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Se (M,g) é uma variedade Riemanniana e 'gama':[a,b]'seta'M é uma geodésica, então o clássico Teorema do Índice de Morse diz que o índice geométrico de 'gama' (i.e., o número de pontos conjugados ao longo de 'gama' contados com multiplicidade) coincide com o índice de Morse de 'gama' (i.e., o índice da segunda variação do funcional ação E(u)=1/2 'INT.'IND. a POT. b' g(ul,ul) no ponto crítico 'gama'). Neste tese nós provamos uma versão do Teorema do Índice de Morse para geodésicas em variedades semi-Riemannianas, i.e., variedades equipadas com um tensor métrico g de sinal indefinido. Consideramos o o caso geral de geodésicas com extremos variáveis em subvariedades de M. No caso semi-Riemanniano o índice geométrico é substituido pelo indice de Maslov, que genericamente fornece uma contagem algébrica dos pontos conjugados ao longo da geodésica, o índice e o co-índice de restrições adequadas da segunda variação do funcional ação em 'gama'. Provamos também um Teorema do Índice para soluções de sistemas Hamiltonianos em variedades simpléticas equipadas de uma distribuição Lagrangeana In (M,g) is a Riemannian manifold and `gama¦:[a,b]`seta¦M is a geodesic then the classical Morse Index Theorem states that the geometric index of `gama¦(i.e., the number of conjugate points along `omega¦ counted with multiplicity) is equal to the Morse index of `omega¦(i.e., the index of the second variation of the action functional E(u)=1/2 `INT.`IND. a POT. b¦ g(ul,ul) at the critical point `gama¦). In this thesis we prove a version of the Morse Index Theorem for geodesics in semi-Riemannian manifolds, i.e., manifolds endowed with and indefinite metric tensor g. We consider the general case of geodesics with end points varying in two submanifolds of M. In the semi-Riemannian case the geometric index is replaced by the Maslov index which gives generically an algebraic count of the conjugate points along the geodesic, the Morse Index (which is infinite in general) is replaced by a difference between the index and the co-index of suitable restrictions of the second variation of the action functional at `gama¦. We also prove an index theorem for solutions of Hamiltonian systems on symplectic manifolds endowed with a Lagrangian distribution

No presente trabalho, estudamos a propriedade da c0-extensão no contexto de espaços de funções contínuas denidas numa reta compacta e tomando valores em R. Nosso principal resultado é que se K é uma reta compacta, então todo subespaço fechado e com dual separável de C(K) possui a propriedade da c0-extensão em C(K) e portanto, o espaço C(K) tem a propriedade de Sobczyk. Também apresentamos uma caracterização das funções phi: K --> L contínuas, crescentes e sobrejetoras entre retas compactas para as quais a subálgebra de Banach phi*C(L) possui a propriedade da c0-extensão em C(K). In this work, we study the c0-extension property in the context of spaces of continuous real-valued functions defined in a compact line. Our main result states that if K is a compact line, then every closed subspace of C(K) with separable dual has the c0-extension property in C(K) and therefore, the space C(K) has the Sobczyk property. We also present a characterization of the continuous order-preserving surjective maps phi : K --> L between compact lines such that the Banach subalgebra phi*C(L) has the c0-extension property in C(K).

Dados um espaço de medida (X;A;m) e números reais p,q>1 com 1/p+1/q=1, o Teorema de Representação de Riesz afirma que Lq(X;A;m) é o dual topológico de Lp(X;A;m) e que Loo(X;A; m) é o dual topológico de L1(X;A;m) se o espaço (X;A;m) for sigma-finito. Observamos que a sigma-finitude de (X;A;m) é condição suficiente mas não necessária para que Loo(X;A;m) seja o dual de L1(X;A;m). Os contra-exemplos tipicamente apresentados para essa última identificação são \"triviais\", no sentido de que desaparecem se \"consertarmos\" a medida , transformando-a numa medida perfeita. Neste trabalho apresentamos condições sufcientes mais fracas que sigma-finitude a fim de que Loo(X;A;m) e o dual de L1(X;A;m) possam ser isometricamente identificados. Além disso, introduzimos um invariante cardinal para espaços de medida que chamaremos a dimensão do espaço e mostramos que se o espaço (X;A;m) for de medida perfeita e tiver dimensão menor ou igual à cardinalidade do continuum então uma condição necessária e suficiente para Loo(X;A;m) seja o dual de L1(X;A;m) é que X admita uma decomposição. Given a measure space (X;A;m) and real numbers p,q>1 with 1/p+1/q=1, the Riesz Representation Theorem states that Lq(X;A;m) is the topological dual space of Lp(X;A;m) and that Loo(X;A; m) is the topological dual space of L1(X;A;m) if (X;A; m) is sigma-finite. We observe that the sigma-finiteness of (X;A;m) is a suficient but not necessary condition for Loo(X;A;m) to be the dual of L1(X;A;m). The counter-examples that are typically presented for Loo(X;A;m) = L1(X;A;m)* are \"trivial\", in the sense that they vanish if we fix the measure , making it into a perfect measure. In this work we present suficient conditions weaker than sigma-finiteness in order that Loo(X;A; m) and L1(X;A;m)* can be isometrically identified. Moreover, we introduce a cardinal invariant for measure spaces which we call the dimension of the space and we show that if the space (X;A;m) has perfect measure and dimension less than or equal to the cardinal of the continuum then a necessary and suficient condition for Loo(X;A;m) = L1(X;A;m)* is that X admits a decomposition.

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O objetivo desta dissertação é demonstrar uma generalização do Teorema Fundamental das Imersões Isométricas utilizando uma versão apropriada do Teorema de Frobenius e a teoria de conexões em fibrados principais e fibrados associados. O teorema principal da dissertação dá condições necessárias e suficientespara que exista uma imersão isométrica local de uma variedade Riemanniana (M, g) em uma variedade Riemanniana (M, g) (não necessariamente com curvatura seccional (`M BARRA`, `g BARRA¦) (não necessariamente com curvatura seccional constante), com segunda forma fundamental e conexão normal prescritas not available