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We develop connections between Stein's approximation method, logarithmic Sobolev and transport inequalities by introducing a new class of functional inequalities involving the relative entropy, the Stein kernel, the relative Fisher information and the Wasserstein distance with respect to a given reference distribution on $\mathbb{R}^d$. For the Gaussian model, the results improve upon the classical logarithmic Sobolev inequality and the Talagrand quadratic transportation cost inequality. Further examples of illustrations include multidimensional gamma distributions, beta distributions, as well as families of log-concave densities. As a by-product, the new inequalities are shown to be relevant towards convergence to equilibrium, concentration inequalities and entropic convergence expressed in terms of the Stein kernel. The tools rely on semigroup interpolation and bounds, in particular by means of the iterated gradients of the Markov generator with invariant measure the distribution under consideration. In a second part, motivated by the recent investigation by Nourdin, Peccati and Swan on Wiener chaoses, we address the issue of entropic bounds on multidimensional functionals $F$ with the Stein kernel via a set of data on $F$ and its gradients rather than on the Fisher information of the density. A natural framework for this investigation is given by the Markov Triple structure $(E, \mu, \Gamma)$ in which abstract Malliavin-type arguments may be developed and extend the Wiener chaos setting., Comment: 52 pages

International audience; We provide yet another proof of the Otto-Villani theorem from the log Sobolev inequality to the Talagrand transportation cost inequality valid in arbitrary metric measure spaces. The argument relies on the recent development [2] identifying gradient flows in Hilbert space and in Wassertein space, emphasizing one key step as precisely the root of the Otto-Villani theorem. The approach does not require the doubling property or the validity of the local Poincare' inequality.

In this paper we discuss the natural candidate for the one dimensional free Poincar\'e inequality. Two main strong points sustain this candidacy. One is the random matrix heuristic and the other the relations with the other free functional inequalities, namely, the free transportation and Log-Sobolev inequalities. As in the classical case the Poincar\'e is implied by the others. This investigation is driven by a nice lemma of Haagerup which relates logarithmic potentials and Chebyshev polynomials. The Poincar\'e inequality revolves around the counting number operator for the Chebyshev polynomials of first kind with respect to the arcsine law on $[-2,2]$. This counting number operator appears naturally in a representation of the minimum of the logarithmic potential with external fields as well as in the perturbation of logarithmic energy with external fields, which is the essential connection between all these inequalities., Comment: Some things were corrected and a new proposition added. This will appear in Transactions of AM

We survey several Talagrand type inequalities and their application to influences with the tool of hypercontractivity for both discrete and continuous, and product and non-product models. The approach covers similarly by a simple interpolation the framework of geometric influences recently developed by N. Keller, E. Mossel and A. Sen. Geometric Brascamp-Lieb decompositions are also considered in this context.

In a remarkable series of works, E. Milman recently showed how to reverse the usual hierarchy, and deduce from measure concentration inequali- ties, dimension free isoperimetric type inequalities in spaces with non-negative (Ricci) curvature. The results cover two basic instances, linear isoperimetry under arbitrarily slow concentration, and logarithmic strengthenings above the linear case under exponential concentration. The proofs are developed in a Rie- mannian (with density) context making use of isoperimetric minimizers and refined tools from geometric measure theory. In this note, we present simple semigroup arguments to cover the super-linear case, of potential usefulness in more general settings. A particular emphasis is put on functional inequalities for heat kernel measures.

International audience; This paper builds upon several recent works, where semigroup proofs of Brascamp-Lieb inequalities are provided in various settings (Euclidean space, spheres, and symmetric groups). Our aim is two-fold. Firstly, we provide a general, unifying, framework based on Markov generators, in order to cover a variety of examples of interest going beyond previous investigations. Secondly, we put forward the combinatorial reasons for which unexpected exponents occur in these inequalities. Related superadditivity of information and entropy inequalities are also studied.

We present a simple direct proof of the classical Sobolev inequality in \(\mathbb{R}^n\) with best constant from the geometric Brunn–Minkowski–Lusternik inequality.

Perturbations of functional inequalities are studied by using merely growth conditions in terms of a distance-like reference function. As a result, optimal sufficient conditions are obtained for perturbations to reach a class of functional inequalities interpolating between the Poincaré inequality and the logarithmic Sobolev inequality.

In this work, we study concentration properties for vector valued maps. In particular, we describe inequalities which capture the exact dimensional behavior of Lipschitz maps with values in Rk. To this task, we study in particular a domination principle for projections which might be of independent interest. We further compare our conclusions to earlier results by Pinelis in the Gaussian case, and discuss extensions to the infinite dimensional setting.

In these notes, we survey developments on the asymptotic behavior of the largest eigenvalues of random matrix and random growth models, and describe the corresponding known non-asymptotic exponential bounds. We then discuss some elementary and accessible tools from measure concentration and functional analysis to reach some of these quantitative inequalities at the correct small deviation rate of the fluctuation theorems. Results in this direction are rather fragmentary. For simplicity, we mostly restrict ourselves to Gaussian models.

International audience; Some Gaussian functional inequalities have simple generalizations to some Gaussianlike cases. They allow us to establish Gaussian-like Large Deviations Principles and bounds via Gaussian concentration and shift inequalities for certain families of Boltzmann measures and laws of diffusion semigroups in short time. Beyond the results themselves, we would like to emphasize here the method and the symmetry of the arguments used for upper and lower bounds by means of the functional inequalities.

The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.; Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées

The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.; Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées

The general topic of this Ph.D thesis is functional and geometrical inequalities, in both continuous and discrete setting. In particular, we make use of the monotone property along the heat flow, which had led to important developments in analysis, geometry and probability since the pioneer work of Bakry and Émery. More recently, this principle has been used in the analysis of Boolean functions in view of application in theoretical computer science. In the first part, we present some multiple integrals inequalities and geometric type inequalities obtained by monotonicity along the heat flow. We characterize, for most of them, equality cases and we put forward rigidity phenomenon in the setting of Riemannian manifolds. In particular, we study rigidity for the Bakry-Ledoux isoperimetric comparison theorem using their semigroup proof. This proof has been exploited by Mossel and Neeman to derive robust dimension free bounds for the Gaussian isoperimetry. We simplify their proof an in particular remove most of Gaussian-specific parts. This gives hope to derive robust estimates to more general log-concave measures or on high dimensional Euclidean spheres. The second part is devoted to analysis of Boolean functions. The principal contribution in this field is the extension of a criterion of Benjamini, Kalai and Schramm linking noise sensitivity and influences of a Boolean function. Such a criterion has been extended recently in continuous setting via the concept of geometric influence. We give a new, semigroup, proof of a quantitative version of it previously established in the discrete cube and in the Gaussian space. This quantitative version generalizes both to various models of Schreier graphs and more general continuous spaces. In particular, the quantitative version over the slices of the Boolean cube has consequences in percolation theory. In the last chapter, we link this quantitative criterion with a generalization over graph products of the "Junta" theorem of Friedgut.; Les travaux menés dans cette thèse sont en lien avec les inégalités fonctionnelles et géométriques, dans le cadre continu et discret. En particulier, nous exploitons le principe de monotonie le long du flot de la chaleur, dont les conséquences ont été nombreuses en analyse, géométrie et probabilité depuis les travaux fondateurs de Bakry et Émery. Plus récemment, ce principe a été utilisé pour répondre à des questions d'informatiques théoriques via l'analyse des fonctions booléennes. Dans une première partie, nous présentons diverses inégalités à intégrales multiples et inégalités de type géométriques obtenues par monotonie le long du semi-groupe de la chaleur. Nous caractérisons, par la plupart d'entre elles, les cas d'égalités et mettons en évidence des phénomènes de rigidité dans le cas de variétés riemanniennes. En particulier nous étudions la rigidité pour le théorème de comparaison isopérimétrique de Bakry-Ledoux en utilisant leur preuve par flot de la chaleur. Cette preuve a été exploitée par Mossel et Neeman pour obtenir un résultat de stabilité robuste dans le cas gaussien. Nous reprenons cette preuve et nous la simplifions, en particulier en éliminant la plupart des arguments spécifiques au cas gaussien. Cela laisse espoir d'obtenir une version quantitative pour des mesures log-concaves plus générales ou sur les sphères euclidiennes de grandes dimensions. La deuxième partie est consacrée à l'analyse des fonctions booléennes. Le résultat principal de cette partie est l'extension d'un critère dû à Benjamini, Kalai et Schramm liant sensibilité au bruit et influences d'une fonction booléenne. Ce critère a été récemment étendu sur l'espace gaussien à travers le concept d'influences géométriques. En particulier, nous donnons une nouvelle preuve quantitative de ce résultat, basée sur des arguments de semi-groupes. Le résultat ainsi obtenu s'étend à des modèles de graphes de Schreier plus généraux que le cube ainsi qu'à des modèles continus autre que l'espace gaussien. En particulier, la version quantitative sur les tranches du cube booléen a des conséquences en théorie de la percolation. Dans une dernier chapitre, nous mettons en lien ce critère quantitatif pour donner une généralisation à des graphes produits du théorème "Junta" de Friedgut.

This thesis is about Random Matrix Theory and Free Probability whose strong relation is known since the early nineties. The results mainly organize in two parts : one on infinitesimal freeness, the other on deformed matrix models. More precisely, a combinatorial theory of first order infinitesimal freeness, as introduced by Belinschi and Shlyakhtenko, is developed and generalized to higher order. We give a simple and general framework and we introduce infinitesimal non-crossing cumulant functionals, providing a characterization of infinitesimal freeness. The emphasis is put on combinatorics and on the essentially differential ideas underlying this notion. The second part carries further the study of deformations of matrix models, which has been a very active field of research these past years. The results we present are original in the sense they deal with non-necessarily finite rank deterministic Hermitian perturbations of Wigner and Wishart matrices. Moreover, these results shed light on the link between convergence of eigenvalues of deformed matrix models and free probability, particularly the subordination phenomenon related to free convolution. This link gives an illustration of the power of free probability ideas in random matrix problems.; Le travail effectué dans cette thèse concerne les domaines de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres, dont on connaît les riches connexions depuis le début des années 90. Les résultats s'organisent principalement en deux parties : la première porte sur la liberté infinitésimale, la seconde sur les matrices aléatoires déformées. Plus précisément, on jette les bases d'une théorie combinatoire de la liberté infinitésimale, au premier ordre d'abord, telle que récemment introduite par Belinschi et Shlyakhtenko, puis aux ordres supérieurs. On en donne un cadre simple et général, et on introduit des fonctionnelles de cumulants non-croisés, caractérisant la liberté infinitésimale. L'accent est mis sur la combinatoire et les idées d'essence différentielle qui sous-tendent cette notion. La seconde partie poursuit l'étude des déformations de modèles matriciels, qui a été ces dernières années un champ de recherche très actif. Les résultats présentés sont originaux en ce qu'ils concernent des perturbations déterministes Hermitiennes de rang non nécessairement fini de matrices de Wigner et de Wishart. En outre, un apport de ce travail est la mise en lumière du lien entre la convergence des valeurs propres de ces modèles et les probabilités libres, plus particulièrement le phénomène de subordination pour la convolution libre. Ce lien donne une illustration de la puissance des idées des probabilités libres dans les problèmes de matrices aléatoires.

This thesis is about Random Matrix Theory and Free Probability whose strong relation is known since the early nineties. The results mainly organize in two parts : one on infinitesimal freeness, the other on deformed matrix models. More precisely, a combinatorial theory of first order infinitesimal freeness, as introduced by Belinschi and Shlyakhtenko, is developed and generalized to higher order. We give a simple and general framework and we introduce infinitesimal non-crossing cumulant functionals, providing a characterization of infinitesimal freeness. The emphasis is put on combinatorics and on the essentially differential ideas underlying this notion. The second part carries further the study of deformations of matrix models, which has been a very active field of research these past years. The results we present are original in the sense they deal with non-necessarily finite rank deterministic Hermitian perturbations of Wigner and Wishart matrices. Moreover, these results shed light on the link between convergence of eigenvalues of deformed matrix models and free probability, particularly the subordination phenomenon related to free convolution. This link gives an illustration of the power of free probability ideas in random matrix problems.; Le travail effectué dans cette thèse concerne les domaines de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres, dont on connaît les riches connexions depuis le début des années 90. Les résultats s'organisent principalement en deux parties : la première porte sur la liberté infinitésimale, la seconde sur les matrices aléatoires déformées. Plus précisément, on jette les bases d'une théorie combinatoire de la liberté infinitésimale, au premier ordre d'abord, telle que récemment introduite par Belinschi et Shlyakhtenko, puis aux ordres supérieurs. On en donne un cadre simple et général, et on introduit des fonctionnelles de cumulants non-croisés, caractérisant la liberté infinitésimale. L'accent est mis sur la combinatoire et les idées d'essence différentielle qui sous-tendent cette notion. La seconde partie poursuit l'étude des déformations de modèles matriciels, qui a été ces dernières années un champ de recherche très actif. Les résultats présentés sont originaux en ce qu'ils concernent des perturbations déterministes Hermitiennes de rang non nécessairement fini de matrices de Wigner et de Wishart. En outre, un apport de ce travail est la mise en lumière du lien entre la convergence des valeurs propres de ces modèles et les probabilités libres, plus particulièrement le phénomène de subordination pour la convolution libre. Ce lien donne une illustration de la puissance des idées des probabilités libres dans les problèmes de matrices aléatoires.

In this thesis, we study the large deviations for two related probabilistic models: the last-passage percolation model and the random matrix model.; Durant cette thèse, on a étudié essentiellement deux modèles aléatoires qui, malgré leur différence apparente, cachent un intérêt commun et mettent en évidence des phénomènes mathématiques et physiques communs. Le modèle de percolation de dernier passage dans le plan (last-passage directed percolation model ou LPP) est un modèle de percolation orientée bidimensionnel. Il fait partie d'une vaste liste de modèles de croissance et sert à modéliser des phénomènes dans des domaines variés. Dans la première partie de cette thèse, on s'est intéressé essentiellement aux propriétés de grandes déviations de ce modèle. On a également examiné les fluctuations transversales du même modèle. Toute cette étude a été faite dans le cadre d'un rectangle fin. Parallèlement aux travaux sur les modèles de croissance, on a étudié un autre sujet qui émerge également du monde de la Physique : celui des matrices aléatoires. Ces matrices se divisent en deux catégories principales introduites à une vingtaine d'années d'intervalle : les matrices de covariance empirique et les matrices de Wigner. L'étendue du champ d'application de ces matrices est tellement vaste qu'on peut les rencontrer presque dans toutes les filières scientifiques : probabilité, combinatoire, physique atomique, statistique multivariée, télécommunication théorie des représentations, etc. Parmi les objets mathématiques les plus étudiés, on cite la loi jointe des valeurs propres, la densité spectrale, l'espacement des valeurs propres, la plus grande valeur propre et les vecteurs propres associés. En mécanique quantique par exemple, les valeurs propres d'une matrice du GUE modélisent les niveaux d'énergie d'un électron autour du noyau tandis que le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre d'une matrice de covariance empirique indique la direction ou l'axe principal en analyse de données. Comme pour le modèle de percolation dirigée, on s'est intéressé en particulier aux propriétés de grandes déviations de la valeur propre maximale d'un certain type de matrices de covariance empirique. Cette étude pourrait avoir des applications en statistique et notamment en analyse en composantes principales. Malgré l'apparente différence, la théorie des matrices aléatoires est strictement liée au modèle de percolation dirigée. Leurs structures de corrélation se ressemblent dans certains cas d'une manière troublante. La convergence des fluctuations, dans les deux cas, vers la célèbre loi de Tracy-Widom en est un bon exemple.

In this thesis we are interested in functional inequalities as inequalities of Poincaré, logarithmic Sobolev, Sobolev, and the so called inequalities of transport. At first, we study the inequalities of Poincaré and logarithmic Sobo\-lev for models of statistical mechanics. We then propose a new class of phases such that the associated Gibbs measure satisfy these two inequalities. In a 2nd part, the inequalities of logarithmic Sobolev and Sobolev are explored via Hamilton-Jacobi's equations. We show, in a similar way as Gross did in 1975 for diffusions semigroups, the equivalence between the inequality of logarithmic Sobolev and the hypercontractivity of Hamilton-Jacobi's equations. This equivalence allows to show, using a new method proposed by Otto and Villani, that the inequality of logarithmic Sobolev implies a quadratic inequality of transport. In the same way as Varopoulos in 1985 for the diffusions semigroups, we establish the link between the Sobolev's inequality and ultracontractivity of the Hamilton-Jacobi's equations. Finally, we study the inequalities of transport in a general frame. This study allows on one hand to give the link between inequalities of modified logarithmic Sobolev and some particular inequalities of transport, and on the other hand to give an example of quadratic inequality of transport for a measure in infinite dimension, namely the Wiener's measure.; Dans cette thèse nous nous intéressons à des inégalités fonctionnelles comme les inégalités de Poincaré, Sobolev logarithmique, Sobolev, et celles appelées inégalités de transport. Dans un premier temps, nous étudions les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique pour des modèles de mécanique statistique. Cette étude nous permet de donner une nouvelle classe de phases telle que les mesures de Gibbs associées satisfassent à ces deux inégalités. Nous étudions dans un second temps, les inégalités de Sobolev logarithmique et de Sobolev par le biais des équations de Hamilton-Jacobi. Nous montrons, de la même façon que Gross en 1975 pour les semi-groupes de diffusion, l'équivalence entre l'inégalité de Sobolev logarithmique et l'hypercontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Cette équivalence permet de montrer, par une nouvelle méthode que celle utilisée par Otto et Villani, que l'inégalité de Sobolev logarithmique implique une inégalité de transport quadratique. De la même manière que Varopoulos en 1985 pour les semi-groupes de diffusion, nous donnons le lien entre l'inégalité de Sobolev et l'ultracontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Pour finir nous étudions les inégalités de transport dans un cadre général. Cette étude permet d'une part de donner le lien entre des inégalités de Sobolev logarithmiques modifiées et des inégalités de transport particulières et d'autre part de donner un exemple d'inégalité de transport quadratique pour une mesure en dimension infinie, la mesure de Wiener.

This work deals with numerical atomisation of liquid jets. In the first part, a bibliographical review concerning liquid jets break-up is done. Numerical approaches are developped in the second part. We used an interface tracking method (Volume of Fluid), a Continuum Surface Force method (CSF) in order to introduce surface tension efforts and a Mac Cormack scheme to compute Navier-Stokes equations. In the last part a particle method called Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) is applied to liquid and gaz flow interactions. The mean interfacial phenomenoms, such as surface tension and vaporisation are taken into account. 2D and 3D simulations of liquid jets deformation in supersonic air flows are analysed and compared with experimental results., On étudie la pulvérisation numérique de jets et de nappes liquides. Dans la première partie une revue bibliographique du problème présente la théorie des instabilités de Kelvin-Helmholtz et différents résultats expérimentaux antérieurs. Dans le seconde partie on présente différentes méthodes numériques : technique de suivi d'interface (Volume of Fluid), de calculs des efforts de tension de surface (CSF) et de résolution des équations de Navier-Stokes (Mac Cormack). La dernière partie décrit une méthode particulaire (SPH) permettant de traiter des interactions d'écoulements liquides et gazeux. Les principaux phénomènes interfaciaux, tels que la tension de surface et la vaporisation sont pris en compte. Des calculs 2D et 3D de déformation de jets liquides dans les écoulements gazeux supersoniques sont analyses et comparés avec des résultats expérimentaux.