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We prove that the unique possible flow in an Alexandroff T0-space is the trivial one. On the way of motivation, we relate Alexandroff spaces with topological hyperspaces.

We construct a category that classifes compact Hausdorff spaces by their shape and fnite topological spaces by their weak homotopy type.

La memoria busca introducir los conceptos y resultados básicos de cohomología para después tratar la cohomología de de Rham. Primero se desarrolla la teoría sin soporte compacto y a continuación con soporte compacto. Más adelante estudiamos lo necesario de teoría de grado y de funciones de Morse para poder enunciar y demostrar el teorema de Poincaré-Hopf para funciones de Morse. También incluiremos una aplicación topológica de los resultados sobre grado para aplicaciones diferenciables. Por último usaremos un resultado de la teoría de Morse para demostrar el teorema de Gauss-Bonnet y probamos el teorema de Reeb que caracteriza topológicamente las esferas mediante funciones de Morse.

Objetivos de la tesis: El principal objetivo de la tesis es profundizar en el estudio de los retículos de Banach. Más concretamente, se trata de investigar cómo es la estructura de los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach y conjuntos ordenados, si bien nos centramos en el caso particular de los conjuntos linealmente ordenados. El concepto de objeto libre es bien conocido, puede expresarse en el lenguaje general de la teoría de categorías, y se ha probado de gran utilidad en diversas áreas tanto en análisis como en álgebra. Sin embargo, en el contexto de los retículos de Banach su introducción ha sido reciente. Ben de Pagter y Anthony William Wicksetad lo introducieron por primera vez en 2015, definiéndose tal concepto para conjuntos, y Antonio Avilés, José Rodríguez y Pedro Tradacete lo generalizaron para espacios de Banach. En la tesis, en primer lugar, nos planteamos el estudio del retículo de Banach libre generado por un retículo. Estudiamos la existencia y unicidad de tal objeto y lo describimos como un cierto espacio de funciones con una cierta norma y un cierto orden. La estructura reticular de los retículos de Banach libres nos da pie al estudio de condiciones de cadena, análogamente a como se hace en el contexto de los espacios topológicos y las álgebras de Boole. En concreto, estudiamos la condición de cadena σ-acotada para los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach, y la condición de cadena contable para los retículos de Banach libres generados por conjuntos linealmente ordenados. Finalmente, estudiamos qué retículos de Banach son proyectivos, respondiendo a su vez a preguntas planteadas por Ben de Pagter y Anthony William Wickstead en su artículo sobre retículos de Banach libres y proyectivos. - Metodología: La metodología seguida es la propia de la investigación en matemáticas, que consiste en la búsqueda constante de nuevas ideas para abordar los problemas que se plantean, para lo que es fundamental el estudio de la literatura pero también la discusión y el intercambio de ideas entre colaboradores y con los principales expertos en la materia. En ese sentido, nuestro plan de trabajo ha incluido: * Reuniones de trabajo con otros colaboradores y expertos en nuestra área de investigación. * Asistencia a congresos. - Resultados: Los resultados obtenidos en la tesis son, entre otros, los siguientes: * Demostración de la existencia y unicidad del retículo de Banach libre generado por un retículo. * El retículo de Banach libre generado por un conjunto linealmente ordenado satisface la condición de cadena contable si, y solo si, el conjunto linealmente ordenado es isomorfo a un subconjunto de la recta real. * El retículo de Banach libre generado por un espacio de Banach satisface la condición de cadena σ-acotada. * El retículo de Banach libre generado por un retículo finito es proyectivo, mientras que el generado por un conjunto linealmente ordenado infinito no lo es. * Demostramos que si un retículo de Banach es proyectivo, entonces toda sucesión acotada que pueda ser llevada vía un homomorfismo de retículos de Banach a la base canónica de c0 de manera sobreyectiva debe contener una l1-subsucesión, de donde obtenemos, en particular, que ni c0 ni lp (para 2 ≤ p < ∞) son proyectivos. * Demostramos que si E es un espacio de Banach con la propiedad de que el retículo de Banach libre generado por él es proyectivo, entonces E tiene la propiedad de Schur. * Demostramos que C(K) es proyectivo si, y solo si, K es un retracto de entornos absoluto en la categoría de los espacios topológicos compactos de Hausdorff. - Objectives of the thesis: The main objective of the thesis is to deepen the study of the Banach lattices. More specifically, it is about investigating the structure of the free Banach lattices generated by Banach spaces and ordered sets, although we focus on the particular case of linearly ordered sets. The concept of free object is well known, can be expressed in the general language of the theory of categories, and has been proved very useful in various areas in both analysis and algebra. However, in the context of Banach lattices, it has been recently introduced. Ben de Pagter and Anthony William Wicksetad introduced it for the first time in 2015, defining such a concept for sets, and Antonio Avilés, José Rodríguez and Pedro Tradacete generalized it for Banach spaces. In the thesis, first, we study the free Banach lattice generated by a lattice. We study the existence and uniqueness of such an object and describe it as a certain space of functions with a certain norm and a certain order. The lattice structure of free Banach lattices gives rise to the study of chain conditions, analogously to how it is done in the context of topological spaces and Boolean algebras. Specifically, we study the σ-bounded chain condition for free Banach lattices generated by Banach spaces, and the countable chain condition for free Banach lattices generated by linearly ordered sets. Finally, we study which Banach lattices are projective, in turn answering questions posed by Ben de Pagter and Anthony William Wickstead in their article on free and projective Banach lattices. - Methodology: The methodology followed is that of research in mathematics, which consists of the constant search for new ideas to address the problems that arise, for which the study of literature is fundamental, but also the discussion and exchange of ideas among collaborators and with leading experts in the field. In this sense, our work plan has included: * Work meetings with other collaborators and experts in our research area. * Attendance at conferences. - Results: The results obtained in the thesis are, among others, the following: * Proof of the existence and uniqueness of the free Banach lattice generated by a lattice. * The free Banach lattice generated by a linearly ordered set satisfies the countable chain condition if, and only if, the linearly ordered set is isomorphic to a subset of the real line. * The free Banach lattice generated by a Banach space satisfies the σ-bounded chain condition. * The free Banach lattice generated by a finite lattice is projective, while that generated by an infinite linearly ordered set is not. * We show that if a Banach lattice is projective, then every bounded sequence that can be mapped by a Banach lattice homomorphism onto the basis of c0 must contain an l1-subsequence, from which we obtain, in particular, that neither c0 nor lp (for 2 ≤ p < ∞) are projective. * We show that if E is a Banach space with the property that the free Banach lattice generated by it is projective, then E has the Schur property. * We show that C (K) is projective if, and only if, K is an absolute neighbourhood in the category of compact Hausdorff topological spaces.

En este trabajo desarrollamos con detalle la cohomología de de Rham, desde la orientación de variedades, la integración de formas o el teorema de Stokes, pasando por la sucesión de Mayer-Vietoris, hasta la dualidad de Poincaré. Todo ello se hace tanto para las formas diferenciables con soporte compacto como no compacto. En concreto, nos detenemos a estudiar en profundidad el Lema de Poincaré y su formulación en el caso con soporte compacto, obteniendo a partir de él la invarianza homotópica de la cohomología de de Rham. Con estas herramientas calculamos la cohomología de algunos espacios concretos significativos, como las esferas. De ahí pasamos a definir el invariante de Hopf de una función diferenciable entre esferas, cuyo cálculo permite probar la esencialidad de las fibraciones de Hopf. Concluimos probando la esencialidad de estas fibraciones de forma más general como consecuencia del teorema de elevación de homotopía y del teorema de Ehresmann para sumersiones propias.

En este trabajo se estudia la cohomología de de Rham en variedades diferenciables. Se realizará una presentaciión extensa de la misma, con resultados como el teorema de Mayer Vietoris, la invarianza topológica de los grupos de cohomología, la relación entre las cohomologías con y sin soporte compacto mediante la dualidad de Poincaré y el teorema de Künneth que explora la cohomología de variedades producto. No olvidaremos las diversas aplicaciones de la teoría. De forma que calcularemos la cohomología de diferentes variedades, así como el último grupo de cohomología y el de grado 1 de manera general. También, se emplean las diversas herramientas para dar una demostración del teorema de Jordan-Brouwer y estudiar la característica de Euler

Este trabajo estudia el teorema de Jordan-Schoenflies en el toro, que clasifica por homeomorfismo ambiente las curvas de Jordan del toro según lo desconecten o no. Se demostraría que hay dos tipos: las nulhomótopas, que desconectan; y las demás, que no. En particular, los complementos de todas las del mismo tipo son homeomorfos: a una corona circular para las que no desconectan, a un disco y un toro pinchado para las que sí. Además, se estudian los casos en los que los homeomorfismos ambientes se pueden refinar a isotopías.

For each positive integer k, the bundle of k-jets of functions from a smooth manifold, X, to a Lie group, G, is denoted by Jk(X,G) and it is canonically endowed with a Lie groupoid structure over X. In this work, we utilize a linear connection to trivialize this bundle, i.e., to build an injective bundle morphism from Jk(X,G) into a vector bundle over G. Afterwards, we give the explicit expression of the groupoid multiplication on the trivialized space, as well as the formula for the inverse element. In the last section, a coordinated chart on X is considered and the local expression of the trivialization is computed.

In this thesis we study geometric structures on orbifolds. Our main interest lies in the relationship between such structures in orbifolds and corresponding geometric structures of associated manifolds. One instance of this is the symplectic resolution of orbifold singularities in which we associate a symplectic manifold (the resolution) to a symplectic orbifold. Resolution of symplectic orbifolds is a natural extension to the symplectic category of the classical problem of resolution of singularities in algebraic geometry. Apart from the intrinsic interest of the problem of resolution of singularities in symplectic geometry, resolution of symplectic orbifolds also gives a powerful method to construct symplectic manifolds starting from symplectic orbifolds. With this ideain mind, we develop a method to resolve a certain type of symplectic orbifolds, which we call homegenous isotropy orbifolds. These do not cover orbifolds in full generality, but they suce to construct interesting manifolds...

En la presente memoria hacemos uso de la cohomologia de Takeuchi-Ulbrich de complejos de cocadenas de grupos categoricos simetricos para introducir una teoria de cohomologia generaliza a la cohomologia simplicial usual con coeficientes en grupos abelianos, considerados estos como categorias discretas Y, en definitiva, a la cohomologia singular de CW-complejos. Una de las aplicaciones de la cohomologia singular en topologia algebraica viene dada por la teorema de clasificacion de Eilenberg-MacLane que establece que si Y es un espacio de Eilenberg-MacLane $K(/pi,n)$, con $\pi$ un grupo abeliano, y X es un CW-complejo arbitrario,entonces el conjunto de clases de homotopia de aplicaciones continuas de X en Y es biyectivo al n-esimo grupo de cohomologia de X con coeficientes en el grupo abeliano $\pi$. Nosotros, con ayuda de la cohomologia simplicial introducida, probamos una extension de dicho teorema de clasificación para espacios Y con grupos de homotopia triviales en dimensianes distintas de n y n +1. Ademas, definimos el concepto de 2-extensión especial de un grupo G por un grupo categorico simetrico $\mathbb{A}$ con una accion de G sobre el. Y una vez formalizada la nocion de 2-extension especial anterior, probamos como estas 2-extensiones especiales son clasificadas por el cuarto grupo de cohomologia de Ulbrich de G con coeficientes en $\mathbb{A}$. En este sendido, esta clasificacion significa una extension a una dimension mas de la clasificacion de Ulbrich de su tercer grupo de cohomologia en termino de extensiones centrales de G por $\mathbb{A}$. Combinando esta clasificacion cohomologica de las 2-extensiones especiales con la representatividad homotópica de nuestra cohomologia, y empleando la relación que establecemos entre la cohomologia simplicidad con coeficientes en grupos categoricos simetricos y la cohomologia de Ulbrich en el caso de la accion trivial, concluimos con una clasificacion homotópica de tales 2-extensiones especiales, Universidad de Granada, Departamento de Álgebra. Leída 26-06-01

En este trabajo se expone la teoría necesaria para demostrar en detalle el teorema de Gauss-Bonnet. Se recuerdan las nociones básicas de geometría diferencial de curvas y superficies (como la primera forma fundamental o la curvatura de Gauss) y se describen con cierto detalle herramientas más avanzadas como el Umlaufsatz y las triangulaciones diferenciables de superficies.

En este trabajo se estudian algunos apartados de la cohomolog´ıa de de Rham. Veremos la definici´on de la derivada de Lie y del producto interior y se tratará la integral de cohomología, comprobando que es un isomorfismo. También se probará el lema de Poincaré, conectando la cohomología con la homotopía. Por último, se presentará el grado de Brouwer-Kronecker y se utilizarán todas estas herramientas para demostrar algunos teoremas de Brouwer y el teorema de la invarianza del dominio, extraer algunas conclusiones acerca de las esferas Sm y culminar con el teorema de Hopf.

The aim of this paper is to study some paracompactness-type properties for fuzzy topological spaces. We prove that these properties are good extensions of others defined by A.V. Arkhangel’skii (and studied by S.A. Peregudov) and obtain several results about them.

The notion of the orbifold Euler characteristic came from physics at the end of the 1980s. Coincidence (up to sign) of the orbifold Euler characteristics is a necessary condition for crepant resolutions of orbifolds to be mirror symmetric. There were defined higher order versions of the orbifold Euler characteristic and generalized (&ldquo, motivic&rdquo, ) versions of them. In a previous paper, the authors defined a notion of the Grothendieck ring K 0 fGr ( Var C ) of varieties with actions of finite groups on which the orbifold Euler characteristic and its higher order versions are homomorphisms to the ring of integers. Here, we define the generalized orbifold Euler characteristic and higher order versions of it as ring homomorphisms from K 0 fGr ( Var C ) to the Grothendieck ring K 0 ( Var C ) of complex quasi-projective varieties and give some analogues of the classical Macdonald equations for the generating series of the Euler characteristics of the symmetric products of a space.

En este trabajo estudiamos las relaciones existentes entre funciones —campos tangentes y funciones reales— definidas sobre variedades diferenciables y la topología de dichas variedades. Para ello usamos diversas técnicas de Topología Diferencial. Los resultados principales son el Teorema del Indice de Poincaré-Hopf y la fórmula de Gauss-Bonnet para hipersuperficies de dimensión par. Básicamente ambos resultados muestran que ciertas cantidades geométricas —el índice total de un campo tangente y la curvatura íntegra— son invariantes topológicos de las variedades donde están definidas. Para la obtención de estos teoremas nuestra principal herramienta será el grado topológico de Brouwer-Kronecker; con su ayuda podremos definir la noción clave de este artículo: el índice de un campo tangente en una singularidad aislada. En el trascurso de este escrito también desarrollamos los principios de la Teoría de Morse, los cuales nos permiten demostrar el Teorema de Reeb. Finalmente, también estudiamos bajo que condiciones se puede garantizar la existencia de campos tangentes a variedades nunca nulos.

Se analiza el programa de “economías distribucionales” de Julio H. G. Olivera tanto a nivel conceptual como sus consecuencias epistemológicas. Fil: Rodríguez, Eduardo A.. Universidad de Buenos Aires

En este trabajo demostraremos el teorema de Schoenflies. Introduciremos en primer lugar el teorema de la curva de Jordan y algunas de sus variantes; este resultado es la base del teorema de Schoenflies. Primero lo probaremos en el caso poligonal, y después construiremos una aproximación de una curva de Jordan por poligonales, que dará paso al final de la prueba del teorema. Como aplicación estudiaremos el teorema de Schoenflies en el plano proyectivo, que ilustra cómo el teorema de la curva de Jordan falla en las superficies compactas distintas de la esfera, y ofrece un criterio para diferenciar curvas de Jordan entre sí.

In this work we analyze the main properties of the Zariski and maximal spectra of a ring S^r(M) of differentiable semialgebraic functions of class C^r on a semialgebraic subset M of R^m where R denotes the field of real numbers. Denote S^0(M) the ring of semialgebraic functions on M that admit a continuous extension to an open semialgebraic neighborhood of M in Cl(M), which is the real closure of S^r(M) . Despite S^r(M) it is not real closed for r>0, the Zariski and maximal spectra are homeomorphic to the corresponding ones of the real closed ring S^0(M). Moreover, we show that the quotients of S^r(M) by its prime ideals have real closed fields of fractions, so the ring S^r(M) is close to be real closed. The equality between the spectra of S^r(M) and S^0(M) guarantee that the properties of these rings that depend on such spectra coincide. For instance the ring S^r(M) is a Gelfand ring and its Krull dimension is equal to dim(M). If M is locally compact, the ring S^r(M) enjoys a Nullstellensatz result and Lojasiewicz inequality. We also show similar results for the ring of differentiable bounded semialgebraic functions.

For a locally quasi-convex topological abelian group (G,τ), we study the poset (mathscr{C}(G,τ)) of all locally quasi-convex topologies on (G) that are compatible with (τ) (i.e., have the same dual as (G,τ) ordered by inclusion. Obviously, this poset has always a bottom element, namely the weak topology σ(G,(widehat{G})) . Whether it has also a top element is an open question. We study both quantitative aspects of this poset (its size) and its qualitative aspects, e.g., its chains and anti-chains. Since we are mostly interested in estimates ``from below'', our strategy consists of finding appropriate subgroups (H) of (G) that are easier to handle and show that (mathscr{C} (H)) and (mathscr{C} (G/H)) are large and embed, as a poset, in (mathscr{C}(G,τ)). Important special results are: (i) if (K) is a compact subgroup of a locally quasi-convex group (G), then (mathscr{C}(G)) and (mathscr{C}(G/K)) are quasi-isomorphic (3.15), (ii) if (D) is a discrete abelian group of infinite rank, then (mathscr{C}(D)) is quasi-isomorphic to the poset (mathfrak{F}_D) of filters on D (4.5). Combining both results, we prove that for an LCA (locally compact abelian) group (G ) with an open subgroup of infinite co-rank (this class includes, among others, all non-σ-compact LCA groups), the poset ( mathscr{C} (G) ) is as big as the underlying topological structure of (G,τ) (and set theory) allows. For a metrizable connected compact group (X), the group of null sequences (G=c_0(X)) with the topology of uniform convergence is studied. We prove that (mathscr{C}(G)) is quasi-isomorphic to (mathscr{P}(mathbb{R})) (6.9).

En este trabajo se estudia el grupo simpléctico real de los endomorfismos lineales que preservan una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Un acercamiento algebraico básico muestra que coincide con su subgrupo especial y permite obtener generadores, las transvecciones simplécticas. Desde un punto de vista geométrico, se ve que el grupo simpléctico es un grupo de Lie y se estudia su algebra de Lie asociada. Su subgrupo ortogonal es un subgrupo de Lie compacto isomorfo al grupo unitario y, además, es un retracto de deformación del grupo simpléctico. Para concluir todo esto se desarrollan herramientas analíticas como la aplicación exponencial, el logaritmo y las potencias de reales de matrices simétricas definidas positivas.

Esta memoria tiene como objetivo el estudio de ciertos aspectos esenciales de la topología como son la metrizabilidad de un espacio topol´ogico, la normalidad y la paracompacidad. El estudio de la topología de los espacios métricos es de gran relevancia matemática ya que aparece en diversas áreas como por ejemplo la topología diferencial, la geometría riemanniana o los espacios de Banach. Inherente al estudio del problema de metrización es el estudio detallado de las nociones de normalidad y paracompacidad. Una de sus más importantes utilidades es la construcción de funciones continuas especiales (funciones de Urysohn, particiones de la unidad) que permiten realizar un mejor tratamiento de las propiedades topológicas de los espacios.

En este trabajo se estudian dos problemas de división y la topología que se requiere para resolverlos. Los problemas son el reparto libre de envidia y la división consensuada, y los resultados topológicos involucrados son el Teorema del Punto Fijo de Brouwer y el Teorema de Borsuk-Ulam. Estos teoremas se deducen de sus análogos discretos: el Lema de Sperner y el Lema de Tucker. También analizamos las equivalencias formales entre estos cuatro resultados. Palabras clave: División justa y libre de envidia, división consensuada, lema de Sperner, teorema del punto fijo de Brouwer, lema débil de Ky Fan, lema de Tucker, teorema de Borsuk-Ulam

En este trabajo estudiamos el teorema de la curva de Jordan, con énfasis especial en algunos aspectos relacionados con la Teoría de Grafos, más exactamente con la planaridad. Explicamos como los dos famosos ejemplos K5 y K3,3 de no planaridad contienen una parte relevante de la esencia topológica del teorema de Jordan. Además, analizamos cuidadosamente las construcciones a menudo imprecisas escondidas en la demostración del teorema de Kuratowski, proporcionando pruebas rigurosas de algunos hechos que usualmente se dan por inmediatos

In this paper we introduce the singular homology theory. First, we develop its main characteristics and properties. Then, we mainly focus on using its power to deduce some important results in topology such as the Brouwer fixed point theorem in arbitrary dimension, the Invariance of Dimension and Domain, or the Jordan-Brouwer separation theorem. We also give a rough idea about simplicial homology and compare it with the singular one. After computing the homology of the spheres, we briefly introduce the degree theory, presenting its main properties and using them to prove the non existence of a continuous tangent vector field on S n and the uniqueness of Z2 as a nontrivial group acting freely on S n, both when n is even. As a final point, we present a generalization of the Jordan-Brouwer theorem that explains the difference between homology and homotopy: the Alexander horned sphere shows that Schönflies theorem fails in dimension ≥ 3, but the failure is homotopic, not homologic.

Le résultat principal de cette the¿se est l'étude de l'ampleur dans des expansions des structures géométriques et de SU-rang oméga par un prédicat dense/codense indépendant. De plus, nous étudions le rapport entre l'ampleur et l'équationalite, donnant une preuve directe de l'équationalite de certaines théories CM-triviales. Enfin, nous considérons la topologie indiscernable et son lien avec l'équationalite et calculons la complexité indiscernable du pseudoplan libre = The main result of this thesis is the study of how ampleness grows in geometric and SU-rank omega structures when adding a new independent dense/codense subset. In another direction, we explore relations of ampleness with equational theories; there, we give a direct proof of the equationality of certain CM-trivial theories. Finally, we study indiscernible closed sets which are closely related with equations and measure their complexity in the free pseudoplane Doctor en Matemáticas Doctorado

Magíster en Matemáticas Maestría

In this paper we deal with aproximation and homotopy of continuous and proper continuous mappings whose target is a manifold with boundary. That requires a careful examination of the construction of collars in manifolds with boundary, which will enable us to find diferentiable pseudoretracts onto the boundary. On the other hand, to use the aproximation and homotopy results known for boundaryless manifols, we will embed any given manifold with boundary into a boundaryless manifold of the same dimension in the same ambient space.

La presente tesis basa su contenido en temas de dinámica compleja, tiene como primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C. Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topológico de un germen del tipo parabólico. Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al lector y poder así de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en material de consulta y aplicación en otras áreas de la matemática. Tesis

El objetivo principal de esta tesis doctoral es estudiar el tipo de Arte que hemos denominado "Escultura Matemática", y clasificar ésta de forma tan exhaustiva y completa como sea posible. No existe en la literatura científica ningún estudio que haya conseguido clasificar desde el punto de vista matemático este tipo de escultura. Esto nos llevó a elegir el desarrollo de esta taxonomía como objetivo fundamental de esta investigación. Además, ello le confiere la característica de innovación que se exige a todas las tesis doctorales. Empezamos por investigar de forma general los antecedentes históricos de las relaciones entre las Matemáticas y el Arte, y en particular entre la Escultura y las Matemáticas. Para lograrlo hemos efectuado un análisis histórico sistemático. A continuación y para desarrollar la taxonomía de un conjunto de elementos el primer paso es definir los objetos que se incluyen. Para este fin hemos tenido que definir el término,"Escultura Matemática". Pertenecen a esta tipología todos aquellos trabajos escultóricos en los que en su concepción, diseño, desarrollo o ejecución resulta necesaria la utilización de las Matemáticas. Estas características pueden variar desde las relacionadas con la geometría más sencilla, hasta la geometría no euclidiana o la topología más compleja. Por otro lado, creemos que el mejor criterio para realizar una estructura de la clasificación de la Escultura Matemática será plantear como grupos principales, diferentes áreas de las Matemáticas, y subdividir éstos, a su vez, según los conceptos matemáticos más importantes utilizados en los diferentes tipos de diseño de obras escultóricas. Los grupos principales que hemos establecido son: Escultura Geométrica, Escultura con Conceptos de Cálculo, Escultura con Conceptos de Álgebra, Escultura Topológica y Escultura con Conceptos Matemáticos Varios. El principal interés de esta investigación es ayudar a formalizar el estudio de la Escultura Matemática, lo que creemos que fomenta, Zalaya Baez, R. (2005). Escultura matemática: definición, antecedentes en la historia del arte, desarrollo, perspectivas de evolución y clasificación por conceptos matemáticos [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. doi:10.4995/Thesis/10251/2661.

Presentamos una guía –matemática, evolutiva y didáctica– para estudiar el juego de construcción en la Educación Infantil y reflexionar sobre las posibilidades que ofrece para el aprendizaje de las matemáticas. Para ello, describimos un material que favorece la actividad matemática, explicamos qué tipo de construcciones realizan los niños de 2 a 6 años, y qué evolución se observa en la construcción en estas edades. Después, ofrecemos orientaciones didácticas para implementar el juego de construcción y promover el aprendizaje de las matemáticas. Finalizamos reflexionando sobre condiciones suficientes que deben darse en el juego para «asegurar» que se produce un aprendizaje matemático., We present a mathematical, developmental, and educational guide to study block play in Early Childhood Education and to reflect on the possibilities that block play offers for the learning of mathematics. To this end, we describe a building material that promotes mathematical activity; we explain what kind of construction is performed by children from 2 to 6 years, and what development can be observed in block play in this age group. Then, we offer educational orientations to implement block play and to promote the learning of mathematics. We conclude by reflecting on sufficient conditions for block play to «ensure» that mathematical learning really takes place.

Presentamos una guía –matemática, evolutiva y didáctica– para estudiar el juego de construcción en la Educación Infantil y reflexionar sobre las posibilidades que ofrece para el aprendizaje de las matemáticas. Para ello, describimos un material que favorece la actividad matemática, explicamos qué tipo de construcciones realizan los niños de 2 a 6 años, y qué evolución se observa en la construcción en estas edades. Después, ofrecemos orientaciones didácticas para implementar el juego de construcción y promover el aprendizaje de las matemáticas. Finalizamos reflexionando sobre condiciones suficientes que deben darse en el juego para «asegurar» que se produce un aprendizaje matemático. We present a mathematical, developmental, and educational guide to study block play in Early Childhood Education and to reflect on the possibilities that block play offers for the learning of mathematics. To this end, we describe a building material that promotes mathematical activity; we explain what kind of construction is performed by children from 2 to 6 years, and what development can be observed in block play in this age group. Then, we offer educational orientations to implement block play and to promote the learning of mathematics. We conclude by reflecting on sufficient conditions for block play to «ensure» that mathematical learning really takes place.

Este artículo es el resultado de un trabajo historiográfico sobre el devenir social, educativo y político de Colombia y América Latina, en donde la obra de Germán Zabala se destaca por sus aportes en esta región. El texto muestra cómo, a partir de la influencia del método marxista de conocimiento y de categorías topológicas, Germán Zabala logra integrar la enseñanza de las matemáticas, la comprensión de las ciencias sociales y el accionar político en una propuesta de formación popular política. Un investigador, un educador, un político y un revolucionario que desde las márgenes deja un legado importante al país y a Latinoamérica. Este artigo é o resultado de um trabalho historiográfico sobre o aspecto social, educativo e político da Colômbia e América Latina, onde a obra de Germán Zabala se destaca por seus aportes nesta região. O texto mostra como a partir da influência do método marxista de conhecimento e das categorias topológicas, Germán Zabala consegue integrar o ensino da matemática, a compreensão das ciências sociais e o acionar político em uma proposta de formação popular política. Um pesquisador, um educador, um político e um revolucionário que desde as margens deixa um legado importante ao país e a Latino América. This article is the result of an historiographic essay about the Colombian and Latin American social, educational and political development, supported by the influence of the Marxist learning method and some topological categories, from which Germán Zabala is able to integrate mathematics teaching, social sciences understanding, and political practices into a popular politics educational program. Zabala is a researcher, educator, politician and a revolutionary who, from the margins, has left an important legacy to Colombia and Latin America.

La teoría de operadores lineales en espacios con métrica indefinida aparece por primera vez en el artículo “Hermitian operators in spaces with an indefinite metric” de L. S. Pontryagin, publicado en el año 1944; si bien anteriormente algunos físicos teóricos se habían topado con estos espacios, este trabajo marca la aparición de una nueva rama del análisis funcional en la década de 1940. Cabe destacar que nos referimos a espacios de dimensión infinita, ya que las transformaciones lineales en espacios (de dimensión finita) con métrica indefinida han sido estudiadas desde fines del siglo XIX por G. F. Frobenius, entre otros., Facultad de Ciencias Exactas

En esta tesis se han estudiado tres problemas para determinadas geometrías cuyo estudio --debido por ejemplo a la ausencia de invariantes locales—esta intimamente relacionado con la topología de la variedad ambiente. El primer problema es la riqueza de la geometría, entendida como la existencia de construcciones compatibles de geometría diferencial. Hemos introducido la noción de variedades 2- calibradas, una generalización impar de la geometría simpléctica, y demostrado la existencia de sistemas lineales genéricos compatibles con la estructura mediante el desarrollo de técnicas de geometría aproximadamente holomorfa. La segund,a cuestión ha sido las posibles obstrucciones topológicas a la existencia de estructuras de Poisson regulares en variedades compactas. En este sentido se ha dado un método de construcción de variedades de Poisson regulares con grupo fundamental arbitrario, demostrándose que este no obstruye la existencia de tales estructuras. La última cuestión abordada ha sido la de la clasificación, que se ha obtenido para estructuras de Nambu genéricas en variedades compactas orientada.

235 p., figs. 1 ed.

El objetivo de esta Tesis es definir una familia de grafos infinitos en la cual es posible construir una algorítmica finita. Se estudiará los grafos infinitos fundamentalmente por dos razones: una de ellas porque los grafos infinitos constituyen una estructura incluida dentro de las matemáticas y, por tanto, merece la pena su estudio; la otra razón es que, en realidad, conociendo soluciones de problemas que se plantean en grafos finitos, podemos trasladarlos para familias crecientes de grafos finitos (lo que en la literatura se conoce como Grafos Universales). En grafos infinitos, uno de los principales problemas que surgen es la forma de poder definirlos de manera que puedan ser tratados en el ordenador. En esta memoria, este problema es solventado definiendo los grafos de manera recurrente, es decir, definimos un grafo finito y, a partir de él y mediante reglas aritméticas, definimos los demás vértices y aristas del grafo infinito. Esta familia está constituida por grafo que llamaremos grafos periódicos. A pesar de lo restringida que pueda parecer esta familia de grafos, muchos ejemplos de grafos infinitos que surgen en la literatura se pueden incluir dentro de este contexto, como por ejemplo cabe citar los grafos tratados por B. Grünbaum y G.C. Shephard En “Tilings and Patterns”, Freeman, New York. Año 1987, los que surgen al resolver sistemas de ecuaciones en grafos (estudio que se recoge en M. Bauderon, “On System of Equations Defining Infinite Graphs”. C.N.R.S. prc. Mathematiques et Informatique); en teoría de probabilidades; los Diagramas de Cayley son ejemplos de grafos infinitos contenidos en esta familia, etc. Los algoritmos básicos que se emplean en la resolución de multitud de cuestiones en grafos finitos, son los algoritmos de conexión, construcción de un árbol generador y de planaridad. Como ejemplo de la construcción de una algorítmica para grafos periódicos, en este trabajo se construye un algoritmo que responde si el grafo periódico es conexo o no, un algoritmo que construye un árbol generador, y algoritmos que responden al problema de la planaridad de un grafo periódico y a la planaridad sin acumulación de vértices (p-planaridad). Los algoritmos aquí presentados para grafos periódicos, resuelven los problemas en tiempo polinomial. Pocos campos dentro de las matemáticas aparecen tan relacionados como pueden ser la Teoría de Grafos y la Algorítmica. Efectivamente, una parte importante de la Teoría de Grafos requiere o trata de la resolución algorítmica de los problemas que se plantean y, por otra parte, no existe otra vía más natural para introducirse en la algorítmica que la Teoría de Grafos, ya que las estructuras que se presentan en algorítmica permiten, de forma muy sencilla, introducirse en dicha disciplina. Por razones obvias, prácticamente la totalidad del esfuerzo desarrollado por la algorítmica en teoría de grafos queda limitado para el caso en que los grafos son finitos. Sin embargo, los grafos infinitos constituyen una estructura a la que se le ha dedicado relativamente poco estudio y esfuerzo, aunque tal vez merezca la pena dedicarle una mayor atención Fundamentalmente por dos razones: - La primera porque los grafos infinitos constituyen una estructura incluida dentro de las matemáticas y, por tanto, merece la pena su estudio. - Una segunda razón es que, en realidad, conociendo soluciones de problemas que se plantan en grafos finitos, podemos trasladarlos para familias crecientes de grafos finitos (lo que en la literatura se conoce como Grafos Universales). Por otra parte, y posiblemente sorprendente para muchos, últimamente se han desarrollado muchos métodos que permiten trabajar algorítmicamente en estructuras infinitas e incluso, dentro de la teoría de grafos, existen algunos esfuerzos por resolver problemas en grafos infinitos, tanto los que vienen definidos de una forma recursiva o bien generados por grafos finitos. Sin embargo, hay que decir que estos métodos señalados anteriormente es fácil comprobar que es imposible desarrollar una algorítmica similar a las clásicas existentes para grafos finitos (algorítmica que resuelve problemas como conexión de un grafo, planaridad, etc.) si los grafos están definidos de esa forma. Así por ejemplo, si un grafo viene definido de forma recursiva ni tan siquiera es posible desarrollar un algoritmo que responda si una arista dada es arista del grafo. Otra cuestión sería definir el grafo de forma recursivamente enumerable. En este caso es posible conocer, sin más que ir generando una lista, que evidentemente sería parcial, las aristas del grafo. Pero aún en este caso sería imposible desarrollar una algorítmica que, en tiempo finito, responda si el grafo es conexo o no (problema que es fundamental tenerlo resuelto, desde un punto de vista algorítmico en teoría de grafos). Para solventar estos problemas definiremos una familia de grafos infinitos como serán los grafos periódicos. Básicamente, un grafo periódico será la unión de todas las traslaciones, según vectores de Z2, de cierto grafo finito dado. A pesar de lo restringida que pueda parecer esta definición, muchos ejemplos de grafos infinitos que surgen en la literatura se pueden incluir dentro de este contexto, como por ejemplo cabe citar los grafos tratados por B. Grünbaum en “Tilings and Patterns”, los que surgen al resolver sistemas de ecuaciones en grafos, los diagramas de Cayley, etc. Cabe decir que, a lo largo de esta memoria trataremos de desarrollar una algorítmica sobre lo grafos infinitos anteriormente definidos. Para ello, lo que se hará será tratar tres problemas clásicos en la Teoría de Grafos finitos y la Algorítmica como son la conexión, existencia y construcción de un árbol generador, y el problema de la planaridad. Veremos que es posible desarrollar algoritmos que resuelvan, incluso en tiempo polinomial, dichos problemas. La memoria está organizada de la siguiente forma: Un primer capítulo de preliminares que recoge de una forma general las definiciones básicas de Teoría de Grafos y Algorítmica, así como algunos resultados que se utilizarán posteriormente. Anteriormente se ha definido la familia de grafos periódicos generados por un grafo finito como los trasladados en todo el plano de dicho generador. En el siguiente capítulo de este trabajo se resuelve el problema de la conexión para esta familia de grafos. A diferencia del caso finito, que para estudiar la conexión se parte de un vértice y se construye un árbol generador, para el caso de un grafo periódico se comprueba si este pertenece a una serie de ciertas familias definidas previamente, las cuales se intersectan en una subfamilia que definen a los grafos infinitos conexos. Una vez que se ha estudiado y resuelto el problema de la conexión para grafos periódicos, se presenta en este capítulo un algoritmo que, en tiempo O(n9), responde si dicho grafo es conexo o no, siendo n el número de componentes conexas que tiene el grafo finito que genera al periódico. En el caso en que el grafo periódico no es conexo, tenemos suficiente información sobre la cantidad y la forma que tienen sus componentes conexas. Así, dependiendo de las familias a las que pertenece el grafo periódico, éste podrá tener un número infinito de componentes finitas, un número finito de componentes infinitas, un número infinito de ellas, etc. Además, si el grafo finito que genera al periódico tiene n componentes conexas se tiene que, a lo más, existen n componentes en el grafo periódico que, mediante traslaciones de éstas, se obtienen todas las demás. Posteriormente, en el siguiente capítulo, se resuelve el problema de la construcción de un árbol generador (en la literatura spanning tree) para grafos periódicos conexos. Un primer resultado que se tiene es que un grafo periódico conexo siempre contiene ciclos, por lo que la estructura de árbol infinito no podemos definirla como grafo periódico. Por lo tanto, se amplía la definición de la familia de los grafos periódicos a otra familia, formada por lo que se llamarán grafos periódicos generalizados, de forma que un grafo periódico generalizado no será más que una unión finita de grafos periódicos. Se verá que dentro de esta familia podemos encontrar grafos infinitos sin siclos y se demostrará que todo grafo periódico conexo contiene, en la familia ampliada, un subgrafo suyo que es árbol generador. Después de las bases teóricas que demuestran que siempre existe un árbol generador de un grafo periódico conexo, se presenta un algoritmo que, en tiempo O(n4), construye dicho árbol, definiéndolo como un grafo periódico generalizado. En el caso en que el grafo periódico no sea conexo, se tiene que existe un subgrafo de él que contiene generadores de todas las componentes conexas del periódico. Bastará con aplicar dicho algoritmo a cada componente conexa. Por último se estudia el problema de la planaridad y la planaridad sin acumulación de vértices (en la literatua p-planaridad) para grafos periódicos, haciendo distinción en toda la casuística posible según como puedan ser las componentes conexas de dicho grafo periódico. Al igual que en los otros capítulos, se presenta un algoritmo que, en el peor de los casos en tiempo O(m2), con m el número de vértices del grafo finito que genera al periódico, resuelve el problema de la planaridad y el de la planaridad sin acumulación de vértices. Al final de cada capítulo hemos preferido presentar conclusiones y problemas abiertos, pues se ha creído que podría contribuir a fijar el alcance y una posible prolongación de los temas estudiados y de otros temas mencionados. Por último se da una sección dedica a la bibliografía empleada, así como las referencias básicas que se han utilizado para el desarrollo de este trabajo.

Los primeros problemas que plantearon y resolvieron en Teoría de Grafos, son problemas referentes a la Transversalidad de Grafos (la posibilidad de recorrer o bien las aristas o bien los vértices de un grafo sin repetición), así el Problema de los Puentes de Konigsbe rg, con el que nace la disciplina, resuelto por L. Euler en 1736 [10] o el Juego Icosaédrico patentado por W. R. Hamilton en 1859 [4] plantean las dos posibilidad que se presentan a la hora de estudiar la transversalidad de un grafo: Grafos Eulerianos (si existe un recorrido que atraviese todas las aristas del grafo sin repetición de aristas) y Grafos Hamiltonianos (si existe un recorrido que pase por todos los vértices sin repetición de vértices).Esta Memoria está divida en 8 capítulos, el primero de los cuales contiene algunos resultados preliminares, que serán usados en capítulos sucesivos. El segundo capítulo trata sobre grafos n-eulerianos, tanto en el caso finito como en el infinito. En el tercer capítulo se estudian los grafos eulerianos generalizados a los que hemos hecho mención anteriormente, dándose una relación entre dicho concepto y resultados de conectividad tipo Menger. Los Capítulo 4, 5, 6 y 7 están dedicados a la aplicación de los operadores línea, medio y total a grafos y su relación con la transversalidad. Por último, el Capítulo 8 está dedicado a grafos hamiltonianos con relación a los grafos de línea y, en menor medida, a los grafos totales y medios.

En este trabajo se estudian los sistemas definidos por aplicaciones lineales proyectivas en el espacio proyectivo complejo n-dimensional, realizándose previamente un estudio de las propiedades algebraicas y topológicas de dicho espacio. Se obtiene la existencia de una variedad atractora en forma de toro r-dimensional, y condiciones suficientes para que tal variedad se reduzca a un solo punto.

En esta memoria se definen las estructuras polinómicas de tipo (h, k) como un campo tensorial f de tipo (1 1) no nulo de rango constante cumpliendo: ... ;serif'; font-size: 12pt">a) F elevado a H más F elevado a K = 0. b) ko = 2k h-k par. c) rang f elevado a j-1 = 1/j (j-1rang f elevado a j + dim v) 1o= jo= k y probamos el teorema: Sobre una variedad v existe una (h k) estructura si y solo si el grupo estructural del fibrado tangente es reducible al subgrupo de gl(n r): s(2p)xo(n-gamma)x..k..xo(n-r). obtenemos así mismo relaciones que ligan la torsionde una potencia de f en función de la torsión de f. Basándose en esto se estudia la integrabilidad probando que la condición necesaria y suficiente para que una (h-k) estructura sea integrable es que n(fi)(x y)=0 fi = f elvado a h-k/2 siendo además una condición suficiente el que n(f)(x y)=0.

El objeto de este trabajo es sistematizar una técnica que intenta atacar el problema de existencia de secciones de funciones continuas o funciones diferenciables, y el problema de triangulación de una variedad topológica. El antecedente directo de esta técnica está en la teoría de homología seccional introducida por Weshu Shih, para el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Dada una aplicación contínua f : X →B entre espacios topológicos X y B. Shih consideró el conjunto simplicial K(f) construido como sigue: Los q-símplices son las parejas (σ,γ), donde σ:Δq→B es una aplicación inyectiva continua del q-símplice estándar Δq=((Xo,X1,…,Xq)ЄRq+1|X1≥0, ΣXi=1> en B. y γ es uan función continua γ:Δq→X tal que σ=f•γ. Los operadores cara se definen de una manera natural. Cuando X, B son variedades diferenciales, f es un morfismo diferenciable y KЄZ+U(∞), se define el subconjunto simplicial K(f)k de K(f) formado por las (σ,γ) diferenciables de clase Ck, con σ inmersión difeomorfa (fr. “plongement”). Entonces definió el grupo de homología seccional con soportes propios de f. designado por H*(f)s, como el grupo de homología de las cadenas localmente finitas del conjunto simplicial K(f) con coeficientes enteros. De la misma manera definió los grupos seccionales H*(f)s,k. Considerando sólo las cadenas finitas en K(f) y K(F)k se obtienen los respectivos grupos de homología seccional con soportes compactos de f. el homomorfismo natural de la homología seccional de f:X→B en la homología singular de B con cadenas localmente finitas Pn:Hn(f)s→HIIn(B) le permitió definir el grado seccional de la función f, denotado deg(f), cuando B es una variedad orientada de dimensión n por la f´romula deg(f) = card (HIIn(B)/Im Pn>-1. En el caso en que X, B y f sean de clase C∞, se puede utilizar el grupo de homología seccional k-veces derivable Hn(f)s,ken lugar de Hn(f)s, y obtener el grado de k-veces derivable de f: degk(f). Estas nociones le permitieron probar que la anulación de deg(f) es necesaria para que f admita una sección continua y, en el caso diferenciable, que degk(f)=O es necesario para que f tenga una sección de clase Ck. Redefiniendo los grupos de homología con soportes compactos de f. Shih obtiene nuevos grados (ver el capítulo VIII de esta Tesis), que coinciden con los anteriores cuando la variedad V es compacta, y demuestra un teorema de caracterización del nuevo grado seccional continuo de f:Y→X, con la condición de que f sea un espacio fibrado localmente trivial cuya base X sea una variedad topológica conexa orientada de dimensión n y cuya fibra sea un CW-complejo finito conexo. Shih no presenta demostraciones ni propiedades de las homologías, ni indica la categoría explícitamente. Lo hace François Lalonde, quien ha dedicado su Tesis a estudiar sistemáticamente la homología seccional con soportes compactos. Ha demostrado que cumple los axiomas de Eilenberg-Steenrod, excepto el de escisión, en una categoría adecuada y que los grupos correspondientes no son invariantes de homotopía continua. Esto último es un inconveniente para el cálculo, pero es fundamental para poder aplicar esta teoría a los problemas de ecuaciones en derivadas parciales o integrales pues estos problemas no son invariantes por homotopía. La These d’Etat de Lalonde está dedicada a calcular la homología seccional diferenciable de clase CKde las funciones diferenciables f:X2→X1que localmente son de la forma RnxRm→Rn. estas funciones, que se llaman k-submersiones, engloban a los fibrados localmente triviales y a las submersiones en el sentido ordinario. El resultado que obtiene, para lo cual introduce nuevas teorías de homología que llama homología de p-campos transversos y homología de “plongements”, es el siguiente: TEOREMA S. Sea f:X2→X1 una k0-submersión (2≤k0≤∞). Cualquiera que sea 1≤k≤k0, el morfismo inyectivo P2:C(f)k→c(Xz) del grupo de cadenas seccionales finitas de clase Ck de f en el grupo de cadenas singulares finitas del espacio Xz, dado por la proyección (Δq,σ,γ)→(Δq,γ), índice un isomorfismos P2*sobre los grupos de homología en las dimensiones inferiores a n = dim Xz y un epimorfismos en dimensión n (los grupos de homología seccional de f son nulos en las dimensiones >n). Aquí vamos a presentar una teoría de homología más simple que las anteriores, que es una teoría de Eilenberg-Steenrod (es decir, que cumple escisión) y que la definición de grado coincide con las anteriores. El método adoptado consiste en construir una apropiada teoría de bordismo tomando como modelos las seudovariedades. Los ciclos geométricos asociados a una función continua f:Y→X son cuaternas (P, σ, γ, P) donde P es una seudovariedad, σ y γ son funciones continuas tales que σ=f•γ y P es un recubrimiento por subpoliedros compactos de P, de forma que σ es “casi inyectiva” en cada subpoliedro PiЄP. Decimos que una función σ:Pi→X definida en un poliedro Pi es “casi inyectiva” si existe un poliedro Q, un p.l. –epimorfismo π:Pi→Q y una función continua inyectiva υ:Q→X tales que σ = υ•π. El usar funciones “casi inyectivas” es para que sea posible la construcción “cilindro de un ciclo” que permite hacer bordante un ciclo a sí mismo (como se sabe, esto es esencial en toda teoría de bordismo). En nuestro caso el cilindro del ciclo (P, σ, γ; P) es (PxI, σ•pr1, γ•pr1; PxI), donde I es el intervalo cerrado [0.1], pr1 es la proyección canónica sobre el primer factor yPxI = {PixI | PiЄP}; es evidente que σ•pr1 no puede ser inyectiva, ni siquiera “inyectiva a trozos”. Una posible desventaja de este procedimiento de representar los ciclos seccionales frente a otros procedimientos que se imaginen, es que estamos obligados a estudiar si las funciones σ son o no inyectivas en cada PiЄP. La solución que tenemos es que en cada clase de seudobordismo hay al menos un ciclo (P, σ, γ;P) en el cual σ es inyectiva en cada PiЄP. Una característica positiva del bordismo aquí presentado es que hay una equivalencia natural con la homología de un apropiado complejo de cadenas que llamamos homología seccional casi-inyectiva, lo cual nos permite compararlo directamente con la homología singular y demostrar que el grado definido con nuestra homología coincide con el Shih. También se da el seudobordismo seccional diferenciable de clase Ck. Su estudio se basa en un caso particular, el seudobordismo de casi-inmersiones difeomorfas de clase Ck, de forma análoga a lo que ocurre con la homología seccional diferenciables y la homología de “plongements”, pero sin necesitar nada parecido a la homología de p-campos transversos, lo cual, junto al uso de las técnicas de aproximación de inmersiones difeormorfas diferenciales, produce una teoría mucho más sencilla que la dada por Lalonde. Los ciclos seccionales diferenciables de clase Ck (P, σ, γ; P)kasociados a una función f:Y→X de clase Ck son ciclos seccionales con funciones σ y γ continuas que cumplen ciertas condiciones de diferenciabilidad respecto a las variedades cX = X U∂x∂X*[0,1) y cY = Y U∂Y∂Y*[0,1), que se obtienen pegando a X y a Y sendos collares diferenciables. La razón de esto es haber observado que los simplices (Δn, σ, γ)k de la homología seccional diferencial de Shih son, por definición, tales que σ se prolonga a una inmersión difeomorfa s:U→X siendo U un entorno abierto de Δn en el espacio euclideo generado por Δn. por lo tanto, si dim X = n resulta que σΔn∩∂x = 0 γ, en consecuencia ninguna de las cadenas de dimensión igual a la de X que se forme con éstos símplices puede tener como borde una cadena cuyo soporte en X esté enteramente sobre ∂x, con lo cual no tiene sentido tratar con dicha homología seccional el problema de extender una sección definida en ∂x a todo X, ni tampoco tiene sentido tratar con ellas el problema de Dirichlet para una ecuación diferencial. Con dicha teoría de homología, los resultados que presentamos y consideramos más sobresalientes son: (1) Se da un tratamiento unificado de una teoría del grado de Shih utilizando, tanto en el caso compacto como en el no compacto, una teoría de bordimos seccional que es una teoría de homología ordinaria, en el sentido de Eilenberg-Steenrod, que permite un tratamiento más simple que en el realizado por Lalonde. (2) Demostrar que dichos grados nos permite: 2a) Caracterizar la variedades triangulables; 2b) Caracterizar la existencia de secciones de funciones continuas y de funciones diferenciables. Por otro lado, sobresale el haber extendido el “Teorema S” de LALONDE al caso de homología con soportes propios. Hay que observar que los cálculos con éstas homologías son difíciles, los cuales corresponde a la dificultad de los problemas que pretende tratar. Este trabajo, por tanto, no pretende más que sentar las bases de un nuevo método para el futuro estudio de dichos problemas. La memoria se presenta organizada en dos partes, cada una de las cuales consta a su vez de varios capítulos. La primera parte está dedicada a la homología seccional de funciones continuas y al grado continuo. En la segunda parte se trata el caso diferenciable, con especial énfasis en los fibrados localmente triviales y las submersiones. La extensión de algunos capítulos es reducida porque, para facilitar la lectura, se han suprimido las demostraciones que se pudieran obtener con fáciles pero laboriosas adaptaciones de demostraciones anteriores, y porque se ha querido facilitar la localización de los resultados, renunciado por ello a refundirlos con otros. A lo largo de esta memoria, y también en esta introducción, las referencias bibliográficas aparecen entre corchetes, mientras que las referencias internas a las definiciones, notas y resultados de este trabajo se hace colocando entre paréntesis las dos cifras con las cuales están ordenados lexicográficamente, la primera de las cuales india el capítulo en que está situado y la segunda el lugar dentro de él. Así, la cita “(2.4)” se refiere al ítem cuarto del capítulo segundo.

We give a combinatorial description of shape theory using finite topological T0-spaces (finite partially ordered sets). This description may lead to a sort of computational shape theory. Then we introduce the notion of core for inverse sequences of finite spaces and prove some properties.

We adapt the definition of the Vietoris map to the framework of finite topological spaces and we prove some coincidence theorems. From them, we deduce a Lefschetz fixed point theorem for multivalued maps that improves recent results in the literature. Finally, it is given an application to the approximation of discrete dynamical systems in polyhedra.