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Imaging inverse problems are fundamental in various fields like diagnostic medicine and manufacturing engineering. Current methods for reconstruction can be divided into variational and learning-based models. Variational techniques use knowledge of the acquisition model to to reformulate the inverse problem as an optimization problem. The performances of these approach is often limited by regularization choices. Learning-based methods learn reconstruction maps directly from the data but lack consistent theoretical understanding. This thesis explores different integrated frameworks, specifically developed to overcome some limitations of both approaches, demonstrating improvements without sacrificing the performances. Variational models incorporating data-driven techniques are improved, considering a bilevel framework for Total Variation regularization or a Plug-and-Play convergent schemes for iterative reconstruction. Several deep learning architectures for image reconstruction are presented, including models for super resolution microscopy and few-view CT, as well as regularization strategies within the Deep Image Prior framework. These approaches highlight the importance of architecture choice and the potential for improvement by incorporating handcrafted regularization terms in deep learning framework. The proposed approaches show how the choice of the architecture in learning-based models is crucial. In addition, their general performances can be improved by employing handcrafted regularization terms, as in the variational framework. In conclusion, the models presented in this thesis confirm that the tools, developed by regularization theory, represent an important component to analyze and control the theoretical guarantees and properties of learning-based techniques, when applied to imaging inverse problems.

In diversi settori sono necessarie immagini ad alta risoluzione. Per risoluzione non intendiamo solamente le dimensioni spaziali in pixel dell'immagine ma anche la qualità dell'immagine stessa, priva di distorsioni e/o rumore. Solitamente immagini di questo tipo si possono ottenere usando apparecchiature di acquisizione munite di sensori ad alta precisione, in grado di convertire in digitale i dati analogici. Spesso, per limitazioni fisiche ed economiche, la qualità raggiunta dagli strumenti è ben lontana da quella richiesta per le varie applicazioni. Per risolvere questo problema sono state sviluppate numeroso tecniche comunemente dette di Super-Resolution. Lo scopo di questi metodi è di ricostruire un'immagine in alta risoluzione (HR) da un'immagine acquisita ad una risoluzione più bassa (LR). Sono due gli obiettivi principali di questa tesi. Il primo è quello di studiare e valutare come è possibile combinare tecniche classiche con le recenti innovazioni nell'ambito del deep learning applicato alla ricostruzione di immagini. Il secondo è quello di estendere una classe di metodi detti plug-and-play, introducendo un regolarizzatore delle derivate. Per questi motivi, abbiamo deciso di chiamare Deep Plug-and-Play Gradient Method l'algoritmo risultante da questo lavoro di ricerca. Vogliamo puntualizzare che il metodo proposto può essere utilizzato in molti problemi che hanno una formulazione matematica simile al problema di super-risoluzione. In questa tesi abbiamo preferito concentrarci ed implementare solamente una versione per la Super-Resolution.

Le tecniche comunemente utilizzate nell'analisi dei dati permettono di esprimere grandi matrici di dati in termini di un insieme di alcuni vettori ortogonali detti componenti principali. Solitamente questi vettori, essendo combinazioni lineari delle colonne e delle righe della matrice, risultano difficili da interpretare in termini del processo da cui provengono i dati. In questa tesi viene presentata e studiata la decomposizione CUR che permette di rappresentare la matrice in termini di alcune righe e/o colonne della matrice stessa. Tale proprietà rende più facile l'interpretazione dei risultati in termini dei dati di partenza. In particolare vengono presentati due algoritmi randomizzati per il campionamento delle righe/colonne della matrice e per la costruzione delle matrici della decomposizione. La tecnica utilizzata per il campionamento è una particolare strategia chiamata "subspace sampling" che permette di dimostrare l'esistenza di garanzie di tipo probabilistico per l'errore della decomposizione. Infine vengono presentati i risultati della riduzione delle informazioni di un dataset, proveniente da una directory web, ottenuta mediante la decomposizione CUR.

In diversi settori sono necessarie immagini ad alta risoluzione. Per risoluzione non intendiamo solamente le dimensioni spaziali in pixel dell'immagine ma anche la qualità dell'immagine stessa, priva di distorsioni e/o rumore. Solitamente immagini di questo tipo si possono ottenere usando apparecchiature di acquisizione munite di sensori ad alta precisione, in grado di convertire in digitale i dati analogici. Spesso, per limitazioni fisiche ed economiche, la qualità raggiunta dagli strumenti è ben lontana da quella richiesta per le varie applicazioni. Per risolvere questo problema sono state sviluppate numeroso tecniche comunemente dette di Super-Resolution. Lo scopo di questi metodi è di ricostruire un'immagine in alta risoluzione (HR) da un'immagine acquisita ad una risoluzione più bassa (LR). Sono due gli obiettivi principali di questa tesi. Il primo è quello di studiare e valutare come è possibile combinare tecniche classiche con le recenti innovazioni nell'ambito del deep learning applicato alla ricostruzione di immagini. Il secondo è quello di estendere una classe di metodi detti plug-and-play, introducendo un regolarizzatore delle derivate. Per questi motivi, abbiamo deciso di chiamare Deep Plug-and-Play Gradient Method l'algoritmo risultante da questo lavoro di ricerca. Vogliamo puntualizzare che il metodo proposto può essere utilizzato in molti problemi che hanno una formulazione matematica simile al problema di super-risoluzione. In questa tesi abbiamo preferito concentrarci ed implementare solamente una versione per la Super-Resolution.

Le tecniche comunemente utilizzate nell'analisi dei dati permettono di esprimere grandi matrici di dati in termini di un insieme di alcuni vettori ortogonali detti componenti principali. Solitamente questi vettori, essendo combinazioni lineari delle colonne e delle righe della matrice, risultano difficili da interpretare in termini del processo da cui provengono i dati. In questa tesi viene presentata e studiata la decomposizione CUR che permette di rappresentare la matrice in termini di alcune righe e/o colonne della matrice stessa. Tale proprietà rende più facile l'interpretazione dei risultati in termini dei dati di partenza. In particolare vengono presentati due algoritmi randomizzati per il campionamento delle righe/colonne della matrice e per la costruzione delle matrici della decomposizione. La tecnica utilizzata per il campionamento è una particolare strategia chiamata "subspace sampling" che permette di dimostrare l'esistenza di garanzie di tipo probabilistico per l'errore della decomposizione. Infine vengono presentati i risultati della riduzione delle informazioni di un dataset, proveniente da una directory web, ottenuta mediante la decomposizione CUR.