Search

For commitments on secrets, statistical hiding is a must when we are dealing with a long-term secret or when the secret domain is small enough for a brute-force attack by a powerful adversary. Unfortunately, all the Chinese Remainder Theorem-based verifiable secret sharing schemes in the literature are either insecure or suffer from the vulnerability of computationally hiding commitments. To the best of our knowledge, there exist five such studies where two of them were already proven to be insecure. In this work, we first show that two of the remaining schemes are also insecure, that is, the schemes reveal information on the secret even when the adversary is passive. In addition, the remaining one is only secure against a computationally bounded adversary which can be a problem for secret sharing schemes requiring long-term secret obscurity or using small secret domain. We propose a modification for the latter scheme and prove that the modified scheme is a secure verifiable secret sharing scheme against an unbounded adversary. Lastly, as an application, we show how to use the new scheme for joint random secret sharing and analyze the practicality and efficiency of the proposed schemes. Copyright (C) 2016 John Wiley & Sons, Ltd.

Bilgi güvenliği, elektronik iletişimin hayatımızın her alanına girmesi ile birlikte giderek daha çok önemli hale gelmektedir. Bilgi güvenliği kavramının içeriği kullanıldığı uygulamanın çeşidine ve gereksinimlerine göre değişebilmektedir. Fakat kullanılan alan ya da uygulama ne olursa olsun, güvenlik için hangi algoritmalar kullanılırsa kullanılsın, güvenlik ilk önce gerekli kişilerin bilmesi gereken bir anahtarın gizli kalmasına dayanmaktadır.Güvenliğin en önemli unsuru olan anahtarların gizli kalması ve kaybolmaması gereksinimleri değişik problemleri de beraberinde getirmektedir. Anahtarın sadece bir kişide, sunucuda ya da veritabanında saklanması, sistemin güvenliğini o kişinin güvenliğine ve güvenilirliğine indirgemektedir. Bunun yanında şifrenin başka bir kopyasının olmaması da yazılım/donanım arızaları gibi durumlarda anahtarın tamamen kaybedilmesi gibi sakıncalar içermektedir. Anahtarın birden fazla kişide bulunması durumunda ise anahtarı ele geçirmeye çalışan biri için artık bir değil birden fazla hedef vardır ve dolayısıyla, anahtarın güvenliği bu kişilerinin en az güvenliğe sahip olanının güvenliğine indirgenmektedir.Anahtar paylaştırma yöntemleri ilk olarak yukarıda bahsedilen problemleri çözmek için önerilmiştir. Bu yöntemlerdeki anafikir anahtarın belli bir grup içinde öyle paylaştırılmasıdır ki, sadece önceden belirlenen koalisyonlar bir araya geldiğinde anahtarı elde edebilmeli daha küçük koalisyonlar ise anahtar hakkında hiçbir bilgi elde edememelidir. Bu sayede, şirketlerin karar mekanizması uygulamaları, büyük ölçekli finans uygulamaları, nükleer sistemlerin komuta-kontrol uygulamaları gibi alanlarda gizli kalması gereken anahtarlar anahtar paylaştırma yöntemleri kullanılarak saklanabilir.Eşik kriptografisi anahtar paylaştırma yöntemlerinin özel bir hali ile ilgilenir. Eşik kriptografisine dayanan anahtar paylaştırma yöntemlerinde bir koalisyonun içindeki kişi sayısı, büyüklüğü, belli bir eşiği, kısaca t, geçiyorsa, o koalisyon anahtarı elde edebilir. Daha küçük koalisyonlar ise anahtar hakkında hiç bir bilgi elde edemezler. Literatürde ilk önerilen anahtar paylaştıma yöntemlerinden biri Shamir'in eşik kriptografisine dayanan yöntemidir. Shamir bu yöntemde anahtarı t-1 dereceli bir polinomun sabit terimi olarak düşünmüş ve polinomun geçtiği noktaları grup içinde dağıtmıştır. Bu sayede, gerekli olduğunda t büyüklüğündeki bir koalisyon, polinomu yaratarak anahtarı elde edebilir. Bu yöntem sonraları güvenlik üzerine araştırma yapan bilim insanları tarafından kabul görmüş ve değişik uygulamalarda kullanılmıştır. Bu yöntem ile yaklaşık aynı zamanlarda önerilen Blakley'in düzlem geometrisine dayalı anahtar paylaştırma yöntemi ve Asmuth ve Bloom'un önerdiği Çin Kalan Teoremi'ne dayalı yöntem güvenlik açısından gerekli ve yeterli şartları sağladıkları halde araştırmacılar tarafından rağbet görmemişlerdir.Anahtar paylaştırma yöntemleri yukarıda bahsedilen uygulamalar dışında da değişik güvenlik uygulamaları için temel yapı parçacığı görevini görmüşlerdir. Bu uygulamalar, genelde fonksiyon paylaştırma yöntemi olarak bilinen, herhangi bir fonksiyonun çıktısının, herbiri gizli bir fonksiyon girdisine sahip bir grup tarafından, fonksiyon girdileri gizli kalmak şartı ile hesaplanması problemini içerir. Literatürde, anahtar paylaştırma yöntemleri temel alınarak paylaştırılan bu fonksiyonlara RSA, ElGamal ve Paillier gibi açık anahtar algoritmalarının imza yada şifreleme fonksiyonları örnek gösterilebilir. Elektronik seçim gibi yeni nesil uygulamalar fonksiyon paylaştırma yöntemlerini yoğun bir şekilde kullanmaktadır.Daha önce de bahsedildiği gibi, Shamir'in anahtar paylaştırma yöntemi literatürde sıklıkla kullanılan bir yöntem olup diğer anahtar paylaştırma sistemleri pek rağbet görmemektedir. Fakat, bu tezin gösterdiği gibi Çin Kalan Teoremi'ne dayalı anahtar paylaştırma yöntemleri de pratik olarak bu tür uygulamalarda kullanılabilir. Her uygulama değişik güvenlik gereksinimlerine sahip olduğu için, Shamir'in yöntemi değişik eklentiler tasarlanarak çeşitli uygulamalarda kullanılmıştır. Bu tez temel olarak farklı anahtar paylaştırma yöntemlerinin çeşitli uygulamalarda nasıl kullanabileceği üzerine yoğunlaşacaktır. Tezde Çin Kalan Teoremi'ne dayalı bir anahtar paylaştırma yöntemi olan Asmuth-Bloom yöntemi için bazı değişiklikler önerilecektir. Sonra da bu yeni yöntemler kullanılarak kanıtlanabilir güvenliğe sahip fonksiyon paylaştırma yöntemleri ve halihazırda varolan uygulamalarda gereken değişik güvenlik eklentileri tasarlanacaktır. Information security has become much more important since electronic communication is started to be used in our daily life. The content of the term information security varies according to the type and the requirements of the area. However, no matter which algorithms are used, security depends on the secrecy of a key which is supposed to be only known by the agents in the first place.The requirement of the key being secret brings several problems. Storing a secret key on only one person, server or database reduces the security of the system to the security and credibility of that agent. Besides, not having a backup of the key introduces the problem of losing the key if a software/hardware failure occurs. On the other hand, if the key is held by more than one agent an adversary with a desire for the key has more flexibility of choosing the target. Hence the security is reduced to the security of the least secure or least credible of these agents.Secret sharing schemes are introduced to solve the problems above. The main idea of these schemes is to share the secret among the agents such that only predefined coalitions can come together and reveal the secret, while no other coalition can obtain any information about the secret. Thus, the keys used in theareas requiring vital secrecy like large-scale finance applications and commandcontrol mechanisms of nuclear systems, can be stored by using secret sharing schemes.Threshold cryptography deals with a particular type of secret sharing schemes. In threshold cryptography related secret sharing schemes, if the size of a coalition exceeds a bound t, it can reveal the key. And, smaller coalitions can reveal no information about the key. Actually, the first secret sharing scheme in the literature is the threshold scheme of Shamir where he considered the secret as the constantof a polynomial of degree t - 1, and distributed the points on the polynomial to the group of users. Thus, a coalition of size t can recover the polynomial and reveal the key but a smaller coalition can not. This scheme is widely accepted by the researchers and used in several applications. Shamir's secret sharing scheme is not the only one in the literature. For example, almost concurrently, Blakley proposed another secret sharing scheme depending on planar geometry and Asmuth and Bloom proposed a scheme depending on the Chinese Remainder Theorem. Although these schemes satisfy the necessary and sufficient conditions for the security, they have not been considered for the applications requiring asecret sharing scheme.Secret sharing schemes constituted a building block in several other applications other than the ones mentioned above. These applications simply contain a standard problem in the literature, the function sharing problem. In a function sharing scheme, each user has its own secret as an input to a function and the scheme computes the outcome of the function without revealing the secrets. In the literature, encryption or signature functions of the public key algorithms like RSA, ElGamal and Paillier can be given as an example to the functions shared by using a secret sharing scheme. Even new generation applications like electronic voting require a function sharing scheme.As mentioned before, Shamir's secret sharing scheme has attracted much of the attention in the literature and other schemes are not considered much. However, as this thesis shows, secret sharing schemes depending on the Chinese Remainder Theorem can be practically used in these applications. Since each application has different needs, Shamir's secret sharing scheme is used in applications with severalextensions. Basically, this thesis investigates how to adapt Chinese Remainder Theorem based secret sharing schemes to the applications in the literature. We first propose some modifications on the Asmuth-Bloom secret sharing scheme and then by using this modified scheme we designed provably secure function sharing schemes and security extensions. 106