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Submitted by Mario BC (mario@bc.ufrpe.br) on 2018-12-18T11:39:50Z No. of bitstreams: 1 Jaiver Chicangana Cifuentes.pdf: 1033649 bytes, checksum: f9110cc9618e0d49fde60cf17dac16f0 (MD5) Made available in DSpace on 2018-12-18T11:39:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jaiver Chicangana Cifuentes.pdf: 1033649 bytes, checksum: f9110cc9618e0d49fde60cf17dac16f0 (MD5) Previous issue date: 2018-03-05 The tensor network renormalization group is a theoretical framework for the analysis of strong interacting physical systems. The technique is based on a representation of the system partition function by a tensor network, in which one associates to each of its site a translationally invariant tensor. The tensor encodes the states associated with the degrees of freedom of system. The indexes of the tensors, which are called “legs”, correspond to the links between the sites of the network. Thus, the calculation of the partition function is reduced to the contraction of a tensor network. That is, a sum over the legs common to each pair of tensors. Here, we apply the technique to the Ising model defined in a square lattice with antiferromagnetic interactions between the pairs of first neighbors and the pairs of second neighbors. In this case the square lattice is fully frustrated. In the process of renormalization of the tensor network, we introduced a scale factor that avoids unrestricted growth of the tensor norm. This scale factor captures any singularity presents in the free energy. Thus, the critical values of the parameters were obtained by locating the point at which the scale factor presents a singularity. In this way, we obtain the phase diagram of the model in the plane temperature ratio between the coupling constants between first and second neighbors. O grupo de renormalização na representação de rede de tensores é uma ferramenta teórica para a análise de sistemas físicos nos quais seus constituintes microscópicos interagem fortemente. A técnica é baseada numa representação da função partição do sistema por uma rede de tensores, na qual a cada sítio da rede associamos um tensor translacionalmente invariante. O tensor codifica os estados associados aos graus de liberdade do sistema original. Os índices dos tensores, que denominas “pernas”, correspondem às ligações entre os sítios da rede. Assim, o cálculo da função de partição se reduz à contração de uma rede de tensores. Ou seja, uma soma sobre as pernas comuns a cada par de tensores. Aqui, aplicamos a técnica ao modelo Ising definido em uma rede quadrada com interações antiferromagnéticas entre os pares de primeiros e segundos vizinhos. Nesse caso a rede quadrada é completamente frustrada. No processo de renormalização da rede de tensores, introduzimos um fator de escala que evita o crescimento sem limites da norma dos tensores. Este fator de escala captura a não-analiticidade da energia livre. Assim, os valores críticos dos parâmetros foram obtidos localizando o ponto no qual o fator de escala apresenta uma singularidade. Dessa forma, levantamos o diagrama de fases do modelo no plano temperatura razão entre as constantes de acoplamento entre primeiros e segundos vizinhos.

Submitted by Mario BC (mario@bc.ufrpe.br) on 2018-12-26T14:03:20Z No. of bitstreams: 1 Ivelton Soares da Silva.pdf: 1174298 bytes, checksum: 62fd96895ab99c0cf4f0533f3c512f0c (MD5) Made available in DSpace on 2018-12-26T14:03:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ivelton Soares da Silva.pdf: 1174298 bytes, checksum: 62fd96895ab99c0cf4f0533f3c512f0c (MD5) Previous issue date: 2016-08-31 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES The renormalization group in the network representation of tensors has proved to be a powerful theoretical tool for the analysis of strongly interacting physical systems. The technique is based on the representation of the partition function of the system under study, by a network of tensors, that is, at each site of the network we associate a translationally invariant tensor. The tensor codes, which we call the "legs", correspond to the links between the tensor network sites. Thus, the calculation of the partition function reduces to the contraction of a net of tensors, that is, a sum of the indices common to any two tensors of the lattice, Here we apply the technique to the Ising model de fi ned in a square lattice, in which case each tensor has four indices and each index or leg can we have to assume two values: we divide the grid into blocks of four tensors, so that each tensor is only part of one of these blocks. results in another network, with the same geometry as the original network, but the number of tensors is reduced to a quarter. In principle, the procedure can be repeated until only one The contraction of the legs of this last tensor would give the exact partition function. However, the number of states of the tensor legs resulting from the contraction increases exponentially, limiting the practical use of such procedure. Thus, we need to "renormalize" the tensors to limit the number of states, the tensors at each stage of the process. The renormalization used here is based on the decomposition into singular high order values ​​of the tensors (a generalization of the decomposition of a matrix into singular values). As a result, we present an analytical calculation of the partition function of the Ising model in the square network, maintaining only two states for the renormalized tensor. We were able to obtain the critical temperature with good precision, considering the radical approximation made. In addition, we numerically apply the procedure for cutting dimensions as high as maintaining up to thirty states in the renormalized tensor. The thermodynamics of the model was obtained with good agreement with the exact known results. O grupo de renormalização na representação de rede de tensores vem se revelando uma poderosa ferramenta teórica para a análise de sistemas físicos fortemente interagentes. A técnica baseia-se na representação da função de partição do sistema em estudo, por uma rede de tensores, ou seja, a cada sítio da rede associamos um tensor translacionalmente invariante. O tensor codifica os estados associados aos graus de liberdade do sistema original.Os índices do tensor, a que chamamos de “pernas", correspondem às ligações entre os sítios da rede tensorial. Assim, o cálculo da função de partição se reduz à contração de uma rede de tensores. Isto é, uma soma sobre os índices comuns à dois tensores quaisquer da rede. Aqui, aplicamos a técnica ao modelo de Ising definido em uma rede quadrada. Nesse caso, cada tensor possui quatro índices e cada índice ou perna pode assumir dois valores. Nosso procedimento consiste em subdividir a rede em blocos de quatro tensores, de forma que cada tensor faça parte apenas de um desses blocos. A contração da rede é realizada em etapas. Primeiro as pernas internas a cada bloco são contraídas. Isto resulta em outra rede, com a mesma geometria da rede original, porém o número de tensores é reduzido a quarta parte. Em princípio, o procedimento pode ser repetido até restar apenas um único tensor. A contração das pernas deste último tensor daria a função de partição exata. Porém o número de estados das pernas dos tensores resultante da contração cresce exponencialmente, limitando o uso prático de tal procedimento. Assim, precisamos “renormalizar” os tensores para limitar o número de estados, dos tensores a cada etapa do processo. A renormalização aqui empregada baseia-se na decomposição em valores singulares de alta ordem dos tensores (uma generalização da decomposição de uma matriz em valores singulares). Como resultado, apresentamos um cálculo analítico da função de partição do modelo de Ising na rede quadrada, mantendo apenas dois estados para o tensor renormalizado. Fomos capazes de obter a temperatura crítica com boa precisão, considerando a aproximação radical efetuada. Além disso, aplicamos, numericamente, o procedimento para dimensões de corte tão alta como manter até trinta estados no tensor renormalizado. A termodinâmica do modelo foi obtida com bom acordo com os resultados exatos conhecidos.

Submitted by Mario BC (mario@bc.ufrpe.br) on 2020-10-13T21:25:03Z No. of bitstreams: 1 Jorge Gustavo Bandeira dos Santos.pdf: 964319 bytes, checksum: 6bbe56bd95fb1eb09406170addbbb499 (MD5) Made available in DSpace on 2020-10-13T21:25:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jorge Gustavo Bandeira dos Santos.pdf: 964319 bytes, checksum: 6bbe56bd95fb1eb09406170addbbb499 (MD5) Previous issue date: 2015-08-13 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this work we investigate the criticality of the three-dimensional Ising model with interactions between rst neighbors. In our computational simulations we consider that the spins are distributed in a simple cubic lattice of side L, and lattice parameter a, so the number of spins in the lattice is N = (L=a)3. We employ periodical conditions of contour to describe the volumetric limit, in which the border and nite-size e ects are eliminated. We investigate the critical behavior of the system through the dynamic relaxation technique in short terms where the system evolves according to the Metropolis dynamic. Futhermore, the system properties are calculated before it reaches a state of equilibrium. Here, we consider only evolution from a completely ordered state, that is, the magnetization density of the system at the initial time is unitary. We calculate the magnetization (M), the structure factor (Sk), the time-dependent correlation length ( ), the uctuation of the order parameter (4m) and the second cumulante of Binder (U2). The value of the inverse of the critical temperature, Kc, was estimated using a method that explores the scale behavior of the derivative logarithm of the order parameter with respect to the logarithm of time (t; "), where " measures the distance to the critical point. The quantity (t; ") gives, besides the value of Kc, estimates for the critical exponents , and . The technique of data collapse is used for the purpose of obtaining greater accuracy in the values of the critical parameters obtained. The results found in this work for the critical parameter Kc = 0; 22166(3) and for the critical exponents = 0; 6495(3), = 1,2884(5) and = 0; 3222(3), were compared with others available in the recent specialized literature, for systems that are in the same class as the universality of the three-dimensional Ising model, in which we nd concordance until the fth decimal place through a technique that has a low computational requirement. Neste trabalho investigamos a criticalidade do modelo de Ising tridimensional com interações entre primeiros vizinhos. Em nossas simulações computacionais consideramos que os spins estão distribuídos numa rede cúbica simples de lado L e parâmetro de rede a, de maneira que o número de spins na rede é N = (L=a)3. Empregamos condições de contorno periódicas para descrever o limite volumétrico, na qual os efeitos de fronteira e de tamanho nito são eliminados. Investigamos o comportamento crítico do sistema através da técnica de relaxação dinâmica em tempos curtos onde o sistema evolui segundo a dinâmica de Metropolis. Além disso, as propriedades do sistema são calculadas antes que o mesmo atinja um estado de equilíbrio. Aqui, consideramos apenas a evolução a partir de um estado completamente ordenado, ou seja, a densidade de magnetização do sistema no instante inicial é unitária. Calculamos a magnetização (M), o fator de estrutura (Sk), o comprimento de correlação dependente do tempo ( ), a utuação do parâmetro de ordem ( m) e o segundo cumulante de Binder (U2). O valor do inverso da temperatura crítica, Kc, foi estimado utilizando um método que explora o comportamento de escala da derivada do logaritmo do parâmetro de ordem com respeito ao logaritmo do tempo (t; "), onde " mede a distância ao ponto crítico. A grandeza (t; ") fornece, além do valor de Kc, estimativas para os expoentes críticos , e . A técnica de colapso de dados é utilizada com o propósito de se obter uma maior precisão nos valores dos parâmetros críticos obtidos. Os resultados encontrados neste trabalho para o parâmerto crítico Kc = 0; 22166(3) e para os expoentes críticos = 0; 6495(3), = 1; 2884(5) e = 0; 3222(3), foram comparados com outros disponíveis na literatura especializada recente, para sistemas que estão na mesma classe de universalidade que o modelo de Ising tridimensional, no qual encontramos concordância até a quinta casa decimal através de uma técnica que possui baixa exigência computacional.