Search

Bu çalışmada Öklidyen 3-uzayındaki Hasimoto yüzeyleriincelenmiştir. İlk olarak, Öklidyen 3-uzayındaki Hasimoto yüzeyleriningeometrik özellikleri incelenmiştir. Özellikle Bishop çatısı ile ilişkilendirilmişbu yüzeylerin eğrilikleri elde edilmiştir. Daha sonrasında bu yüzeylerin Bishopçatısına göre parametre eğrilerinin bazı karakterizasyonları verilmiştir., In this paper, weinvestigate the Hasimoto surfaces in Euclidean 3- space. Firstly, weinvestigate the geometric properties of these surfaces in Euclidean 3-space.Especially, we obtain the curvatures of Hasimoto surface according to Bishopframe. Then we give some characterization of parameter curves obtainedaccording to Bishop frame of Hasimoto surfaces.

In this paper, we study the prescribed curvature problem in manifold with density. We consider the Minkowski 3-space with a positive density function. For a given plane curve and an axis in the plane in Minkowski 3-space, a helicoidal surface can be constructed by the plane curve under helicoidal motions around the axis. Also we give examples of helicoidal surface with weighted Gaussian curvature.

…

The isotropic 3-space \mathbb{I}^{3} is a real affine 3-space endowed with the metric dx^{2}+dy^{2}. In this paper we describe Weingarten and linear Weingarten affine translation surfaces in \mathbb{I}^{3}. Further we classify the affine translation surfaces in \mathbb{I}^{3} that satisfy certain equations in terms of the position vector and the Laplace operator., 11 pages, 3 figures. All comments are welcome

In this paper, Theorem 3.2 and Proposition 3.2 in the paper which is cited in the title are corrected.

In this article, we study matrix representation of biharmonic curves in 3-dimensional Kenmotsu manifold. We characterize Frenet frame of the biharmonic curves in terms of their curvature and torsion in special 3-dimensional Kenmotsu manifold K. 185-194 talatkorpinar@gmail.com essin.turhan@gmail.com

In this paper, we study dual spacelike elastic biharmonic curves with spacelike principal normal in dual Lorentzian space D3 1. 135-143 talatkorpinar@gmail.com essin.turhan@gmail.com mergut@firat.edu.tr

In this paper, we study spacelike biharmonic general helices in the Lorentzian group of rigid motions E(2). We characterize the spacelike biharmonic general helices in terms of their curvature and torsion in the Lorentzian group of rigid motions E(2). 92-100 talatkorpinar@gmail.com essin.turhan@gmail.com

Kesirli analiz matematiğin teorik kısmında büyük bir öneme sahip olduğu gibi uygulama alanında da büyük bir yer edinmiştir. Bu tez çalışmasında Kesirli Analiz teknikleri kullanılarak eğrilerin geometrisi ele alındı. Bu yapılırken kesirli türev operatörleri içerisinden Caputo kesirli türev operatörü incelendi. Bu çalışmanın amacı bir seviye eğrisinin kesirli mertebeden teğet ve normal vektör alanları sayesinde kesirli türevin geometrik karşılıklarına katkıda bulunmaktadır. Bir seviye eğrisinin kesirli mertebeden teğet ve normal vektör alanı kavramları tanımlanmıştır. Bunların standart kavramlar ile arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Fractional analysis has a great importance in the theoretical part of mathematics as well as in the field of application. In this thesis, the geometry of curves will be discussed using Fractional Analysis techniques. While doing this, the Caputo fractional derivative operator will be discussed among the fractional derivative operators. The aim of this study is to contribute to the geometrical equivalents of the fractional derivative thanks to the fractional tangent and normal vector fields of a level curve. The concepts of fractional tangent and normal vector fields of a level curve are defined. The relations between these and standard concepts were examined.

Diferensiyel geometride, sabit ortalama eğrilikli yüzeyler, ``aynı hacme sahip tüm kompakt yüzeyler arasında, en küçük alana sahip yüzeylerin bulunması'' olarak tanımlı olan izoperimetrik problemin çözümüdür. Minimal yüzeyler için benzer problem ``aynı sınıra sahip tüm yüzeyler arasında en küçük alana sahip olanların karakterize edilmesi'' şeklindedir. Bu çalışmada ortalama eğrilik tipinde bir denklem olan singüler minimal yüzey denklemini sağlayan yüzeyler ele alındı. Bu tür yüzeyler, bilinen minimal yüzeyleri genelleştirirler ve potansiyel $\alpha$-enerji adı verilen varyasyonel bir integralin kritik noktalarıdırlar. Diğer bir ifadeyle, potansiyel $\alpha$-enerjiyi minimize ederler ve en düşük yerçekim merkezine sahip olan yüzey modellerini oluştururlar. Bu nedenle fizik ve mimaride büyük bir öneme sahiptirler. Ayrıca, yerçekim kuvveti etkisi altında potansiyel enerjiyi minimize eden katenerlerin, 2 ve daha yüksek boyutlardaki benzerlerini karakterize ederler. Buna göre bu çalışmada ele alınan başlıca problemler: $(n+1)-$boyutlu Öklid uzayında singüler minimal öteleme hiperyüzeylerin sınıflandırılması, belirli yarı--simetrik metrik (sırasıyla, metrik olmayan) konneksiyonlara sahip singüler minimal yüzeylerin sınıflandırılması ve $3-$boyutlu Öklid ve Lorentz--Minkowski uzaylarında belirli yarı--simetrik metrik (sırasıyla, metrik olmayan) konneksiyonlara sahip minimal olan singüler minimal yüzeylerin sınıflandırılması şeklinde ifade edilebilir. Bu problemlerin çözümleriyle, bu yüzeyler sınıfına ait yeni yüzey örneklerini literatüre kazandırmak bu tez çalışmasının temel amacıdır. In differential geometry, the surfaces with constant mean curvature are the solutions to the isoperimetric problem defined as ``finding those with the smallest area among all compact surfaces with the same volume''. A similar problem for minimal surfaces is ``to characterize those with the smallest area of all surfaces with the same boundary''. In this study, we consider the surfaces that satisfy the singular minimal surface equation, which is an equation of mean curvature type. Such surfaces generalize the minimal surfaces and are critical points of a variational integral called potential $\alpha-$energy. In other words, they minimize the potential $\alpha-$energy and create surface models with the lowest center of gravity. For this reason, they have a great importance in physics and architecture. They also characterize two and higher dimensional analogues of catenary that minimize the potential energy under the influence of gravity. Accordingly, the main problems we deal with in this study are: classification of singular minimal translation hypersurfaces in $(n+1)$-dimensional Euclidean space, classification of singular minimal surfaces with certain semi-symmetric metric (respectively, non-metric) connections and classification of singular minimal surfaces that are minimal with symmetric metric (respectively, non-metric) connections in $3-$dimensional Euclidean and Lorentz--Minkowski spaces. The main purpose of our thesis is to bring new surface samples belonging to this class of surfaces to the literature with the solutions of these problems.

Bu çalışma, dört bölüm halinde düzenlendi. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrıldı. İkinci bölümde, çalışma boyunca kullanılacak olan temel kavram ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde yoğunluklu manifoldlar ile ilgili genel literatür bilgileri incelendi. Son bölümde ise, bazı özel şartlar altında, e^z yoğunluklu sabit ?-ortalama eğrilikli yüzeyler için çeşitli karakterizasyonlar verildi. This study is organized into four chapters. The first section is devoted to the introduction. In the second section, the basic concepts and theorems that will be used throughout the study are given. In the third section, general literature information about density manifolds is given. In the last section, under some special circumstances, various characterizations are obtained for constant mean curvature surfaces with density e^z.

Bu çalışma dört bölüm halinde düzenlendi.Birinci bölüm; giriş kısmına ayrıldı.İkinci bölüm de, temel tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölüm de monosistemler geniş bir şekilde tanıtıldı. Dördüncü bölüm de ise çalışmaya esas olan monosistemlere ait örnekler verilip, bunların şekil operatörü, asli eğrilik ve asli doğrultuları incelenip monosistemlerin açılabilir olup olmadıkları gösterildi. This thesis is organized into four sections.The first section covers the introduction to the study.In the second section, basic definitions and theorems are given. In the third section, the monosystems are broadly introduced.In the last section, certain examples of monosystems, which are essential to the study, are given and their the shape operator, principal curvature and principal directions are analyzed. Moreover, it is also shown whether monosystems are developable. 46

Öklid ve yarı-Öklid uzaylarındaki bir altmanifoldun geometrik özelliklerini anlamak için,üzerinde çalışılan en önemli tasvirlerden (dönüşümlerden) biri; altmanifoldun konum vektörüdür.Bu doğrultuda, 2001 yılında B. Y. Chen tarafından, Öklid uzaylarındaki sabit oran (CR)altmanifold kavramı tanıtılmı¸stır. M, E^m Öklid uzayının bir altmanifoldu ve x : M -> E^m manifoldun konum vektörü olsun. x konum vektörü, x = x^T + x? şeklinde ayrıştırılabilir. Burada x^Tve x?, sırasıyla, x konum vektörünün teğetsel (teğet) ve normal bileşenleridir. Eğer, bu iki vektörün uzunlukları oranı sabit ise, bu durumda M altmanifolduna sabit oran (CR) altmanifolduveya eşit açılı altmanifold denir.Özel olarak karşıt boyutun bir olması durumunda, M bir CR hiperyüzeyi ise, bu durumda xkonum vektörünün x^T teğet bileşeni, M hiperyüzeyinin bir asli doğrultusudur. Oysa, bu durumuntersi genelde doğru değildir. Örneğin, Y. Fu ve M. I. Munteanu E^3 Öklid uzayındaki tümdönel yüzeylerin bu özelliği sağladığını göstermişlerdir. Fakat, bir dönel yüzeyin bir CR yüzeyiolması için, bu dönel yüzeyinin profil eğrisini özel olarak seçmek gerekir. Bu nedenden dolayı,CR yüzey kavramı genelleştirilerek genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzey kavramı, Y. Fu veM. I. Munteaunu tarafından literatürde 2014 yılında sunulmuştur: Eğer, M yüzeyinin x konumvektörünün x^T teğet bileşeni, bu yüzeyin bir asli kanonik doğrultu ise, o zaman M yüzeyinegenelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyi denir.Tezde de anlatılacağı üzere, GCR yüzeyleri aynı zamanda asli kanonik doğrultuya sahip bir (CPD) yüzeylerinin, daha açık olarak, yüzeyin x konum vektörü yerine özel olarak, E^n+1 uzayındaki sabit bir k vektörünün alınmasıyla karakterize edilen yüzeylerinin bir genelleştirilmesi olarak da düşünülebilir.Yukarıdaki tanımlar göz önüne alındığında, bu tanımların hiperyüzeyler için de aynı şekildeyapılabilece˘gi kolaylıkla görülür. Di˘ger taraftan, kar¸sıt boyutun birden büyük oldu˘gu durumdaise, CPD altmanifold tanımı yapılırken, literatürde S^nxR ve H^nxR uzaylarındaki A-sınıfı daldırmatanımı kullanılmı¸stır. Bu tez çalışmasında, R. Tojiero ve B. Mendoça tarafından verilen bu tanım kullanılarak Öklid ve yarı-Öklid uzaylarının bir altmanifoldu için şu şekilde genelleştirilmiştir: Eğer o altmanifoldun konum vektörünün teğet bileşeni, tüm şekil operatörlerininasli doğrultusu ise, bu altmanifolda GCR altmanifold denir.Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışmada, Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldları ele alınmıştır ve bu tez altı bölüm halinde düzenlenmiştir.Tezin ilk iki bölümünde tezin konusu ile ilgili bazı genel bilgiler verilmiş; üçüncü, dördüncü vebeşinci bölümlerinde ise, elde edilen orijinal sonuçlar sunulmuştur. Altıncı bölümde ise, eldeedilen sonuçlar değerlendirilip, açık problemler sunulmuştur. Tezin organizasyonu şu şekildedir:Birinci bölümde; genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldlarının tarihçesi ve altmanifoldlarıngeometrik özellikleri göz önüne alınarak yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. İkinci bölümde; tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.Üçüncü bölümde; E^4 Öklid uzayında karşıt boyut iki olan, sırasıyla, sabit açı (CAS) yüzeyleri,asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) yüzeyleri, sabit eğim (CSS) yüzeyleri ve son olarak da genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Dördüncü bölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) hiperyüzeylerinin bazı geometriközellikler incelenerek bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar verilmiştir.Sonrasında, E^3_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan asli kanonik doğrultuya sahip (CPD)yüzeyleri için yeni bir sınıflandırma elde edilmi¸stir. Ayrıca, bu yüzeylerin minimal (maksimal)olma durumları incelenmiş ve bazı önemli karakterizasyonlar verilmiştir. Son olarak ise, lightlikesabit doğrultu ile ilişkili sabit açı (CAS) yüzeyleri için sınıflandırma verilmiştir. Beşincibölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki genelleştirilmiş sabit oran (GCR) hiperyüzeylerininbazı geometrik özellikleri incelenerek, bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar elde edilmiştir. Sonrasında, E^4_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri için sınıflandırma elde edilmiştir. Son bölüm de ise; öncelikle elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve sonrasında bazı açık problemler ortaya konulmuştur. One of the most basic objects studied to understand geometrical properties of a submanifold of a Euclidean space or semi-Euclidean space is its position vector. In this direction, the notion of constant ratio (CR) submanifolds in Euclidean spaces introduced by B. Y. Chen. For each Riemannian manifold M isometrically immersed in E^m , there is a natural orthogonal decomposition of the position vector x at each point on M; namely x = x^T + x? where x^T and x? denote the tangential (tangent) and normal components of x, respectively. If the ratio of length of these two vectors is constant, then M is said to be a CR submanifold or an equiangular submanifold.In the particular case of the codimension= 1, if M is an CR hypersurface, then the tangentialpart x^T of x is a principal direction of M. However, the converse of this statement does not holdin general. For example, it is proved that all of rotational surfaces in E3 have this property. Buta rotational surface is not a CR surface unless its profile curve is chosen specifically. Therefore,the definition of generalized constant ratio (GCR) surface has been recently given: If x^T is aprincipal direction of a surface, then the surface is said to be a GCR surface. In Euclidean andsemi-Euclidean spaces, generalized constant ratio (GCR) submanifolds have been studied andobtained some new important results by many researchers interested in geometry. There arestill many open problems in this regard.As also mentioned in the thesis, GCR surfaces can also be thought as a generalization ofthe surface endowed with canonical principal direction (CPD) obtained by taking a constantvector k rather than the position vector x.Given the above definitions, it is easy to see that these definitions can be made the same forhypersurfaces. However, when the GCR submanifold is defined, the definition of the A-classof the S^nxR and H^nxR spaces is used in the case of codimension being larger than one.By using this definition given by R. Tojiero and B. Mendoza, a submanifold of Euclidean andsemi-Euclidean spaces is called a GCR submanifold if the tangential component of the positionvector of that submanifold is the principal direction of all shape operators.In this thesis, the generalized constant ratio (GCR) submanifolds in Euclidean and semi-Euclidean spaces are discussed and this thesis is organized into six sections. In the first two chapters of the thesis, some general information about the topic of the thesis is given; In the third, fourth and fifth sections, the main results are presented. The organization of thesis is as follows: In the first chapter; papers studied by considering the geometric properties of generalized constant ratio (GCR) submanifolds and the submanifolds are summarized. In Chapter 2; basic definitions and theorems to be used throughout the thesis are given. In Chapter 3; we have classified constant angle (CAS) surfaces, surfaces endowed with constant canonical direction (CPD) surfaces, constant slope (CSS) surfaces and finally generalized constant ratio (GCR) surfaces with codimension= 2 in E^4 Euclidean space, respectively. In Chapter 4; firstly we give some important theorems and results to be used in this section by investigating some geometrical properties for hypersurfaces endowed with canonical principal direction (CPD) in Minkowski space E^n+1_1. In addition, a classification was made for surfaces endowed with a canonical principal direction (CPD) with codimension= 1 in Minkowski space E^3_1. Subsequently, minimal (maximal) cases of these surfaces have been investigated and have been given some important characterizations. Finally, we give a new classification for constant angle (CAS) surfaces with a light-like constant direction. In Chapter 5; firstly we give some important theorems and results to be used in this section by investigating some geometrical properties for generalized constant ratio (GCR) hypersurfaces in Minkowski space E^n+1_1. In addition, a classification was made for generalized constant ratio (GCR) surfaces with codimension= 1 in Minkowski space E^4_1. In the last chapter; first the obtained results are evaluated and then some open problems are revealed. 118

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlendi. Birinci bölümde, Minkowski uzayının tarihçesi ve bu uzayda yapılan çalışmalar özet halinde ifade edildi. İkinci bölümde, çalışmada kullanılacak olan temel kavram ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde, E_1^3 Minkowski 3-uzayında time-like ve space-like sabit açılı yüzeyler incelenerek bu uzayda sabit açılı yüzeylerin sınıflandırılmasıyla ilgili tanımlar, teoremler, sonuçlar ve örnekler araştırıldı. Bu bölümün son kısmı çalışmanın orijinal kısmını oluşturmaktadır. This study is organized in three sections.In the first section, the history of Minkowski Space and some studies on this space are presented.In the second section, the fundamental concepts and theorems which will be used in this study are given.In the third section, time-like and space-like constant angle surfaces in E_1^3 Minkowski space are investigated.The definitions, theorems, results and examples regarding classification of constant angle surfaces in Minkowski space are studied in this section.Also, the last part in this section includes the original part at this study. 56

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlenmiştir.Birinci bölümde; üretim fonksiyonlarının tarihçesi ve bu fonksiyonların geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli temel tanım ve teoremler verilmiştir.İkinci bölümde; üretim teorisi ve üretim fonksiyonlarının özellikleri incelenmiştir.Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır.Üçüncü bölümde; Cobb-Douglas ve ACMS üretim fonksiyonları ve bu fonksiyonlara karşılık gelen yüzeyler tanımlanıp, bu yüzeyler alt bölümler halinde incelenmiştir. Öncelikle Cobb-Douglas üretim fonksiyonun sahip olduğu ölçek getirisi ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin Gauss eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı olarak sonuçlar ede edilmiştir. Cobb-Douglas üretim fonksiyonun üretim esnekliği ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin ortalama eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı bağlantılar kurulmuştur.Daha sonra ACMS üretim fonksiyonun sahip olduğu ölçek getirisi ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin Gauss eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı olarak sonuçlar bulunmuştur. Benzer şekilde ACMS üretim fonksiyonun üretim esnekliği ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin ortalama eğriliği arasındaki ilişkiler ifade edilmiştir. This study is constructed in three chapters. In the first chapter, it is expressed a historical analysis of production functions and works found on geometric properties of the production functions. Some fundamental definitions and theorems used in thesis are also given. In chapter two, theory of production and the properties of production functions are investigated. Chapter three from the original part of thesis. In chapter three, Cobb-Douglas and ACMS production functions and their associated surfaces are investigated in to several subsections. Firstly, the results are obtained according to relationship between the return to scale of Cobb-Douglas production function and Gaussian curvature of the associated surface. The connections are made according to relationship between the production elasticity of Cobb-Douglas production function and the mean curvature of the associated surface. Then the results are found according to relationship between return to scale of ACMS production functions and Gaussian curvature of their associated surfaces. Similarly the relationships between the production elasticity of ACMS production functions and mean curvature of the surface. 43

Bu çalışma dört bölüm halinde düzenlenmiştir.Birinci bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında iki düzlemsel eğrinin küresel çarpım yüzeyi olan X=α⊗β ve bu küresel çarpım yüzeyinin geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli tanım ve teoremler verilmiştir.İkinci bölümde 3-boyutlu ve 4-boyutlu Öklid uzayında küresel çarpım yüzeyleri ifade edilmiştir. Bu yüzeylerle ilgili eğrilikleri sıfır olacak şekilde elde edilen teoremler verilmiştir.Üçüncü bölüm ise tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde öncelikle küresel çarpım yüzeyleriyle ilgili önceden elde edilen sonuçlardan bahsedilmiştir. Daha sonra G_3^1 de izotropik düzlemler dışında sabit ortalama eğrilikli bir küresel çarpım yüzeyinin bulunup bulunmayacağı araştırılmıştır. G_3^1 de ele alınan iki üreteç eğrinin küresel çarpım yüzeyin flat olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Son olarak dördüncü bölümde G_3^1 de küresel çarpım yüzeylerinde eğriler incelenip ilgili eğrilerle ilgili sınıflandırma yapılmıştır. This paper is organized in four parts. In the first chapter in the 3- dimensional Euclidean space with a global product surface and two planar curves X = α⊗β studies on geometrical features of this global product surface is expressed as summary.Various definitions and theorems are given which will be used in the thesis.In the second part of the 3-dimensional and 4- dimensional Euclidean space it expressed global product surfaces.This surface irregularity on the given theorem obtained to be zero.The third section is the original part of the thesis. The third chapter is primarily obtained from the results discussed in advance about the global product surface.Then G_3^1 except isotropic plane constant mean curvature has been investigated whether there is a global product surface. G_3^1 has also dealt with two generators curve obtained necessary conditions for the global product surface is flat . 34

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm; konunun tarihsel gelişimi ve bu çalışmada ele alınan problemlerin tanıtımına ayrıldı.İkinci bölümde, ön bilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar, lemmalar ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde, hemen hemen çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyon (noktasal eğik submersiyon) tanımlanıp bir örnek üzerinde incelendi. Ayrıca, yerel çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlarına tanımlı pointwise slant submersiyonların harmonik ve tamamen geodezik olma durumları incelenip liflerin total geodezikliği için gerek ve yeter şart elde edildi. Daha sonra yerel çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyonların total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit eğrilikleri arasındaki ilişki araştırıldı.Dördüncü bölümde ise hemen hemen kontakt metrik manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyon tanımlandı ve örnekler verildi. Ayrıca karakteristik vektör alanının durumuna göre kosimplektik manifoldlardan Riemann manifoldlara tanımlı pointwise slant submersiyonun harmonik ve tamamen geodezik olma durumları incelendi. Daha sonra karakteristik vektör alanının durumuna göre bu submersiyonların total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit eğrilikleri arasındaki bağıntılar elde edildi.Anahtar Kelimeler: Riemann Submersiyon, Hemen Hemen Çarpım Riemann Manifold, Hemen Hemen Kontakt Metrik Manifold, Kosimplektik Manifold, Pointwise Slant Submersiyon. This work consists of four chapters. The first chapter is devoted presentation of the problems and their background. In the second chapter, preliminaries, some necessary definitions, lemmas and theorems that will be needed for later use are given.In the third chapter, the concept of pointwise slant submersion from almost product Riemannian manifolds onto Riemannian manifolds is defined and is investigated with an example. Also, the harmonicity and totally geodesic of pointwise slant submersion from local product Riemannian manifolds onto Riemannian manifolds are investigated. Then necessary and sufficient conditions for the maps to have totally geodesic fibers are obtained. Also, the curvature relations between the total manifold and the base manifold for such submersions are given.In the four chapter, pointwise slant submersion from almost contact metric manifolds onto Riemannian manifolds is defined and examples are given. Also, the harmonicity of pointwise slant submersion from cosymplectic manifolds onto Riemannian manifolds according to the state to be vertical or horizontal of characteristic vector field is investigated and necessary and sufficient conditions for the maps to have totally geodesic fibers are given. Then, the curvature relations between the total manifold and the base manifold for such submersions according to the state to be vertical or horizontal of characteristic vector field are obtained.Keywords: Riemannian Submersion, Almost Product Riemannian Manifold, Almost Contact Metric Manifold, Cosymplectic Manifold, Pointwise Slant Submersion. 89

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlendi. Birinci bölümde; çalışmanın tarihsel gelişimi ve öteleme yüzeyleriyle ilgili yapılan çalışmalara yer verildi.İkinci bölümde; Öklid, Hiperbolik, Galilean ve pseudo-Galilean uzaylarında sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler ifade edildi.Üçüncü bölümde ise; 3-boyutlu Öklid uzayı de, sabit eğrilikli afin öteleme yüzeyleri incelendi ve bu yüzeylerle ilgili bazı yokluk teoremleri elde edildi. de afin öteleme yüzeylerinin paralel yüzeyleri incelendi. 3-boyutlu hiperbolik uzay de ele alınan bir afin öteleme yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri elde edildi ve bu yüzeyin minimal olma durumu incelendi. 3-küre de afin öteleme yüzeyleri için ortalama eğrilik incelendi. 4-boyutlu Öklid uzayı de afin öteleme yüzeyleri tanımlandı ve tanımlanan bu afin öteleme yüzeyleri için eğrilikler hesaplandı. Ayrıca 3-boyutlu pseudo-Galilean uzayı de afin öteleme yüzeyleri ele alınarak bu yüzeyler için Gauss eğriliği ve ortalama eğrilik hesaplandı.Anahtar Kelimeler: Öteleme yüzeyi, afin öteleme yüzeyi, Öklid uzay, Hiperbolik uzay, Galilean ve pseudo-Galilean uzay. This thesis has been edited in three chapters.In the first chapter; previous studies about translation surfaces and their background were given.In the second chapter; some fundemental definitions and theorems which often used in Euclidean, Hyperbolic, Galilean and pseudo-Galilean spaces were expressed.In the third chapter; affine translation surfaces with constant curvature in 3-dimensional Euclidean space were investigated and some non-existence theorems for such surfaces were obtained. Parallel surfaces of affine translation surfaces in were investigated. Gaussian and mean curvatures of affine translation surfaces in 3-dimensional Hyperbolic space were obtained and the condition of these surfaces to be minimal were examined. The mean curvatures of affine translation surfaces in 3-sphere were investigated. Affine translation surfaces defined in 4-dimensional Euclidean space and the curvatures were calculated for these surfaces. Also, Gaussian and mean curvatures of affine translation surfaces in 3-dimensional pseudo-Galilean space were calculated.Key Words: Translation surfaces, affine translation surfaces, Euclidean space, Hyperbolic space, Galilean and pseudo-Galilean space. 64

Bu çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir.Birinci bölümde; üretim fonksiyonlarının tarihçesi ve bu fonksiyonların geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli temel tanım ve teoremler verilmiştir.İkinci bölümde; üretim teorisi ve üretim fonksiyonlarının özellikleri incelenmiştir.Üçüncü bölümde; quasi-toplam üretim fonksiyonları tanıtılmış, sabit ikame esnekliğini sağlayan quasi-toplam üretim fonksiyonları için bulunan sonuçlar ifade edilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümler tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır.Dördüncü bölümde; homotetik üretim fonksiyonları, Allen determinantları kullanılarak sınıflandırılmıştır. Bu sınıflandırmaların üretim modellerine uygulamaları verilerek, Cobb-Douglas ve ACMS üretim fonksiyonlarının Allen matrislerinin singüler olamayacağı ispatlanmıştır. Üstelik homotetik üretim fonksiyonlarına karşılık gelen üretim hiperyüzeylerine dair bazı sonuçlar elde edilmiştir.Beşinci bölümde; f(x)=F(h_1(x_1 )×…×h_n(x_n)) şeklindeki bileşke fonksiyonlar için bir Allen determinant formülü verilmiş ve bu tür bileşke fonksiyonların tümü sınıflandırılmıştır. Bileşke fonksiyonların grafiklerine dair çeşitli geometrik sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş bileşke fonksiyonları tanımlanmış ve bu tür fonksiyonlar için bir sınıflandırma teoremi elde edilmiştir.Altıncı bölümde ise elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve bu konuda ön görülen bazı açık problemler ortaya konulmuştur. This study is constructed in six chapters.In chapter one, it is expressed a historical analysis of production functions and works found on geometric properties of the production functions. Some fundamental definitions and theorems used in thesis are also given.In chapter two, theory of production and the properties of production functions are investigated. In chapter three, it is stated quasi-sum production functions. Besides, the results obtained for quasi-sum production functions satisfying the property CES are reconsidered.Chapter four and chapter five form the original part of thesis.In chapter four, the homothetic production functions are classified by using Allen determinants. It is proved that the Allen's matrices of Cobb-Douglas and ACMS production functions are always regular. Morever, several results are derived regarding the graphs of homothetic production functions.In chapter five, an Allen Determinant formula is obtained for the composite functions of the form f(x)=F(h_1(x_1 )×…×h_n(x_n)) and the composite functions completely are classified according to the formula. Some geometric results are also derived about graphs of composite functions. Besides, the notion of generalized composite function is introduced and a classification theorem is given for these kind functions.In chapter six, obtained results are evaluated and open problems proposed in this subject are presented. 103

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrıldı. İkinci bölümde; temel tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde; E₁³, Minkowski 3-uzayında yüzeylerin genel özellikleri incelendi. Daha sonra, özel olarak dönel yüzeylerin genel özellikleri incelendi. İlk olarak, E₁³, Minkowski 3-uzayında timelike dönel yüzeyler incelendi. Ayrıca, E₁³ de verilen timelike minimal dönel yüzeylerin Lorentz konformal şartı; sırasıyla, spacelike, timelike ve lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı ifade edildi. Bu alt bölümde orijinal olarak; E₁³ de verilen timelike dönel yüzeylerin genel parametrizasyonları için ortalama eğrilikleri ve konum vektörlerinin normal bileşenleri hesaplandı. Ek olarak, timelike dönel yüzeyler için, [2] de verilen karakterizasyonları tamamladık. İkinci olarak da, E₁³, Minkowski 3-uzayında spacelike dönel yüzeyler incelendi. E₁³ de verilen spacelike maksimal dönel yüzeylerin konformal şartı; sırasıyla, spacelike, timelike ve lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı hesaplandı. Bu bölümde orijinal olarak; E₁³ de verilen spacelike dönel yüzeyler için, [3] de verilen karakterizasyonlar tamamlandı. Dördüncü bölümde; E³, Öklid 3-uzayında self-similar yüzeyler verildi. Son bölüm de ise; E₁³, Minkowski 3-uzayında timelike minimal dönel yüzeylerin self-similar şartı, sırasıyla, spacelike, timelike, lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı incelendi. Orijinal olarak bu yüzeyler için karakterizasyonlar ve bunlara ilişkin örnekler verildi. This thesis contain five chapter. In first chapter, we give place to entry. In second chapter, basic definitions and concepts are given. The third chapter is investigated general properties of surfaces in Minkowski 3-space. After,we examined general features of surfaces of revolution. Firstly, timelike surfaces in E₁³, Minkowski 3-space are researched. Additionally, whether these surfaces satisfy Lorentz conformal condition or are examined for theirs spacelike, timelike and lightlike axis,respectively. Originally, in this subchapter, mean curvatures and the normal component of theirs position vector.was calculated for general parametrizations of timelike surfaces of revolution in E₁³, Minkowski 3-space. Additionally, we completed characterization of timelike surfaces of revolution in E₁³, Minkowski 3-space given in [2]. Secondly, spacelike surfaces in E₁³, Minkowski 3-space are mentioned. In addition, whether these surfaces satisfy conformal condition or are examined for theirs spacelike, timelike and lightlike axis,respectively. Originally, in this subchapter, we completed characterization of spacelike surfaces of revolution in E₁³, Minkowski 3-space given in [3]. In the fourth chapter, we investigated self-similar surfaces in E³. In last chapter, self-similar condition is inspected for timelike surfaces in E₁³, Minkowski 3-space of theirs spacelike, timelike and lightlike axis,respectively. And originally, we obtain some characterizations and give examples concerning these results. 72

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır:Birinci bölüm tezin giriş kısmıdır. İkinci bölümde; bazı temel tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde; yüzeylerin kapsamlı bir incelemesi yapıldı ve yüzeyler üzerinde umbilik noktaların varlığı incelendi.Dördüncü bölümde; umbilik noktalardan oluşan eğri ile oluşturulan yüzey tanımlandı, yüzeyin temel formları bulundu, Gauss ve ortalama eğrilikleri verildi, asli eğrilik çizgileri gösterildi.Ayrıca tüb yüzeyler tanımlandı ve Darboux çatısıyla verilen tüb yüzeyler incelendi.Beşinci bölüm ise; çalışmanın orijinal kısmı olup; bu bölümde, Darboux çatısıyla verilen tüb yüzeylerin merkez eğrisi, özel olarak umbilik noktalardan oluşan bir eğri olarak seçildi; buna bağlı olarak, Gauss ve ortalama eğrilikler hesaplandı ve Weingarten yüzey olup olmadığı incelendi.Son bölümde ise; sonuçlar verildi. This work consists of six chapters:The first chapter is the introduction section.In the second chapter; some basic definitions and theorem have been introduced.In the third chapter; an extensive analysis of the surfaces have been made and the existence of umbilical points on the surfaces are analysed.In the fourth chapter; the surface made of the curves which are built up with umbilical points is defined, basic forms of the surface are found, Gauss and mean curves were given, and principle curvature lines are displayed. Also, the tub surfaces were described and The tub surfaces with Darboux Frame were analysed.The fifth chapter is the original part of the thesis, in which center curve of tube surfaces given with Darboux frame are chosen as a special curve which is built up with umbilical points, and according to those data, Gauss and mean curves are calculated and it is analysed if the surface is Weingarten.In the last chapter; the results were given. 54

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; Öklid ve Galilean uzayı ile ilgili temel kavramlar, Öklid uzayında regle yüzeyler ve Galilean uzayında regle yüzeyler verildi.İkinci bölüm; çalışmanın orijinal kısmı olup bu bölümde Galilean uzayında tanımlanan üç tip regle yüzeyin teğet, aslinormal ve binormal doğrultusundaki dağılma parametreleri hesaplanarak bunların aralarındaki ilişkiler incelendi.Üçüncü bölümde; örnekler verildi ve verilen örneklerin teğet, aslinormal ve binormal doğrultusundaki dağılma parametreleri hesaplandı.Anahtar Kelimeler: Galilean Geometri, Regle Yüzey, Dağılma parametresi. This thesis consists of three chapters.In the first chapter; basic concepts of Euclidean and Galilean geometry, ruled surfaces in Euclidean space and ruled surfaces in Galilean space were given.In the second chapter; original works have been done. In this chapter distribution parameters of tangent, normal and binormal direction were calculated for ruled surface defined in Galilean space and relationships between them were research.In the third chapter; examples were given and distribution parameters of tangent, normal and binormal direction for this examples were calculated.Keywords: Galilean Geometry, Ruled Surface, Distribution Parameter. 41

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; Riemann ve kompleks manifoldlara dayalı bazı temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde; Slant alt manifold ve slant yüzey kavramları verilerek bazı slant yüzey örnekleri incelendi.Üçüncü bölümde slant manifoldlarda Gauss ve Codazzi denklemleri ele alınarak Varlık ve Teklik Teoremi verildi.Dördüncü bölümde ise H-Umbilik slant alt manifoldun tanımı ve Kaehlerian slant alt manifoldlarda skalar ikinci eğrilik ve ortalama eğrilik arasında teorem ve sonuç verildi.Anahtar Kelimeler: Hemen Hemen Kompleks Manifold, Kompleks Manifold, Slant Yüzey, H-Umbilik Slant Alt Manifold. This thesis consists of four chapters.In the first chapter; some fundemental definitions and theorems are given with regard to Riemannian manifold and complex manifold.In the second chapter; some examples of slant surfaces are examined by giving the concepts of slant submanifold and slant surface.In the third chapter; existance and uniqueness are given by considering Gauss and Codazzi equations.In the fourth chapter; the definition of H-Umbilik slant submanifold is given. Also, theorem and corollary for inequality between scalar second curvature and mean curvature are given.Keywords: Almost Complex Manifold, Complex Manifold, Slant Surface, H-Umbilical Slant Submanifold. 60