Search

Eine grundlegende Aufgabe der Statistik besteht darin, Informationen uber bestimmte Objekte zu gewinnen, ohne dass dabei alle Objekte untersucht werden mussen. Es werden also Daten uber eine Stichprobe erhoben und in der Folge ausgewertet, um daraus Schlussfolgerungen ziehen zu konnen.

Die Normalverteilung ist ohne Zweifel die wichtigste Verteilung der Statistik. Sie ist zu erwarten, wenn ein Merkmal, zum Beispiel die Fullmenge X von automatisch abgefullten Glasern, sich aus einer Summe von vielen zufalligen, unabhangigen Einflussen, von denen keiner dominierend ist, zusammensetzt. Solche Einflusse konnen zum Beispiel sein: Auswirkungen von Temperatur oder Feuchtigkeit auf Automaten und Material; kleine, anhaltende Erschutterungen verschiedener Ursachen; Unregelmasigkeiten in der Zusammensetzung eines Materials, usw. Alle diese Einflusse addieren sich zu moglichen Werten von X, die sich um eine mittlere Lage haufen und symmetrisch nach kleineren und groseren Werten hin immer seltener vorkommen. Diese Tatsache wird durch den zentralen Grenzwertsatz beschrieben, den wir im nachsten Abschnitt naher beleuchten werden.

Bis jetzt haben wir es fast ausschlieslich mit Funktionen einer Variable zu tun gehabt. Nicht in jeder Situation kommt man aber damit aus. So wird z. B. der Ertrag einer Firma im Allgemeinen von mehreren Faktoren abhangen und ist somit eine Funktion von mehreren Variablen. Diesen Fall wollen wir nun eingehender untersuchen.

Wir besprechen in diesem Kapiteleinige in der Praxis wichtige diskrete Verteilungen: die hypergeometrische Verteilung, die Binomialverteilung und die PoissonVerteilung. Im vorhergehenden Kapitelsind Ihnen (ohne dass sie so genannt wurden) bereits hypergeometrisch und binomialverteilte Zufallsvariable begegnet. Da sie so oft auftreten, uberlegt man sich in der Praxis nicht von Problemstellung zu Problemstellung die Wahrscheinlichkeitsverteilung neu, sondern greift auf Formeln zuruck (bzw. auf Computer-/Taschenrechnerfunktionen). Die Kunst besteht darin zu erkennen, wann es sich um welche Verteilung handelt.

Viele Abzahlprobleme konnen nicht direkt mithilfe der Methoden gelost werden, die wir im Kapitel 7 kennen gelernt haben. Ein Beispiel fur ein solches Problem ist: Wie viele Moglichkeiten gibt es, Bitfolgen der Lange \( n \) zu bilden, die keine aufeinander folgenden 1 enthalten? Wenn wir zum Beispiel \( n = 3 \) setzen, dann konnen wir die erlaubten Bitfolgen leicht anschreiben: 000, 100, 010, 001, 101; es gibt also funf derartige Folgen.

Erinnern Sie sich an die Definition eines Korpers in Abschnitt 3.2. Das ist eine Menge \( \mathbb{K} \) gemeinsam mit zwei Verknupfungen, Addition und Multiplikation genannt, die bestimmte Eigenschaften erfullen. Insbesondere gibt es fur jedes Element \( a \) des Korpers ein inverses Element \( -a \) bezuglich der Addition und fur jedes \( a \ne 0 \) ein Inverses \( a^{-1} \) bezuglich der Multiplikation.

In diesem Abschnitt werden Ihnen einige vertraute Begriffe begegnen. Wir beginnen mit den naturlichen Zahlen.

Relationen sind ein mathematisches Hilfsmittel, um Beziehungen zwischen einzelnen Objekten zu beschreiben. Sie werden zum Beispiel in relationalen Datenbanken und in der theoretischen Informatik (z. B. formale Sprachen) verwendet.

Erinnern Sie sich an die Division mit Rest aus Satz 2.49: Wenn \( a \in \mathbb{Z}\ \) und \( m \in \mathbb{N}\ \), so kann man \( a \) in der Form $$ a = q \cdot m + r\ $$

Wir haben bisher die Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar definiert.

Baume gehoren zu den wichtigsten Typen von Graphen. Sie sind grundlegende Bausteine fur alle Graphen. Daruber hinaus sind sie gut geeignet zur Darstellung von Strukturen bzw. Ablaufen (z. B. Suchen, Sortieren).

Wir haben eine Menge von \( n \) linear unabhangigen Vektoren \( {{\rm{u}}_1},...,{{\rm{u}}_n} \in {\mathbb{R}^n} \) (oder \( {\mathbb{C}^n} \)) als Basis bezeichnet, da sich jeder Vektor \( {\rm{x}} \in {\mathbb{R}^n} \) als Linearkombination $$ {\rm{x}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{y_j}{u_j}} $$

Graphen werden oft zur Modellierung von Transportproblemen verwendet. Transportiert wird zum Beispiel Wasser oder Ol in einem Leitungsnetz. Allgemeiner konnen wir aber auch von einem Fluss von Information, Emails, Anrufen durch ein Kommunikationsnetz, von Menschen im offentlichen Verkehrsnetz, von PKWs oder Warenlieferungen durch ein Strasennetz, usw. sprechen.

Graphen werden in vielen Anwendungsgebieten, wie zum Beispiel Informations- und Kommunikationstechnologien, Routenplanung oder Projektplanung eingesetzt. Sie helfen bei der Beantwortung von Fragen wie: Auf welchem Weg konnen Nachrichten im Internet moglichst effizient vom Sender zum Empfanger geleitet werden? Wo sollen neue Strasen gebaut werden, um den Verkehrsfluss zu verbessern oder um Wegstrecken zu minimieren? Welche Fahrtroute ist optimal, um moglichst schnell von einem Startort zu einem Zielort zu gelangen? In welcher Reihenfolge soll ein Roboter Locher in Platinen bohren, sodass er moglichst wenig Zeit pro Platine braucht? Die zunehmende Bedeutung der Graphen kommt vor allem daher, dass sehr komplexe Probleme modelliert und mithilfe von Algorithmen gelost werden konnen, die in der Graphentheorie entwickelt wurden.

In den meisten Programmiersprachen steht der Datentyp array (engl. fur Feld, Anordnung) zur Verfugung. In einem array konnen mehrere gleichartige Elemente zusammengefasst werden, auf die mithilfe von Indizes zugegriffen wird. Hat jedes Element einen Index, so entspricht der array einem Vektor; wird jedes Element durch zwei Indizes angegeben, so fuhrt uns das auf den mathematischen Begriff einer Matrix.

Wir haben in Kapitel 2 gesehen, dass wir durch gezieltes Probieren die Zahl \( \sqrt 2 \) beliebig genau durch rationale Zahlen annahern konnen. Ein effizientes Verfahren hat der griechische Mathematiker Heron im 1. Jh. n. Chr. angegeben: Man beginnt mit einem Naherungswert \( {a_1} \), etwa \( {a_1} = 2 \), und wahlt einen zweiten Wert \( {b_1} = \frac{2}{{{a_1}}} = 1 \), sodass das Rechteck mit den Seiten \( {a_1} \) und \( {b_1} \) die Flache \( {a_1}{b_1} = 2 \) hat.