Search

Yüksek Lisans Tezi 1. Bölümde konunun literatürdeki yeri ile ilgili ön bilgiler verilmiştir. 2. Bölümde değerlendirmeler, placeler ve cisim genişlemeleri ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. 3. Bölümde değerlendirmelerin genişlemeleri ve genişlemelerinin sayısı incelenmiştir. 4. Bölümde bir cismi üzerinde tanımlı değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K(x) cismine tüm genişlemeleri sınıflandırılmıştır. 5. Bölümde ise değerlendirilmiş cisimlerde bazı asallık kriterlerinin nasıl uygulandığı ve bu kriterlerle ilgili bazı sonuçlar incelenmiştir. Abstract In Chapter 1, basic information about the position of the subject in literature is given. In Chapter 2, fundamental knowledge relavant to valuations, places and field extensions is given. In Chapter 3, extensions of valuations and number of the extensions are studied. In Chapter 4, all extensions of valuations whose value groups are additive group on a field to field are categorized. In Chapter 5, some irreducibility criterions and how they are practiced over a valued field are handled and then several results related to the criterions are analyzed.

Yüksek Lisans Tezi Bu çalışmada Cebir ve Sayılar Teorisinde önemli yere sahip iki temel konuda çalışılmıştır. Bunlardan birincisi Değerlendirmeler ve Değerlendirmelerin Genişlemeleri, ikincisi de Değerlendirilmiş Gruplardır. I. Bölümde Değerlendirmeler ve Cisimler ile ilgili gerekli bilgiler verilmiştir. II. Bölümde Değerlendirmelerin rankları incelenmiş ve bir K cisminin değerlendirmelerinin K(x) cismine cebirsel ve transandant genişlemeleri ele alınmıştır. III. Bölüm Değerlendirilmiş Gruplar ile ilgili olup, bir grup üzerinde bir değerlendirmenin nasıl tanımlandığı incelenmiş ve bazı özel değerlendirilmiş gruplara yer verilmiştir. In this work, it is aimed to research in two important subjects of Algebra and Number Theory. The first subject is Valuation Theory and the second one is Valuated Groups In chapter I, pertinent background on Valuations and Field Extensions is given. In chapter II, the ranks of valuations are studied. Then the transcendental and algebraic extensions of valuations on K to K(x) are given. In chapter III, Valuated Groups are studied. In this chapter valuations on groups and certain special valuated groups are investigated.

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde cebirsel geometrik (CG) kodlar, genelleştirilmiş cebirsel geometrik (GCG) kodlar ve bu kodların otomorfizma gruplarının literatürdeki öneminden bahsedildikten sonra bu tez boyunca uygulanacak yöntemler hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, CG kodların ve GCG kodların matematiksel alt yapısını oluşturan fonksiyon cismi teorisi ve kodlama teorisinin temel tanım ve kavramları verildikten sonra bu kodlar sunulmuştur. Ardından fonksiyon cismi genişlemeleri ile ilgili tez boyunca ihtiyaç duyulacak temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, her bir koleksiyondaki noktaların derecesi aynı olmak üzere noktaların iki koleksiyonu tarafından oluşturulan GCG kodlar göz önüne alınıp, bu çalışmaya ait olan özgün sonuçlar sunulmaya başlanmıştır. Bu sınıftaki bir GCG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubu olan N1 N 2 -otomorfizma grubu kavramı tanımlanmıştır. Daha sonra, keyfi fonksiyon cismi durumunda N 1 N 2 -otomorfizma grubunun bir alt grubu ve rasyonel, hipereliptik ve Hermityan fonksiyon cismi durumlarında N 1 N 2 -otomorfizma grubunun kendisi belirlenmiştir. Rasyonel fonksiyon cismi durumunda N 1 N 2 -otomorfizma grubu uygulama anlamında yapısal olarak inşa edilmiştir. Bu bölümdeki sonuçların elde edilmesi için kullanılan yöntemler, yapısında aynı dereceden noktaların daha fazla koleksiyonunu içeren bir GCG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubunun belirlenmesi için bir method sunmaktadır. Dördüncü bölümde, belli şartlar altında bir GCG kodun izomorfizmalar gözetilmeksizin bir CG kod tarafından kapsandığı gösterilmiştir. Ardından üçüncü bölümde olduğu gibi aynı dereceden noktaların iki koleksiyonu tarafından oluşturulan GCG kodların bir sınıfı göz önüne alınıp, böyle bir kodun N 1 N 2 -otomorfizma grubunun, ilgili CG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubu olduğu gösterilmiştir. Böylece, bir CG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubunu bulmak için bir yöntem sunulmuştur. Son bölümde, bu çalışmada kullanılan yöntemler ve bulunan sonuçlar değerlendirilmiştir. Ayrıca devam çalışmaları konusunda çıkarımlarda bulunulmuştur. This study consists of five chapters. In the first chapter, after mentioning the importance of algebraic geometry (AG) codes, generalized algebraic geometry (GAG) codes and automorphism groups of these codes in the literature, information is given about the methods to be applied throughout this thesis. In the second chapter, after giving the basic definitions and concepts of function field theory and coding theory, which constitute the mathematical substructure of AG codes and GAG codes, these codes are presented. Finally, in this chapter, basic definitions and concepts that will be needed throughout the thesis on function field extensions are given. In the third chapter, with places of the same degree in each collection, the GAG codes constructed by two collections of places are considered and the original results of this study have begun to be presented. The concept of N 1 N 2 -automorphism group, which is a subgroup of the automorphism group of a GAG code in this class, is defined. Then, a subgroup of the N 1 N 2 -automorphism group in the case of an arbitrary function field and the N 1 N 2 -automorphism group itself in rational, hyperelliptic and Hermitian function field cases are determined. In the case of the rational function field, the N 1 N 2 automorphism group is structurally constructed for application purposes. The techniques used to obtain the results in this chapter provide a method for determining a subgroup of the automorphism group of a GAG code that contains more collections of places of the same degree in its structure. In the fourth chapter, it has been shown that under certain conditions a GAG code is contained (up to isomorphism) in an AG code. Then, as in the third chapter, GAG codes formed by two collections of places of the same degree is considered and it is shown that the N 1 N 2 -automorphism group of such a code is a subgroup of the automorphism group of the corresponding AG code. Thus, a method is presented to find a subgroup of the automorphism group of an AG code. In the last chapter, the methods used and the results obtained are evaluated. In addition, inferences are made for continuation studies.

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, tezin yazımında kullanılacak olan fonksiyon cismi teorisine cebirsel yaklaşım hakkında bilgi verilmiştir. Kodlama teorisinin tarihsel gelişim süreci hakkında bilgi verildikten sonra, fonksiyon cismi teorisiyle olan ilişkisinden bahsedilmiştir. Son olarak, cebirsel geometrik kodların özellikleri ve kodlama teorisindeki yeri ve öneminden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, cebirsel yaklaşım kullanılarak fonksiyon cismi teorisinin temel kavramları ve teoremleri verilmiştir. Bu bölümde ana amaç Riemann-Roch teoreminin kanıtını vermektir. Ek olarak, cebirsel geometrik kodların inşası için gerekli olan altyapı oluşturulmuştur. Üçüncü bölümde, kodlama teorisiyle ilgili temel bilgiler verildikten sonra, cebirsel geometrik kodlar incelenmiştir ve parametreleriyle ilgili temel bilgiler verilmiştir. Reed-Solomon, BCH ve "klasik" Goppa kodlarının, cebirsel geometrik kodlar olarak temsil edilebileceği gösterilmiştir. Ardından, kodların asimptotik teorisiyle ilgili temel kavramlar ve sınırlar verildikten sonra asimptotik Tsfasman-Vladut-Zink Sınırı verilmiştir. Son olarak, bir divizörün tabanı kavramı incelenmiştir ve bu kavram yardımıyla cebirsel geometrik kodların tasarlanmış uzaklığı üzerinde elde edilen literatürdeki bir dizi gelişme incelenmiştir. This thesis consists of four chapters. In the first chapter, information about the algebraic approach to the function field theory to be used in writing the thesis is given. After giving information about the historical development process of coding theory, its relationship with the function field theory is discussed. Finally, the properties of algebraic geometric codes and their place and importance in coding theory are mentioned. In the second chapter, basic concepts and theorems of function field theory are given using algebraic approach. The main purpose of this chapter is to prove the Riemann-Roch theorem. In addition, the infrastructure necessary for the construction of algebraic geometric codes is established. In the third chapter, after giving basic information about coding theory, algebraic geometric codes are studied and basic information about their parameters is given. It has been shown that, Reed-Solomon, BCH and "classical" Goppa codes can be represented as algebraic geometric codes. Next, the asymptotic Tsfasman-Vladut-Zink Bound has been given after the basic concepts and bounds related to the asymptotic theory of codes have been given. Finally, the concept of the floor of a divisor is studied and a number of developments on the designed distance of algebraic geometric codes in the literature that obtained with the help of this concept are investigated.

Bu tezin amacı yeni ve iyi kodların varlığını ortaya koymaktır. Tez çalışmasında önce kodlama teorisi ile ilgili ön bilgiler verilmiştir. Belirli halkalar üzerinde özel üreteçler oluşturulmuş, bu üreteçler ile özel kodlar yazılmış ve bu kodların Hadamard kodları ile bağlantısı ifade edilmiştir. Quasi-cyclic kod olan Hadamard kodlar tespit edilmiştir. Hadamard kodlara eşit ya da denk olan tek kod, çift kod gibi farklı kodlar bulunmuştur. Ardından p bir asal sayı olmak üzere tipinde yeni halkalar yazılmış ve bu halkaların üzerinde ağırlık fonksiyonları tanımlanmıştır. Ayrıca yeni Gray dönüşümleri verilerek bu halkaların bilinen halkalar ve Galois cisimleri ile ilişkisi gösterilmiştir. Burada durumu için 16 elemanlı halkada constacyclic kodlar çalışılmıştır. olan asal sayılar için ise elemanlı halkalar için cyclic kodlar çalışılmıştır. Bu tip halkalarda yazılan kodlar için yeni sonuçlar elde edilmiştir. Son bölümde ise elde edilmiş olan tüm yeni sonuçlar özet olarak sunulmuştur. abstract The aim of this thesis is to show the existence of new and good codes. In this thesis basic knowledge on coding theory is given. Special generators over certain rings are constructed, especial codes are written with these generators and the relation between these codes and Hadamard codes is established. Hadamard codes which are quasi-cyclic codes are obtained. Different codes which are equal or equivalent to Hadamard codes such as odd code, even code are found. Then new rings in type are written in case of where p is a prime number and weight function over these rings are defined. Writing new Gray maps, the relations among these rings, another known rings and Galois fields are shown. For the case , constacyclic codes over the ring which has 16 elements. For the case p is prime number such that , cyclic codes are studied over the ring which has elements. The new consequences are obtained for the codes writing over these kind rings are submitted and proofs are shown. In the last chapter all new consequences obtained are presented as a summary.

II. Bölümde konuyla ilgili ön bilgiler verilmiştir. III. Bölümde tame genişlemeleri ve değerlendirilmiş cisimler üzerinde tanımlanmış olan sabitlere ait bazı teoremlere yer verilmiştir. Ardından seçkin ikililer ve seçkin zincirlerin sağladığı özellikler ve zincirdeki elemanları içeren cebirsel genişlemeler irdelenmiştir. Daha sonra değerlendirilmiş bir cismin tame genişlemeleri ve sabitleri ile ilgili elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. IV. Bölümde ise rezidül transandant genişlemeler, lifting polinomları ile ilgili tanımlar ve teoremler verilmiştir. Lifting polinomlarının köklerinin ve köklerin sabitlerinin özellikleri çalışılmıştır. Bu kavramların rezidül transandant genişlemeler ile ilişkisi incelenmiştir. Seçkin zincirler yardımıyla değer gruplarının ve rezidü cisimlerinin yazılışı ve lifting polinomlarının sağladığı bazı özellikler elde edilmiştir. Daha sonra bir K cisminin rankı 2 olan bir v değerlendirmesinin K(x) rasyonel fonksiyon cismine genişlemeleri ele alınmıştır. Bu genişlemeler için yeni teoremler elde edilmiştir. Ardından, elde edilen teoremler v değerlendirmesinin rankının n olması durumu için genelleştirilmiştir.Önceki bölümlerde elde edilen tüm sonuçlara V. Bölümde yer verilmiştir. In Chapter II pertinent background material and definitions are given.In Chapter III some theorems about tame extensions and constants that are defined on valued fields are considered. Then properties of distinguished pairs and distinguished chains and also their algebraic extensions are studied. The results obtained about constants and tame extensions of valuated fields are given In Chapter IV the definitions and theorems about residual trascendental extensions and lifting polynomials are given. The properties of the roots of lifting polynomials and constants of these roots are studied. Their relations with residual transcendental extensions are investigated. Value groups and residue fields are described and some properties of lifting polynomials obtained via distinguished chains. The extensions of a valuation v to tame extensions of K and to rational function field K(x) are considered where v is a valuation of a field K with rankv=2. New theorems are obtained for these extensions. Then these theorems are generalized to the case rankv=n.All results obtained in previous sections are given in Chapter V 64

Doktora Tezi II. Bölümde konuyla ilgili ön bilgiler verilmiştir. III. Bölümde tame genişlemeleri ve değerlendirilmiş cisimler üzerinde tanımlanmış olan sabitlere ait bazı teoremlere yer verilmiştir. Ardından seçkin ikililer ve seçkin zincirlerin sağladığı özellikler ve zincirdeki elemanları içeren cebirsel geniGlemeler irdelenmiştir. Daha sonra değerlendirilmiş bir cismin tame genişlemeleri ve sabitleri ile ilgili elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. IV. Bölümde ise rezidül transandant genişlemeler, lifting polinomları ile ilgili tanımlar ve teoremler verilmiştir. Lifting polinomlarının köklerinin ve köklerin sabitlerinin özellikleri çalışılmıştır. Bu kavramların rezidül transandant genişlemeler ile ilişkisi incelenmiştir. Seçkin zincirler yardımıyla değer gruplarının ve rezidü cisimlerinin yazılışı ve lifting polinomlarının sağladığı bazı özellikler elde edilmiştir. Daha sonra bir cisminin rankı 2 olan bir değerlendirmesinin rasyonel fonksiyon cismine genişlemeleri ele alınmıştır. Bu genişlemeler için yeni teoremler elde edilmiştir. Ardından, elde edilen teoremler değerlendirmesinin rankının olması durumu için genelleştirilmiştir. Önceki bölümlerde elde edilen tüm sonuçlara V. Bölümde yer verilmiştir. Abstract In Chapter II pertinent background material and definitions are given. In Chapter III some theorems about tame extensions and constants that are defined on valued fields are considered. Then properties of distinguished pairs and distinguished chains and also their algebraic extensions are studied. The results obtained about constants and tame extensions of valuated fields are given In Chapter IV the definitions and theorems about residual trascendental extensions and lifting polynomials are given. The properties of the roots of lifting polynomials and constants of these roots are studied. Their relations with residual transcendental extensions are investigated. Value groups and residue fields are described and some properties of lifting polynomials obtained via distinguished chains. The extensions of a valuation to tame extensions of and to rational function field are considered where is a valuation of a field with . New theorems are obtained for these extensions. Then these theorems are generalized to the case . All results obtained in previous sections are given in Chapter V

Yüksek Lisans Tezi 1. Bölümde konunun literatürdeki yeri ile ilgili ön bilgiler verilmiştir. 2. Bölümde değerlendirmeler, placeler ve cisim genişlemeleri ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. 3. Bölümde değerlendirmelerin genişlemeleri ve genişlemelerinin sayısı incelenmiştir. 4. Bölümde bir cismi üzerinde tanımlı değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K(x) cismine tüm genişlemeleri sınıflandırılmıştır. 5. Bölümde ise değerlendirilmiş cisimlerde bazı asallık kriterlerinin nasıl uygulandığı ve bu kriterlerle ilgili bazı sonuçlar incelenmiştir. Abstract In Chapter 1, basic information about the position of the subject in literature is given. In Chapter 2, fundamental knowledge relavant to valuations, places and field extensions is given. In Chapter 3, extensions of valuations and number of the extensions are studied. In Chapter 4, all extensions of valuations whose value groups are additive group on a field to field are categorized. In Chapter 5, some irreducibility criterions and how they are practiced over a valued field are handled and then several results related to the criterions are analyzed.

Yüksek Lisans Tezi "Gröbner Tabanları" olarak adlandırılan bu çalışmada izlenen plan aşağıdaki biçimdedir. I. Bölümde çok değişkenli polinomlar ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. II. Bölümde terim sıralamaları ve indirgemeler çalışılmıştır. III. Bölümde Gröbner tabanının genel tanımı verilerek, S-Polinomları ve Buchberger Algoritması incelenmiştir. IV. Bölümde katsayıları cisim dışındaki farklı cebirsel yapılarda olan polinom halkalarında Gröbner tabanları çalışılmıştır. Abstract The plan followed in this work which is entitled as "Gröbner Basis" may be as below. In Chapter I pertinent background are given. In Chapter II term orders and reductions are studied. In Chapter III general definition of Gröbner base is given, S-Polynomials and Buchberger Algorithm are investigated. In Chapter IV Gröbner bases in polynomial rings which have not coefficent in a field are studied.

Yüksek Lisans Tezi Bir K cismi üzerindeki v değerlendirmesinin K(x) cismine genişlemelerinin sınıflandırılmasının amaçlandığı bu çalışmada izlenen plan aşağıdaki biçimdedir. I. Bölümde değerlendirmeler ve cisim genişlemeleri ile ilgili gerekli ön bilgiler yer almaktadır. II. Bölümde değerlendirmelerin genişlemeleri ve genişlemelerin sayısı ile değerlendirmelerin rankı ele alınmıştır. III. Bölümde bir K cismi üzerinde değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K(x) cismine genişlemeleri sınıflandırılmıştır. Abstract The plan of this study which aims to obtain a classification of extensions of a valuation v of a field K to K(x) is below: In the Chapter I, basic knowledge for valuations and field extensions is given. In the Chapter II, extensions of valuations and rank of a valuation are studied. In the Chapter III, extensions of a valuation on a field K to K(x) are classified.

Yüksek Lisans Tezi Bir K cismi üzerindeki v değerlendirmesinin K(x) cismine genişlemelerinin sınıflandırılmasının amaçlandığı bu çalışmada izlenen plan aşağıdaki biçimdedir. I. Bölümde değerlendirmeler ve cisim genişlemeleri ile ilgili gerekli ön bilgiler yer almaktadır. II. Bölümde değerlendirmelerin genişlemeleri ve genişlemelerin sayısı ile değerlendirmelerin rankı ele alınmıştır. III. Bölümde bir K cismi üzerinde değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K(x) cismine genişlemeleri sınıflandırılmıştır. Abstract The plan of this study which aims to obtain a classification of extensions of a valuation v of a field K to K(x) is below: In the Chapter I, basic knowledge for valuations and field extensions is given. In the Chapter II, extensions of valuations and rank of a valuation are studied. In the Chapter III, extensions of a valuation on a field K to K(x) are classified.