeki bazı noktaların toplamı ve çarpımı hem geometrik hem cebirsel olarak verilen tanım, teorem ve sonuçlarla incelenmiştir. Ayrıca, toplama ve çarpma işlemleriyle özel olarak belirlenen kolinasyonlar arasındaki ilişkiler araştırılmıştır.Geometrik bir yapıya uygun olan cebirsel yapıyı bulmanın o geometrik konseptin `gerçek` doğasını açığa çıkarttığı söylenir. Bu tezde de genel manasıyla geometrik bir yapı ile bu yapının cebirsel temeli arasındaki karşılık gelmelerin anlamı ve güzelliği öne çıkartılmaktadır. In this doctoral dissertation, a dual local ring class has been identified, and the addition and the multiplication for some points of the projective Klingenberg planes that built by the dual local rings of that class are examined both geometrically and algebraically with given definitions, theorems and results. Also, the relation between the addition and multiplication operations and the specifically identified collineations are investigated. It has been said that finding the right algebraic structure reveals the `true` nature of a geometric concept. This thesis also put forward, in a general manner, the meaning and the beauty of the correspondences between the geometric structures and their algebraic foundations. 185

Bu çalışmanın amacı literatürde matematiksel dizaynlar hakkında var olan temel kavramları bir araya getirip, bazı örneklerle bunların kolay anlaşılır hâle gelmesini sağlamaktır.Tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm olan giriş bölümünde konunun rahat anlaşılmasını sağlamak için gerekli temel kavramlar ve bazı teoremler yer almaktadır. Üç alt başlık hâlinde düzenlenmiş olan ikinci bölümde ise matematiksel dizaynlar tanıtılıp sonlu ve sonsuz dizaynlar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Bu temel bilgiler verilen örneklerle desteklenmiştir. Son bölüm olan üçüncü bölümde parçalanabilir dizaynlar tanıtılmıştır. Bu bölüm üç alt başlık bulundurmaktadır. Önce parçalanabilir dizaynlarla ilgili genel kavramlar tanıtılmış ve daha sonra parçalanabilir dizaynların temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde son olarak parçalanabilir dizaynlar üzerinde grupların etkisi üzerinde durulmuştur. The aim of this work is to combine the fundamental notions about mathematical designs which exist in literature and to make them more understandable with the help of some examples.This thesis consists of three chapters. In the first chapter which is entitled as Introduction, the fundamental notions and some theorems are recalled to make the topic understandable.In the second chapter which has been organized under three subsection, mathematical designs are introduced and some information about finite and infinite designs are given. This notions are supported with given examples. In the third chapter which is the last chapter, divisible designs are introduced. This chapter has three subsections. First of all, the fundamental notions related to divisible designs are introduced and some basic properties of divisible designs are given. Also in this chapter, the group action on divisible designs is mentioned. 74

Bu yüksek lisans tezinde projektif düzlemler ve projektif Klingenberg düzlemleri esas olmak üzere bazı geometrik yapıların koordinatlamaları ele alınmış ve bu düzlemlerin geometrik özellikleri ile koordinatlama halkalarının cebirsel özellikleri arasındaki bazı ilişkiler,literatür taraması şeklinde, incelenmiştir. In this study, we gather some information about the coordinatizations of some projective geometric structures, especially projective planes, Klingenberg planes and Moufang Klingenberg planes. And also we give some relations between the algebraic properties of coordinatization rings and geometric properties of these planes with searching the literature. 73