Search

Cílem této bakalářské práce je popis a implementace metod pro separací nízkohodnostní struktury a řídké změny ve videu. Důraz je kladen na metody záložené na konvexní optimalizaci. Začátek práce je věnován popisu základních matematických pojmů a definic použitých v dané práci. Následuje popis úlohy separace pozadí ve videu jako takové, je proveden stručný přehled existujících přístupů na bázi různých matematických modelů. Poté jsou detailněji popsány metody založené na maticove dekompozici, je určena konvexní minimalizační úloha pro separaci pozadí. Na to navazuje praktická část, kde jsou použité metody nejprvé popsány, a následně implementovány do MATLAB sktiptů. Vzapětí je provedena analýza a porovnání výsledků, obdržených jak pomocí navržených algoritmů, tak i s použitím externí knihovny., The aim of this bachelor thesis is the description and implementation of methods for the separation of low-rank and sparse structures in image sequence, mainly focusing on methods based on convex optimization. The beginning of the work is devoted to the description of basic mathematical concepts and definitions used in the work. The next comes the description of general case of background-foreground separation in video, followed by a brief overview of existing approaches based on various mathematical models. Then, methods based on matrix decomposition are described in more detail, a convex minimization task for background separation is defined. This is followed by a practical part, where the used methods are first described and then implemented in MATLAB scripts. At the end, the analysis and comparison of the results (obtained both using own scripts and external library) is performed.

Bakalářská práce je zaměřena na separaci statické a dynamické složky videa, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha. Práce je navíc doplněna o možné způsoby vykreslení výsledků., This bachelor thesis is focused on the separation of static and dynamic structures of video. While the major part of the video background remains static, a few moving particles can be observed. Such video can be represented by a low-rank and a sparse component. Using a low-rank structure, the background can be separated by applying either the median filter or the dynamic mode decomposition. Furthermore, the thesis includes the robust principal component analysis which can be perceived as an optimization problem. In addition, the thesis is enhanced by result visualization methods.

Bakalářská práce je zaměřena na separaci statické a dynamické složky videa, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha. Práce je navíc doplněna o možné způsoby vykreslení výsledků., This bachelor thesis is focused on the separation of static and dynamic structures of video. While the major part of the video background remains static, a few moving particles can be observed. Such video can be represented by a low-rank and a sparse component. Using a low-rank structure, the background can be separated by applying either the median filter or the dynamic mode decomposition. Furthermore, the thesis includes the robust principal component analysis which can be perceived as an optimization problem. In addition, the thesis is enhanced by result visualization methods.

Perfúzne zobrazovanie pomocou dynamickej MRI má veľmi široké uplatnenie v lekárskej praxi, pretože poskytuje informácie o perfúznej charakteristike sledovaného tkaniva. Pri využití klasickej rekonštrukcie platí, že z dôvodu časovej náročnosti merania nie sme schopní zaznamenať dostatok vzoriek pre dosiahnutie potrebného časového a priestorového rozlíšenia. Je preto nutné využitie tzv.~komprimovaného snímania, ktoré umožní rekonštrukciu z menšieho počtu vzoriek pomocou optimalizačného modelu. V práci sú overené viaceré modely rekonštrukcie sekvencie obrazov pre reálne i simulované dáta a~tiež sú porovnané viaceré algoritmy na ich riešenie. Medzi použité modely patria dva L+S modely s odlišnou regularizáciou zložky S, riešené pomocou Forward-Backward a Chambolle-Pock algoritmu. Kvalita rekonštrukcie jednotlivých modelov bola porovnávaná najmä podľa získaných perfúznych kriviek. V poslednej časti je preskúmaná možnosť modifikácie SASS modelu pre zvýšenie kvality rekonštrukcie a odolnosti voči podvzorkovaniu, za účelom lepšej adaptácie modelu pre dynamické dáta., Perfusion MRI can provide information about perfusion characteristics of the observed tissue, which makes it a widely applicable medical procedure. Measuring process of MRI is very time-consuming, and therefore, using classical reconstruction methods, we are often not able to obtain enough samples to accomplish the needed time and space resolution for perfusion analysis. That is why it is necessary to use compressed sensing, which allows reconstruction from under-sampled data by solving an optimization model. In this work, several models for reconstruction of an image sequence are verified on real and artificial data, along with multiple algorithms capable of solving these models. Among the optimization models used in this work are two L+S models with different regularization of the S component that are solved by Forward-Backward and Chambolle-Pock algorithm. The quality of reconstruction for various models was compared especially by their perfusion curves. In the last section, we explore possible modifications of the SASS model in order to increase quality of reconstruction and resistance to under sampling for the purpose of better adaptation for dynamic data.

Práce je zaměřena na sledování pohybu objektu decentralizovanou senzorovou sítí s využitím distribuovaného částicového filtru s fúzním centrem i s konsenzem. Model zahrnuje šum v měření senzorů i případy, kdy senzor objekt vůbec nezachytí. Uvedený přístup využívá řídkosti globální věrohodnostní funkce, jejíž vhodnou řídkou aproximací a vhodnou volbou slovníku lze významně snížit nároky na komunikaci v decentralizované senzorové síti. Diplomová práce obsahuje návrh metod výměny řídkých dat v senzorové síti a~porovnání navržených metod z hlediska přesnosti a energetické náročnosti., This thesis is focused on object tracking by a decentralized sensor network using fusion center-based and consensus-based distributed particle filters. The model includes clutter as well as missed detections of the object. The approach uses sparsity of global likelihood function, which, by means of appropriate sparse approximation and the suitable dictionaty selection can significantly reduce communication requirements in the decentralized sensor network. The master's thesis contains a design of exchange methods of sparse data in the sensor network and a comparison of the proposed methods in terms of accuracy and energy requirements.

Tato bakalářská práce se zabývá hledáním optimální reprezentace dat pro sledování objektu senzorovou sítí. Je zde popsán model decentralizované senzorové sítě a využití tzv. slovníku k reprezentaci naměřených dat. Dále je zde teoreticky rozebrán algoritmus K-SVD sloužící k učení slovníku a na základě modelových signálů jsou naučeny slovníky sloužící k~reprezentaci dat. Tyto slovníky jsou mezi sebou porovnány., The aim of this bachelor thesis is to find optimal data representation for target tracking using sensor network. There is described a model of decentralized sensor network and also the application of so called dictionary to represent the measured data. Also, there is theoretically introduced the K-SVD algorithm that is used for dictionary learning and there are learnt dictionaries for data representation based on the model signals. These dictionaries are compared with each other.

Tato bakalářská práce se zabývá opravou přeexponovaných šedotónových obrazů na základě řídké reprezentace signálu. Pro převedení obrazu do jiné reprezentace byla použita vlnková transformace. V této reprezentaci bylo hledáno řešení konvexní optimalizační úlohy, která měla požadavky na relaxovanou řídkost signálu a hodnoty pixelů restaurovaného obrazu. Konkrétně byl použit proximální Douglas-Rachford algoritmus využívající dva proximální operátory. Realizace byla provedena v programovém prostředí MATLAB s použitím softwaru Wavelet Toolbox. K hodnocení úspěšnosti metody byl použit poměr PSNR (špičkový odstup signálu k šumu). Navržené řešení bylo testováno na 5 náhodných obrazech a porovnáno s výsledky z editoru fotografií Adobe Photoshop Lightroom CC., The Bachelor thesis deals with the recovery of overexposed grayscale images based on sparse signal representation. For image conversion to another representation wavelet transform was used. In this representation, the solution of convex optimization which demand on relax signal sparse and restored pixels values was searched for. In this case, the proximal Douglas-Rachford algorithm was applied which uses two proximal operators. The implementation was carried out in numerical computing enviroment MATLAB using the Wavelet Toolbox software. The PSNR (peak signal-to-noise ratio) was utilized to evaluate success rate of proposed method. The method was tested on 5 random images and compared to results of image manipulation software Adobe Photoshop Lightroom CC.

Chen, Donoho a Saunders (1998) studují problematiku hledání řídké reprezentace vektorů (signálů) s použitím speciálních přeurčených systémů vektorů vyplňujících prostor signálu. Takovéto systémy (někdy jsou také nazývány frejmy) jsou typicky vytvořeny buď rozšířením existující báze, nebo sloučením různých bazí. Narozdíl od vektorů, které tvoří konečně rozměrné prostory, může být problém formulován i obecněji v rámci nekonečně rozměrných separabilních Hilbertových prostorů (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Tento funkcionální přístup nám umožňuje nacházet v těchto prostorech přesnější reprezentace objektů, které, na rozdíl od vektorů, nejsou diskrétní. V této disertační práci se zabývám hledáním řídkých representací v přeurčených modelech časových řad náhodných veličin s konečnými druhými momenty. Numerická studie zachycuje výhody a omezení tohoto přístupu aplikovaného na zobecněné lineární modely a na vícerozměrné ARMA modely. Analýzou mnoha numerických simulací i modelů reálných procesů můžeme říci, že tyto metody spolehlivě identifikují parametry blízké nule, a tak nám umožňují redukovat původně špatně podmíněný přeparametrizovaný model. Tímto významně redukují počet odhadovaných parametrů. V konečném důsledku se tak nemusíme starat o řády modelů, jejichž zjišťování je většinou předběžným krokem standardních technik. Pro kratší časové řady (100 a méně vzorků) řídké odhady dávají lepší predikce v porovnání s těmi, které jsou založené na standardních metodách (např. maximální věrohodnosti v MATLABu - MATLAB System Identification Toolbox (IDENT)). Pro delší časové řady (500 a více) obě techniky dávají v podstatě stejně přesné predikce. Na druhou stranu řešení těchto problémů je náročnější, a to i časově, nicméně výpočetní doba je stále přijatelná., Chen, Donoho a Saunders (1998) deal with the problem of sparse representation of vectors (signals) by using special overcomplete (redundant) systems of vectors spanning this space. Typically such systems (also called frames) are obtained either by refining existing basis or merging several such bases (refined or not) of various kinds (so-called packets). In contrast to vectors which belong to a finite-dimensional space, the problem of sparse representation may be formulated within a more general framework of (even infinite-dimensional) separable Hilbert space (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Such functional approach allows us to get more precise representation of objects from such space which, unlike vectors, are not discrete by their nature. In this Thesis, I attack the problem of sparse representation from overcomplete time series models using expansions in the Hilbert space of random variables of finite variance. A numerical study demonstrates benefits and limits of this approach when applied to generalized linear models or to overcomplete VARMA models of multivariate stationary time series, respectively. After having accomplished and analyzed a lot of numerical simulations as well as real data models, we can conclude that the sparse method reliably identifies nearly zero parameters allowing us to reduce the originally badly conditioned overparametrized model. Thus it significantly reduces the number of estimated parameters. Consequently there is no care about model orders the fixing of which is a common preliminary step used by standard techniques. For short time series paths (100 or less samples), the sparse parameter estimates provide more precise predictions compared with those based on standard maximum likelihood estimators from MATLAB's System Identification Toolbox (IDENT). For longer paths (500 or more), both techniques yield nearly equal prediction paths. On the other hand, solution of such problems requires more sophistication and that is why a compu

Tato bakalářská práce se zabývá řídkou reprezentací obrazů, stručně uvádí tuto problematiku a popisuje základní algoritmy pro hledání řídkých reprezentací. Poté jsou tyto metody empiricky ověřeny na simulovaných i reálných datech pomocí softwaru Matlab., This bachelor’s thesis deals with sparse representation of images, briefly introduces this problems and describes basic algorithms for searching sparse representations. Then this methods are verified experimentally on simulated and real data by software Matlab.

Tato bakalářská práce se zabývá hledáním optimální reprezentace dat pro sledování objektu senzorovou sítí. Je zde popsán model decentralizované senzorové sítě a využití tzv. slovníku k reprezentaci naměřených dat. Dále je zde teoreticky rozebrán algoritmus K-SVD sloužící k učení slovníku a na základě modelových signálů jsou naučeny slovníky sloužící k~reprezentaci dat. Tyto slovníky jsou mezi sebou porovnány., The aim of this bachelor thesis is to find optimal data representation for target tracking using sensor network. There is described a model of decentralized sensor network and also the application of so called dictionary to represent the measured data. Also, there is theoretically introduced the K-SVD algorithm that is used for dictionary learning and there are learnt dictionaries for data representation based on the model signals. These dictionaries are compared with each other.

Tato bakalářská práce se zabývá opravou přeexponovaných šedotónových obrazů na základě řídké reprezentace signálu. Pro převedení obrazu do jiné reprezentace byla použita vlnková transformace. V této reprezentaci bylo hledáno řešení konvexní optimalizační úlohy, která měla požadavky na relaxovanou řídkost signálu a hodnoty pixelů restaurovaného obrazu. Konkrétně byl použit proximální Douglas-Rachford algoritmus využívající dva proximální operátory. Realizace byla provedena v programovém prostředí MATLAB s použitím softwaru Wavelet Toolbox. K hodnocení úspěšnosti metody byl použit poměr PSNR (špičkový odstup signálu k šumu). Navržené řešení bylo testováno na 5 náhodných obrazech a porovnáno s výsledky z editoru fotografií Adobe Photoshop Lightroom CC., The Bachelor thesis deals with the recovery of overexposed grayscale images based on sparse signal representation. For image conversion to another representation wavelet transform was used. In this representation, the solution of convex optimization which demand on relax signal sparse and restored pixels values was searched for. In this case, the proximal Douglas-Rachford algorithm was applied which uses two proximal operators. The implementation was carried out in numerical computing enviroment MATLAB using the Wavelet Toolbox software. The PSNR (peak signal-to-noise ratio) was utilized to evaluate success rate of proposed method. The method was tested on 5 random images and compared to results of image manipulation software Adobe Photoshop Lightroom CC.

Chen, Donoho a Saunders (1998) studují problematiku hledání řídké reprezentace vektorů (signálů) s použitím speciálních přeurčených systémů vektorů vyplňujících prostor signálu. Takovéto systémy (někdy jsou také nazývány frejmy) jsou typicky vytvořeny buď rozšířením existující báze, nebo sloučením různých bazí. Narozdíl od vektorů, které tvoří konečně rozměrné prostory, může být problém formulován i obecněji v rámci nekonečně rozměrných separabilních Hilbertových prostorů (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Tento funkcionální přístup nám umožňuje nacházet v těchto prostorech přesnější reprezentace objektů, které, na rozdíl od vektorů, nejsou diskrétní. V této disertační práci se zabývám hledáním řídkých representací v přeurčených modelech časových řad náhodných veličin s konečnými druhými momenty. Numerická studie zachycuje výhody a omezení tohoto přístupu aplikovaného na zobecněné lineární modely a na vícerozměrné ARMA modely. Analýzou mnoha numerických simulací i modelů reálných procesů můžeme říci, že tyto metody spolehlivě identifikují parametry blízké nule, a tak nám umožňují redukovat původně špatně podmíněný přeparametrizovaný model. Tímto významně redukují počet odhadovaných parametrů. V konečném důsledku se tak nemusíme starat o řády modelů, jejichž zjišťování je většinou předběžným krokem standardních technik. Pro kratší časové řady (100 a méně vzorků) řídké odhady dávají lepší predikce v porovnání s těmi, které jsou založené na standardních metodách (např. maximální věrohodnosti v MATLABu - MATLAB System Identification Toolbox (IDENT)). Pro delší časové řady (500 a více) obě techniky dávají v podstatě stejně přesné predikce. Na druhou stranu řešení těchto problémů je náročnější, a to i časově, nicméně výpočetní doba je stále přijatelná., Chen, Donoho a Saunders (1998) deal with the problem of sparse representation of vectors (signals) by using special overcomplete (redundant) systems of vectors spanning this space. Typically such systems (also called frames) are obtained either by refining existing basis or merging several such bases (refined or not) of various kinds (so-called packets). In contrast to vectors which belong to a finite-dimensional space, the problem of sparse representation may be formulated within a more general framework of (even infinite-dimensional) separable Hilbert space (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Such functional approach allows us to get more precise representation of objects from such space which, unlike vectors, are not discrete by their nature. In this Thesis, I attack the problem of sparse representation from overcomplete time series models using expansions in the Hilbert space of random variables of finite variance. A numerical study demonstrates benefits and limits of this approach when applied to generalized linear models or to overcomplete VARMA models of multivariate stationary time series, respectively. After having accomplished and analyzed a lot of numerical simulations as well as real data models, we can conclude that the sparse method reliably identifies nearly zero parameters allowing us to reduce the originally badly conditioned overparametrized model. Thus it significantly reduces the number of estimated parameters. Consequently there is no care about model orders the fixing of which is a common preliminary step used by standard techniques. For short time series paths (100 or less samples), the sparse parameter estimates provide more precise predictions compared with those based on standard maximum likelihood estimators from MATLAB's System Identification Toolbox (IDENT). For longer paths (500 or more), both techniques yield nearly equal prediction paths. On the other hand, solution of such problems requires more sophistication and that is why a compu

Cílem této bakalářské práce je popis a implementace metod pro separací nízkohodnostní struktury a řídké změny ve videu. Důraz je kladen na metody záložené na konvexní optimalizaci. Začátek práce je věnován popisu základních matematických pojmů a definic použitých v dané práci. Následuje popis úlohy separace pozadí ve videu jako takové, je proveden stručný přehled existujících přístupů na bázi různých matematických modelů. Poté jsou detailněji popsány metody založené na maticove dekompozici, je určena konvexní minimalizační úloha pro separaci pozadí. Na to navazuje praktická část, kde jsou použité metody nejprvé popsány, a následně implementovány do MATLAB sktiptů. Vzapětí je provedena analýza a porovnání výsledků, obdržených jak pomocí navržených algoritmů, tak i s použitím externí knihovny., The aim of this bachelor thesis is the description and implementation of methods for the separation of low-rank and sparse structures in image sequence, mainly focusing on methods based on convex optimization. The beginning of the work is devoted to the description of basic mathematical concepts and definitions used in the work. The next comes the description of general case of background-foreground separation in video, followed by a brief overview of existing approaches based on various mathematical models. Then, methods based on matrix decomposition are described in more detail, a convex minimization task for background separation is defined. This is followed by a practical part, where the used methods are first described and then implemented in MATLAB scripts. At the end, the analysis and comparison of the results (obtained both using own scripts and external library) is performed.

Diplomová práce je zaměřena na rozklad videosekvencí – převážně na separaci pozadí a dynamické složky, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha, a její nekonvexní varianta. Zmíněné je i multiresolution DMD, které je schopno rozkladu na více dynamických složek podle jejich rychlosti., The thesis is focused on the decomposition of video sequences, primarily on background and dynamic component separation, where the background remains the same and only small parts are in motion. Such a video is represented by a low-rank and sparse component. Thanks to the low-rank structure, the background can be separated using a median filter and dynamic mode decomposition. Furthermore, the robust principal component analysis, formulated as an optimization problem and its non-convex variant, will be employed. Also mentioned will be the multiresolution DMD, which is capable of decomposing the dynamic component based on its velocity.

Tato diplomová práce se zabývá obrazovým kodekem JPEG, detekcí hran v obraze, řídkými reprezentacemi signálů a proximálními algoritmy. Nejprve je popsáno fungování kodéru a dekodéru JPEG a teorie, ze které vychází. Poté je na základě teoretických poznatků sestaven nový proximální algoritmus a implementován do stávajícího algoritmu JPEG s cílem odstranit blokové relikty v dekédovaném obraze. Programová stránka je řešená v prostředí Matlab. Výsledky jsou zhodnoceny využitím metod MSE, PSNR a SSIM., This thesis deals with the JPEG image codec, edge detection in images, sparse signal representations and proximal algorithms. First, the operation of the JPEG encoder and decoder and the theory underlying it are described. Then, based on the theoretical knowledge, a new proximal algorithm is constructed and implemented in an existing JPEG algorithm in order to remove block relics in the decoded image. The programming side is solved in Matlab environment. The results are evaluated using MSE, PSNR and SSIM methods.

Tato práce se zabývá doplňováním chybějících dat do audio signálů a algoritmy řešícími problém založenými na řídké reprezentaci audio signálu. Práce se zaměřuje na některé algoritmy, které řeší doplňování chybějících dat do audio signálů pomocí řídké reprezentace signálů. Součástí práce je také návrh algoritmu, který používá řídkou reprezentaci signálu a také nízkou hodnost signálu ve spektrogramu audio signálu. Dále práce uvádí implementaci tohoto algoritmu v programu Matlab a jeho vyhodnocení., The thesis deals with audio inpainting problem and sparse representation approaches to this problem. It focuses on some of recent approaches to solving audio inpainting problem with respect to sparse representation algorithms. It proposes solving audio inapinting problem based on sparse representation of signal and low rank structure in spectrogram of audio signal. Thesis also describes implementation in program Matlab and evaluation of the proposed method.

Perfúzní zobrazování pomocí magnetické rezonance je lékařská diagnostická metoda, která se zdá být v dnešní době velmi slibnou. Tato práce se zabývá řídkými reprezentacemi, rekonstrukcí matic s nízkou hodností a komprimovaným snímáním, které umožňuje překonání současných fyzikálních možností perfúzního zobrazování pomocí magnetické rezonance. Dále představuje několik modelů pro rekonstrukci naměřených perfúzních dat a uvádí numerické metody pro jejich softwarovou implementaci, která je důležitou součástí práce. Navržené modely jsou ověřeny na simulovaných i reálných perfúzních datech z magnetické rezonance., Magnetic resonance perfusion imaging is a today's very promising method for medicine diagnosis. This thesis deals with a sparse representation of signals, low-rank matrix recovery and compressed sensing, which allows overcoming present physical limitations of magnetic resonance perfusion imaging. Several models for reconstruction of measured perfusion data is introduced and numerical methods for their software implementation, which is an important part of the thesis, is mentioned. Proposed models are verified on simulated and real perfusion data from magnetic resonance.

Diplomová práce je zaměřena na rozklad videosekvencí – převážně na separaci pozadí a dynamické složky, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha, a její nekonvexní varianta. Zmíněné je i multiresolution DMD, které je schopno rozkladu na více dynamických složek podle jejich rychlosti., The thesis is focused on the decomposition of video sequences, primarily on background and dynamic component separation, where the background remains the same and only small parts are in motion. Such a video is represented by a low-rank and sparse component. Thanks to the low-rank structure, the background can be separated using a median filter and dynamic mode decomposition. Furthermore, the robust principal component analysis, formulated as an optimization problem and its non-convex variant, will be employed. Also mentioned will be the multiresolution DMD, which is capable of decomposing the dynamic component based on its velocity.

Diplomová práca sa zaoberá odlíšením pozadia a pohybujúcich sa objektov vo videozázname. Videozáznam môžeme reprezentovať ako sériu snímok a každú snímku ako nízkohodnostnú štruktúru-maticu. Táto práca popisuje riedke reprezentácie signálov a robustnú analýzu hlavných komponentov. Ďalej predstavuje a implementuje algoritmymodely pre rekontrukciu reálneho videozáznamu., This diploma thesis deals with separation of backgroud and moving objects in video. Video can be represented as series of frames and each frame represented as low - rank structure - matrix. This thesis describe sparse representation of signals and robust principal component analysis. It also presents and implements algorithms - models for reconstruction of real video.

Tato diplomová práce se zabývá obrazovým kodekem JPEG, detekcí hran v obraze, řídkými reprezentacemi signálů a proximálními algoritmy. Nejprve je popsáno fungování kodéru a dekodéru JPEG a teorie, ze které vychází. Poté je na základě teoretických poznatků sestaven nový proximální algoritmus a implementován do stávajícího algoritmu JPEG s cílem odstranit blokové relikty v dekédovaném obraze. Programová stránka je řešená v prostředí Matlab. Výsledky jsou zhodnoceny využitím metod MSE, PSNR a SSIM., This thesis deals with the JPEG image codec, edge detection in images, sparse signal representations and proximal algorithms. First, the operation of the JPEG encoder and decoder and the theory underlying it are described. Then, based on the theoretical knowledge, a new proximal algorithm is constructed and implemented in an existing JPEG algorithm in order to remove block relics in the decoded image. The programming side is solved in Matlab environment. The results are evaluated using MSE, PSNR and SSIM methods.

Cílem této práce je přiblížení problematiky řídké reprezentace dat a ukázka praktických aplikací v oblasti zpracování řídkého signálu. K řešení bylo použito metod z oblasti konvexní optimalizace. Byla řešena úloha odstranění šumu, dekvantizace a dekompozice řídkého signálu. Úlohy byly implementovány v prostředí MATLAB. K jednotlivým úlohám byly vytvořeny programy pro jednorozměrný a dvourozměrný signál., The goal of this thesis is to demonstrate practical application of sparse data representation in the processing of sparse signals. For solving several example problems - denoising, dequantization, and sparse signal decomposition - convex optimization was used. The solutions were implemented in the Matlab environment. For each of the problems, there are two solutions - one for one-dimensional, and one for two-dimensional signal.

Bakalářská práce je zaměřena na problém doplnění úseku chybějících dat audiosignálu. Audiosignál je pomocí diskrétní Gaborovy transformace převeden na řídký vektor. Problém doplnění dat při zachování řídkosti reprezentace je formulován jako optimalizační úloha, která je následně řešena algoritmem Douglas-Rachford. Oproti stávajícím přístupům je navíc algoritmus doplněn o návrh metody pro kompenzaci poklesu energie v úseku doplněných vzorků výsledného signálu., This bachelor thesis is focused on the problem of inpainting a segment of missing samples in an audiosignal. The signal is represented as sparse vector using discrete Gabor transform. The problem of inpainting missing samples while preserving the sparsity of the representation is formulated as an optimisation task, which is then solved using Douglas-Rachford algorithm. In contrast with the state-of-the-art approaches, the algorithm is extended by proposing method for compensating the energy decrease which occurs in the restored signal.

Tato práce se zabývá doplňováním chybějících dat do zvukových signálů. Na úvod jsou shrnuty základní poznatky využívané dále v textu. Před samotnou aplikační částí je představena řídká reprezentace signálů a některé algoritmy jejího hledání. V kapitole věnované doplňování dat je formulován problém a krátce popsány a srovnány dosavadní metody řešení. Poté je uveden nejnovější přístup řešení využívající harmonickou strukturu signálů a provedeny experimenty. Na závěr je odvozen algoritmus pro zajištění maximální efektivity výpočtu., This thesis deals with audio inpainting problem. Firstly, basic concepts are summarized. Then, sparse representation of signals is introduced along with several algorithms. In the main part dedicated to the audio inpainting, the problem is defined and actual methods are presented and compared. The newest approach using the harmonic strucure of sound signals is then introduced, followed by several experiments and evaluation. Lastly, an algorithm ensuring the maximal computational efficiency is derived.

Perfúzne zobrazovanie pomocou dynamickej MRI má veľmi široké uplatnenie v lekárskej praxi, pretože poskytuje informácie o perfúznej charakteristike sledovaného tkaniva. Pri využití klasickej rekonštrukcie platí, že z dôvodu časovej náročnosti merania nie sme schopní zaznamenať dostatok vzoriek pre dosiahnutie potrebného časového a priestorového rozlíšenia. Je preto nutné využitie tzv.~komprimovaného snímania, ktoré umožní rekonštrukciu z menšieho počtu vzoriek pomocou optimalizačného modelu. V práci sú overené viaceré modely rekonštrukcie sekvencie obrazov pre reálne i simulované dáta a~tiež sú porovnané viaceré algoritmy na ich riešenie. Medzi použité modely patria dva L+S modely s odlišnou regularizáciou zložky S, riešené pomocou Forward-Backward a Chambolle-Pock algoritmu. Kvalita rekonštrukcie jednotlivých modelov bola porovnávaná najmä podľa získaných perfúznych kriviek. V poslednej časti je preskúmaná možnosť modifikácie SASS modelu pre zvýšenie kvality rekonštrukcie a odolnosti voči podvzorkovaniu, za účelom lepšej adaptácie modelu pre dynamické dáta., Perfusion MRI can provide information about perfusion characteristics of the observed tissue, which makes it a widely applicable medical procedure. Measuring process of MRI is very time-consuming, and therefore, using classical reconstruction methods, we are often not able to obtain enough samples to accomplish the needed time and space resolution for perfusion analysis. That is why it is necessary to use compressed sensing, which allows reconstruction from under-sampled data by solving an optimization model. In this work, several models for reconstruction of an image sequence are verified on real and artificial data, along with multiple algorithms capable of solving these models. Among the optimization models used in this work are two L+S models with different regularization of the S component that are solved by Forward-Backward and Chambolle-Pock algorithm. The quality of reconstruction for various models was compared especially by their perfusion curves. In the last section, we explore possible modifications of the SASS model in order to increase quality of reconstruction and resistance to under sampling for the purpose of better adaptation for dynamic data.

Práce je zaměřena na sledování pohybu objektu decentralizovanou senzorovou sítí s využitím distribuovaného částicového filtru s fúzním centrem i s konsenzem. Model zahrnuje šum v měření senzorů i případy, kdy senzor objekt vůbec nezachytí. Uvedený přístup využívá řídkosti globální věrohodnostní funkce, jejíž vhodnou řídkou aproximací a vhodnou volbou slovníku lze významně snížit nároky na komunikaci v decentralizované senzorové síti. Diplomová práce obsahuje návrh metod výměny řídkých dat v senzorové síti a~porovnání navržených metod z hlediska přesnosti a energetické náročnosti., This thesis is focused on object tracking by a decentralized sensor network using fusion center-based and consensus-based distributed particle filters. The model includes clutter as well as missed detections of the object. The approach uses sparsity of global likelihood function, which, by means of appropriate sparse approximation and the suitable dictionaty selection can significantly reduce communication requirements in the decentralized sensor network. The master's thesis contains a design of exchange methods of sparse data in the sensor network and a comparison of the proposed methods in terms of accuracy and energy requirements.

Diplomová práce se zabývá sledováním objektu. Ke sledování je použita decentralizovaná senzorová síť využívající distribuovaný částicový filtr s věrohodnostním konsenzem. Tento konsenzus je založen na řídké reprezentaci lokální věrohodnostní funkce pomocí vhodných slovníků. V této práci se porovnávají hojně používaný Fourierův slovník s námi navrženým slovníkem tzv. B-splajnů. Zároveň je díky řídkosti distribuovaných dat možné implementovat metodu komprimovaného snímání. Výsledky jsou porovnávány z hlediska přesnosti sledování a komunikační náročnosti. Součástí práce jsou také skripty a funkce v jazyce MATLAB., The master's thesis deals with target tracking. For this a decentralized sensor network using distributed particle filter with likelihood consensus is used. This consensus is based on a sparse representation of local likelihood function in a suitable chosen dictionary. In this thesis two dictionaries are compared: the widely used Fourier dictionary and our proposed B-splines. At the same time, thanks to the sparsity of distributed data, it is possible to implement compressed sensing method. The results are compared in terms of tracking error and communication costs. The thesis also contains scripts and functions in MATLAB.

Magnetická rezonance je diagnostická metoda používaná pro zobrazení vnitřních orgánů těla. Její hlavní nevýhodou je dlouhá doba snímání, která jde ovšem zrychlit metodou komprimovaného snímání. Ta spočívá v naměření jen malé části dat a sestavení optimalizační úlohy, pomocí které je provedena rekonstrukce. Cílem této práce je popsat a naprogramovat základní optimalizační metody, dále je porovnat a ověřit na reálných datech, do jaké míry je možné snímání urychlit, aniž by došlo ke ztrátě kvality obrazu. V experimentu nejlépe dopadla metoda regularizace zobecněnou totální variační (TGV) normou, pomocí níž byla provedena kvalitní rekonstrukce při zachování pouze čtvrtiny měření., Magnetic resonance imaging is a diagnostic method to form images of the organs in the body. Long acquisition times are the main disadvantage, however it is possible to accelerate the data acquisition with the method of compressed sensing by sensing fewer samples and formulating an optimization method for image reconstruction. The aim of this thesis is to describe and compare the common optimization methods and to create a software capable of solving them. Another objective is to observe how much the data acquisition can be accelarated without the loss of image quality when dealing with real data. The most promising method in the experiment was total generalized variation (TGV) regularization which was able to reconstruct an image with a proper quality using only a quarter of the data.

Diplomová práca sa zaoberá odlíšením pozadia a pohybujúcich sa objektov vo videozázname. Videozáznam môžeme reprezentovať ako sériu snímok a každú snímku ako nízkohodnostnú štruktúru-maticu. Táto práca popisuje riedke reprezentácie signálov a robustnú analýzu hlavných komponentov. Ďalej predstavuje a implementuje algoritmymodely pre rekontrukciu reálneho videozáznamu., This diploma thesis deals with separation of backgroud and moving objects in video. Video can be represented as series of frames and each frame represented as low - rank structure - matrix. This thesis describe sparse representation of signals and robust principal component analysis. It also presents and implements algorithms - models for reconstruction of real video.

Diplomová práca sa zaoberá odlíšením pozadia a pohybujúcich sa objektov vo videozázname. Videozáznam môžeme reprezentovať ako sériu snímok a každú snímku ako nízkohodnostnú štruktúru-maticu. Táto práca popisuje riedke reprezentácie signálov a robustnú analýzu hlavných komponentov. Ďalej predstavuje a implementuje algoritmymodely pre rekontrukciu reálneho videozáznamu., This diploma thesis deals with separation of backgroud and moving objects in video. Video can be represented as series of frames and each frame represented as low - rank structure - matrix. This thesis describe sparse representation of signals and robust principal component analysis. It also presents and implements algorithms - models for reconstruction of real video.

Cílem této práce je přiblížení problematiky řídké reprezentace dat a ukázka praktických aplikací v oblasti zpracování řídkého signálu. K řešení bylo použito metod z oblasti konvexní optimalizace. Byla řešena úloha odstranění šumu, dekvantizace a dekompozice řídkého signálu. Úlohy byly implementovány v prostředí MATLAB. K jednotlivým úlohám byly vytvořeny programy pro jednorozměrný a dvourozměrný signál., The goal of this thesis is to demonstrate practical application of sparse data representation in the processing of sparse signals. For solving several example problems - denoising, dequantization, and sparse signal decomposition - convex optimization was used. The solutions were implemented in the Matlab environment. For each of the problems, there are two solutions - one for one-dimensional, and one for two-dimensional signal.

Diplomová práce se zabývá problémem doplňování souvislého úseku chybějících vzorků v digitálním audiosignálu. Tento problém je formulován jako optimalizační úloha, při níž v množině přípustných rekonstruovaných signálů hledáme takový, jehož reprezentace při vhodně zvolené transformaci je co nejvíce řídká. Popsány jsou různé konkrétní formulace, a to analyzující i syntetizující model jak pro konvexní, tak i pro nekonvexní úlohu. Pro uvedené formulace jsou navrženy algoritmy k jejich řešení a v konvexním případě je navíc metoda doplněna o různé postupy pro kompenzaci poklesu energie v doplněném úseku signálu. Všechny navržené algoritmy jsou otestovány na reálných nahrávkách a je ukázána jejich konkurenceschopnost ve srovnání se současným stavem problematiky (state-of-the-art)., The master's thesis deals with the problem of restoring a block of missing samples in a digital audio signal. This problem is formulated as an optimization task, which seeks the sparsest time-frequency representation of a signal within the set of feasible reconstructed signals. Several particular formulations are discussed, namely the analyzing and the synthesizing model, both for convex and non-convex approaches. Suitable algorithms are proposed for solving these formulations, and in the convex case, the method is further enhanced by various procedures to compensate for the energy drop in the inpainted signal segment. The proposed algorithms are tested on real recordings, and their performance is shown to be competitive with the state-of-the-art.

Bakalářská práce je zaměřena na problém doplnění úseku chybějících dat audiosignálu. Audiosignál je pomocí diskrétní Gaborovy transformace převeden na řídký vektor. Problém doplnění dat při zachování řídkosti reprezentace je formulován jako optimalizační úloha, která je následně řešena algoritmem Douglas-Rachford. Oproti stávajícím přístupům je navíc algoritmus doplněn o návrh metody pro kompenzaci poklesu energie v úseku doplněných vzorků výsledného signálu., This bachelor thesis is focused on the problem of inpainting a segment of missing samples in an audiosignal. The signal is represented as sparse vector using discrete Gabor transform. The problem of inpainting missing samples while preserving the sparsity of the representation is formulated as an optimisation task, which is then solved using Douglas-Rachford algorithm. In contrast with the state-of-the-art approaches, the algorithm is extended by proposing method for compensating the energy decrease which occurs in the restored signal.

Magnetická rezonance je diagnostická metoda používaná pro zobrazení vnitřních orgánů těla. Její hlavní nevýhodou je dlouhá doba snímání, která jde ovšem zrychlit metodou komprimovaného snímání. Ta spočívá v naměření jen malé části dat a sestavení optimalizační úlohy, pomocí které je provedena rekonstrukce. Cílem této práce je popsat a naprogramovat základní optimalizační metody, dále je porovnat a ověřit na reálných datech, do jaké míry je možné snímání urychlit, aniž by došlo ke ztrátě kvality obrazu. V experimentu nejlépe dopadla metoda regularizace zobecněnou totální variační (TGV) normou, pomocí níž byla provedena kvalitní rekonstrukce při zachování pouze čtvrtiny měření., Magnetic resonance imaging is a diagnostic method to form images of the organs in the body. Long acquisition times are the main disadvantage, however it is possible to accelerate the data acquisition with the method of compressed sensing by sensing fewer samples and formulating an optimization method for image reconstruction. The aim of this thesis is to describe and compare the common optimization methods and to create a software capable of solving them. Another objective is to observe how much the data acquisition can be accelarated without the loss of image quality when dealing with real data. The most promising method in the experiment was total generalized variation (TGV) regularization which was able to reconstruct an image with a proper quality using only a quarter of the data.

Bakalářská práce je zaměřena na separaci statické a dynamické složky videa, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha. Práce je navíc doplněna o možné způsoby vykreslení výsledků., This bachelor thesis is focused on the separation of static and dynamic structures of video. While the major part of the video background remains static, a few moving particles can be observed. Such video can be represented by a low-rank and a sparse component. Using a low-rank structure, the background can be separated by applying either the median filter or the dynamic mode decomposition. Furthermore, the thesis includes the robust principal component analysis which can be perceived as an optimization problem. In addition, the thesis is enhanced by result visualization methods.

Bakalářská práce je zaměřena na separaci statické a dynamické složky videa, kde pozadí zůstává stejné a pouze malé části jsou v pohybu. Takové video je reprezentováno nízkohodnostní a řídkou složkou. Díky nízkohodnostní struktuře může být pozadí odseparováno pomocí mediánového filtru a metody dynamických modů. Dále bude využita tzv. robustní analýza hlavních komponent, která je formulována jako optimalizační úloha. Práce je navíc doplněna o možné způsoby vykreslení výsledků., This bachelor thesis is focused on the separation of static and dynamic structures of video. While the major part of the video background remains static, a few moving particles can be observed. Such video can be represented by a low-rank and a sparse component. Using a low-rank structure, the background can be separated by applying either the median filter or the dynamic mode decomposition. Furthermore, the thesis includes the robust principal component analysis which can be perceived as an optimization problem. In addition, the thesis is enhanced by result visualization methods.

Cílem této bakalářské práce je popis a implementace metod pro separací nízkohodnostní struktury a řídké změny ve videu. Důraz je kladen na metody záložené na konvexní optimalizaci. Začátek práce je věnován popisu základních matematických pojmů a definic použitých v dané práci. Následuje popis úlohy separace pozadí ve videu jako takové, je proveden stručný přehled existujících přístupů na bázi různých matematických modelů. Poté jsou detailněji popsány metody založené na maticove dekompozici, je určena konvexní minimalizační úloha pro separaci pozadí. Na to navazuje praktická část, kde jsou použité metody nejprvé popsány, a následně implementovány do MATLAB sktiptů. Vzapětí je provedena analýza a porovnání výsledků, obdržených jak pomocí navržených algoritmů, tak i s použitím externí knihovny., The aim of this bachelor thesis is the description and implementation of methods for the separation of low-rank and sparse structures in image sequence, mainly focusing on methods based on convex optimization. The beginning of the work is devoted to the description of basic mathematical concepts and definitions used in the work. The next comes the description of general case of background-foreground separation in video, followed by a brief overview of existing approaches based on various mathematical models. Then, methods based on matrix decomposition are described in more detail, a convex minimization task for background separation is defined. This is followed by a practical part, where the used methods are first described and then implemented in MATLAB scripts. At the end, the analysis and comparison of the results (obtained both using own scripts and external library) is performed.

Cílem této bakalářské práce je popis a implementace metod pro separací nízkohodnostní struktury a řídké změny ve videu. Důraz je kladen na metody záložené na konvexní optimalizaci. Začátek práce je věnován popisu základních matematických pojmů a definic použitých v dané práci. Následuje popis úlohy separace pozadí ve videu jako takové, je proveden stručný přehled existujících přístupů na bázi různých matematických modelů. Poté jsou detailněji popsány metody založené na maticove dekompozici, je určena konvexní minimalizační úloha pro separaci pozadí. Na to navazuje praktická část, kde jsou použité metody nejprvé popsány, a následně implementovány do MATLAB sktiptů. Vzapětí je provedena analýza a porovnání výsledků, obdržených jak pomocí navržených algoritmů, tak i s použitím externí knihovny., The aim of this bachelor thesis is the description and implementation of methods for the separation of low-rank and sparse structures in image sequence, mainly focusing on methods based on convex optimization. The beginning of the work is devoted to the description of basic mathematical concepts and definitions used in the work. The next comes the description of general case of background-foreground separation in video, followed by a brief overview of existing approaches based on various mathematical models. Then, methods based on matrix decomposition are described in more detail, a convex minimization task for background separation is defined. This is followed by a practical part, where the used methods are first described and then implemented in MATLAB scripts. At the end, the analysis and comparison of the results (obtained both using own scripts and external library) is performed.

Diplomová práca sa zaoberá odlíšením pozadia a pohybujúcich sa objektov vo videozázname. Videozáznam môžeme reprezentovať ako sériu snímok a každú snímku ako nízkohodnostnú štruktúru-maticu. Táto práca popisuje riedke reprezentácie signálov a robustnú analýzu hlavných komponentov. Ďalej predstavuje a implementuje algoritmymodely pre rekontrukciu reálneho videozáznamu., This diploma thesis deals with separation of backgroud and moving objects in video. Video can be represented as series of frames and each frame represented as low - rank structure - matrix. This thesis describe sparse representation of signals and robust principal component analysis. It also presents and implements algorithms - models for reconstruction of real video.

Chen, Donoho a Saunders (1998) studují problematiku hledání řídké reprezentace vektorů (signálů) s použitím speciálních přeurčených systémů vektorů vyplňujících prostor signálu. Takovéto systémy (někdy jsou také nazývány frejmy) jsou typicky vytvořeny buď rozšířením existující báze, nebo sloučením různých bazí. Narozdíl od vektorů, které tvoří konečně rozměrné prostory, může být problém formulován i obecněji v rámci nekonečně rozměrných separabilních Hilbertových prostorů (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Tento funkcionální přístup nám umožňuje nacházet v těchto prostorech přesnější reprezentace objektů, které, na rozdíl od vektorů, nejsou diskrétní. V této disertační práci se zabývám hledáním řídkých representací v přeurčených modelech časových řad náhodných veličin s konečnými druhými momenty. Numerická studie zachycuje výhody a omezení tohoto přístupu aplikovaného na zobecněné lineární modely a na vícerozměrné ARMA modely. Analýzou mnoha numerických simulací i modelů reálných procesů můžeme říci, že tyto metody spolehlivě identifikují parametry blízké nule, a tak nám umožňují redukovat původně špatně podmíněný přeparametrizovaný model. Tímto významně redukují počet odhadovaných parametrů. V konečném důsledku se tak nemusíme starat o řády modelů, jejichž zjišťování je většinou předběžným krokem standardních technik. Pro kratší časové řady (100 a méně vzorků) řídké odhady dávají lepší predikce v porovnání s těmi, které jsou založené na standardních metodách (např. maximální věrohodnosti v MATLABu - MATLAB System Identification Toolbox (IDENT)). Pro delší časové řady (500 a více) obě techniky dávají v podstatě stejně přesné predikce. Na druhou stranu řešení těchto problémů je náročnější, a to i časově, nicméně výpočetní doba je stále přijatelná., Chen, Donoho a Saunders (1998) deal with the problem of sparse representation of vectors (signals) by using special overcomplete (redundant) systems of vectors spanning this space. Typically such systems (also called frames) are obtained either by refining existing basis or merging several such bases (refined or not) of various kinds (so-called packets). In contrast to vectors which belong to a finite-dimensional space, the problem of sparse representation may be formulated within a more general framework of (even infinite-dimensional) separable Hilbert space (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Such functional approach allows us to get more precise representation of objects from such space which, unlike vectors, are not discrete by their nature. In this Thesis, I attack the problem of sparse representation from overcomplete time series models using expansions in the Hilbert space of random variables of finite variance. A numerical study demonstrates benefits and limits of this approach when applied to generalized linear models or to overcomplete VARMA models of multivariate stationary time series, respectively. After having accomplished and analyzed a lot of numerical simulations as well as real data models, we can conclude that the sparse method reliably identifies nearly zero parameters allowing us to reduce the originally badly conditioned overparametrized model. Thus it significantly reduces the number of estimated parameters. Consequently there is no care about model orders the fixing of which is a common preliminary step used by standard techniques. For short time series paths (100 or less samples), the sparse parameter estimates provide more precise predictions compared with those based on standard maximum likelihood estimators from MATLAB's System Identification Toolbox (IDENT). For longer paths (500 or more), both techniques yield nearly equal prediction paths. On the other hand, solution of such problems requires more sophistication and that is why a compu

Tato práce se zabývá kompresí obrazu. V úvodu je vysvětlena ztrátová komprese JPEG a vznik typických artefaktů. Poté je uvedeno několik základních poznatků a uvedení do řídkých reprezentací signálu. Následuje představení proximálních algoritmů a sestavení dvou optimalizačních úloh, které odstraňují typické artefakty na hranách vzniklých JPEG kompresí. Tyto úlohy jsou pak řešeny proximálními algoritmy., This thesis is concerned with image compression. Firstly, JPEG lossy compression and origin of typical artifacts is explained. Then, some basic concepts are introduced and sparse representation of signals are presented. Then presentation of proximal algorithms is folowed and formulation of two optimazation problems, wchich removes typical artifacts on edges, created by JPEG compression. These problems are then solved by proximal algorithms.

Diplomová práca sa zaoberá odlíšením pozadia a pohybujúcich sa objektov vo videozázname. Videozáznam môžeme reprezentovať ako sériu snímok a každú snímku ako nízkohodnostnú štruktúru-maticu. Táto práca popisuje riedke reprezentácie signálov a robustnú analýzu hlavných komponentov. Ďalej predstavuje a implementuje algoritmymodely pre rekontrukciu reálneho videozáznamu., This diploma thesis deals with separation of backgroud and moving objects in video. Video can be represented as series of frames and each frame represented as low - rank structure - matrix. This thesis describe sparse representation of signals and robust principal component analysis. It also presents and implements algorithms - models for reconstruction of real video.

Tato práce se zabývá kompresí obrazu. V úvodu je vysvětlena ztrátová komprese JPEG a vznik typických artefaktů. Poté je uvedeno několik základních poznatků a uvedení do řídkých reprezentací signálu. Následuje představení proximálních algoritmů a sestavení dvou optimalizačních úloh, které odstraňují typické artefakty na hranách vzniklých JPEG kompresí. Tyto úlohy jsou pak řešeny proximálními algoritmy., This thesis is concerned with image compression. Firstly, JPEG lossy compression and origin of typical artifacts is explained. Then, some basic concepts are introduced and sparse representation of signals are presented. Then presentation of proximal algorithms is folowed and formulation of two optimazation problems, wchich removes typical artifacts on edges, created by JPEG compression. These problems are then solved by proximal algorithms.

Chen, Donoho a Saunders (1998) studují problematiku hledání řídké reprezentace vektorů (signálů) s použitím speciálních přeurčených systémů vektorů vyplňujících prostor signálu. Takovéto systémy (někdy jsou také nazývány frejmy) jsou typicky vytvořeny buď rozšířením existující báze, nebo sloučením různých bazí. Narozdíl od vektorů, které tvoří konečně rozměrné prostory, může být problém formulován i obecněji v rámci nekonečně rozměrných separabilních Hilbertových prostorů (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Tento funkcionální přístup nám umožňuje nacházet v těchto prostorech přesnější reprezentace objektů, které, na rozdíl od vektorů, nejsou diskrétní. V této disertační práci se zabývám hledáním řídkých representací v přeurčených modelech časových řad náhodných veličin s konečnými druhými momenty. Numerická studie zachycuje výhody a omezení tohoto přístupu aplikovaného na zobecněné lineární modely a na vícerozměrné ARMA modely. Analýzou mnoha numerických simulací i modelů reálných procesů můžeme říci, že tyto metody spolehlivě identifikují parametry blízké nule, a tak nám umožňují redukovat původně špatně podmíněný přeparametrizovaný model. Tímto významně redukují počet odhadovaných parametrů. V konečném důsledku se tak nemusíme starat o řády modelů, jejichž zjišťování je většinou předběžným krokem standardních technik. Pro kratší časové řady (100 a méně vzorků) řídké odhady dávají lepší predikce v porovnání s těmi, které jsou založené na standardních metodách (např. maximální věrohodnosti v MATLABu - MATLAB System Identification Toolbox (IDENT)). Pro delší časové řady (500 a více) obě techniky dávají v podstatě stejně přesné predikce. Na druhou stranu řešení těchto problémů je náročnější, a to i časově, nicméně výpočetní doba je stále přijatelná., Chen, Donoho a Saunders (1998) deal with the problem of sparse representation of vectors (signals) by using special overcomplete (redundant) systems of vectors spanning this space. Typically such systems (also called frames) are obtained either by refining existing basis or merging several such bases (refined or not) of various kinds (so-called packets). In contrast to vectors which belong to a finite-dimensional space, the problem of sparse representation may be formulated within a more general framework of (even infinite-dimensional) separable Hilbert space (Veselý, 2002b; Christensen, 2003). Such functional approach allows us to get more precise representation of objects from such space which, unlike vectors, are not discrete by their nature. In this Thesis, I attack the problem of sparse representation from overcomplete time series models using expansions in the Hilbert space of random variables of finite variance. A numerical study demonstrates benefits and limits of this approach when applied to generalized linear models or to overcomplete VARMA models of multivariate stationary time series, respectively. After having accomplished and analyzed a lot of numerical simulations as well as real data models, we can conclude that the sparse method reliably identifies nearly zero parameters allowing us to reduce the originally badly conditioned overparametrized model. Thus it significantly reduces the number of estimated parameters. Consequently there is no care about model orders the fixing of which is a common preliminary step used by standard techniques. For short time series paths (100 or less samples), the sparse parameter estimates provide more precise predictions compared with those based on standard maximum likelihood estimators from MATLAB's System Identification Toolbox (IDENT). For longer paths (500 or more), both techniques yield nearly equal prediction paths. On the other hand, solution of such problems requires more sophistication and that is why a compu

Tato bakalářská práce se zabývá opravou přeexponovaných šedotónových obrazů na základě řídké reprezentace signálu. Pro převedení obrazu do jiné reprezentace byla použita vlnková transformace. V této reprezentaci bylo hledáno řešení konvexní optimalizační úlohy, která měla požadavky na relaxovanou řídkost signálu a hodnoty pixelů restaurovaného obrazu. Konkrétně byl použit proximální Douglas-Rachford algoritmus využívající dva proximální operátory. Realizace byla provedena v programovém prostředí MATLAB s použitím softwaru Wavelet Toolbox. K hodnocení úspěšnosti metody byl použit poměr PSNR (špičkový odstup signálu k šumu). Navržené řešení bylo testováno na 5 náhodných obrazech a porovnáno s výsledky z editoru fotografií Adobe Photoshop Lightroom CC., The Bachelor thesis deals with the recovery of overexposed grayscale images based on sparse signal representation. For image conversion to another representation wavelet transform was used. In this representation, the solution of convex optimization which demand on relax signal sparse and restored pixels values was searched for. In this case, the proximal Douglas-Rachford algorithm was applied which uses two proximal operators. The implementation was carried out in numerical computing enviroment MATLAB using the Wavelet Toolbox software. The PSNR (peak signal-to-noise ratio) was utilized to evaluate success rate of proposed method. The method was tested on 5 random images and compared to results of image manipulation software Adobe Photoshop Lightroom CC.

Tato bakalářská práce se zabývá řídkou reprezentací obrazů, stručně uvádí tuto problematiku a popisuje základní algoritmy pro hledání řídkých reprezentací. Poté jsou tyto metody empiricky ověřeny na simulovaných i reálných datech pomocí softwaru Matlab., This bachelor’s thesis deals with sparse representation of images, briefly introduces this problems and describes basic algorithms for searching sparse representations. Then this methods are verified experimentally on simulated and real data by software Matlab.

Práce je zaměřena na řídké reprezentace v oblasti audio signálů. Zahrnuje obecný teoretický úvod do základní problematiky řídkých reprezentací a simulaci teorie na vygenerovaných tónech "klavíru" v programu Matlab. Teorii ověřuje na těchto vygenerovaných tónech i na reálných signálech., This thesis is focused on sparse representation of audio signals. It consists of theoretical introduction to basic issues of sparse representation and also simulation on artificial tones of ``piano'' in program Matlab. The theory is verified on this generated tones and also on real signals.

Tato práce se zabývá kompresí obrazu. V úvodu je vysvětlena ztrátová komprese JPEG a vznik typických artefaktů. Poté je uvedeno několik základních poznatků a uvedení do řídkých reprezentací signálu. Následuje představení proximálních algoritmů a sestavení dvou optimalizačních úloh, které odstraňují typické artefakty na hranách vzniklých JPEG kompresí. Tyto úlohy jsou pak řešeny proximálními algoritmy., This thesis is concerned with image compression. Firstly, JPEG lossy compression and origin of typical artifacts is explained. Then, some basic concepts are introduced and sparse representation of signals are presented. Then presentation of proximal algorithms is folowed and formulation of two optimazation problems, wchich removes typical artifacts on edges, created by JPEG compression. These problems are then solved by proximal algorithms.

Tato bakalářská práce se zabývá opravou přeexponovaných šedotónových obrazů na základě řídké reprezentace signálu. Pro převedení obrazu do jiné reprezentace byla použita vlnková transformace. V této reprezentaci bylo hledáno řešení konvexní optimalizační úlohy, která měla požadavky na relaxovanou řídkost signálu a hodnoty pixelů restaurovaného obrazu. Konkrétně byl použit proximální Douglas-Rachford algoritmus využívající dva proximální operátory. Realizace byla provedena v programovém prostředí MATLAB s použitím softwaru Wavelet Toolbox. K hodnocení úspěšnosti metody byl použit poměr PSNR (špičkový odstup signálu k šumu). Navržené řešení bylo testováno na 5 náhodných obrazech a porovnáno s výsledky z editoru fotografií Adobe Photoshop Lightroom CC., The Bachelor thesis deals with the recovery of overexposed grayscale images based on sparse signal representation. For image conversion to another representation wavelet transform was used. In this representation, the solution of convex optimization which demand on relax signal sparse and restored pixels values was searched for. In this case, the proximal Douglas-Rachford algorithm was applied which uses two proximal operators. The implementation was carried out in numerical computing enviroment MATLAB using the Wavelet Toolbox software. The PSNR (peak signal-to-noise ratio) was utilized to evaluate success rate of proposed method. The method was tested on 5 random images and compared to results of image manipulation software Adobe Photoshop Lightroom CC.

Diplomová práce se zabývá problémem doplňování souvislého úseku chybějících vzorků v digitálním audiosignálu. Tento problém je formulován jako optimalizační úloha, při níž v množině přípustných rekonstruovaných signálů hledáme takový, jehož reprezentace při vhodně zvolené transformaci je co nejvíce řídká. Popsány jsou různé konkrétní formulace, a to analyzující i syntetizující model jak pro konvexní, tak i pro nekonvexní úlohu. Pro uvedené formulace jsou navrženy algoritmy k jejich řešení a v konvexním případě je navíc metoda doplněna o různé postupy pro kompenzaci poklesu energie v doplněném úseku signálu. Všechny navržené algoritmy jsou otestovány na reálných nahrávkách a je ukázána jejich konkurenceschopnost ve srovnání se současným stavem problematiky (state-of-the-art)., The master's thesis deals with the problem of restoring a block of missing samples in a digital audio signal. This problem is formulated as an optimization task, which seeks the sparsest time-frequency representation of a signal within the set of feasible reconstructed signals. Several particular formulations are discussed, namely the analyzing and the synthesizing model, both for convex and non-convex approaches. Suitable algorithms are proposed for solving these formulations, and in the convex case, the method is further enhanced by various procedures to compensate for the energy drop in the inpainted signal segment. The proposed algorithms are tested on real recordings, and their performance is shown to be competitive with the state-of-the-art.

Diplomová práce se zabývá sledováním objektu. Ke sledování je použita decentralizovaná senzorová síť využívající distribuovaný částicový filtr s věrohodnostním konsenzem. Tento konsenzus je založen na řídké reprezentaci lokální věrohodnostní funkce pomocí vhodných slovníků. V této práci se porovnávají hojně používaný Fourierův slovník s námi navrženým slovníkem tzv. B-splajnů. Zároveň je díky řídkosti distribuovaných dat možné implementovat metodu komprimovaného snímání. Výsledky jsou porovnávány z hlediska přesnosti sledování a komunikační náročnosti. Součástí práce jsou také skripty a funkce v jazyce MATLAB., The master's thesis deals with target tracking. For this a decentralized sensor network using distributed particle filter with likelihood consensus is used. This consensus is based on a sparse representation of local likelihood function in a suitable chosen dictionary. In this thesis two dictionaries are compared: the widely used Fourier dictionary and our proposed B-splines. At the same time, thanks to the sparsity of distributed data, it is possible to implement compressed sensing method. The results are compared in terms of tracking error and communication costs. The thesis also contains scripts and functions in MATLAB.