Search

In this paper we fill a gap in the literature by providing exact and explicit expressions for the correlation of general Hawkes processes together with its intensity process. Our methodology relies on the Poisson imbedding representation and on recent findings on Malliavin calculus and pseudo-chaotic representation for counting processes.

We prove functional central and non-central limit theorems for generalized variations of the anisotropic d-parameter fractional Brownian sheet (fBs) for any natural number d. Whether the central or the non-central limit theorem applies depends on the Hermite rank of the variation functional and on the smallest component of the Hurst parameter vector of the fBs. The limiting process in the former result is another fBs, independent of the original fBs, whereas the limit given by the latter result is an Hermite sheet, which is driven by the same white noise as the original fBs. As an application, we derive functional limit theorems for power variations of the fBs and discuss what is a proper way to interpolate them to ensure functional convergence. We prove functional central and non-central limit theorems for generalized variations of the anisotropic d-parameter fractional Brownian sheet (fBs) for any natural number d. Whether the central or the non-central limit theorem applies depends on the Hermite rank of the variation functional and on the smallest component of the Hurst parameter vector of the fBs. The limiting process in the former result is another fBs, independent of the original fBs, whereas the limit given by the latter result is an Hermite sheet, which is driven by the same white noise as the original fBs. As an application, we derive functional limit theorems for power variations of the fBs and discuss what is a proper way to interpolate them to ensure functional convergence.

In this thesis we apply the Malliavin calculus to statistical estimation of parameters of stochastic processes and to derive limit theorems for the weighted quadratic variations of one or two-parameter fractional processes and to multidimensional normal approximation of probability measures. In Chapter 1 we construct Stein type estimators for the drift of Gaussian processes and for the intensity of Poisson processes. In Chapter 2, we compute the Bayesian estimator of the input of a Poisson channel then extended to normal martingales with chaotic representation property channels. In Chapter 3 we derive central limit theorems for the weighted quadratic variations of the standard Brownian sheet (applied then to the obtaining of an asymptotically normal estimator of the quadratic variation of some two-parameter diffusion processes) and of some fractional Brownian sheets. Then in this chapter we establish a central limit theorem for the weighted quadratic variations of the fractional Brownian motion with Hurst index $H=1/4$ leading to the study of the asymptotic behavior of the Riemann sums with alternating signs associated to the fractional brownian motion with Hurst index $H=1/4$. Finally in Chapter 4 we apply Stein's method and the Malliavin calculus in order to obtain explicit bounds in the multidimensional normal approximation of functionals of gaussian fields. In particular we provide an application to a functional version of the Breuer-Major TCL for fields subordinated to a fractional Brownian motion., Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin à l'estimation statistique de paramètres de certains processus stochastiques et à l'obtention de théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids de processus fractionnaires et/ou à deux paramètres ainsi qu'à l'approximation gaussienne de mesures de probabilités multidimensionnelles. Dans le Chapitre 1 nous construisons des estimateurs de type Stein pour la dérive de processus gaussiens et pour l'intensité de processus de Poisson. Dans le Chapitre 2 nous calculons l'estimateur bayésien du signal d'entrée d'un canal de Poisson et nous étendons notre résultat aux canaux dont le bruit est une martingale normale possédant la propriété de représentation chaotique. Dans le Chapitre 3 nous établissons des théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du drap brownien standard (nous permettant de donner un estimateur asymptotiquement normal de la variation quadratique de certains processus de diffusion à deux paramètres) puis pour celles de certains draps browniens fractionnaires. Dans ce même chapitre nous établissons un théorème de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$ nous permettant de donner le comportement asymptotique des sommes de Riemann à signe alterné associées au mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$. Enfin dans le Chapitre 4 nous appliquons la méthode de Stein et du calcul de Malliavin afin d'obtenir des bornes explicites pour l'approximation gaussienne multidimensionnelle de fonctionnelles de champs gaussiens. Nous appliquons en particulier nos résultats aux théorème de la limite centrale de Breuer et Major pour des champs associés à un mouvement brownien fractionnaire.

In this thesis we apply the Malliavin calculus to statistical estimation of parameters of stochastic processes and to derive limit theorems for the weighted quadratic variations of one or two-parameter fractional processes and to multidimensional normal approximation of probability measures. In Chapter 1 we construct Stein type estimators for the drift of Gaussian processes and for the intensity of Poisson processes. In Chapter 2, we compute the Bayesian estimator of the input of a Poisson channel then extended to normal martingales with chaotic representation property channels. In Chapter 3 we derive central limit theorems for the weighted quadratic variations of the standard Brownian sheet (applied then to the obtaining of an asymptotically normal estimator of the quadratic variation of some two-parameter diffusion processes) and of some fractional Brownian sheets. Then in this chapter we establish a central limit theorem for the weighted quadratic variations of the fractional Brownian motion with Hurst index $H=1/4$ leading to the study of the asymptotic behavior of the Riemann sums with alternating signs associated to the fractional brownian motion with Hurst index $H=1/4$. Finally in Chapter 4 we apply Stein's method and the Malliavin calculus in order to obtain explicit bounds in the multidimensional normal approximation of functionals of gaussian fields. In particular we provide an application to a functional version of the Breuer-Major TCL for fields subordinated to a fractional Brownian motion.; Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin à l'estimation statistique de paramètres de certains processus stochastiques et à l'obtention de théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids de processus fractionnaires et/ou à deux paramètres ainsi qu'à l'approximation gaussienne de mesures de probabilités multidimensionnelles. Dans le Chapitre 1 nous construisons des estimateurs de type Stein pour la dérive de processus gaussiens et pour l'intensité de processus de Poisson. Dans le Chapitre 2 nous calculons l'estimateur bayésien du signal d'entrée d'un canal de Poisson et nous étendons notre résultat aux canaux dont le bruit est une martingale normale possédant la propriété de représentation chaotique. Dans le Chapitre 3 nous établissons des théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du drap brownien standard (nous permettant de donner un estimateur asymptotiquement normal de la variation quadratique de certains processus de diffusion à deux paramètres) puis pour celles de certains draps browniens fractionnaires. Dans ce même chapitre nous établissons un théorème de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$ nous permettant de donner le comportement asymptotique des sommes de Riemann à signe alterné associées au mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$. Enfin dans le Chapitre 4 nous appliquons la méthode de Stein et du calcul de Malliavin afin d'obtenir des bornes explicites pour l'approximation gaussienne multidimensionnelle de fonctionnelles de champs gaussiens. Nous appliquons en particulier nos résultats aux théorème de la limite centrale de Breuer et Major pour des champs associés à un mouvement brownien fractionnaire.