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International audience; Ultrasonic systems are usually comprised of three elements: a generator providing the electrical energy, an electromechanical transducer converting electrical energy into mechanical vibratory energy, and a propagation medium, fluid or solid, in which acoustic energy is radiated. These devices mainly utilize two mechanisms for energy conversion: an electromechanical transduction using piezoelectric effect and, when necessary, a mechanoacoustical conversion through the fluid–structure coupling. When the external fluid cannot be considered as a light fluid, a strong interaction takes place between electrical, mechanical, and acoustical phenomena. To design such systems, models must take into account both transduction mechanisms and arbitrary and complex geometries. Numerical methods are therefore an obvious choice. In numerical models, the generator is often considered as an ideal voltage (or current) generator delivering a sinusoidal electrical excitation at constant frequency. Detailed analysis of the electrical generator is generally not considered at the design stage. Hence, only the transducer, the propagation medium, and their interaction is considered in the model and are described by the finite element method (FEM), which can be coupled with other methods to describe unbounded media (boundary element method, Dirichlet-to-Neuman (DtN) method, acoustic dampers, perfectly matched layers (PML), etc.). This chapter describes numerical methods utilized to model piezoelectric devices. It is divided into three parts, dedicated, respectively, to transduction phenomena and wave propagation in solids, acoustic wave propagation in fluids and fluid–structure coupling, and acoustic radiation. The models are linear and rely upon the theory of elasticity, the constitutive equations of piezoelectricity, and the theory of linear acoustics. Application examples illustrate typical results and comparison with measurements.

International audience; The well-posedness of the acoustic radiation in a 2D duct in presence of both a shear flow and an absorbing wall described by the Myers boundary condition is studied thanks to variational methods. Without flow the problem is found well-posed for any impedance value. The presence of a flow complicates the results. With a uniform flow the problem is proven to be always of the Fredholm type but is found well-posed only when considering a dissipative radiation problem. With a general shear flow, the Fredholm property is recovered for a weak enough shear and the dissipative radiation problem requires to introduce extra conditions to be well-posed: enough dissipation, a large enough frequency and non-intuitive conditions on the impedance value.

International audience; In Oil & Gas industry, the high internal sound pressure levels in pipe lines often cause significant structural vibrations. Quantification of the internal acoustic pressures is therefore an important step in understanding the global fluid-structure behaviour of such systems. However, direct acoustic measurements are often not possible since they generally require intrusive access to the pipe interior. In this paper an inverse procedure is proposed to identify the internal sound pressure field within the bend of a U-shaped pipe, from non-intrusive acceleration measurements on the mechanical structure. First, the accelerance transfer functions are measured in the bends and synthesized using a modal expansion. Under operational excitation conditions, the internal sound pressure is then obtained from a Tikhonov regularization of the inverse problem. The limits of the methodology are investigated numerically and experimentally to serve as a fast diagnostic tool for in situ vibration treatment of piping systems.

Aerospace turbopumps usually use labyrinth gas seals to prevent the gas driving the turbine to leak in the gap between the rotor and the stator parts. Current trends in turbopumps design focus on the minimization of the clearance, so as to optimise the efficiency, and on the reduction of the stator weight. However, these trends may lead to aeroelastic stability issues which can damage the structure, mainly static parts according to post-mortem observations.To tackle these new challenges, more predictive models must be devised in order to take the stator flexibility and the leakages into account. The purpose of this work is to carry out a numerical investigation on an advanced labyrinth gas seal model comprising a non-deformable rotor, and a flexible stator. The flexibility of the static part induces pressure and velocity fluctuations within the leakage flow. The model retains several cavities formed by the teeth located on the shaft. Eventually, a strong coupling between the fluid and the structure is assumed.The model governing the behaviour of the flow in a cavity is inspired by Childs analytical model and Navier-Stokes equations. The model of the flow is then coupled to a mechanical model corresponding to the stator. The structure can be supported on the low pressure side as well as on the high pressure side. Taking into account those boundary conditions allows a direct comparison with results given by Abbott.The coupled system obtained includes non linear differential equations. To overcome these non- linearities a perturbation method is used, as proposed by Childs. To solve this two-dimensional problem a Galerkin approach with a Fourier transform with respect to the space variables is used.This investigation takes into account a full coupling between the dynamics of the stator, including diameter modes, and the behavior of the labyrinth seal, providing new interesting insights on the dynamic of such system, especially in terms on aeroelastic stability.; Des joints labyrinthes sont utilisés dans les turbopompes spatiales pour limiter les fuites du gaz qui entraine la turbine dans l’interstice séparant le rotor du stator. Les tendances actuelles sont à la minimisation des jeux (pour optimiser le rendement) et à l’allègement du stator. Ces contraintes conduisent à l’apparition d’instabilités qualifiées d’aéroélastique qui peuvent mener à l’endommagement des structures internes de la turbine, notamment au niveau des partie statoriques selon des analyses post-mortem. Ces évolutions rendent nécessaires l’élaboration de modèles plus prédictifs au niveau de la prise en compte des fuites et de la souplesse du stator.L’objet de ce travail est de développer un modèle numérique avancé de joint labyrinthe prenant en compte un rotor non déformable et un stator flexible. La souplesse de la partie statorique induit des variations de pression et de vitesse au sein de l’écoulement. Le modèle peut comporter plusieurs cavités, le rotor peut être mis en rotation et les dents sont positionnées sur l’arbre.Le modèle d’écoulement développé est inspiré des travaux de Childs et utilise les équations simplifiées de Navier-Stokes. Le modèle de fluide est couplé à un modèle de dynamique des structures correspondant au stator (anneau ou cylindre). La structure peut être encastrée du côté des hautes pressions ou des basses pressions. La prise en considération de cette condition aux limites permet une confrontation précise des résultats avec les travaux d’Abbott. Le système fluide-structure obtenu comprend des équations non-linéaires aux dérivées partielles. Pour s’affranchir de ces non linéarités, une méthode de perturbation est utilisée. Pour résoudre ce problème à deux dimensions (en temps et en espace), une approche de Galerkin est utilisée.Ces développements prennent alors en considération un couplage fort entre le fluide et la structure, incluant les modes à diamètres et le comportement du joint labyrinthe. Les résultats obtenus apportent de nouvelles perspectives sur l’approche actuelle des instabilités aéroélastiques.

Aerospace turbopumps usually use labyrinth gas seals to prevent the gas driving the turbine to leak in the gap between the rotor and the stator parts. Current trends in turbopumps design focus on the minimization of the clearance, so as to optimise the efficiency, and on the reduction of the stator weight. However, these trends may lead to aeroelastic stability issues which can damage the structure, mainly static parts according to post-mortem observations.To tackle these new challenges, more predictive models must be devised in order to take the stator flexibility and the leakages into account. The purpose of this work is to carry out a numerical investigation on an advanced labyrinth gas seal model comprising a non-deformable rotor, and a flexible stator. The flexibility of the static part induces pressure and velocity fluctuations within the leakage flow. The model retains several cavities formed by the teeth located on the shaft. Eventually, a strong coupling between the fluid and the structure is assumed.The model governing the behaviour of the flow in a cavity is inspired by Childs analytical model and Navier-Stokes equations. The model of the flow is then coupled to a mechanical model corresponding to the stator. The structure can be supported on the low pressure side as well as on the high pressure side. Taking into account those boundary conditions allows a direct comparison with results given by Abbott.The coupled system obtained includes non linear differential equations. To overcome these non- linearities a perturbation method is used, as proposed by Childs. To solve this two-dimensional problem a Galerkin approach with a Fourier transform with respect to the space variables is used.This investigation takes into account a full coupling between the dynamics of the stator, including diameter modes, and the behavior of the labyrinth seal, providing new interesting insights on the dynamic of such system, especially in terms on aeroelastic stability., Des joints labyrinthes sont utilisés dans les turbopompes spatiales pour limiter les fuites du gaz qui entraine la turbine dans l’interstice séparant le rotor du stator. Les tendances actuelles sont à la minimisation des jeux (pour optimiser le rendement) et à l’allègement du stator. Ces contraintes conduisent à l’apparition d’instabilités qualifiées d’aéroélastique qui peuvent mener à l’endommagement des structures internes de la turbine, notamment au niveau des partie statoriques selon des analyses post-mortem. Ces évolutions rendent nécessaires l’élaboration de modèles plus prédictifs au niveau de la prise en compte des fuites et de la souplesse du stator.L’objet de ce travail est de développer un modèle numérique avancé de joint labyrinthe prenant en compte un rotor non déformable et un stator flexible. La souplesse de la partie statorique induit des variations de pression et de vitesse au sein de l’écoulement. Le modèle peut comporter plusieurs cavités, le rotor peut être mis en rotation et les dents sont positionnées sur l’arbre.Le modèle d’écoulement développé est inspiré des travaux de Childs et utilise les équations simplifiées de Navier-Stokes. Le modèle de fluide est couplé à un modèle de dynamique des structures correspondant au stator (anneau ou cylindre). La structure peut être encastrée du côté des hautes pressions ou des basses pressions. La prise en considération de cette condition aux limites permet une confrontation précise des résultats avec les travaux d’Abbott. Le système fluide-structure obtenu comprend des équations non-linéaires aux dérivées partielles. Pour s’affranchir de ces non linéarités, une méthode de perturbation est utilisée. Pour résoudre ce problème à deux dimensions (en temps et en espace), une approche de Galerkin est utilisée.Ces développements prennent alors en considération un couplage fort entre le fluide et la structure, incluant les modes à diamètres et le comportement du joint labyrinthe. Les résultats obtenus apportent de nouvelles perspectives sur l’approche actuelle des instabilités aéroélastiques.

The safety of nuclear reactors represents a necessary and vital condition for the exploitation of nuclear plants with liquid-cooled cores. This safety passes by the ability to detect and anticipate the earliest stages of a water leak into sodium within the heat generator. The study detailed in this manuscript has been initiated in a framework aiming to develop nonintrusive detection techniques for sodium water chemical reactions. Its main goal is to uncover the signal of a water leak into sodium, based on the measurements of the vibratory field recorded by the means of accelerometers externally mounted on the heat generator shell. However, such a spectrum is masked by the plant general background noise, especially that generated by heavy fluid flow (i.e. sodium flow) during actual operating times of the power plant. In order to increase the signal-to-noise ratio of the leak, beamforming technique for the acceleration measurements of the mechanical system is considered. The aforementioned system is characterized by a strong non-linear coupling between the the heat generator’s cylindrical shell and the heavy fluid in motion. In particular, fluid motion and the acoustic emission of the leak seem to excite some eigen modes of the cylinder, at these same frequencies where the acoustic signature of the leak is at its highest amplitude. For the purpose of our study, a cylindrical mock-up connected by some very rigid links to a hydraulic circuit is considered. A hydrophone emission excites the mock-up from within and is being accounted for the acoustic leak. Water flows inside the cylinder at turbulent Reynolds number. An array of twenty-five accelerometers is mounted on the mock-up shell using ceramic insulators. The main goal is to combine the twenty-five signals in such a way that allows the increase of the SNR for the acoustic source while rejecting water flow noise. Two beamforming techniques are applied and compared: classical Bartlett beamforming as well as optimized beamforming for SNR maximization (Max SN, La sûreté des réacteurs nucléaires constitue une condition primordiale et nécessaire à leur industrialisation. Pour les réacteurs à neutrons rapides refroidis au sodium, cette sûreté passe par la possibilité de détection d’une fuite d’eau dans le sodium au niveau du générateur de vapeur à des stades très précoces de leur déclenchement. Le présent travail de thèse s’inscrit dans le cadre du développement d’une technique non intrusive pour la détection d’une réaction sodium-eau dans le générateur de vapeur d’un réacteur nucléaire refroidi au sodium. On désire identifier le bruit vibratoire de cette réaction à partir de mesures d’accélération sur la virole externe du générateur. Cependant, les vibrations dues à la fuite peuvent être noyées dans le bruit généré par l’écoulement du sodium ou par d’autres sources d’excitation. Afin d’augmenter, le rapport signal à bruit, on s’intéresse à l’apport d’un filtrage spatial par formation de voies pour ce type de système. Ce dernier se caractérise notamment par la présence d’un couplage structure-fluide lourd (c.-à-d. virole-sodium) et des modes vibroacoustiques qui apparaissent aux mêmes fréquences d’intérêt pour la détection de la fuite. Pour réaliser cette étude, nous considérons une maquette expérimentale composée d’une conduite cylindrique reliée à un circuit hydraulique par deux brides très rigides. La source à identifier est simulée par un hydrophone de taille réduite en mode émetteur positionné à l’intérieur de la conduite par un dispositif mécanique dédié à cet effet. Le bruit perturbateur est induit par l’écoulement de l’eau, supposé turbulent à partir d’un certain débit. L’antenne est composée de vingt-cinq accéléromètres placés sur la conduite d’essai. L’objectif consiste à traiter simultanément les signaux accéléromètriques pour faire ressortir le signal de la fuite tout en rejetant le bruit dû à l’écoulement. Deux types de traitement par formation de voies sont considérés : la formation de voies conventionnelle (dites de Bartlett) et une formation de voies optimisée qui vise à maximiser le rapport signal à bruit de la fuite.

The goal of this work is the comprehension and the numerical simulation of erosion caused by repeated droplet impact on Pelton turbine buckets, to predict the lifetime of these components. First, waves propagation phenomenon inside fluid and solid domains are presented, which allows determining the time evolution and spatial distribution of contact pressure, and the birth of lateral microjets by supersonic ejection of the fluid on the contact. Experimental studies of erosion by droplet impact highlight a fatigue cracking-based erosion mechanism. Then, coupled FSI computation are performed. The solid subdomain is discretized by the Finite Element Method (FEM), and the fluid subdomain by the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), which is a particle method (meshless) effectively recommended for large distortions and free surface tracking. Stress analysis confirms the cyclic nature of the damage mechanism, and erosion simulation is performed using multiaxial fatigue criteria. The first selected criterion is a general one from the American Society of Mechanical Engineers (ASME) using principal values of stress differences over time. The second one is the Dang van 2 criterion, belonging to the family of critical plane criteria. This criterion considers separately the effects due to hydrostatic stress on one hand, and the ones induced by maximum local shear on the other. These two criteria are used to building the equivalent eroded zones of the solid subdomain for a given number of impacts, which allows to qualify this procedure as a predictive predictive. Finally, a parametric study for different droplet sizes and velocites is computed, and the effects of a coating layer are investigated., Le but du travail présenté est la compréhension puis la simulation numérique des mécanismes d'érosion des augets de turbine Pelton par impacts répétés de gouttes d'eau dans le but de prédire la durée de vie des composants. Tout d'abord, les phénomènes de propagation d'ondes dans les milieux fluide et solide sont étudiés. Cela permet de mettre en lumière l'évolution temporelle et la distribution spatiale des pressions de contact, et l'apparition de microjets par éjection supersonique du fluide au contact. Les études expérimentales de l'érosion par gouttes d'eau traduisent un dommage basé sur la fissuration par fatigue. Des simulations numériques en dynamique rapide couplées fluide-structure sont alors effectuées. Le domaine solide est discrétisé par la Méthode des éléments Finis (MEF), et le domaine fluide par la méthode Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), qui est une méthode particulaire (sans maillage) particulièrement adaptée aux grandes distorsions et au suivi des surfaces libres. L'analyse des états de contraintes vient corroborer la nature cyclique de l'endommagement. La simulation d'érosion est alors réalisée à l'aide de critères de fatigue multiaxiaux. Le choix se porte vers un premier critère général de l'American Society of Mechanical Engineers (ASME), utilisant les valeurs principales des différences de contraintes au cours du temps. Le second choix concerne un critère à plan critique : le critère de Dang Van 2. Il traite séparément la contrainte hydrostatique et le cisaillement alterné maximal local. Ces critères permettent de définir les régions érodées du solide au bout d'un nombre d'impact donné, ce qui fait de cette démarche une méthode prédictive. Une étude paramétrique pour différentes tailles de gouttes et vitesses d'impact est ensuite réalisée, puis on évalue l'influence de la présence d'une couche de coating.

A method to couple smoothed particle hydrodynamics and finite elements methods for nonlinear transient fluid–structure interaction simulations by adopting different time-steps depending on the fluid or solid sub-domains is proposed. These developments were motivated by the need to simulate highly non-linear and sudden phenomena that take into acount solid impacts and hence require the use of explicit time integrators on both sub-domains (explicit Newmark for the solid and Runge–Kutta 2 for the fluid). However, due to critical time-step required for the stability of the explicit time integrators in, it becomes important to be able to integrate each sub-domain with a different time-step while respecting the features that a previously developed mono time-step coupling algorithm offered. For this matter, a dual-Schur decomposition method originally proposed for structural dynamics was considered, allowing to couple time integrators of the Newmark family with different time-steps with the use of Lagrange multipliers., Dans le cadre de ce travail, une technique non-intrusive est proposée pour coupler la méthode Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) à la méthode des Eléments Finis afin de résoudre numériquement des problèmes dynamiques et non-linéaires d’interaction fluide-structure en permettant l’utilisation des pas de temps différents dans les deux domaines de calcul (fluide et solide). Ces développements sont motivés par le besoin de simuler numériquement des phénomènes rapides et très non-linéaires qui prennent en compte des impacts en se servant des intégrateurs temporels explicites dans chaque sous-domaine de calcul (Newmark explicite pour le solide et Runge-Kutta 2 pour le fluide). De ce fait, le pas de temps de stabilité est limité par des caractéristiques intrinsèques au modèle numérique du phénomène étudié et en conséquence, il devient important de pouvoir intégrer chaque sous-domaine numérique avec un pas de temps proche de son pas de temps de stabilité. Pour permettre d’utiliser un pas de temps proche du pas de temps de stabilité pour chaque sous-domaine, des méthodes de décomposition de domaines dual-Schur sont implémentées et validées pour des cas en 1-D, 2-D, et 3-D. Des simulations numériques d’impacts de cailloux sur des aubes des turbines hydrauliques sont aussi effectue´es afin de prédire le dommage que cet évènement peut engendrer.

The study of aeroacoustic and hydroacoustic noises is an important industrial research field. For example, in the transport industry, flows induced by a fluid over a structure, create a source of internal noise which cannot be neglected. To minimize its impact, it is necessary to have a good knowledge of this kind of excitation.The aim of this study is to identify the turbulent wall pressure which excites the structure, for the aeronautic and naval domains, by using an inverse vibration method, such as FAT (Force Analysis Technique) and its variations FWFAT (Filtered Windowed Force Analysis Technique) and CFAT (Corrected Force Analysis Technique).First, the methods are applied to the aeronautic domain. The influence of the flow velocity on the acoustic field and the difficulty to identify the pressure responsible for the structure vibration are pointed out.Second, an application to the naval domain is shown. The method ability to isolate the acoustic part of the excitation is introduced by using simulations. The significance of the fluid-structure coupling is studied and a method which allows taking it into account is proposed. The potentiality of CFAT method is confirmed with an experimental validation at DGA Techniques Hydrodynamiques., L'étude des bruits aéronautique et hydroacoustique fait l'objet d'une forte demande industrielle en matière de recherche. En effet, dans le domaine des transports, l'écoulement du fluide sur la structure s'avère être une source de nuisance sonore non négligeable. La compréhension de ce type d'excitation est donc nécessaire pour minimiser leur impact. L'objectif de cette étude est d'identifier la pression pariétale turbulente excitant une structure à partir d'une méthode inverse vibratoire RI (Résolution Inverse) et de ses variantes RIFF (Résolution Inverse Filtrée Fenêtrée) et RIC (Résolution Inverse Corrigée). Dans un premier temps, les méthodes sont appliquées au domaine aéronautique. L'influence de la vitesse de l'écoulement sur la partie acoustique de l'excitation et la difficulté rencontrée pour identifier la totalité de la pression responsable de la vibration de la structure sont mises en avant.Dans un second temps, une application des méthodes au domaine naval est proposée. La capacité des méthodes à isoler la composante acoustique de l'excitation est mise en avant à travers des simulations. L'influence du couplage fluide-structure est étudiée et une méthode permettant de le prendre en compte est présentée. La potentialité de la méthode RIC est confirmée à travers une campagne de mesure réalisée à la DGA Techniques Hydrodynamiques.

The numerical simulation of the dynamic behaviour of complex structures or aeroelastic coupled systems leads to systems of equations with very large size whose solution is very costly. It is thus essential to build reduced order models which allow to perform the simulations of these systems at a lesser cost and with an acceptable lost of accuracy. This model reduction is obtained by a projection of the initial system of equations on a projection basis, including therefore substructuring or component mode synthesis methods, as well as the cyclic symmetry reduction. We present here a set of methods using reduction or projection techniques. In the first part, we put together some works related to the eigen frequencies and modes: the block Lanczos method to compute the frequencies and modes of damped structures, a substructuring method to determine their sensitivity and their reanalysis, and finally a criterion to follow-up their evolution for structures depending on a parameter. The second part is devoted to component mode synthesis methods which include the classical methods, with fixed, free or hybrid interface, the methods using interface modes or partial interface modes, as well as their combination with cyclic symmetry reduction. The third part is concerned with multi-stage structures such as bladed-disk assemblies whose each stage has a cyclic symmetry but not the whole structure. A multi-stage cyclic symmetry reduction method has been developed with a new selection of phase indexes for each stage in each reduced system. It can be used alone or combined with component mode synthesis. The fourth part is concerned with the fluid-structure coupling in turbomachinery. The structure, a bladed disk having a cyclic symmetry, is subject to the aerodynamic forces applied by the fluid and which depend on the displacements of the structure. The projection of the equation of the structure on their complex eigen modes provides a reduced coupled system in which the generalized aerodynamic forces are obtained from the harmonic motions of the modes. Two solution methods and a multi-parameter modeling method are proposed to obtain the solutions of the coupled system for a large number of values of the parameters.; La simulation numérique du comportement dynamique des structures ou des systèmes couplés aéroélastiques complexes conduit à des systèmes d'équations de très grande taille dont la résolution est très coûteuse. Il est donc indispensable de construire des modèles d'ordre réduit qui, au prix d'une diminution acceptable de la précision, permettent d'obtenir à moindre coût des simulations de ces systèmes. Cette réduction de modèle est obtenue par une projection du système d'équations initial sur une base de projection, incluant ainsi les méthodes de sous-structuration ou de synthèse modale, ainsi que la réduction par symétrie cyclique. On présente ici un ensemble de méthodes ayant recours aux techniques de réduction ou de projection. La première partie regroupe quelques travaux sur les fréquences et modes propres: la méthode de Lanczos par bloc pour calculer les fréquences et les modes propres de structures amorties, une méthode de sous-structuration pour déterminer leur sensibilité et leur réanalyse, et finalement un critère pour suivre leur évolution dans le cas des structures dépendant d'un paramètre. La deuxième partie est consacrée aux méthodes de synthèse modale, incluant les méthodes classiques, avec interface fixe, libre ou mixte, les méthodes utilisant les modes d'interface ou les modes d'interface partiels, ainsi que leur combinaison avec la réduction par symétrie cyclique. La troisième partie concerne les structures multi-étages comme les assemblages de disques aubagés dont chaque étage possède une symétrie cyclique mais pas la structure complète. Une méthode de réduction par symétrie cyclique multi-étages est développée avec une nouvelle sélection des indices de déphasage pour chaque étage dans chaque système réduit. Elle peut être utilisée seule ou combinée avec la synthèse modale. La quatrième partie concerne le couplage fluide-structure dans les turbomachines. La structure, un disque aubagé possédant une symétrie cyclique, est soumise à des forces aérodynamiques exercées par le fluide et qui dépendent des déplacements de la structure. La projection de l'équation de la structure sur ses modes propres complexes fournit un système réduit couplé dans lequel les forces aérodynamiques généralisées sont obtenues à partir des mouvements harmoniques des modes. Deux méthodes de résolution et une méthode de lissage multi-paramètres sont proposées afin d'obtenir les solutions du système couplé pour un grand nombre de valeurs des paramètres

This thesis provides a solution to the coupling of a fluid with a deformable solid in the context of real-time medical applications. This work focuses on the special case of a fluid film embedded within two layers of soft tissues. The first contribution of this document is related to a semi-Lagrangian fluid method. We propose a modification of an existant method to use it as a 2.5D fluid model. The second contribution concernsthe coupling model, where the behavior of the fluid-solid interface is predicted during the fluid computation. The third contribution highlights 2 medical applications which rely on this approach, in the fields of eye surgery and reconstructive surgery.; Cette thèse apporte une solution pour permettre de couplage entre fluide et solide déformable dans le cadre d’applications médicales en temps-réel. Le modèle de couplage concerne le cas d’un film de fluide compris entre deux solides déformables. La première contribution de ce document concerne une méthode de fluide semi-lagrangienne. Nous proposons une modification d’une méthode existante pour pouvoir l’utiliser en tant que modèle de fluide 2.5D. La seconde contribution se concentre sur le modèle de couplage en lui-même où nous avons choisi de prédire le comportement de l’interface fluide-solide pendant le calcul du fluide. La troisième contribution repose sur des applications médicales basées sur cette approche. Elles contribuent dans les domaines de la chirurgie ophtalmologique et reconstruction chirurgicale.

This thesis provides a solution to the coupling of a fluid with a deformable solid in the context of real-time medical applications. This work focuses on the special case of a fluid film embedded within two layers of soft tissues. The first contribution of this document is related to a semi-Lagrangian fluid method. We propose a modification of an existant method to use it as a 2.5D fluid model. The second contribution concernsthe coupling model, where the behavior of the fluid-solid interface is predicted during the fluid computation. The third contribution highlights 2 medical applications which rely on this approach, in the fields of eye surgery and reconstructive surgery.; Cette thèse apporte une solution pour permettre de couplage entre fluide et solide déformable dans le cadre d’applications médicales en temps-réel. Le modèle de couplage concerne le cas d’un film de fluide compris entre deux solides déformables. La première contribution de ce document concerne une méthode de fluide semi-lagrangienne. Nous proposons une modification d’une méthode existante pour pouvoir l’utiliser en tant que modèle de fluide 2.5D. La seconde contribution se concentre sur le modèle de couplage en lui-même où nous avons choisi de prédire le comportement de l’interface fluide-solide pendant le calcul du fluide. La troisième contribution repose sur des applications médicales basées sur cette approche. Elles contribuent dans les domaines de la chirurgie ophtalmologique et reconstruction chirurgicale.

The numerical simulation of the dynamic behaviour of complex structures or aeroelastic coupled systems leads to systems of equations with very large size whose solution is very costly. It is thus essential to build reduced order models which allow to perform the simulations of these systems at a lesser cost and with an acceptable lost of accuracy. This model reduction is obtained by a projection of the initial system of equations on a projection basis, including therefore substructuring or component mode synthesis methods, as well as the cyclic symmetry reduction. We present here a set of methods using reduction or projection techniques. In the first part, we put together some works related to the eigen frequencies and modes: the block Lanczos method to compute the frequencies and modes of damped structures, a substructuring method to determine their sensitivity and their reanalysis, and finally a criterion to follow-up their evolution for structures depending on a parameter. The second part is devoted to component mode synthesis methods which include the classical methods, with fixed, free or hybrid interface, the methods using interface modes or partial interface modes, as well as their combination with cyclic symmetry reduction. The third part is concerned with multi-stage structures such as bladed-disk assemblies whose each stage has a cyclic symmetry but not the whole structure. A multi-stage cyclic symmetry reduction method has been developed with a new selection of phase indexes for each stage in each reduced system. It can be used alone or combined with component mode synthesis. The fourth part is concerned with the fluid-structure coupling in turbomachinery. The structure, a bladed disk having a cyclic symmetry, is subject to the aerodynamic forces applied by the fluid and which depend on the displacements of the structure. The projection of the equation of the structure on their complex eigen modes provides a reduced coupled system in which the generalized aerodynamic forces are obtained from the harmonic motions of the modes. Two solution methods and a multi-parameter modeling method are proposed to obtain the solutions of the coupled system for a large number of values of the parameters., La simulation numérique du comportement dynamique des structures ou des systèmes couplés aéroélastiques complexes conduit à des systèmes d'équations de très grande taille dont la résolution est très coûteuse. Il est donc indispensable de construire des modèles d'ordre réduit qui, au prix d'une diminution acceptable de la précision, permettent d'obtenir à moindre coût des simulations de ces systèmes. Cette réduction de modèle est obtenue par une projection du système d'équations initial sur une base de projection, incluant ainsi les méthodes de sous-structuration ou de synthèse modale, ainsi que la réduction par symétrie cyclique. On présente ici un ensemble de méthodes ayant recours aux techniques de réduction ou de projection. La première partie regroupe quelques travaux sur les fréquences et modes propres: la méthode de Lanczos par bloc pour calculer les fréquences et les modes propres de structures amorties, une méthode de sous-structuration pour déterminer leur sensibilité et leur réanalyse, et finalement un critère pour suivre leur évolution dans le cas des structures dépendant d'un paramètre. La deuxième partie est consacrée aux méthodes de synthèse modale, incluant les méthodes classiques, avec interface fixe, libre ou mixte, les méthodes utilisant les modes d'interface ou les modes d'interface partiels, ainsi que leur combinaison avec la réduction par symétrie cyclique. La troisième partie concerne les structures multi-étages comme les assemblages de disques aubagés dont chaque étage possède une symétrie cyclique mais pas la structure complète. Une méthode de réduction par symétrie cyclique multi-étages est développée avec une nouvelle sélection des indices de déphasage pour chaque étage dans chaque système réduit. Elle peut être utilisée seule ou combinée avec la synthèse modale. La quatrième partie concerne le couplage fluide-structure dans les turbomachines. La structure, un disque aubagé possédant une symétrie cyclique, est soumise à des forces aérodynamiques exercées par le fluide et qui dépendent des déplacements de la structure. La projection de l'équation de la structure sur ses modes propres complexes fournit un système réduit couplé dans lequel les forces aérodynamiques généralisées sont obtenues à partir des mouvements harmoniques des modes. Deux méthodes de résolution et une méthode de lissage multi-paramètres sont proposées afin d'obtenir les solutions du système couplé pour un grand nombre de valeurs des paramètres

Phospholipidic membranes and vesicles constitute a basic element in real biological functions. Vesicles are viewed as a model system to mimic basic viscoelastic behaviors of some cells, like red blood cells. Phase field and level-set models are powerful tools to tackle dynamics of membranes and their coupling to the flow. These two methods are somewhat similar, but to date no bridge between them has been made. This is a first focus of this paper. Furthermore, a constitutive viscoelastic law is derived for the composite fluid: the ambient fluid and the membranes. We present two different approaches to deal with the membrane local incompressibility, and point out differences. Some numerical results following from the level-set approach are presented., Comment: 28 pages 7 figures

In this thesis, we are interested in the influence of geometric perturbations of the boundaries of domains on the solutions to partial differential equations with vector values, by a geometric effect of the perturbations that is called the rugosity effect. This effect consists in transforming non penetration conditions imposed on a sequence of oscillating boundaries, that converges in a certain geometric sense to a smooth boundary, into a so-called friction-driven boundary condition, which was introduced by Bucur, Feireisl and Necasova in 2009. We characterize the rugosity effect produced by different types of boundaries, periodic or not, relying on the use of Young measures and capacitary measures, that allow us to understand the oscillations of the normal vectors by Gamma-convergence tools. We prove the stability of the trajectory of a deformable self-propelled solid, at low Reynolds number, with respect to the deformation vector field that is imposed on the solid, and propose a numerical method to solve the model in dimension 2. We study the well-posedness of the problem of the drag associated to a solid with friction-driven boundary conditions. Using the rugosity effect, we set the problem of drag minimization in terms of the micro-structure of the boundary, and prove that this problem admits a solution. We illustrate the theoretical results by numerical examples and carry out a numerical optimization algorithm.; Nous étudions l'influence des perturbations géométriques des parois d'un domaine sur les solutions d'équations aux dérivées partielles à valeurs vectorielles, à travers un effet géométrique appelé l'effet de rugosité. Cet effet consiste à transformer des conditions de non pénétration imposées sur une suite de parois oscillantes convergeant vers une paroi lisse, en une condition qualifiée de glissement dirigé avec friction, ou friction-driven, dont une formulation générale a été obtenue en 2009 par Bucur, Feireisl et Necasova. Nous caractérisons l'effet de rugosité produit par des parois périodiques ou cristallines à l'aide des mesures de Young et de mesures capacitaires permettant de comprendre l'effet des oscillations des vecteurs normaux. D'autre part, nous démontrons la stabilité de la trajectoire d'un solide déformable à faible nombre de Reynolds, par rapport aux déformations qu'on lui impose, et proposons un schéma numérique de résolution du modèle. C'est une première étape vers la compréhension d'un effet de rugosité dynamique produit par une famille continue de micro-déformations du bord. Enfin, nous considérons le problème de la traînée d'un solide immergé dans un fluide visqueux, avec des conditions friction-driven sur la paroi solide. Après avoir montré que le problème est bien posé, nous décrivons le problème de minimisation de la traînée en termes de micro-structure de la paroi associée à la condition friction-driven. À l'aide d'outils de gamma-convergence, nous montrons que ce problème de micro-optimisation de forme possède une solution. Nous validons ces résultats par des exemples numériques et mettons en oeuvre une méthode numérique d'optimisation.

In this thesis, we are interested in the influence of geometric perturbations of the boundaries of domains on the solutions to partial differential equations with vector values, by a geometric effect of the perturbations that is called the rugosity effect. This effect consists in transforming non penetration conditions imposed on a sequence of oscillating boundaries, that converges in a certain geometric sense to a smooth boundary, into a so-called friction-driven boundary condition, which was introduced by Bucur, Feireisl and Necasova in 2009. We characterize the rugosity effect produced by different types of boundaries, periodic or not, relying on the use of Young measures and capacitary measures, that allow us to understand the oscillations of the normal vectors by Gamma-convergence tools. We prove the stability of the trajectory of a deformable self-propelled solid, at low Reynolds number, with respect to the deformation vector field that is imposed on the solid, and propose a numerical method to solve the model in dimension 2. We study the well-posedness of the problem of the drag associated to a solid with friction-driven boundary conditions. Using the rugosity effect, we set the problem of drag minimization in terms of the micro-structure of the boundary, and prove that this problem admits a solution. We illustrate the theoretical results by numerical examples and carry out a numerical optimization algorithm., Nous étudions l'influence des perturbations géométriques des parois d'un domaine sur les solutions d'équations aux dérivées partielles à valeurs vectorielles, à travers un effet géométrique appelé l'effet de rugosité. Cet effet consiste à transformer des conditions de non pénétration imposées sur une suite de parois oscillantes convergeant vers une paroi lisse, en une condition qualifiée de glissement dirigé avec friction, ou friction-driven, dont une formulation générale a été obtenue en 2009 par Bucur, Feireisl et Necasova. Nous caractérisons l'effet de rugosité produit par des parois périodiques ou cristallines à l'aide des mesures de Young et de mesures capacitaires permettant de comprendre l'effet des oscillations des vecteurs normaux. D'autre part, nous démontrons la stabilité de la trajectoire d'un solide déformable à faible nombre de Reynolds, par rapport aux déformations qu'on lui impose, et proposons un schéma numérique de résolution du modèle. C'est une première étape vers la compréhension d'un effet de rugosité dynamique produit par une famille continue de micro-déformations du bord. Enfin, nous considérons le problème de la traînée d'un solide immergé dans un fluide visqueux, avec des conditions friction-driven sur la paroi solide. Après avoir montré que le problème est bien posé, nous décrivons le problème de minimisation de la traînée en termes de micro-structure de la paroi associée à la condition friction-driven. À l'aide d'outils de gamma-convergence, nous montrons que ce problème de micro-optimisation de forme possède une solution. Nous validons ces résultats par des exemples numériques et mettons en oeuvre une méthode numérique d'optimisation.

International audience; We present and analyze a penalization method wich extends the the method of [1] to the case of a rigid body moving freely in an incompressible fluid. The fluid-solid system is viewed as a single variable density flow with an interface captured by a level set method. The solid velocity is computed by averaging at avery time the flow velocity in the solid phase. This velocity is used to penalize the flow velocity at the fluid-solid interface and to move the interface. Numerical illustrations are provided to illustrate our convergence result. A discussion of our result in the light of existing existence results is also given. [1] Ph. Angot, C.-H. Bruneau and P. Fabrie, A penalization method to take into account obstacles in incompressible viscous flows, Numer. Math. 81: 497--520 (1999)

Simulation of real flows and heat transfers often implies obstacles or interfaces of complex shapes. Due to their lack of flexibility, structured grids are not initially adapted to deal with irregular interfaces as these latters do not match with the grids nodes. In ordre to simulate cases involving complex interfaces with accuracy, the fictitious domain approach is chosen. After a large study of the litteracy, the second part of the document deals with the management of the complex shapes which define the interfaces. The cases using curvilinear calculation grids are specifically treated with a new approach. The third part shows two new high-order fictitious domain methods : the sub-mesh penalty method and the algebraic immersed interface and boundary method. In a fourth part, the previous methods are used to simulate the fluid-structure coupling. A solid-solid simulator is presented too. The last part deals with industrial or environnemental cases and shows the performances and capabilities of the complete approach.; La simulation de cas réalistes d'écoulements ou de transferts thermiques implique souvent l'utilisation d'obstacles ou d'interfaces de forme complexe. De part leur manque de flexibilité, les maillages structurés ne sont pas initialement adaptés au traitement d'interfaces irrégulières, ces dernières coïncidant rarement avec les lignes du maillage. Afin de permettre à l'approche structurée de traiter des interfaces complexes avec précision, des méthodes dites de domaines fictifs sont nécessaires. La première contribution de cette thèse est une nouvelle méthode de travail sur maillage curviligne structuré qui permet de réutiliser de nombreuses méthodes fonctionnant initialement sur des maillages cartésiens sur maillages curvilignes. Nous avons ensuite mis au point deux nouvelles méthodes de domaines fictifs : la méthode de pénalisation de sous-maille (PSM) pour la gestion des frontières immergées pour les équations elliptiques et de Navier-Stokes et la méthode d'interface immergée algébrique (IIA) pour les problèmes d'interfaces immergées pour les équations elliptiques. L'un des intérêts de ces deux méthodes à l'ordre deux en espace est leur simplicité. Ces différents développements ont finalement été appliqués à des cas de couplage fluide-structure académiques et réalistes (sédimentation d'un cylindre, hydroplanage d'un pneu, écoulements dans une tête de forage et convection naturelle dans la grotte de Lascaux).

How are the stresses and the deformations of an inflated structure when external forces are applied to it. This thesis answers that question when the structure is a long and thin shell composed of two congruent cylindrical orthotropical membranes which are glued together along rigid straight or curved axes and inflated by a perfect gas. From a mechanical modelling in linearized elasticity, we established a 3D variatinnal problem well posed in classical Sobolev spaces. Then we let the thickness parameter tend to zero, in order to obtain a 2D asymptotic model, well posed as long as the external forces check special properties -they are then called admissible forces- in spaces obtained by completion. We proved that the mean value in the thickness of the 3D solution strongly tends to the solution of the 2D asymptotic problem. We also identified sufficient conditions of admissibility. The numerical analysis showed that the error is a priori estimated in the energy norm. This, as confirmed by numerical simulations, creates problems as far as displacements are concerned, but is satisfying from the stresses point of view.; Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait. A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures. L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

How are the stresses and the deformations of an inflated structure when external forces are applied to it. This thesis answers that question when the structure is a long and thin shell composed of two congruent cylindrical orthotropical membranes which are glued together along rigid straight or curved axes and inflated by a perfect gas. From a mechanical modelling in linearized elasticity, we established a 3D variatinnal problem well posed in classical Sobolev spaces. Then we let the thickness parameter tend to zero, in order to obtain a 2D asymptotic model, well posed as long as the external forces check special properties -they are then called admissible forces- in spaces obtained by completion. We proved that the mean value in the thickness of the 3D solution strongly tends to the solution of the 2D asymptotic problem. We also identified sufficient conditions of admissibility. The numerical analysis showed that the error is a priori estimated in the energy norm. This, as confirmed by numerical simulations, creates problems as far as displacements are concerned, but is satisfying from the stresses point of view.; Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait. A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures. L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

EDF has experienced in the last years some problems in managing reactor coolant pumps seals in operation. That's why a thermo-elasto-hydro-dynamical model of the seal has been developed. The present model is a steady two-dimensional approach so as to characterize the normal operating mode of the seal. The coupling between fluid flow and structure deformations is realized through influence coefficient matrix. The effect of heat transfers and of mechanical deformations on seal behaviour is compared., Des problèmes de dérives du débit de fuite ont été observés sur les joints de pompe primaire. Pour compléter la connaissance du comportement de ce composant critique pour la sûreté des centrales nucléaire, un modèle thermo-élasto-hydrodynamique a été développé. Cet article présente un modèle 2D axisymétrique visant à caractériser le comportement normal du joint. Le couplage fluide-structure est réalisé par l'intermédiaire de matrices de coefficients d'influence: ces matrices permettent le chaînage entre un code de calcul de structures et un code de calcul de l'écoulement. L'effet des déformations et des échanges thermiques sur le comportement global du joint est alors étudié.

In the first part we present two numerical methods for solving time-dependent fluid-structure interaction problem. These methods, robust and accurate, are based on mixed formulations known as dual-dual and primal-primal. They are explicit, but on the interface, and conservative, which ensures their stability. They are validated thanks to analytical solutions calculated by the Cagniard de Hoop method. In the second part, we obtain, via the Cagniard de Hoop method, error estimates for the use of absorbing boundary conditions (ABC) and perfectly matched layers (PML) for time-domain acoustics. The third part is devoted to the PML for advective acoustics: analysis via the Cagniard-de Hoop method and construction of stabilized PMLs. The last part is a detailed mathematical presentation of the Cagniard-de Hoop method., Dans la première partie nous présentons deux méthodes numériques non conformes espace-temps pour la propagation d'ondes en interaction fluide-structure. Ces méthodes, robustes et précises, sont basées sur deux formulations mixtes dites duale-duale et primale-primale. Elles sont explicites, sauf à l'interface, et conservatives, ce qui en assure la stabilité. Nous les validons à l'aide de solutions analytiques calculées par la méthode de Cagniard-de Hoop (CdH). Dans la deuxième partie nous obtenons, via la méthode CdH, des estimations d'erreur pour l'utilisation de conditions aux limites absorbantes (CLA) ou couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) pour la résolution de l'équation des ondes dans le demi-espace. La troisième partie est consacrée aux PMLs pour l'acoustique en écoulement: analyse (par CdH) de l'instabilité des PMLs classiques et construction de PMLs stabilisées. La dernière partie consiste en une présentation mathématique détaillée de la méthode CdH.

International audience; Steam explosion is considered as a potential risk for PWR nuclear power plants in case of a severe accident. The loss of coolant can cause the degradation of the core and its melting. By falling down in the water remaining in the lower plenum, the corium transfers fastly its energy to the water which vaporizes. This paper presents parametrical computations of an in-vessel steam explosion, regarding the possible lower head vessel ruin resulting from a large central core degradation. The mechanical consequences of the steam explosion on the lower head are foreseen by the CASTEM-PLEXUS fast dynamic software, estimating approximately the thermodynamic data.A 2D-axisymmetric representation is adopted because of the vessel symmetry. The vessel lower head is considered as an elastoplastic hemispheric shell without penetrations and coupled with coolant. Four parameters are examined: the corium location, the energy transferred from the corium to the water, the energy transfer kinetics and the water constitutive law.During the explosion, we observe the propagation of a pressure wave from the corium zone towards the vessel and the core. The wave reflects against the vessel and the core support plate and then is sent again to the corium zone. After the wave passing, the water vaporizes massively and escapes in the free space in the core centre.

International audience; Slug impact is considered as a potential risk for PWR power plants in case of a severe accident. A loss of coolant can cause the degradation of the core and its melting. By falling down in the water remaining in the lower plenum, the corium transfers quickly its energy to the water which vaporizes and causes a steam explosion. The explosion may be powerful enough to accelerate upwards all the materials above the explosion zone and causes, in turn, a slug impact.During this process, the mechanical energy of the explosion is transformed into kinetic energy for the slug. If the slug is energetic enough, it can crush and fail the upper structures. Then the mixture of slug and upper structure pieces may hit the upper head vessel. The impact may fail the upper head or part of it and thus create missiles, ung upwards thanks to the remaining energy.The slug impact is studied by the german and french research centers FZK and CEA-Saclay. FKZ aims at the quantification of the maximum mechanical energy which would not lead to fail the upper head. They investigate this issue by means of the reduced-scale experiments BERDA.The transfer of the experimental results to reactor dimensions using scale factors are based on similarity laws whose validity is checked thanks to the german test-facilities FLIPPER. The understanding of the slug material influence and the extrapolation to the corium is investigated with the french test-facilities SKIPPY.In order to deepen the understanding of the impact process and to extrapolate the experimental results to other combinations of parameters, corresponding theoretical work is being performed with the code ABAQUS for the impact of solid structures and with the code CASTEM-PLEXUS developped by CEA-Saclayfor the impact of liquid projectile against solid structures.

The fast dynamics concerns the transient phenomena which last less (or as long as) the self-period of the considered system. CASTEM-PLEXUS can perform computations of structures composed of fluids and solids, with a possibility of fluid-structure interaction. Fast dynamic loads, possibly leading to the structure collapse, are applied to the structures. The computations can be carried out in 1D, 2D or 3D. The code uses the finite element method and the time resolution is explicit. The CASTEM-PLEXUS applications can be grouped into five main fields: impacts, explosions, pipe circuits, hydrodynamics and robotics.Three examples of application are detailed:- impact of a container falling down at high speed,- impact of a fluid spurt (represented thanks to the SPH particular method) against a tank lid,- steam explosion in the lower head of a nuclear reactor (requiring a fluid-structure coupling)., La dynamique rapide concerne les phènomènes transitoires dont la durée est inférieure (ou du même ordre de grandeur) que la période propre du système considéré. CASTEM-PLEXUS permet le calcul, par la méthode des éléments finis, de structures composées de fluides et de solides, avec une possibilité de couplage fluide-structure. Les structures sont soumises à des sollicitations dynamiques rapides pouvant conduire jusqu'à la ruine. Les calculs sont menés en 1D, 2D ou 3D suivant les besoins. La résolution en temps est explicite.Les applications de CASTEM-PLEXUS peuvent être regroupées en cinq domaines principaux: impacts, explosions, circuits de tuyauterie, hydrodynamique et robotique.Trois exemples d'application seront détaillés:- impact d'un conteneur chutant à grande vitesse sur le sol,- impact d'un jet de fluide (modélisé avec la méthode particulaire SPH) contre le couvercle d'une cuve,- explosion de vapeur dans le fond de cuve d'un réacteur nucléaire (faisant intervenir un couplage eau-structure).