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Ein Klassiker mit hoher Verbreitung in der Praxis. Die Zusammenstellung der fur die Praxis der mathematisch-statistischen Arbeiten wichtigen Verfahren mit ihren Grundlagen, den benoetigten Formeln und den erforderlichen Tabellen oder Nomogrammen ist einmalig. Der Verzicht auf Beweise und Ableitungen gelingt, weil durchgerechnete Beispiele die wesentlichsten Methoden anschaulich erlautern. Anwendungen finden sich in vielen Bereichen der Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften, Medizin und Sozialwissenschaften. Sie dienen beispielsweise dazu, anfallende Daten auszuwerten und Zusammenhange zwischen Einfluss- und Zielgroessen darzulegen.

Der Schwerpunkt aller bisher geschilderten Gedankengange lag auf der statistischen Untersuchung und Auswertung eines in sich abgeschlossenen Beobachtungsmaterials, mochte es sich um kleine oder grose Stichproben, um den Vergleich mehrerer Mesreihen oder ahnliches handeln. Abschliesend sollen hier nun diejenigen Verfahren kurz beschrieben werden, die sich auf eine laufende Produktionsuberwachung im engeren Sinne beziehen, also auf eine mit statistischen Methoden vorgenommene Uberprufung der Produktion wahrend der Herstellung selbst. Auf diese Weise kann man den Herstellungsprozes direkt uberwachen und in dem Fall, wo das hergestellte Produkt in seinem gepruften Merkmale (z. B. Garnnummer, Festigkeit, Drehung usw.) von dem Sollwert zu stark abzuweichen beginnt oder in seiner zufallsbedingten Streuung um diesen Sollwert unzulassig hohe Werte anzunehmen droht, sofort in den Herstellungsprozes eingreifen. Ein eventueller Ausschus kann so nicht erst nach seiner Produktion festgestellt und ausgemerzt, sondern gleichsam in statu nascendi erfast und behoben werden, und in dieser Moglichkeit, die vom produktionstechnischen und wirtschaftlichen Standpunkt aus ja auserordentlich wesentlich ist, liegt der Wert der im folgenden geschilderten Verfahren, die gerade in jungster Zeit mehr und mehr an Bedeutung gewonnen haben.

Transformation x=f(x)x hat eine Verteilung mit $$M\left\{ x \right\} = \xi ;\quad V\left\{ x \right\} = \sigma _a^2.$$ (12.1.1)

Die wichtigste Frage bei textilen Untersuchungen betrifft den Mittelwert aus einer Stichprobe und seinen Vertrauensbereich. Da die gefundenen Einzelwerte mit zufalligen Schwankungen behaftet sind, bleibt die Frage offen, in welchem Bereich der Mittelwert der Grundgesamtheit anzusetzen ist, d. h. innerhalb welcher Grenzen er Vertrauen verdient. Die Weite des Vertrauensbereiches hangt ab 1. von der Zahl der durchgefuhrten Messungen (Stichprobenumfang N), 2. von der Streuung s 2 der Einzelwerte, 3. von der geforderten statistischen Sicherheit S.

Jedem zufalligen Ereignis A wird eine bestimmte Zahl W{A} zugeordnet — seine Wahrscheinlichkeit. W{A} kann Zahlenwerte zwischen 0 und 1 annehmen. Dem sicheren Ereignis entspricht W{A} = 1, dem unmoglichen Ereignis entspricht W{A} = 0 (die Umkehrung gilt nicht).

x A sei der kleinste und x E der groste auftretende Merkmalwert; f(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte; Abb. 3.1.1.

Ein hier vorliegendes grundsatzliches Problem ist durch das folgende Beispiel gegeben: Ein Garn wird aus Wolle und Zellwolle im Mischungsverhaltnis 70 (Wolle): 30 (Zellwolle) hergestellt. Innerhalb welcher Grenzen kann in einem beliebigen Garnquerschnitt das Verhaltnis der Wollfasern zu den Zellwollfasern bei rein zufalliger Faseranordnung schwanken?

Bei allen bisher behandelten Fragestellungen war nur eine einzige Veranderliche (Merkmal) im Spiel, und die Betrachtungen, die in der Ermittlung, Verteilung und Auswertung der statistischen Kennzahlen „Durchschnitt“ und „m. qu. Abw.“ mundeten, bezogen sich stets auf dieses einzige Merkmal x. Eine grundsatzliche Erweiterung aller durchgefuhrten Gedankengange ist zu erwarten, wenn man sie auf Gesamtheiten ausdehnt, die von zwei oder mehr veranderlichen Merkmalen abhangen. Von diesem sehr ausgedehnten Gebiet der mathematischen Statistik, das in seinem Gesamtumfang als Korrelationstheorie bezeichnet wird, werden im folgenden die einfachsten Gesetzmasigkeiten behandelt, wobei wir uns auf den Fall zweier Merkmale beschranken.

Aus der binomischen Verteilung $$\varphi (m) = ({}_m^n){p^m}{q^{n - m}};\;m = 0,1,...n$$ (1) (vgl. S. 29ff.) wurde fur den Grenzfall n → ∞ die Gausssche Normalverteilung gewonnen. Dabei ging zugleich mit n → ∞ die Stufenbreite des binomialen Staffelbildes c → 0, so das eine stetige Kurve (Glockenkurve) entstand. Die Voraussetzung fur diesen Grenzubergang war, das p einen endlichen Wert aufweist.