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Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil untersuchen wir das Erzwingen von topologischer Entropie f��r Reeb-Fl��sse auf geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten. Als Anwendung eines Strukturtheorems zeigen wir, dass es auf jeder kontakt-3-Mannigfaltigkeit transversale Knoten gibt, welche die topologische Entropie erzwingen. Au��erdem verallgemeinern wir ein Theorem von Denvir-Mackay f��r geod��tische Fl��sse auf \(\it{T}\)\(^{2} \) und \(\it{S}\)\(^{2} \) auf eine Klasse von Reeb-Fl��ssen auf \(\it{T} \)\(_{1} \)\(\it{T}\)\(^2 \) und \(\it {T}\)\(_{1}\)\(\it{S}\)\(^2 \). Im zweiten Teil untersuchen wir die Beziehung zwischen der mittleren Wirkung periodischer Punkte und der Calabi-Invariante f��r fl��chenerhaltende Scheibendiffeomorphismen mit negativer Calabi-Invariante., This thesis consists of two parts. In the first part, we explore forcing of topological entropy for Reeb flows on closed three-manifolds. As an application of a structural theorem, we show that on every contact 3-manifold, there exist transverse knots which force topological entropy. We also generalize a theorem of Denvir-Mackay for geodesic flows on \(\it{T}\)\(^2\) and \(\it{S}\)\(^2\) to a class of Reeb flows on \(\it{T}\)\(_{1}\)\(\it{T}\)\(^2\) und \(\it{T}\)\(_{1}\) \(\it{S}\)\(^2\). In the second part, we study the relation of the mean action of periodic orbits and the Calabi invariant for area-preserving disc diffeomorphisms with negative Calabi invariant.

We describe normal forms and minimal models of Picard curves, discussing various arithmetic aspects of these. We determine all so-called special Picard curves over $\mathbb{Q}$ with good reduction outside 2 and 3, and use this to determine the smallest possible conductor a special Picard curve may have. We also collect a database of Picard curves over $\mathbb{Q}$ of small conductor., 34 pages

Bei der Untersuchung gerahmter Mannigfaltigkeiten ist die Suche nach Repräsentanten der unendlichen Familien in den stabilen Homotopiegruppen der Sphären. Ein wichtiges Mittel hierzu ist die Berechnung der e- und f-Invariante. In dieser Arbeit werden diese Invarianten für komplexe Umrahmungen berechnet. Hierzu wird zunächst ein expliziter Lift der Einschränkung des J-Morphismus konstruiert. Über diesen Lift werden wiederum (U, fr)- und (U, fr)\(^{2}\)-Mannigfaltigkeiten konstruiert um so e- bzw. f-Invariante zu berechnen. Für die Berechnung der e-Invariante kann so die Umrahmung mit der e-Invariante höchster Ordnung bestimmt werden. Für die Berechnung der f-Invariante werden einige Beispiele berechnet.

Gizatullin Flächen sind algebraische affine normale Flächen über \(\bf C\) die sich durch eine bestimmte lineare Kette von Kurven vervollständigen (kompaktifizieren) lassen. Der kanonische Divisor ist der zu den 2-Formen assoziierte Divisor und heißt \(\bf Q\)-trivial, falls es eine natürliche Zahl \(\it n\) mit \(\textit {n\(\cdot\) \(K_{x}\sim0\)}\) gibt. Es wird unter Verwendung von gewichteten dualen Graphen bewiesen, dass jede Gizatullin Fläche \(\it X\) mit einem \(\bf Q\)-trivialem kanonischen Divisor eine effektive \(\bf C\)*-Wirkung zulässt. Aufgrund dieser lassen sich dann derartige Flächen mit Hilfe der sogenannten DPD-Darstellung präzise beschreiben. Im nicht-torischen Fall kann man schließlich ein Theorem von Flenner, Kaliman und Zaidenberg verwenden um zu zeigen, dass \(\it X\) äquivariant isomorph ist zu einer lokalen abgeschlossenen Untermenge eines projektiven gewichteten 3-dimensionalen Raumes \(\bf P\), die durch eine Gleichung der Form \(\it xy-Q(z,s)=0\) gegeben wird, wobei \(\textit {x, y, z, s}\) die Variablen von \(\bf P\) sind.

Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) kIsom(M) of an S-arithmetic algebraic group Gamma by isometries on the respective symmetric space M. Symmetric spaces are non positively curved Riemannian manifolds. In particular, they are CAT(0)spaces. In [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003] the geometric invariants Sigma^k(rho) are introduced. These are subsets of the boundary of M associated to the action rho:G->Isom(M) of an abstract group G on a CAT(0) space M. Focusing on the geometric invariants has proved very useful, particularly in examples, where the group acts by translations on some euklidian space M. But the invariants of other CAT(0) actions are still relatively unknown. In the present paper we study the action of an S-arithmetic group on its symmetric space, as mentioned above. With s for the total number of different prime divisors of some non zero integer m, we get the following result on the group SL_n(Z[1/m]): If k=s(n-1) holds, then Sigma^k(rho) is the set of all boundary points, which are not in the boundary of any rationally defined flat subspace of M. This is a generalisation of [R. Bieri and R. Geoghegan, Controlled connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. The results are proved by a simplification of their proof, which could be adapted to this more general setup. Given some integer k, it is interesting to observe the following property of a group action rho: (*) Sigma^k(rho) is the whole boundary of M. If the action of Gamma on M has discrete orbits, then we have (*) equivalent to the property "Gamma_x is of type F_k", for the stabilizer Gamma_x of some point x of M. This property is also intersting in the following case: Let Gamma' be an S-arithmetic subgroup of a linear algebraic group over a number field. We show that there is an obvious action rho' of Gamma' on some Bruhat-Tits building M', with Gamma' the stabilizer of some point of M'. Thus, here (*) is equivalent to "Gamma' is of type F_k". In the number field case, we have a totally different situtauion. There the S-arithmetic groups do not have discrete orbits in the symmetric space M and they are of type F_k for all k. Nevertheless we can apply our main result to this situation to determine for which k the property (*) holds. We observe again an interesting dependence on s=|S| and the rank of the group r (namely (*) holds k