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n the first part (chapters 2, 3 and 4) of this Thesis we will study the hypersurfaces of R p+q+2 that are r-minimum (Sr = 0) and invariant by the canonical action of the group O(p + 1) × O(q + 1). We will get a rating complete of all hypersurfaces of R p+q+2 which are O(p + 1) × O(q + 1)-invariant and have the r-'th null mean curvature (2 ≤ r ≤ min{p, q} ), analyzing whether such hypersurfaces are complete, embedded and (r − 1)-stable. With this we will obtain the following existence result: “Let p, q, r ∈ N be such that p + q ≥ r + 5 and 2 ≤ r ≤ min{p, q}, then there is a hypersurface Mp+q+1 ⊂ R p+q+2 complete, layered, with r-´th null mean curvature which is globally (r − 1)-stable”. In chapter 5 we will study the cones C(M) ⊂ R n+1 r-minimum, whose base Mn−1 ⊂ S n is a compact hypersurface such that Sr = 0 and Sr+1 is a non-zero constant. We will prove that: “If r + 2 ≤ n ≤ r + 5, then there is 0 < ε < 1 such that the trunk of cone C(M)ε is not (r − 1)-stable”. Furthermore, we will construct a Clifford Torus with Sr = 0 and Sr+1 6 = 0 to show that this result is not valid when n ≥ r + 6. Na primeira parte (capítulos 2, 3 e 4) desta Tese estudaremos as hipersuperfícies de R p+q+2 que são r-mínimas (Sr = 0) e invariantes pela ação canônica do grupo O(p + 1) × O(q + 1). Obteremos uma classificação completa de todas as hipersuperfícies de R p+q+2 que são O(p + 1) × O(q + 1)-invariantes e possuem a r-´ésima curvatura média nula (2 ≤ r ≤ min{p, q}), analisando se tais hipersuperfícies são completas, mergulhadas e (r − 1)-estáveis. Com isto obteremos o seguinte resultado de existência: “Sejam p, q, r ∈ N tais que p + q ≥ r + 5 e 2 ≤ r ≤ min{p, q}, então existe uma hipersuperfície Mp+q+1 ⊂ R p+q+2 completa, mergulhada, com r-´ésima curvatura média nula que é globalmente (r − 1)-estável”. No capítulo 5 estudaremos os cones C(M) ⊂ R n+1 r-mínimos, cuja base Mn−1 ⊂ S n é uma hipersuperfície compacta tal que Sr = 0 e Sr+1 ´e constante não nula. Provaremos que: “Se r + 2 ≤ n ≤ r + 5, então existe 0 < ε < 1 tal que o tronco de cone C(M)ε não é (r − 1)-estável”. Além disso, construiremos um Toro de Clifford com Sr = 0 e Sr+1 6= 0 para mostrarmos que este resultado não ´e válido quando n ≥ r + 6.

Esta tese trata de dois problemas distintos. A saber, estudamos (P1) Rigidez de espaços métricos que suportam a desigualdade de CKN; (P2) Solitons de Yamabe gradiente com estrutura de produto torcido B ×f F. Para o primeiro problema, provamos que os espaços métricos com medida que suportam a desigualdade de CKN tem crescimento de volume n-dimensional, isto ´e, existe uma constante universal C0 > 0 tal que, m(Bx(ρ)) ≥ C0ρn, ∀x ∈ M, ρ > 0. Como aplica¸c˜ao, obtemos Teoremas de Rigidez nos seguintes espa¸cos: Variedades Riemannianas, Variedades de Finsler e Espaços de Alexandrov. Para o segundo problema, considerando um soliton de Yamabe gradiente (B ×f F, g, h, ρ), obtemos resultados de trivializa¸c˜ao para h e f assumindo hipóteses sobre B. Al´em disso, sob uma hipótese envolvendo a curvatura de Ricci da base RicgB , provamos estimativas para h, f e para curvatura escalar scalg, ademais, no caso particular da função torção, apresentamos uma bela obstrução na construção dos solitons de Yamabe produto torcido. Por fim, utilizando as técnicas de soluções invariantes, classificamos os solitons de Yamabe gradientes com base conformemente plana steady que são invariantes pela ação do grupo de translações de codimensão 1. This thesis deals with two distinct problems. Namely, we study [(P1)] Rigidity of metric spaces that support CKN inequality; [(P2)] Gradient Yamabe solitons on top of warped product manifolds B x f F. For the first problem, we prove that the metric measure spaces that support the CKN inequality have n-dimensional volume growth, that is, there exists a universal constant C 0gt; 0 such that, m(B x (ρ)) ≥ C 0 ρ n , ∀x ∈ M, ρ gt; 0. As application, some rigidity theorems are obtained in the following spaces: Riemannian manifolds, Finsler manifolds and Alexandrov spaces. For the second problem, taking a gradient Yamabe soliton (B x f F, g, h, ρ), we obtain triviality results for h and f by means of some hypotheses on the base B. Furthermore, under a hypothesis involving the Ricci curvature of the base Ric gB , we prove estimates for h, f and for scalar curvature scal g , in addition, by means of a warping gradient estimates, we present a beautiful obstruction in the construction of gradient Yamabe solitons on warped product manifolds. Finally, by making use of invariant solution techniques, we classify all steady gradient Yamabe solitons with a conformally flat base that is invariant by the action of a codimension 1 translation group. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES