Search

Ovaj rad bavi se poznatim problemom: ”Lovac kreće iz svog šatora i hoda 10 km prema jugu. Nakon toga skreće i hoda 10 km prema zapadu. Onda skreće prema sjeveru i hoda 10 km. Nakon prehodanih 30 km nalazi se na mjestu s kojeg je krenuo, pred svojim šatorom, no ne može ući jer je unutra medvjed. Koje je boje medvjed?” U prvom poglavlju opisani su osnovni pojmovi sferne geometrije te su navedeni osnovni teoremi i definicije toga područja. U drugom su poglavlju opisana rješenja navedenog zadatka na različitim rotacijskim plohama: sferi, kružnom valjku i kružnom stošcu. Na kraju se spominje postojanost rješenja na općenitoj rotacijskoj plohi. This paper presents a well-known problem: ”A hunter started from his tent and went 10 km strictly south. After that he turns and walks 10 km strictly west. Then he turns to the north and walks 10 km. After walking 30 km he is in front of his tent, but he can’t enter because there is a bear inside. What color is the bear? ” The first chapter presents the basic concepts, definitions and theorems of spherical geometry. The second chapter describes the answers of this problem on different rotational surfaces: a sphere, a cylinder and a cone, and in the end, on general rotational surfaces.

Oble plohe čije smo međusobne prodore promatrali u ovom radu su stožac, valjak i sfera. Spomenute plohe su plohe 2. reda, a njihovim prodorom nastaju prostorne krivulje 4. reda. Razlikujemo prave i raspadnute prostorne krivulje, a kakva krivulja nastaje prodorom dviju ploha ovisi o njihovom međusobnom položaju. Prave prostorne krivulje možemo klasificirati na jednodijelne, dvodijelne te krivulje s dvostrukom točkom. Ukoliko dođe do raspada, prostorna se krivulja 4. reda raspada na krivulje nižih redova, ali tako da je zbroj redova tih krivulja jednak 4. Općenito, možemo govoriti o raspadu na četiri pravca, raspadu na dvije krivulje 2. reda, raspadu na krivulju 3. reda i pravac te raspadu na krivulju 2. reda i dva pravca. Projekcije oblih ploha i njihovih prodornih krivulja prikazivali smo pomoću Mongeove metode i aksonometrije u programu za 3D modeliranje Rhinoceros, ali primjenom klasičnih metoda presječnih ravnina. Kod prodora valjaka i/ili stožaca presječne ravnine odabiru se tako da obje plohe sijeku duž njihovih izvodnica dok se kod prodora sa sferom presječne ravnine odabiru tako da su najpogodnije za tu drugu plohu. Premda prikazivanje prodora stožaca, valjaka i sfera izgleda i zvuči komplicirano, njihova primjena je široka, a pronalazimo je u svakodnevnom životu. Jednostavniji primjeri prodora su spajanje cijevi, ograde, loptice... Ozbiljniji i kreativniji primjeri prodora su pojedini svodovi i kupole. Curved solids whose intersections have been described in this thesis are a cone, a cylinder and a sphere. Mentioned solids are solids of the 2nd order and their intersection is space curve of the 4th order. We differentiate between proper space curves and degenerated space curves and which one appears depends on the position of solids that we intersect. Proper space curves are classified as one-branch, two-branch and curves with one double point. If there comes to decomposition, a space curve of the 4th order is decomposed into curves of lower order but so that the sum of their orders equals 4. Generally, we can talk about following decompositions: four lines, two curves of the 2nd order, a curve of the 3rd order and a line, a curve of the 2nd order and two lines. Projections of curved solids and their intersection have been represented by Monge’s method and axonometry in the program for 3D modeling Rhinoceros but also with classical methods of cutting planes. In case of intersecting cylinders and/or cones, we choose cutting planes that intersect both solids along their generatrices. When one of the two solids is a sphere, we choose cutting planes that cut the other solid in the simplest possible curves. Although intersections of curved solids seem and sound complicated, their application is wide and can be found in everyday life. Here are some simple examples of their application: connecting tubes, fences, balls...Serious and creative examples are some domes and vaults.

U ovom radu opisujemo vektorsku metodu te pomoću nje dokazujemo mnoge dobro poznate planimetrijske i stereometrijske probleme. Rad je podijeljen na osam poglavlja. U prvom poglavlju donosimo pregled osnovnih definicija i tvrdnji vezanih uz vektore i vektorski račun. U drugom poglavlju definiramo radijvektor točke u ravnini i prostoru te dokazujemo geometrijske tvrdnje koristeći radijvektore. U trećem, četvrtom i petom poglavlju definiramo operacije skalarnog, vektorskog i mješovitog množenja, dokazujemo njihova bitna svojstva te iskazujemo neke posljedice tih svojstava. Primjenom definicija i svojstava ovih operacija dokazujemo mnoge tvrdnje iz elementarne geometrije. Posljednja tri poglavlja su posvećena primjeni vektorske metode na trokut, četverokut i kružnicu te tetraedar, paralelepiped i sferu. In this thesis, we describe the vector method and we prove many well-known planimetric and stereometric problems by using it. Thesis is divided into eight chapters. In the first chapter, we provide an overview of basic definitions and claims related to vectors and operations on them. In the second chapter, we define radius vectors in the plane and in the space and we prove some planimetric problems by applying them. In the third, the fourth and the fifth chapter, we define the inner, vector (cross) and mixed (scalar triple) products of vectors. We also apply these operations to solve some geometric problems. In last three chapters, we show the application of the vector method to triangle, quadrilateral, circle, tetrahedron, parallelepiped and sphere.