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The core of this thesis is the path-integral formulation of quantum field theory and its ability to describe strongly-coupled many-body systems of finite size. Collective behaviors can be efficiently described in such systems through the implementation of spontaneous symmetry breaking (SSB) in mean field approaches. However, as the thermodynamic limit does not make sense in finite-size systems, the latter can not exhibit any SSB and the symmetries which are broken down at the mean field level must therefore be restored. The efficiency of theoretical approaches in the treatment of finite-size quantum systems can therefore be studied via their ability to restore spontaneously broken symmetries. In this thesis, a zero-dimensional O(N) model is taken as a theoretical laboratory to perform such an investigation with many state-of-the-art path-integral techniques: perturbation theory combined with various resummation methods (Padé-Borel, Meijer-G, conformal mapping), enhanced versions of perturbation theory (transseries derived via Lefschetz thimbles, optimized perturbation theory), self-consistent perturbation theory based on effective actions (auxiliary field loop expansion (LOAF), Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT) formalism, 4PPI effective action,...), functional renormalization group (FRG) techniques (FRG based on the Wetterich equation, DFT-FRG, 2PI-FRG). Connections between these different techniques are also emphasized. In addition, the path-integral formalism provides us with the possibility to introduce collective degrees of freedom in an exact fashion via Hubbard-Stratonovich transformations: the effect of such transformations on all the aforementioned methods is also examined in detail., Le cœur de ce travail de thèse est la formulation de la théorie quantique des champs basée sur les intégrales de chemin et sa capacité à décrire les systèmes quantiques à N corps fortement corrélés de taille finie. Les phénomènes collectifs gouvernant la phénoménologie de tels systèmes peuvent être efficacement décrits par l'implémentation de brisures de symétrie spontanées (SSB) dans le cadre d'approches de type champ moyen. Cependant, la limite thermodynamique n'étant pas pertinente pour des systèmes de taille finie, ces derniers ne peuvent manifester de SSB et les symétries brisées au niveau du champ moyen doivent donc être restaurées. L'efficacité d'approches théoriques à traiter les systèmes quantiques de taille finie peut donc être étudiée à travers leur capacité à restaurer les symétries brisées spontanément. Dans ce travail de thèse, nous prenons pour cadre théorique un modèle O(N) à zéro dimension pour réaliser une telle étude avec diverses méthodes de type intégrale de chemin : théorie des perturbations combinée avec différentes techniques de resommation (Padé-Borel, Meijer-G, conformal mapping), versions modifiées de la théorie des perturbations (transseries déterminées via le formalisme des Lefschetz thimbles, théorie des perturbations optimisée), théorie des perturbations auto-cohérente basée sur des actions effectives (auxiliary field loop expansion (LOAF), formalisme Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT), action effective 4PPI,...), techniques de type groupe de renormalisation fonctionnel (FRG) (FRG basé sur l'équation de Wetterich, DFT-FRG, 2PI-FRG). Des connexions entre ces différentes méthodes sont aussi mises en exergue. De plus, le formalisme des intégrales de chemin nous offre la possibilité d'introduire des degrés de liberté collectifs de manière exacte à l'aide de transformations de Hubbard-Stratonovich : l'effet de telles transformations sur les méthodes susmentionnées est également étudié en détail.

This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quantum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams to arbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - exponential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they work directly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation of quantum matter. Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlated fermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities can be retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Borel transformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate that a diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter. In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to high order. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational time much smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions on an infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-coupling Hubbard model, obtaining results with record accuracy. Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed diagrammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. After studying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large class of diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions., Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour le problème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes de Feynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du problème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume - n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique. Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique. La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermions fortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montrons que les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente par une transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accord avec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manière fiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit. Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions diagrammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordre donné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisant cette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pour preuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultats avec une précision record. Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémas diagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward. Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergence peut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schéma complètement habillé, sous certaines conditions.