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This thesis aims to present some recent results and advances in the analysis of nonlinear parabolic problems arising in biology and ecology. More precisely, we study the existence, regularity and stability of solutions of partial differential equations (PDEs), describing the evolution of two species that diffuse in a homogeneous environment and interact with each other. The PDEs we consider are strongly coupled and the system they give rise to belongs to a class of non-linear reaction-diffusion systems, called cross-diffusion systems. More precisely, we study a class of triangular starvation driven cross-diffusion systems arising in population dynamics. The tools employed are entropy methods, a priori estimates, fixed point and compactness arguments. Moreover, we analyze the linear stability of homogeneous equilibria to investigate Turing instability and pattern formation. Numerical simulations are performed to complement the theoretical results.; Cette thèse porte sur l’analyse des problèmes paraboliques non linéaires survenant dans la biologie et l’écologie. Plus précisément, nous étudions l’existence, la régularité et la stabilité des solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles (EDPs), décrivantes l’évolution de deux espèces qui diffusent dans un envi- ronnement homogène et interagissent les unes avec les autres. Les EDPs considérées sont fortement couplées et le système lui même appartient à une classe de systèmes de réaction-diffusion non linéaires, appelés systèmes de diffusion croisée. Plus précisément, nous étudions une classe de systèmes triangulaires avec diffusion croisée induits par la diversité alimentaire qui s’appliquent à la dynamique de population. Les outils utilisés sont les méthodes d’entropie, les estimations a priori, les arguments de point fixe et de compacité. De plus, nous analysons la stabilité linéaire des équilibres homogènes, afin d’étudier l’instabilité de Turing et la formation de motifs (pattern). Des simulations numériques sont réalisées pour compléter les résultats abstraits.

The main topic of this thesis is the analysis of evolution equations reflecting issues in ecology and population dynamics. In mathematical modelling, the impact of environmental elements and the interaction between species is read into the role of heterogeneity in equations and interactions in coupled systems. In this direction, we investigate three separate problems. The first problem addresses the evolution of a single population living in a periodic medium with a fast diffusion line; this corresponds to the study of a reaction-diffusion system with equations in different dimensions. Result on asymptotic behaviour are derived through the study of some generalised principal eigenvalues. We find that the presence of the road has no impact on the survival chances of the population, despite the deleterious effect expected from fragmentation. The second study regards a model describing the competition between two populations in a situation of asymmetrically aggressive interactions; this consists in a system of two ODEs. The evolution progresses through two possible scenarios, where only one population survives. The interpretation of one of the parameters as the aggressiveness of the attacker naturally raises questions of controllability. We characterise the set of initial conditions leading to the victory of the attacker through a suitable (possibly time-dependant) strategy. The third part of this thesis analyses the time decay of some evolution equations with classical and fractional time derivatives. Depending on the type of derivative and some degree of non-degeneracy of the spatial operator, quantitative polynomial or exponential estimates are entailed., Le sujet principal de cette thèse est l'analyse des équations de l'évolution reflétant les questions d'écologie et de dynamique des populations. Dans la modélisation mathématique, l'impact des éléments environnementaux et l'interaction entre les espèces est lu dans le rôle de l'hétérogénéité dans les équations et les interactions dans les systèmes couplés. Dans cette direction, nous étudions trois problèmes distincts. Le premier traite l'évolution d'une population vivant dans un milieu périodique avec une ligne de diffusion rapide ; cela correspond à l'étude d'un système de réaction-diffusion avec des équations dans différentes dimensions. Nous obtenons des résultats sur le comportement asymptotique par l'étude de quelques valeurs propres principales généralisées. Nous constatons que la route n'a aucun impact sur les chances de survie de la population. La deuxième étude porte sur un modèle décrivant la compétition entre deux populations dans une situation d'interactions asymétriquement agressives ; il s'agit d'un système de deux EDO. L'évolution progresse à travers deux scénarios possibles, où une seule population survit. L'interprétation d'un des paramètres comme étant l'agressivité de l’attaquant soulève naturellement des questions de contrôlabilité. Nous caractérisons l'ensemble des conditions initiales menant à la victoire par une stratégie appropriée (éventuellement dépendante du temps). La troisième partie de cette thèse analyse la décroissance temporelle de certaines équations d'évolution avec des dérivées temporelles classiques et fractionnaires. Selon le type de dérivée et un certain degré de non-dégénérescence de l'opérateur spatial, des estimations quantitatives polynomiales ou exponentielles sont réalisées.

In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system., Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système.

The objective of this thesis is the qualitative study of some models of the dynamic and the distribution of bacteria in a river. We are interested in the stability of equilibria and the existence of periodic solutions. The thesis can be divided into two parts; the first part is concerned with a mathematical analysis of a system of differential equations modelling the dynamics and the interactions of four species of bacteria in a river. The asymptotic behavior of equilibria is established. The stability study of equilibrium states is mainly done by construction of Lyapunov functions combined with LaSalle's invariance principle. On the other hand, the existence of periodic solutions is proved under certain conditions using the continuation theorem of Mawhin. In the second part of this thesis, we propose a non-autonomous convection-reaction diffusion system with nonlinear reaction source functions. This model refers to the quantification and the distribution of antibiotic resistant bacteria (ARB) in a river. Our main contributions are : (i) the determination of the limit set of the system; it is shown that it is reduced to the solutions of the associated elliptic system; (ii) sufficient conditions for the existence of a positive solution of the associated elliptic system based on the Leray Schauder's degree theory., L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certains modèles de la dynamique et la distribution des bactéries dans une rivière. Il s'agit de la stabilité des états stationnaires et l'existence des solutions périodiques. Nous considérons, dans la première partie de la thèse, un système d'équations différentielles ordinaires qui modélise les interactions et la dynamique de quatre espèces de bactéries dans une rivière. Nous avons étudié le comportement asymptotique des états stationnaires. L'étude de la stabilité des états stationnaires est essentiellement faite par la construction d'une fonction de Lyapunov combinée avec le principe d'invariance de LaSalle. D'autre part, l'existence des solutions périodiques est démontrée en utilisant le théorème de continuation de Mawhin. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'un système de convection-diffusion non-autonome. Ce modèle tient compte du transport des bactéries. Nous étudions l'analyse qualitative des solutions, nous déterminons l'ensemble limite du système et nous démontrons l'existence des états stationnaires positifs. L'étude de l'existence des états stationnaires (les seuls qu'il soit possible d'obtenir) est basée sur le théorème de Leray-Schauder.

This thesis is divided into two parts.One is mainly devoted to make a qualitative analysis and exact null controlfor a class of structured population dynamical systems, and the other concernsstability of conductivities in an inverse problem of a reaction-diffusion systemarising in electrocardiology.In the first part, we study the dynamics ofEuropean grape moth, which has caused serious damages on thevineyards in Europe,North Africa, and even some Asian countries.To model this grapevine insect, physiologically structured multistage population systems are proposed.These systemshave nonlocal boundary conditions arising in nonlocal transition processes in ecosystem.We consider the questions of spatial spread of the populationunder physiological age and stage structures,and show global dynamical properties for the model.Furthermore, we investigate the control problem for this Lobesia botrana modelwhen the growth function is equal to 1.For the case that four subclasses of this system are all in static station,we conclude that the population of eggs can be controlled to zero at acertain moment by acting on eggs.While the adult moths can disperse,we describe a control by a removal of egg and larvapopulation, and also on female moths in a small region of the vineyard.Then the null controllability for female mothsin a nonempty open sub-domain at a given time is obtained.In the second part, a reaction-diffusion system approximating a parabolic-elliptic systemwas proposed tomodel electrical activity in the heart. We are interested inthe stability analysis of an inverse problem for this model.Then we use the method of Carleman estimates and certain weight energyestimatesfor the identification of diffusion coefficients for the parabolicsystem to draw the conclusion.; La présente thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l'analyse mathématique et la contrôlabilité exacte à zéro pour une catégorie de systèmes structurés décrivant la dynamique d'une population d'insectes. La seconde partie est consacrée à l'étude de la stabilité de la conductivité d'un système de réaction diffusion modélisant l'activité électrique du coeur.Dans le chapitre 2, on considère que la population d'adultes se diffuse dans la vignoble,la fonction de la croissance des individus à chaque stade dépend des variations climatiques et de la variété des raisins. En utilisant la méthode de point fixe, on obtient l'existence et l'unicité des solutions du modèle. On démontre ensuite l'existence d'un attracteur global pour le système dynamique. Enfin, on utilise la théorie des opérateurs compacts et le théorème de point fixe de Krasnoselskii pour prouver l'existence des états stationnaires.Dans le chapitre 3, on traite le problème de contrôlabilité exacte du modèle de Lobesia Botrana, lorsque la fonction de croissance est égale à 1. On suppose que les quatre sous-catégories de ce système sont dans une phase statique. On obtient que la population d'oeufs peut être contrôlée à zéro. Ce résultat est basé sur des estimations à priori combinées avec un théorème de point fixe.Lorsque les papillons adultes se dispersent spatialement, on introduit un contrôle sur la population d'oeufs, de larves et de femelles dans une petite région du vignoble. On montre alors la contrôlabilité exacte à zéro pour les femelles.Dans la deuxième partie de cette thèse, on analyse la stabilité des coefficients de diffusion d'un système parabolique qui modélise l'activité électrique du coeur. On établit une estimation de Carleman pour le système de réaction-diffusion. En combinant cette estimation avec des estimations d'énergie avec poids on obtient le résultat de stabilité.