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The eigenvalues of the normalized Laplacian of a graph provide information on its structural properties and also on some relevant dynamical aspects, in particular those related to weight-dependent walk. In this paper, we first present a study on the transition weight matrix of a weighted network. To get the eigentime identity for weight-dependent walk and weighted counting of spanning trees, we need to obtain all the eigenvalues and their multiplicities of the transition weight matrix. Then we obtain the recursive relationship of its eigenvalues at two successive generations of transition weight matrix. By substituting, we can obtain the relationship of normalized Laplacian matrix's eigenvalues at two successive generations. Using the relationship and Vietas formulas, we obtain the scalings of the eigentime identity. Afterwards, we classify normalized Laplacian matrix's eigenvalues and compute the product of all nonzero normalized Laplacian eigenvalues by the product recursive relationship. The product is used to obtain weighted counting of spanning trees. Finally, by weighted counting of spanning trees, we validate the obtained eigenvalues and their multiplicities. The obtained results show that the weight factor has a strong effect on the behavior of weight-dependent walks. Key words: weighted network, eigentime identity, weighted counting of spanning trees, eigenvalue, multiplicity. Les valeurs propres du Laplacien normalise d'un graphe nous renseignent sur ses proprietes structurelles et sur certains aspects dynamiques pertinents, en particulier sur ceux relies a la marche ponderee. Nous presentons d'abord ici une etude de la matrice des poids/ponderations de transition d'un reseau pondere. De facon a obtenir l'identite du temps propre (eigentime identity) pour la marche ponderee et le comptage pondere des arbres couvrants, nous devons trouver toutes les valeurs propres et leur multiplicite de la matrice de poids de transition. Ensuite, nous obtenons la relation recursive de ses valeurs propres a deux generations successives de la matrice des poids de transition. Par substitution, nous trouvons la relation des valeurs propres de la matrice laplacienne normalisee a deux generations successives. Utilisant cette relation et la formule de Vietas, nous obtenons les echelles de l'identite du temps propre. Apres coup, nous classons les valeurs propres de la matrice laplacienne et calculons le produit de toutes les valeurs propres laplaciennes normalisees non nulles par la relation recursive de produit. Le produit est utilise pour trouver le comptage pondere des arbres couvrants. Finalement, par comptage pondere des arbres couvrants, nous validons les valeurs propres obtenues et leurs multiplicites. Les resultats obtenus montrent que le facteur de poids a un effet important sur le comportement des marches ponderees. [Traduit par la Redaction] Mots-cles: reseau pondere, identite du temps propre, comptage pondere des arbres couvrants, valeur proper, multiplicite., 1. Introduction In recent years, the study of networks associated with complex systems, especially the weighted networks, have received much attention from researchers from different scientific fields [1-3]. The eigentime [...]

Many real-world networks, ranging from the world trade web to the Internet network, have been described by multi-local-worlds. It is obvious that the nodes within a local world are much more connected to each other than to the others outside the local world. A multi-local-world model can capture and describe these real-world networks' topological properties. Based on the local-world model, a weighted multi-local-world evolving network model is presented. This model combines selected nodes with preferential attachment and three kinds of local changes of weights. Using a rate equation and the mean-field method, we study the network's properties: the weight distribution and the strength distribution. We theoretically prove that the weight distribution and the strength distribution follow a power-law distribution in some conditions. Numerical simulations are in agreement with the theoretical results. PACS Nos.: 89.75.-k, 89.75.Hc, 89.75.Fb. Plusieurs reseaux dans le monde physique, allant du world trade web a Internet, sont decrits comme des ensembles de sous-reseaux locaux multiples. Il est evident que les noeuds ont beaucoup plus de connexions a l'interieur de leur sous-reseau qu'avec le monde exterieur. Un modele d'ensemble a sous-reseaux multiples peut capturer et decrire les proprietes topologiques de ces reseaux physiques mondiaux. Sur la base d'un modele a sous-reseaux, nous presentons un modele evolutif a sous-reseaux ponderes. Ce modele combine des noeuds selectionnes avec liens preferentiels et trois types de variations de ponderation locale. Utilisant l'equation de taux et une methode de champ moyen, nous etudions les proprietes du reseau : la distribution de ponderation et la distribution de force. Nous demontrons theoriquement que les distributions de ponderation et de force suivent respectivement des lois de puissance sous certaines conditions. Les simulations numeriques sont en accord avec les resultats theoriques. [Traduit par le Redaction], 1. Introduction Many social, biological, and communication systems can be described well by complex networks, where the vertices are the elements of the system and the edges represent the interactions [...]