Search

This paper reports the established conditions for static self-balancing for the case of an asymmetric rotor on two isotropic elastic supports, balanced by a passive automatic balancer of any type. In general, the plane of static imbalance does not coincide with the plane of an automatic balancer.The energy method has been used under the assumption that the mass of an automatic balancer's loads is much smaller than the mass of the rotor.It has been established that the static balancing of the rotor by an automatic balancer of any type is possible in the following cases:‒ a long rotor when the rotor rotates at speeds between the first and second and above the third characteristic velocities;‒ a spherical rotor when the rotor rotates at speeds between the first and second characteristic velocities;‒ a short rotor at speeds exceeding a certain characteristic velocity provided that the automatic balancer is close to the center of the rotor mass.The rotor asymmetry increases the number of resonant speeds but the number of regions where the self-balancing is occurred does not change.The imbalance of the rotor and its location do not affect the characteristic rotation speeds of the rotor. An automatic balancer in the range of rotor rotation velocities that ensure the self-balancing tends to maximally reduce the deviation of its center from the rotor rotation axis. When the rotation velocity of a long or spherical rotor approaches the second characteristic speed, the automatic balancer's capacity ceases to provide for the complete elimination of the automatic balancer's axis deviation from the rotor's rotation axis.The result obtained summarizes the findings derived earlier when using the empirical criterion for the occurrence of self-balancing. The energy method, in contrast to the empirical method, has made it possible to estimate the residual deviation of the rotor's longitudinal axis from the rotation axis. That allows the estimation of the reserve or the calculation of the automatic balancer's balancing capacity.The type of automatic balancers is not taken into consideration in such studies. Therefore, the results obtained are suitable for automatic balancers of any type, and the method itself is suitable for constructing a general theory of passive self-balancing (applicable for automatic balancers of any type)., Определены условия наступления статической автобалансировки в случае асимметричного ротора на двух изотропных упругих опорах, балансируемого пассивным автобалансиром любого типа. В общем случае плоскость статической неуравновешенности не совпадает с плоскостью автобалансира.Применен энергетический метод в предположении, что масса грузов автобалансира намного меньше массы ротора.Установлено, что статическая балансировка ротора автобалансиром любого типа возможна в случаях:– длинного ротора при вращении ротора со скоростями между первой и второй и над третьей характерными скоростями;– сферического ротора при вращении ротора со скоростями между первой и второй характерными скоростями;– короткого ротора на скоростях, превышающих некоторую характерную скорость при условии, что автобалансир находится вблизи от центра масс ротора.Асимметрия ротора увеличивает число резонансных скоростей, но количество областей наступления автобалансировки не меняется.Неуравновешенность ротора и место ее расположения не влияют на характерные скорости вращения ротора. Автобалансир в диапазоне скоростей вращения ротора, обеспечивающих автобалансировку, стремится максимально уменьшить отклонение своего центра от оси вращения ротора. При подходе скорости вращения длинного или сферического ротора ко второй характерной скорости балансировочной емкости автобалансира перестает хватать для полного устранения отклонения центра автобалансира от оси вращения ротора.Полученный результат обобщает результаты, полученные ранее с применением эмпирического критерия наступления автобалансировки. Энергетический метод, в отличие от эмпирического, позволил оценить остаточное отклонение продольной оси ротора от оси вращения. Это позволяет оценивать запас или рассчитывать балансировочную емкость автобалансира.Тип автобалансиров не учитывается в таких исследованиях. Поэтому полученные результаты пригодны для автобалансиров любого типа, а сам метод пригоден для построения общей теории пассивной автобалансировки (применимой для автобалансиров любого типа), Визначено умови настання статичного автобалансування в разі асиметричного ротора на двох ізотропних пружних опорах, що балансується пасивним автобалансиром будь-якого типу. У загальному випадку площина статичної неврівноваженості не збігається з площиною автобалансира.Застосовано енергетичний метод в припущенні, що маса вантажів автобалансира набагато менше маси ротора.Встановлено, що статичне балансування ротора автобалансиром будь-якого типу можливе у випадках:– довгого ротора при обертанні ротора зі швидкостями між першою і другою і над третьою характерними швидкостями;– сферичного ротора при обертанні ротора зі швидкостями між першою і другою характерними швидкостями;– короткого ротора на швидкостях, що перевищують деяку характерну швидкість за умови, що автобалансир знаходиться поблизу від центру мас ротора.Асиметрія ротора збільшує число резонансних швидкостей, але кількість областей настання автобалансування не змінюється.Неврівноваженість ротора і місце її розташування не впливають на характерні швидкості обертання ротора. Автобалансир в діапазоні швидкостей обертання ротора, що забезпечують автобалансування, прагне максимально зменшити відхилення свого центру від осі обертання ротора. При підході швидкості обертання довгого або сферичного ротора до другої характерної швидкості балансувальної ємності автобалансира перестає вистачати для повного усунення відхилення центру автобалансира від осі обертання ротора.Отриманий результат узагальнює результати, отримані раніше з застосуванням емпіричного критерію настання автобалансування. Енергетичний метод, на відміну від емпіричного, дозволив оцінити залишкові відхилення поздовжньої осі ротора від осі обертання. Це дозволяє оцінювати запас або розраховувати балансуючу ємність автобалансира.Тип автобалансира не враховується в таких дослідженнях. Тому отримані результати придатні для автобалансира будь-якого типу, а сам метод придатний для побудови загальної теорії пасивного автобалансування (застосовної для автобалансирів будь-якого типу)

Were found the conditions for occurrence of dynamic auto-balancing for the case of a rotor mounted on two elastic-viscous supports, balanced by two or more passive auto-balancers of any type.A modernized energy method has been applied under assumption that the mass of auto-balancers’ loads is much smaller than the rotor mass. The method has been constructed for rotors on isotropic elastic-viscous supports, when such bodies are attached to the rotor, whose relative motion is hindered by elastic and viscous resistance forces. The method makes it possible to find stationary motions of the rotary system, assess their stability. At stationary motions the relative motions of the attached bodies stop, and the system rotates as a whole around the axis of rotation formed by the supports.The mechanical and mathematical model of the system has been described. We have found the generalized potential under stationary motions, as well as a dissipative function corresponding to the supports. For the generalized rotor coordinates the equations of stationary motions of the system have been derived. The reduced potential has been investigated for a conditional extremum under an assumption that the equations of stationary motions hold, which correspond to the generalized coordinates of the rotor.It has been established that dynamic balancing of the rotor is possible only for the case of a long rotor, two or more auto-balancers of any type, installed in different correction planes and only at the rotor rotation speeds exceeding resonance ones. It has been found that the resistance forces in the supports do not change the conditions for auto-balancing occurrence explicitly, but they can change these conditions implicitly ‒ by changing the region of existence of stationary motions.The result obtained coincides with the result that was derived from using a generalized empirical criterion for auto-balancing occurrence when damping in the supports is not taken into consideration. It has been shown that the modernized energy method (as well as the generalized empirical criterion for auto-balancing occurrence) makes it possible to find generalized conditions for auto-balancing occurrence, suitable for any type of auto-balancers. Therefore, both methods are applicable for building a general theory of passive auto-balancers, suitable for auto-balancers of any type, Определены условия наступления динамической автобалансировки в случае ротора на двух упруго-вязких опорах, балансируемого двумя и более пассивными автобалансирами любого типа.Применен модернизированный энергетический метод в предположении, что масса грузов автобалансиров намного меньше массы ротора. Метод разработан для роторов на изотропных упруго-вязких опорах, когда к ротору присоединены тела, относительному движению которых препятствуют упругие и вязкие силы сопротивления. Метод позволяет находить стационарные движения роторной системы, оценивать их устойчивость. На стационарных движениях относительные движения присоединённых тел прекращаются, и система вращается как одно целое вокруг оси вращения, образованной опорами.Описана механико-математическая модель системы. Найден обобщенный потенциал на стационарных движениях и диссипативная функция, соответствующая опорам. Для обобщенных координат ротора составлены уравнения стационарных движений системы. Приведенный потенциал исследован на условный экстремум в предположении, что выполняются уравнения стационарных движений, соответствующие обобщенным координатам ротора.Установлено, что динамическая балансировка ротора возможна только в случае длинного ротора, двух и более автобалансиров любого типа, установленных в разных плоскостях коррекции и только на зарезонансных скоростях вращения ротора. Установлено, что силы сопротивления в опорах явно не меняют условия наступления автобалансировки, однако могут менять эти условия неявно – путем изменения области существования стационарных движений.Полученный результат совпадает с результатом, полученным с применением обобщенного эмпирического критерия наступления автобалансировки при не учете демпфирования в опорах. Показано, что модернизированный энергетический метод (как и обобщенный эмпирический критерий наступления автобалансировки) позволяет находить обобщенные условия наступления автобалансировки, пригодные для любых типов автобалансиров. Поэтому оба метода пригодны для построения общей теории пассивных автобалансиров – применимой для автобалансиров любого типа, Визначено умови настання динамічного автобалансування у випадку ротора на двох пружно-в'язких опорах, що балансується двома і більше пасивними автобалансиром будь-якого типу.Застосовано модернізований енергетичний метод в припущенні, що маса вантажів автобалансирів набагато менше маси ротора. Метод розроблений для роторів на ізотропних пружно-в'язких опорах, коли до ротора приєднані тіла, відносному руху яких перешкоджають пружні і в'язкі сили опору. Метод дозволяє знаходити стаціонарні рухи роторної системи, оцінювати їх стійкість. На стаціонарних рухах відносні рухи приєднаних тіл припиняються, і система обертається як одне ціле навколо осі обертання, утвореної опорами.Описана механіко-математична модель системи. Знайдений узагальнений потенціал на стаціонарних рухах і дисипативна функція, що відповідає опорам. Для узагальнених координат ротора складені рівняння стаціонарних рухів системи. Узагальнений потенціал досліджений на умовний екстремум в припущенні, що виконуються рівняння стаціонарних рухів, що відповідають узагальненим координатам ротора.Встановлено, що динамічне балансування ротора можливо тільки в разі довгого ротора, двох і більше автобалансирів будь-якого типу, встановлених в різних площинах корекції і тільки на зарезонансного швидкостях обертання ротора. Встановлено, що сили опору в опорах явно не змінюють умови настання автобалансування, однак можуть змінювати ці умови неявно – шляхом зміни області існування стаціонарних рухів.Отриманий результат збігається з результатом, отриманим із застосуванням узагальненого емпіричного критерію настання автобалансування при неврахування демпфірування в опорах. Показано, що модернізований енергетичний метод (як і узагальнений емпіричний критерій настання автобалансування) дозволяє знаходити узагальнені умови настання автобалансування, придатні для будь-яких типів автобалансирів. Тому обидва методи придатні для побудови загальної теорії пасивних автобалансирів – застосовної для автобалансирів будь-якого типу

В работе выполнен анализ влияния массы автобалансира на критические скорости вращения ротора, совершающего пространственное движение. Задача рассматривается с учетом того, что массы автобалансира и дисбаланса могут быть сопоставимы с массой ротора. Показано, что установка автобалансира на ротор приводит к качественным и количественным изменениям спектра критических скоростей. Составной ротор приобретает свойство инерционной анизотропии и происходит раздваивание его критических скоростей. Получена точная формула для критических скоростей при произвольном расположении ротора на опорах, а также приближенные формулы для частных случаев. Выполнен анализ влияния параметров ротора и автобалансира на количество и значения критических скоростей. Предложен критерий чувствительности ротора к массе автобалансира.

Досліджена роторна система, в якій ротор поміщений з можливістю обертатися навколо власної поздовжньої осі в корпус на податливих опорах і зрівноважується динамічно двома автобалансирами з багатьма корегувальними вантажами. Отримана замкнута система диференціальних рівнянь відносно мінімальної кількості змінних, які описують процес автобалансування роторної системи. Отримана система складається з восьми рівнянь і в неї входить шістнадцять безрозмірних параметрів. Проведено дослідження отриманих рівнянь на асимптотичну стійкість – отримані і досліджені необхідні та достатні умови асимптотичної стійкості. Знайдено резонансні швидкості і область стійкості зрівноважити можливо тільки довгий умовний складений ротор, який утворюють ротор з корпусом, на зарезонансних швидкостях. Отримано вирази, в які входить десять безрозмірних параметрів і які дають можливість досліджувати залежність тривалості перебігу перехідних процесів від параметрів роторної системи. The rotor system, in that the rotor is placed in corps on pliable supports with possibility of rotation around on its longitudinal axis with many corrective weights, is researched. The closed system of differential equations relatively of the minimal numbers of variables, that describes the process of auto-balancing of the rotor system, is obtained. This system is consist with eight equations and is depended of sixteen dimensionless parameters. The resonance speeds and regions of stability are found the long conditional composite rotor which form the rotor and corps on high resonant speeds is can balance only. The expressions, which include ten dimensionless parameters and which allow us to study the dependence of the duration transients of the system parameters are obtained.

Актуальность работы обусловлена необходимостью исследования процесса уравновешивания автобалансирами роторных машин в оборудовании объектов добычи и транспортировки георесурсов, в частности в шахтных вентиляторах, в газотурбинных установках при транспортировке природного газа. Цель работы. Установить структуру и конкретизировать вид дифференциальных уравнений, описывающих движение роторной машины с автобалансирами со многими корригирующими грузами и процесс уравновешивания ротора автобалансирами. Методы исследования. Элементы теоретической механики, теории устойчивости движений механических систем по Ляпунову, теории роторных машин. Результаты. В рамках упрощенной теории роторных машин с автобалансирами со многими корригирующими грузами установлена структура и конкретизирован вид систем дифференциальных уравнений, описывающих движение роторной машины и процесс уравновешивания ротора автобалансирами. Установлено, что роторная машина условно состоит из нескольких взаимодействующих между собой частей - ротора (ротора в корпусе) и неуравновешенных автобалансиров. Неуравновешенные автобалансиры действуют на ротор с силами, приложенными в точках подвеса автобалансиров и равными вторым производным по времени от векторов суммарных дисбалансов. Ротор влияет на движение корригирующих грузов в автобалансире переносными силами инерции, пропорциональными ускорениям точек подвеса автобалансира. Система дифференциальных уравнений, описывающая движение роторной машины, составлена относительно обобщенных координат машины. Эта система состоит из двух и более связанных подсистем. Первая - описывает движение ротора. Ее всегда можно записать относительно обобщенных координат, описывающих движение ротора и изменение суммарных дисбалансов ротора и автобалансира в каждой плоскости коррекции. При этом если ротор установлен с возможностью вращения вокруг своей продольной оси в корпус, удерживаемый податливыми опорами, то ротор и корпус образуют условный составной ротор (более массивный и вытянутый, чем сам ротор) и уравнения составляются для него. Количество остальных подсистем равно числу автобалансиров, уравновешивающих ротор. При этом подсистема, соответствующая j-му автобалансиру, имеет стандартный вид и описывает движение корригирующих грузов в этом автобалансире. Она состоит из nj дифференциальных уравнений, где nj - количество корригирующих грузов в j-м автобалансире. Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс автобалансировки роторной машины, составлена относительно обобщенных координат ротора и проекций суммарных дисбалансов ротора и автобалансира в каждой плоскости коррекции. Она предназначена для исследования устойчивости семей основных движений и протекания переходных процессов при наступлении автобалансировки. Эта система также состоит из двух и более связанных подсистем. Первая - получается из подсистемы, описывающей движение ротора, если ее записать относительно обобщенных координат ротора и суммарных дисбалансов. Количество остальных подсистем также равно числу автобалансиров. Каждая из этих подсистем имеет стандартный вид и состоит из двух уравнений, получающихся путем комбинирования уравнений движения корригирующих грузов соответствующего автобалансира. Сформулированы правила составления дифференциальных уравнений, описывающих движение роторной машины и процесс автобалансировки. Они применимы: при любой кинематике движения ротора или ротора, помещенного в корпусе; любом количестве автобалансиров; любом количестве и разных типах корригирующих грузов в автобалансире. Вид дифференциальных уравнений первой подсистемы подтвержден с использованием основных теорем динамики. Сформулированные правила применены для роторной машины, состоящей из ротора, помещенного с возможностью вращения в корпус, удерживаемый податливыми опорами, и двух автобалансиров. The relevance of work is conditioned by a need of investigation of the process of equilibration by auto-balancers of rotating machines in equipment of the extraction and transportation facilities of geo-resources, particularly, in mine ventilators, in gas turbines for natural gas transportation. The main aim of the study is to ascertain the structure and to specify the form of differential equations that describe the motion of a rotary machine with auto-balancers with many corrective weights and differential equations that describe the auto-balancing of rotor. The methods used in the study: elements of theoretical mechanics, Lyapunov stability theory, theories of rotary machines. The results. In the framework of a simplified theory of rotary machines with auto-balancers with many corrective weights the authors ascertained the structure and specified the form of systems of differential equations that describe the movement of a rotary machine and the process of balancing of the rotor by auto-balancers. It was determined that the rotary machine conditionally consists of several interacting parts - a rotor (rotor in corps) and unbalanced auto-balancers. Unbalanced auto-balancers act on the rotor with the forces that apply to the point of suspension of auto-balancers and are equal to the second derivative by time of the vectors of the total imbalances. The rotor affects the movement of the corrective weights in auto-balancers by forces of moving space that are proportional to the acceleration of points of suspension of auto-balancers. The system of differential equations describing the motion of a rotary machine was drawn up with respect to the generalized coordinates of the machine. It is composed of two or more of the associated subsystems. The first - describes the motion of the rotor. It can always be written relatively to the generalized coordinates that describe the motion of the rotor and total imbalances of the rotor and auto-balancer in each correction plane. Thus, if the rotor is mounted with rotation around its longitudinal axis in the corps which is held by pliant supports then the rotor and the corps form a conditioned composite rotor (more elongated and massive than the rotor) and the equations are made for it. The number of other subsystems equals to the number of auto-balancers which counterbalance the rotor. Thus, the subsystem, corresponding to j-th auto-balancer, has a standard form and describes the motion of the corrective weights in this auto-balancer. It consists of nj differential equations, where nj - the number of corrective weights in j-th auto-balancer. The system of differential equations that describes the process of auto-balancing of the rotary machine is compiled relatively of generalized coordinates of the rotor and of projections of the total imbalances of the rotor and auto-balancer in each correction plane. It is designed to investigate the stability of families of basic movements and the behavior of transients at auto-balancing. This system also consists of two or more of the associated subsystems. The first is obtained from the subsystem, describing the motion of the rotor if we write it relatively to the generalized coordinates of the rotor and total imbalances. The number of other subsystems also equals to the number of auto-balancers. Each of these subsystems has a standard form and consists of two equations that are obtained by combination of the equations of motion of corrective weights of corresponding auto-balancer. Rules of composition of differential equations describing the motion of the rotary machine and the process of auto-balancing are formulated. They are applicable for any kinematics of the rotor motion (the rotor, placed in the corps); for any number of auto-balancers; for any number and different types of corrective weights in auto-balancer. The type of differential equations of the first subsystem is confirmed using the basic theorems of dynamics. The formulated rules were applied to the rotary machine consisting of the rotor placed in the corps with the possibility to be rotated, which is held by pliant supports, and of two auto-balancers.

Найдены условия наступления автобалансировки и установлено, что: · корпус и ротор условно образуют составной, более массивный и длинный ротор, характеристики которого влияют на процесс автобалансировки; · переходные процессы, характеризующие автобалансировку, делятся на: быстрые, при которых практически прекращаются движения корригирующих грузов относительно ротора и устанавливается движение ротора, соответствующее суммарному дисбалансу корректирующих грузов и дисбаланса ротора; медленные, при которых корригирующие грузы приходят в автобалансировочное положение, двигаясь относительно ротора; · скорость протекания быстрых переходных процессов зависит от параметров закрепления корпуса, массо-инерционных характеристик составного ротора, скорости вращения, положения плоскости балансировки, сил вязкого сопротивления, действующих на корректирующие грузы, и не зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений корректирующих грузов; · скорость протекания медленных переходных процессов дополнительно зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений корректирующих грузов, но не зависит от сил сопротивления опор. The authors have determined the conditions of auto-balance occurring and have found out that: • bed and rotor form conventionally the composite rotor, more massive and long; its characteristics influence auto-balancing; • transients that characterize auto-balancing are divided into: fast – when corrective weights motion relative to rotor stop and rotor motion corresponding to the total imbalance of corrective weights and rotor imbalance is set; slow – when corrective weights come in auto-balancing position moving relative to rotor; • flow rate of the fast transients depends on bed fixing parameters, inertia characteristics of the composite rotor, rotation speed, balancing plane position, viscous resistance forces influencing the corrective weights; it does not depend on rotor imbalance, quantity and positions of corrective weights; • flow rate of slow transients depends additionally on rotor imbalance, number and positions of corrective weights, but it does not depend on resistance forces of supports.

Із застосуванням енергетичного методу, заснованого на застосуванні функції Гамільтона, визначені необхідні умови настання автобалансування при зрівноваженні кульовим (маятниковим чи роликовим) автобалансиром ротора, що здійснює плоский рух і встановлений на осесиметричні опори. При цьому знайдені усталені рухи роторної системи й необхідні умови їх стійкості (достатні умови нестійкості). Встановлено, що у ротора існує єдина резонансна швидкість обертання і на зарезонансних швидкостях обертання ротора можуть бути стійкі тільки основні рухи системи – на яких ротор найбільш зрівноважений. The purpose of the article is to determine by the energy method of the necessary conditions of balancing by ball auto-balancer of rotor on axisymmetric bearings which makes plane motion. With the use of the energy method which is based on the use of the Hamiltonian function: - were found steady-state movements of the rotor system (the basic, in which the rotor is balanced and the side, in which the rotor is not balanced) and the conditions of their existence; - were investigate the stability of steady motions; - were found necessary conditions of their stability (sufficient conditions of instability); - were found the conditions of offensive of autobalancing (stability of the basic and instability of the side movements). Conclusions: rotor have only one resonant speed of rotation and autobalancing can occur only at the speeds of rotation of rotor above the resonance one.

Изучается процесс уравновешивания автобалансиром статически неуравновешенного ротора, помещенного с возможностью вращения в тяжелый упруго-вязко закрепленный корпус с неподвижной точкой. Предложенная методика исследований может быть стандартной при решении подобных задач и включает следующие этапы: · составление упрощенных дифференциальных уравнений движения роторной системы, линеаризованных как по введенному малому параметру, так и по отклонениям системы от установившегося движения; · составление замкнутой системы дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат, определяющих движение ротора, его дисбаланс; · приведение уравнений к безразмерному виду, их комплексное сворачивание и приведение к стационарному виду; · составление характеристического уравнения и исследование его корней. В результате исследований установлено, что: принципиально возможно уравновесить ротор, только если условный составной ротор (образованный ротором и корпусом) длинный; при этом ротор имеет одну критическую скорость, и автобалансировка наступает при ее превышении; в процессе наступления автобалансировки сначала прекращаются быстрые движения корректирующих грузов относительно ротора, а потом они медленно движутся относительно ротора к автобалансировочному положению. The authors have studied the process of balancing statically unbalanced rotor placed in visco-elastic fixed casing with fixed point by auto-balancer. The proposed research methodology may be standard in solving similar problems and includes the following stages: · derivation of simplified differential equations of motion of rotor’s system linearized by the entered small parameter and by the system deviations from steady motion; · obtaining of closed system of differential equations for generalized coordinates defining rotor motion and its unbalance; · transformation of the equations to the dimensionless form, their complex folding and reduction to stationary form; · obtaining of characteristic equation and studying its roots. The results of the research are: it’s possible to balance rotor only if a conditional composite rotor (formed by rotor and casing) is long; in this case rotor has only one critical speed and auto-balancing occurs on its exceeding; at auto-balancing at first the fast motions of corrective weights stop relative to the rotor and then they move slowly relative to the rotor to auto-balancing positions.

Ставится задача об исследовании устойчивости основных движений роторной системы по обобщенным координатам ротора и суммарному дисбалансу ротора и автобалансира. Получены безразмерные дифференциальные уравнения возмущенного движения в подвижной системе координат. Составлено характеристическое уравнение. Ставиться задача про дослідження стійкості основних рухів роторної системи за узагальненими координатами ротора і сумарному дисбалансу ротора і автобалансира. Отримано безрозмірні диференціальні рівняння збуреного руху в рухомій системі координат. Записано характеристичне рівняння. The task of investigating is the stability of the basic movements of the rotor system of generalized coordinates of the rotor and the total imbalance of the rotor and the auto-balancer. The dimensionless differential equations of perturbed motion in the moving coordinate system was obtained. The characteristic equation was composed.

Приведено до безрозмірного вигляду дифе- ренціальні рівняння, що описують стійкість основних рухів системи, складеної з незрів- новаженого ротора з нерухомою точкою, корпуса і автобалансира. Зроблена оцінка малості введених безрозмірних параметрів, визначені межі їх зміни. Приведены к безразмерному виду диф- ференциальные уравнения, которые опи- сывают устойчивость основных движений системы, состоящей из неуравновешенно- го ротора с неподвижной точкой, корпуса и автобалансира. Сделана оценка малости введенных безразмерных параметров, опре- делены границы их изменения. The differential equations that describe the stability of the main motions of system consisting of unbalanced rotor with a fixed point, corps and autobalancer are reduced to dimensionless form. The estimation of smallness of introduced dimensionless parameters is made; the boundaries of their changes are defined.

Досліджено стійкість основних рухів і характер перебігу перехідних процесів системи, складеної з ротора з нерухомою точкою, корпуса і автобалансира. Исследована устойчивость основных движений и характер протекания переходных процессов системы, состоящей из ротора с неподвижной точкой, корпуса и автобалансира. Is explored the stability of the main motions and flowline of transitional processes of thesystem witch consist of rotorwith a fixed point, corps and autobalancer.

Отримані диференціальні рівняння руху системи, що складається із статично незрівноваженого ротора з нерухомою точкою, важкого в'язко-пружно закріпленого корпуса, в який встановлений ротор, і кульового чи роликового автобалансира для зрівноваження ротора. При цьому застосована методика складання спрощених диференціальних рівнянь руху роторних систем з автобалансирами, заснована на припущенні про малість лінійних і кутових відхилень подовжньої осі ротора, і про малість маси дисбалансу і корегувальних вантажів в порівнянні з масою ротора. Are obtained the differential equations of motion of the system consisting of statically unstable rotor with a fixed point, heavy viscid-elastic resilient corps which a rotor is set in, and ball autobalancer for balancing of rotor. Were applied the method of drafting of the simplified differential equations of motion of the rotor systems with autobalancer, which based on supposition about the trifle of linear and angular rejections of longitudinal axis of rotor, and about the trifle of mass of unbalance and correcting masses on comparison with mass of rotor.

Запропоновані загальні технічні рекомендації з послідовності проектування і встановлення пасивних автобалансирів на вал ручних шліфувальних машин, наведений приклад вибору типу автобалансира, та розрахунку його основних параметрів для машини МШУ1-23-230 виробництва ВАТ «Завод «Фиолент», та результати проведених на заводі виробничих випробувань. General technical recommendations are offered from the sequence of planning and setting, passive autobalancers to the billow of hand polishing machines, resulted example of choice and calculation of basic parameters of autobalancers for the machine of MHU-23-230 of production of factory "Fiolent", and results of the production tests conducted at the plant.

Пропонується методика складання спрощених диференціальних рівнянь руху роторних систем з автобалансирами, що ґрунтується на припущенні про малість лінійних і кутових відхилень подовжньої осі ротора, і про малість маси дисбалансу і корегувальних вантажів в порівнянні з масою ротора. Ефективність методики розглядається на прикладі системи, що складається зі встановленого на в'язко-пружні опори масивного корпусу, статично неврівноваженого ротора що обертається в ньому і несе кульовий автобалансир. Is offered the method of obtaining of the simplified differential equations of motion of the rotor’s systems with autobalancers, based on supposition about the trifle of linear and angular rejections of longitudinal axis of rotor, and about the trifle of unbalance mass and corrective masses on comparison with mass of rotor. Efficiency of method is considered on the example of the system, consisting of the set on viscid-resilient supports massive corps revolved in him statically unbalanced rotor with a ball autobalancer.

С использованием критерия устойчивости основного движения определяются условия уравновешивания пассивными автобалансирами ротора с неподвижной точкой и симметричными вязко-упругими опорами. З використанням критерію стійкості основного руху визначаються умови врівноваження пасивними автобалансирами ротора з нерухомою точкою і симетричними в’язко-пружними опорами. With use of criterion of stability of main motion of system rotor - autobalancer, are investigated the critical speeds of the system, in transition of which autobalancing comes or lost.

Досліджена ефективність зрівноваження ротора чотирьохмаятниковим автобалансиром з в’язями. Знайдені наближені формули для оцінки ефективності. Досліджений вплив на ефективність зміни різних параметрів. Efficiency of balancing of rotor a fours pendulum autoequalizer is probed with vyazi. Close formulas are got for the estimation of efficiency. Influence is probed on efficiency of change of different parameters.

З використанням функції Гамільтона досліджені критичні швидкості системи, складеної з ротора, здійснюючого просторовий рух, мас, що створюють дисбаланс і автобалансира для зрівноваження ротора, при переході через які наступає або втрачається автобалансування. Отримані узагальнені критичні швидкості, придатні для будь-якого типу автобалансира. Встановлено, що зрівноваження динамічного дисбалансу двома автобалансирами у двох різних площинах корекції можливе тільки у разі довгого складеного ротора, утвореного ротором, масами дисбалансу і автобалансирами. With use of Hamilton’s function are investigated the critical speeds of the system consisting of a rotor which execute space motion, mass which create unbalance and the autobalancers for balancing of a rotor. At transition of this speeds is comes or lost the autobalancing. The generalized critical speeds which suitable for any type of autobalancers are received. Is established, that balancing of the dynamic unbalance by two autobalancers in two different planes of correction is possible only in the case of the long made rotor formed by a rotor, masses which create unbalance and autobalancers.

Сформульований узагальнений емпіричний критерій стійкості основного руху системи, до складу якої входить обертове тіло і декілька автобалансирів для його зрівноваження. За допомогою критерію визначені умови зрівноваження двома автобалансирами будь-якого типу динамічного дисбалансу жорсткого ротора на двох осесиметричних пружних опорах. Встановлено, що динамічне зрівноваження можливе тільки у випадку довгого складеного ротора, утвореного ротором, автобалансирами і тілами, створюючими дисбаланс, і відбувається на закритичних швидкостях обертання. Is formulated the generalized empirical criterion of stability of the main motion of the system in which structure enters a rotating body and some autobalancers for it balancing. By means of criterion are determined the conditions of a balancing by two any type autobalancers of the dynamic unbalance of a rigid rotor on two cycle-symmetric elastic support. It is established, that the dynamic balancing is possible only in the case of the long compound rotor formed by a rotor, autobalancers and the bodies forming unbalance, and occurs upper of all critical rotation speeds.

З використанням функції Гамільтона досліджені критичні швидкості системи, складеної з ротора з нерухомою точкою, мас, що створюють дисбаланс і автобалансира для зрівноваження ротора, при переході через які наступає або втрачається автобалансування. Отримані узагальнені критичні швидкості, придатні для будь-якого типу автобалансира. Встановлено, що автобалансування можливе тільки у разі довгого щодо нерухомої точки ротора. With the use of the Hamilton’s function critical speeds of the system, consisting of rotor with an immobile point, the masses, creating a disbalance and autobalancers for its balancing are explored, in transition of which comes or lost autobalancing. The generalized critical speeds, suitable for any type of autobalancers, are found. It is set that autobalancing is possible only in the case of long in relation to an immobile point rotor.

Доведена застосовність функції Гамільтона до вивчення кількості й необхідних умов стійкості усталених рухів системи, складеної з ротора і приєднаних до нього коригувальних вантажів. Ефективність метода показана на прикладі кульового (маятникового) автобалансира, який зрівноважує ротор, що здійснює плоский рух і встановлений на симетричні опори. Установлено, що на закритичних швидкостях обертання ротора стійкі тільки основні рухи системи – на яких ротор найбільш зрівноважений. Is proved possibility of application of the Hamilton`s function to the study of quantity and terms of stability of the set motions of the system made from a rotor and added to him corrective masses. Efficiency of method is shown on the example of ball (pendulum) autobalancer which balancing a rotor on symmetric supports, accomplishing flat motion. It is set, that on speeds of rotation of rotor upper then critical speed only main motions of the system are steady – in which a rotor is most balanced on.

Ставиться задача з визначення умов настання автобалансування при зрівноважуванні ротора з нерухомою точкою пасивним автобалансиром. Виводяться диференціальні рівняння руху системи ротор-автобалансир. Класифікуються випадки, що підлягають розглядові. A task on determination of terms of offensive of autobalancing at balancing of rotor with an immobile point is put by a passive autobalancers. Is obtained differential equations of motion of the system rotorautobalancer. The cases subject to consideration are classified.

У рамках плоскої моделі досліджена кількість і умови існування тих усталених рухів ротора з багатокульовим (багатомаятниковим) автобалансиром, у яких коригувальні вантажі обертаються синхронно з ротором.

Для плоских моделей ротора на анізотропних і ізотропних в’язко-пружних опорах, за допомогою інженерного критерію настання автобалансування досліджений вплив сил в’язкого опору в опорах на критичні швидкості системи ротор-автобалансир (при переході через які настає, чи втрачається автобалансування). Для різних плоских моделей ротора з приєднаними тілами (коригувальними вантажами, дисбалансом, корпусом), за допомогою інженерного критерію стійкості основних рухів, знайдені критичні швидкості. Встановлено правило, яке дозволяє для визначення критичних швидкостей у випадку ротора з приєднаними тілами використовувати аналогічні формули для ротора без приєднаних тіл. Through the engineering criterion of offensive of autobalancing is explored the influence of forces of viscid resistance in supports on the critical speeds of the system rotor-autobalancer (in transition of which comes ore loses autobalancing) in the case when a rotor is set on isotropic and anisotropic viscid-elastic supports and accomplished flat motion. For different flat models of rotor with the added bodies (corrective masses, disbalance, corps), through the engineering criterion of stability of the main motion, critical speeds are found. Is set the rule, which allows for determination of critical speeds in the case of a rotor with the added bodies to use similar formulas for the rotor without bodies.

Досліджена стійкість основних і побічних усталених рухів системи ротор – автобалансир. Ротор розташований вертикально і рухається плоскопаралельно. Автобалансир утворюється корегуючим вантажем (КВ), який може повертатися навколо повздовжньої і поперечної осей ротора, чи двома такими КВ, яки зв’язані так, що можуть повертатися навколо поперечних осей на рівні кути у протилежні боки. У випадку, коли маса КВ набагато менше маси ротора (і силами ваги можна знехтувати) встановлено, що на дорезонансних швидкостях обертання ротора асимптотично стійкі тільки побічні рухи, у яких ротор розбалансований, а на зарезонансних швидкостях - два основні рухи, у яких ротор зрівноважений. Is investigated a stability of main and spurious steady-state motions of a system rotor - autobalancer. The rotor is located vertically and makes plane-parallel motion. The autobalancer is created by corrective mass (CM), which can turn round longitudinal and cross-sectional axes of a rotor, or two such CM, which is connected so, that they can turn round cross-sectional axes on equal angles in opposite legs. In case, when the mass of CM is much less than a mass of a rotor (and gravity it is possible to neglect) is established, that below the resonance speed of the rotation of the rotor asymptotically stable is only the spurious motions, in which the rotor is unbalancing, and higher the resonance speed - two main motions, in which the rotor is balancing.

Исследованы установившиеся движения ротора, уравновешиваемого автобалансиром, состоящим из двух связанных корректирующих грузов с неподвижными точками на оси вала ротора. Установлено существование не более шести существенно различных установившихся движений системы. Найдены условия их существования. Сформулированы условия работоспособности автобалансира.