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Gewohnliche Differenzialgleichungen (DGL) sind Gleichungen fur Funktionen von einer unabhangigen Variablen, in denen die unbekannten Funktionen und ihre Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung vorkommen. Eine Losung in geschlossener, analytischer Form lasst sich nur in relativ wenigen Fallen angeben. Deshalb sind numerische Verfahren gefragt, die eine hinreichend genaue Naherung der Losungsfunktion liefern.

Randwertprobleme bei gewohnlichen Differenzialgleichungen beschreiben stationare Systeme wie die Durchbiegung eines belasteten Balkens. Eigenwertprobleme beschreiben charakteristische Eigenschaften solcher Systeme wie seine Eigenfrequenzen. In beiden Fallen mussen mindestens zwei Randwerte bekannt sein.

In manchen Wissenschaftszweigen, wie etwa Experimentalphysik und Biologie, stellt sich die Aufgabe, unbekannte Parameter einer Funktion, die entweder auf Grund eines Naturgesetzes oder von Modellannahmen gegeben ist, durch eine Reihe von Messungen oder Beobachtungen zu bestimmen. Die Anzahl der vorgenommenen Messungen ist in der Regel bedeutend groser als die Zahl der Parameter, um dadurch den unvermeidbaren Beobachtungsfehlern Rechnung zu tragen. Die resultierenden, uberbestimmten Systeme von linearen oder nichtlinearen Gleichungen fur die unbekannten Parameter sind im allgemeinen nicht exakt losbar, sondern man kann nur verlangen, das die in den einzelnen Gleichungen auftretenden Abweichungen oder Residuen in einem zu prazisierenden Sinn minimal sind. In der betrachteten Situation wird aus wahrscheinlichkeitstheoretischen Grunden nur die Methode der kleinsten Quadrate von Gaus der Annahme von statistisch normalverteilten Mesfehlern gerecht [Lud69]. Das Gaussche Ausgleichsprinzip fuhrt auf einfacher durchfuhrbare Rechenverfahren als das Tschebyscheffsche Prinzip, welches zur Funktionsapproximation aus mathematischen Grunden seine Bedeutung hat.