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The aim of this thesis is to produce a formula for the local root number of an abelian variety defined over a p-adic field in terms of some other invariants. If A has real multiplication, then it must have either potentially good or potentially toric reduction. In the former case we give formulas for the local root number under the hypothesis that the inertia action on the first étale cohomology group is abelian, in the latter the root number depends only on the type of the Néron model. In the second part we consider the Jacobian of a 5-adic curve of genus 2 such that the inertia action is wild and maximal. We prove a few criteria to identify this setting. Our first formula for the root number of J depends on a particular Weierstrass equation E. Using this equation, in the third part, we show a formula for the Tamagawa number of J. This allows us to express the root number of J independently of E., Dans cette thèse on s’intéresse à exprimer le signe local d’une variété abélienne A définie sur un corps p-adique K en termes d’autres invariants. Si A a multiplication réelle sur K on montre que la réduction de A est soit potentiellement bonne, soit potentiellement torique. Dans le premier cas on produit des formules du signe local sous l'hypothèse que l'action d'inertie sur le 1er groupe de cohomologie l-adique est abélienne, dans le deuxième cas le signe local dépend seulement du type du modèle de Néron. Dans la deuxième partie on considère la jacobienne J d'une courbe 5-adique de genre 2 telle que l'action d'inertie est sauvage et maximale. On montre des critères pour identifier cette situation. On obtient une formule de signe local de J en termes d'une équation de Weierstrass particulière E de la courbe. Dans la troisième partie on calcule le nombre de Tamagawa de J en termes de E. Ceci nous permet d'obtenir une formule du signe local de J indépendante de l'équation E.

For each prime p, we prove the existence of infinitely many real quadratic p-rational number fields as well as the existence of a real and an imaginary bi-quadratic p-rational number field. Moreover for p = 3, we show the existence of infinitely many imaginary bi-quadratic 3-rational number fields. For p > 5 and F a real multi-quadratic p-rational number field with tame kernel of ordre prime to p, we prove the existence of infinitely many imaginary quadratic extensions of F, p-rational.Using a recent method developed by Greenberg, we deduce the existence of Galois extensions of Q whose Galois groups are isomorphic to open subgroups of GLn(Zp) for n = 4 and n = 5 and at least for all p ≤ 718.328.637. Finally, we give a new reformulation of the conjectures of Ankeny-Artin-Chowla and Mordell, in terms of the p-rationality of Q(√p)., Pour chaque nombre premier p, nous prouvons l’existence d’une infinité de corps quadratiques réels p-rationnels ainsi que l’existence d’un corps bi-quadratique réel et d’un corps bi-quadratique imaginaire p-rationnel. De plus pour p = 3, nous montrons l’existence d’une infinité de corps bi-quadratiques imaginaires 3-rationnels. Pour p > 5 et F un corps multi-quadratique réel p-rationnel tels que le noyau modéré de F est d’ordre premier à p, nous montrons l’existence d’une infinité d’extensions quadratiques imaginaires p-rationnelles de F. En utilisant une méthode récente développée par Greenberg, nous déduisons l’existence des extensions galoisiennes de Q dont les groupes de Galois sont isomorphes à des sous-groupes ouverts de GLn(Zp) pour n = 4 et n = 5 et au moins pour tout p ≤ 718.328.637. Finalement, nous donnons une nouvelle reformulation des conjectures de Ankeny-Artin-Chowla et de Mordell, en terme de la p-rationalité de Q(√p).

This work is aimed at finding and classifying all the families of ECM-friendly rational elliptic curves and quantifying their ECM-friendliness. We establish a link between the classification of ECM-friendly curves and Mazur's program B, which consists in classifying all the elliptic curves with the adelic Galois image contained in $\mathrm{H}$, a subgroup of $\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$.Building upon recent works which compute the models of modular curves associated to congruence subgroups of prime-power level, we prove that there are exactly 1525 distinct families of rational elliptic curves with distinct Galois images which are cartesian products of subgroups of prime-power level. This makes an exhaustive list of families of ECM-friendly rational elliptic curves, out of which less than 25 were previously known. Equipped with these families, we quantify their ECM-friendliness by improving a common heuristic which says that $\#\mathrm{E}(\mathbb{F}_p)$ is as smooth as a random integer of the same size.; Ce travail a pour but de chercher des familles infinies de courbes elliptiques rationnelles les mieux adaptées pour l'algorithme ECM de factorisation d'un nombre, en utilisant des courbes elliptiques. On établit un lien entre cette classification et le ``Programme B'' de Mazur, dont le but est de classifier toutes les courbes elliptiques ayant une image de Galois adélique contenu en $H$, un sous-groupe donné de $\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$.En se basant sur des travaux récents qui calculent des modèles explicites de courbes modulaires pour des sous-groupes de congruences de niveau une puissance d'un nombre premier, nous montrons qu'il existe exactement 1525 familles distinctes de courbes elliptiques rationnelles dont l'image de Galois adélique est un produit cartésien de sous-groupes de niveau une puissance d'un nombre premier. Ceci fournit une liste exhaustive de courbes elliptiques mieux adaptées pour l’algorithme ECM dont moins de 25 étaient connues dans la littérature. On quantifie l'adaptabilité de ces familles à l’algorithme ECM en améliorant une heuristique commune qui dit que $\#\mathrm{E}(\mathbb{F}_p)$ est autant friable qu'un entier quelconque de même taille.

This work is aimed at finding and classifying all the families of ECM-friendly rational elliptic curves and quantifying their ECM-friendliness. We establish a link between the classification of ECM-friendly curves and Mazur's program B, which consists in classifying all the elliptic curves with the adelic Galois image contained in $\mathrm{H}$, a subgroup of $\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$.Building upon recent works which compute the models of modular curves associated to congruence subgroups of prime-power level, we prove that there are exactly 1525 distinct families of rational elliptic curves with distinct Galois images which are cartesian products of subgroups of prime-power level. This makes an exhaustive list of families of ECM-friendly rational elliptic curves, out of which less than 25 were previously known. Equipped with these families, we quantify their ECM-friendliness by improving a common heuristic which says that $\#\mathrm{E}(\mathbb{F}_p)$ is as smooth as a random integer of the same size.; Ce travail a pour but de chercher des familles infinies de courbes elliptiques rationnelles les mieux adaptées pour l'algorithme ECM de factorisation d'un nombre, en utilisant des courbes elliptiques. On établit un lien entre cette classification et le ``Programme B'' de Mazur, dont le but est de classifier toutes les courbes elliptiques ayant une image de Galois adélique contenu en $H$, un sous-groupe donné de $\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$.En se basant sur des travaux récents qui calculent des modèles explicites de courbes modulaires pour des sous-groupes de congruences de niveau une puissance d'un nombre premier, nous montrons qu'il existe exactement 1525 familles distinctes de courbes elliptiques rationnelles dont l'image de Galois adélique est un produit cartésien de sous-groupes de niveau une puissance d'un nombre premier. Ceci fournit une liste exhaustive de courbes elliptiques mieux adaptées pour l’algorithme ECM dont moins de 25 étaient connues dans la littérature. On quantifie l'adaptabilité de ces familles à l’algorithme ECM en améliorant une heuristique commune qui dit que $\#\mathrm{E}(\mathbb{F}_p)$ est autant friable qu'un entier quelconque de même taille.

In this thesis, we are concerned with smooth complex representations of the Weil group W of a non-Archimedean local field. Via the ramification filtration of W, one can attach to such a representation S an additive invariant sw(S), known as the Swan exponent. The central problem in this thesis is the following. For an n-dimensional representation S of W, we consider the composition ROS, where R denotes an algebraic representation of GL_n(C). We investigate the relations between sw(ROS) and sw(S). More precisely, we reprove certain results of Bushnell and Henniart in the case where R is the adjoint representation, only invoking Galois theory and elementary representation theory. Using similar methods, we also provide results when R is a tensor operation. Finally, we investigate the case n=2., Dans cette thèse, nous nous intéressons aux représentations lisses complexes de groupe de Weil W d'un corps local non archimédien. Si S est une telle représentation, la filtration de ramification de W nous permet de définir l'exposant sw(S) de son conducteur de Swan. Le problème central de cette thèse est le suivant. Soit S une représentation de W de dimension n, et soit ROS la composée de S par une représentation algébrique R de GL_n(C). Nous étudions les relations entre sw(ROS) et sw(S). Plus précisément, nous reprouvons certains résultats de Bushnell et Henniart dans le cas où la représentation R est donnée par la représentation adjointe, en n'utilisant que la théorie de Galois et des représentations. Ensuite, par des méthodes similaires, nous donnons des résultats quand R est une opération tensorielle. Finalement, nous discutons le cas n=2.

In this thesis, we are concerned with smooth complex representations of the Weil group W of a non-Archimedean local field. Via the ramification filtration of W, one can attach to such a representation S an additive invariant sw(S), known as the Swan exponent. The central problem in this thesis is the following. For an n-dimensional representation S of W, we consider the composition ROS, where R denotes an algebraic representation of GL_n(C). We investigate the relations between sw(ROS) and sw(S). More precisely, we reprove certain results of Bushnell and Henniart in the case where R is the adjoint representation, only invoking Galois theory and elementary representation theory. Using similar methods, we also provide results when R is a tensor operation. Finally, we investigate the case n=2.; Dans cette thèse, nous nous intéressons aux représentations lisses complexes de groupe de Weil W d'un corps local non archimédien. Si S est une telle représentation, la filtration de ramification de W nous permet de définir l'exposant sw(S) de son conducteur de Swan. Le problème central de cette thèse est le suivant. Soit S une représentation de W de dimension n, et soit ROS la composée de S par une représentation algébrique R de GL_n(C). Nous étudions les relations entre sw(ROS) et sw(S). Plus précisément, nous reprouvons certains résultats de Bushnell et Henniart dans le cas où la représentation R est donnée par la représentation adjointe, en n'utilisant que la théorie de Galois et des représentations. Ensuite, par des méthodes similaires, nous donnons des résultats quand R est une opération tensorielle. Finalement, nous discutons le cas n=2.

International audience; We show how the output of the algorithm to compute modular Galois representations described in our previous article can be certified. We have used this process to compute certified tables of such Galois representations obtained thanks to an improved version of this algorithm, including representations modulo primes up to 31 and representations attached to a newform with non-rational (but of course algebraic) coefficients, which had never been done before. These computations take place in the Jacobian of modular curves of genus up to 26. The resulting data are available on the author's webpage.

Let $g=1$ or $2$ and $p>3$ be a prime. For the symplectic group $\mathrm{GSp}_{2g}$ the Hecke eigensystems appearing in the spaces of classical automorphic forms, of a fixed tame level and varying weight, are $p$-adically interpolated by a rigid analytic space, the $\mathrm{GSp}_{2g}$-eigenvariety. A sufficiently small subdomain of the eigenvariety can be described as the rigid analytic space associated with a profinite algebra $\mathbb{T}$. An irreducible component of $\mathbb{T}$ is defined by a profinite ring $\mathbb{I}$ and a morphism $\theta\colon\mathbb{T}\to\mathbb{I}$. In the residually irreducible case we can attach to $\theta$ a representation $\rho_\theta\colon\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GSp}_{2g}(\mathbb{I})$. We study the image of $\rho_\theta$ when $\theta$ describes a positive slope component of $\mathbb{T}$. In the case $g=1$ this is a joint work with A. Iovita and J. Tilouine. Suppose either that $g=1$ or that $g=2$ and $\theta$ is residually of symmetric cube type. We prove that $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$ is ``big'' and that its size is related to the ``accidental congruences'' of $\theta$ with the subfamilies that are obtained as lifts of families for groups of smaller rank. More precisely, we enlarge a subring $\mathbb{I}_0$ of $\mathbb{I}[1/p]$ to a ring $\mathbb{B}$ and we define a Lie subalgebra $\mathfrak{G}$ of $\mathfrak{gsp}_{2g}(\mathbb{B})$ associated with $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$. We prove that there exists a non-zero ideal $\mathfrak{l}$ of $\mathbb{I}_0$ such that $\mathfrak{l}\cdot\mathfrak{sp}_{2g}(\mathbb{B})\subset\mathfrak{G}$. For $g=1$ the prime factors of $\mathfrak{l}$ correspond to the CM points of the family $\theta$. Such points do not define congruences between $\theta$ and a CM family, so we call them accidental congruence points. For $g=2$ the prime factors of $\mathfrak{l}$ correspond to accidental congruences of $\theta$ with subfamilies of dimension $0$ or $1$ that are symmetric cube lifts of points or families of the $\mathrm{GL}_2$-eigencurve., Soit $g=1$ ou $2$ et $p>3$ un nombre premier. Pour le groupe symplectique $\mathrm{GSp}_{2g}$, les sytèmes de valeurs propres de Hecke apparaissant dans les espaces de formes automorphes classiques, d'un niveau modéré fixé et de poids variable, sont interpolés $p$-adiquement par un espace rigide analytique, la variété de Hecke pour $\mathrm{GSp}_{2g}$. Un sous-domaine suffisamment petit de cette variété peut \^etre décrit comme l'espace rigide analytique associé à une algèbre profinie $\mathbb{T}$. Une composante irréductible de $\mathbb{T}$ est définie par un anneau profini $\mathbb{I}$ et un morphisme $\theta\colon\mathbb{T}\to\mathbb{I}$. Dans le cas résiduellement irréductible on peut associer à $\theta$ une représentation $\rho_\theta\colon\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GSp}_{2g}(\mathbb{I})$. On étudie l'image de $\rho_\theta$ quand $\theta$ décrit une composante de pente positive de $\mathbb{T}$. Pour $g=1$ il s'agit d'un travail en commun avec A. Iovita et J. Tilouine. On suppose que $g=1$ où que $g=2$ et $\theta$ est résiduellement de type cube symétrique. On montre que $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$ est ``grande'' et que sa taille est liée aux ``congruences fortuites'' de $\theta$ avec les transferts de familles pour groupes de rang plus petit. Plus précisement, on agrandit un sous-anneau $\mathbb{I}_0$ de $\mathbb{I}[1/p]$ en un anneau $\mathbb{B}$ et on définit une sous-algèbre de Lie $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{gsp}_{2g}(\mathbb{B})$ associée à $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$. On prouve qu'il existe un idéal non-nul $\mathfrak{l}$ de $\mathbb{I}_0$ tel que $\mathfrak{l}\cdot\mathfrak{sp}_{2g}(\mathbb{B})\subset\mathfrak{G}$. Pour $g=1$ les facteurs premiers de $\mathfrak{l}$ correspondent aux points CM de la famille $\theta$. Pour $g=2$ les facteurs premiers de $\mathfrak{l}$ correspondent à des congruences fortuites de $\theta$ avec des sous-familles de dimension $0$ ou $1$, obtenues par des transferts de type cube symétrique de points ou familles de la courbe de Hecke pour $\mathrm{GL}_2$.

In this thesis, we present three independent works in cryptography, p-adic Hodge theory and Numerical analysis.First we present several algorithms to solve the discrete logarithm in several characteristic finite fields. We are particularly interested with the determination of classes of polynomial functions with small coefficients.The second part of the thesis deals with one of the major object of p-adic Hodge theory. We present a multi-variable version of Breuil-Kisin modules where the Lubin-Tate tower replaces the classical cyclotomic tower. He third proposes two numerical schemes for the modelisation of desorption of shale gaz.; Cette thèse comporte trois volets indépendants en cryptographie, en théorie de Hodge p-adique et en analyse numérique.La première partie consiste en l'étude d'algorithmes performants de résolution du logarithme discret. La résolution du logarithme discret consiste à déterminer les exposants d'une famille fixée de générateurs dans la décomposition des éléments du groupe. Dans le cas des groupes multiplicatifs d'un corps fini, la complexité des calculs dépendent de la taille - dite de petite, moyenne ou grande caractéristique- de la caractéristique du corps dans lesquels on effectue les calculs.Nous présentons différents algorithmes dans chacune des caractéristiques (petite, moyenne ou grande) en précisant quel est l'algorithme le plus performant dans chacun des cas.La seconde partie s'inscrit dans le contexte du programme de Langlands p-adique. Nous présentons une généralisation de l'un des outils centraux de la théorie, les modules de Breuil-Kisin, en plusieurs variables La troisième partie est un travail effectué en collaboration avec Victor Vilaça Da Rocha, Roberta Tittarelli, Richard Sambilason Rafefimanana, Victor Michel-Dansac et Benjamin Couéraud. Il a été initié lors de la treizième SEME, Semaine d'Etudes Maths Entreprises organisée par l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société (AMIES).L'Institut Français du Pétrole et des Energies Nouvelles nous a soumis un problème de résolution numérique d'un système d'équations modélisant la désorption d'un gaz de schiste en une dimension.Nous proposons plusieurs schémas du premier ordre recourant à un traitement implicite de l'équation de relaxation. Enfin nous présentons un schéma numérique d'ordre deux en temps.

In this thesis, we present three independent works in cryptography, p-adic Hodge theory and Numerical analysis.First we present several algorithms to solve the discrete logarithm in several characteristic finite fields. We are particularly interested with the determination of classes of polynomial functions with small coefficients.The second part of the thesis deals with one of the major object of p-adic Hodge theory. We present a multi-variable version of Breuil-Kisin modules where the Lubin-Tate tower replaces the classical cyclotomic tower. He third proposes two numerical schemes for the modelisation of desorption of shale gaz.; Cette thèse comporte trois volets indépendants en cryptographie, en théorie de Hodge p-adique et en analyse numérique.La première partie consiste en l'étude d'algorithmes performants de résolution du logarithme discret. La résolution du logarithme discret consiste à déterminer les exposants d'une famille fixée de générateurs dans la décomposition des éléments du groupe. Dans le cas des groupes multiplicatifs d'un corps fini, la complexité des calculs dépendent de la taille - dite de petite, moyenne ou grande caractéristique- de la caractéristique du corps dans lesquels on effectue les calculs.Nous présentons différents algorithmes dans chacune des caractéristiques (petite, moyenne ou grande) en précisant quel est l'algorithme le plus performant dans chacun des cas.La seconde partie s'inscrit dans le contexte du programme de Langlands p-adique. Nous présentons une généralisation de l'un des outils centraux de la théorie, les modules de Breuil-Kisin, en plusieurs variables La troisième partie est un travail effectué en collaboration avec Victor Vilaça Da Rocha, Roberta Tittarelli, Richard Sambilason Rafefimanana, Victor Michel-Dansac et Benjamin Couéraud. Il a été initié lors de la treizième SEME, Semaine d'Etudes Maths Entreprises organisée par l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société (AMIES).L'Institut Français du Pétrole et des Energies Nouvelles nous a soumis un problème de résolution numérique d'un système d'équations modélisant la désorption d'un gaz de schiste en une dimension.Nous proposons plusieurs schémas du premier ordre recourant à un traitement implicite de l'équation de relaxation. Enfin nous présentons un schéma numérique d'ordre deux en temps.

In this paper, we call strongly modular those reducible semi-simple odd mod $l$ Galois representations for which the conclusion of the strongest form of Serre's original modularity conjecture holds. Under the assumption that the Serre weight $k$ satisfies $l\textgreater{}k+1$, we give a precise characterization of strongly modular representations, hence generalizing a classical theorem of Ribet pertaining to the case of conductor $1$.When the representation $\rho$ is not strongly modular, we give a necessary and sufficient condition on the primes $p$ not dividing $Nl$ for which it arises in level $Np$, where $N$ denotes the conductor of $\rho$. This generalizes a result of Mazur on the case $(N,k)=(1,2)$., Comment: Revised version. To appear in Trans. Amer. Math. Soc

We prove in this paper an uniform surjectivity result for Galois representations associated with non-CM $\mathbb{Q}$-curves over imaginary quadratic fields, using various tools for the proof, such as Mazur's method, isogeny theorems, Runge's method and analytic estimates of sums of $L$-functions., Comment: 31 pages, minor corrections

Given a prime number l greater than or equal to 5, we construct an infinite family of three-dimensional abelian varieties over Q such that, for any A/Q in the family, the Galois representation ��_{A, l}: Gal_Q -> GSp(6, l) attached to the l-torsion of A is surjective. Any such variety A will be the Jacobian of a genus 3 curve over Q whose respective reductions at two auxiliary primes we prescribe to provide us with generators of Sp(6, l)., 20 pages. Minor modifications, examples added. To appear in Acta Arithmetica

Given a p-torsion representation of the absolute Galois group of a p-adic field, M. Kisin defines a moduli space, which was named Kisin variety afterwards by G. Pappas and M. Rapoport. These varieties were first introduced in order to prove several modularity results on Galois representations. They were also used for constructing certain Galois deformation rings and computing some of them. Besides, they were involved in a recent work aiming at defining an algebraic structure on the stack of torsion Galois representations. It turns out that these varieties are formally similar to affine Deligne-Lusztig varieties. In particular their definition extends to the framework of reductive groups. In this thesis, we study the dimension of some Kisin varieties corresponding to the scalar restriction of the general linear group GLd. Inspired by methods coming from Deligne-Lusztig theory and following works by E. Viehmann and X. Caruso, we define a stratification on the given Kisin variety. Then we bound from below and from above the dimension of the strata, and we address the problem of maximizing the dimension over all strata. This allows us to derive the announced bounds on the dimension. As for affine Deligne-Lusztig varieties, the sum of the positive roots appears in the bounds., A une représentation de p-torsion du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique, M. Kisin associe un espace de modules, appelé par la suite variété de Kisin par G. Pappas et M. Rapoport. Ces variétés ont été introduites afin de démontrer plusieurs résultats de modularité sur les représentations galoisiennes. Elles se sont révélées utiles également pour construire certains anneaux de déformations voire les calculer. Plus récemment elles ont été utilisées pour munir le champ des représentations galoisiennes de torsion d'une structure algébrique. Par ailleurs ces variétés ressemblent formellement aux variétés de Deligne-Lusztig affines. En particulier leur définition s'étend dans le cadre de la théorie des groupes réductifs. Dans cette thèse, nous étudions la dimension de certaines variétés de Kisin dans le cas de la restriction des scalaires à la Weil du groupe linéaire général GLd. En nous basant sur des méthodes issues du cadre Deligne-Lusztig et en suivant les travaux de E. Viehmann et X. Caruso, nous définissons une stratification de la variété de Kisin. Nous encadrons ensuite la dimension des strates, puis étudions le problème de la maximisation de la dimension sur l'ensemble des strates. Cela permet de démontrer des encadrements pour la dimension des variétés de Kisin considérées. Comme dans le cas des variétés de Deligne-Lusztig affines, la somme des racines positives intervient dans l'encadrement de la dimension.

We prove several abstract criteria for semi-simplicity of I-adic representations of profinite groups. As an application, we show that generalised Eichler-Shimura relations imply the semi-simplicity of a non-trivial subspace of middle cohomology of unitary Shimura varieties. The most complete results are obtained for unitary Shimura varieties of signature (n, 0)a × (n − 1, 1)b × (1, n − 1)c × (0, n)d., On étudie dans un cadre abstrait des critères de semi-simplicité pour des représentations l-adiques de groupes profinis. On applique les résultats obtenus pour montrer que les relations d’Eichler-Shimura généralisées entraînent la semi-simplicité de certaines représentations galoisiennes non triviales qui apparaissent dans la cohomologie des variétés de Shimura unitaires. Les résultats les plus intéressants sont obtenus pour les variétés de Shimura unitaires de signature (n, 0)a × (n − 1, 1)b × (1, n − 1)c × (0, n)d.

Let K be a number field and A be a g-dimensional abelian variety over K. For every prime ℓ, the ℓ-adic Tate module of A gives rise to an ℓ-adic representation of the absolute Galois group of K; in this thesis we set out to study the images of the Galois representations arising in this way. For various classes of abelian varieties a description of these images is known up to finite error, and the first aim of this work is to explicitly quantify this error for a number of different cases. We provide a complete solution for the case of elliptic curves without complex multiplication (and more generally for products thereof) and for geometrically simple abelian varieties of CM type. For other classes of abelian varieties we can only describe the Galois image when the prime ℓ is above a certain bound (which we compute explicitly in terms of A, and which is polynomial in [K:Q] and in the Faltings height of A): we obtain such results for geometrically simple, semistable abelian surfaces and for "GL₂-type" varieties. We also prove similar (but slightly weaker) results for many abelian varieties of odd dimension with trivial endomorphism algebra. We then consider the Galois action on non-simple abelian varieties, and we give sufficient conditions for the associated Galois representations to decompose as a product. Finally, we investigate the structure of the intersection between the cyclotomic extensions of a number field K and the fields generated by the torsion points of an abelian variety over K, proving a uniformity property for the degrees of such intersections., Soient K un corps de nombres et A une variété abélienne sur K dont nous notons g la dimension. Pour tout premier ℓ, le module de Tate ℓ-adique de A nous fournit une représentation ℓ-adique du groupe de Galois absolu de K, et c'est à l'image de ces représentations galoisiennes que l'on s'intéresse dans cette thèse.Pour de nombreuses classes de variétés abéliennes on possède une description de ces images à une erreur finie près : le premier but de ce travail est de quantifier explicitement cette erreur dans plusieurs cas différents. On parvient à résoudre complètement le problème pour une courbe elliptique sans multiplication complexe, ou plus généralement pour un produit de telles courbes elliptiques, et pour toute variété abélienne géométriquement simple admettant multiplication complexe. Pour d'autres classes de variétés abéliennes A/K on obtient seulement une description de l'image de Galois pour tout premier ℓ plus grand qu'une certaine borne (que l'on calcule explicitement, et qui est polynomiale en le degré de K et en la hauteur de Faltings de A) : nous prouvons de tels résultats pour toute surface abélienne semistable et géométriquement simple et pour les variétés dites "de type GL₂''. On montre également un résultat semblable, mais un peu affaibli, pour de nombreuses variétés abéliennes de dimension impaire dont l'anneau des endomorphismes est réduit à ℤ. On s'intéresse ensuite à l'action de Galois sur des variétés abéliennes non simples, et on donne des conditions suffisantes pour que les représentations galoisiennes qui leur sont associées se décomposent elles-mêmes en produit. Finalement on étudie l'intersection entre les extensions cyclotomiques d'un corps de nombres K et les corps engendrés par les points de torsion d'une variété abélienne sur K, et on établit des propriétés d'uniformité des degrés de ces intersections.

It was conjectured in the late 60's by J.-P. Serre and proved in the early 70's by P.Deligne that to each newform f = q +Σn ⩾2 anqn 2 Sk(N; "), k ⩾2, and each primel of the number field Kf = Q(an; n ⩾ 2), is attached an l-adic Galois representationPf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(ZKf;l ), which is unrami fied outside ℓN and such the characteristicpolynomial of the Frobenius element at p ∤ ℓN is X2 apX +"(p)pk1. Reducing modulo land semi-simplifying, one gets a mod l Galois representation Pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(Fl),which is unrami filed outside ℓN and such that the characteristic polynomial of the Frobeniuselement at p ℓN is X2 apX +"(p)pk1 mod l. In particular, its trace is ap mod l, whichgives a quick way to compute ap mod l for huge p.The goal of this thesis is to study and implement an algorithm based on this idea(originally due to J.-M. Couveignes and B. Edixhoven) which computes the coefficients apmodulo l by computing the mod l Galois representation first, relying on the fact that ifk < ℓ, this representation shows up in the ℓ-torsion of the jacobian of the modular curveX1(ℓN).Thanks to several improvements, such as the use of K. Khuri-Makdisi's methods tocompute in the modular Jacobian J1(ℓN) or the construction of an arithmetically well-behaved function alph 2 Q(J1(ℓN)), this algorithm performs very well, as illustrated bytables of coefficients. This thesis ends by the presentation of a method to formally provethat the output of the algorithm is correct.; J.-P. Serre a conjecturé à la fin des années 60 et P. Deligne a prouvé au début des années 70 que pour toute newform f = q + ∑ n⩾2 a n q n 2 S k (N; "), k ⩾ 2, et tout premier l du corps de nombres Kf = Q(a n ; n ⩾ 2), il existe une représentation galoisienne l-adique pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (ZKf;l) qui est non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X2 a pX + "(p)p k 1 .Après réduction modulo l et semi-simplification, on obtient une représentation galoisienne pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (Fl) modulo l, non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que lepolynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X 2 a pX + "(p)p k 1mod l, d'où un moyen de calcul rapide de ap mod l pour p gigantesque.L'objet de cette thèse est l'étude et l'implémentation d'un algorithme reposant sur cette idée (initialement due à J.-M. Couveignes and B. Edixhoven), qui calcule les coefficients ap modulo l en calculant d'abord cette représentation modulo l, en s'appuyant sur le fait que pour k < ℓ, cette représentation est réalisée dans la ℓ-torsion de la jacobienne de la courbe modulaire X1 (ℓN ).Grâce à plusieurs améliorations, telles que l'utilisation des méthodes de K. KhuriMakdisi pour calculer dans la jacobienne modulaire J1(ℓN ) ou la construction d'une fonction a 2 Q (J1(ℓN )) au bon comportement arithmétique, cet algorithme est très efficace, ainsi qu'illustré par des tables de coefficients. Cette thèse se conclut par la présentation d'une méthode permettant de prouver formellement que les résultats de ces calculs sont corrects.

It was conjectured in the late 60's by J.-P. Serre and proved in the early 70's by P.Deligne that to each newform f = q +Σn ⩾2 anqn 2 Sk(N; "), k ⩾2, and each primel of the number field Kf = Q(an; n ⩾ 2), is attached an l-adic Galois representationPf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(ZKf;l ), which is unrami fied outside ℓN and such the characteristicpolynomial of the Frobenius element at p ∤ ℓN is X2 apX +"(p)pk1. Reducing modulo land semi-simplifying, one gets a mod l Galois representation Pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(Fl),which is unrami filed outside ℓN and such that the characteristic polynomial of the Frobeniuselement at p ℓN is X2 apX +"(p)pk1 mod l. In particular, its trace is ap mod l, whichgives a quick way to compute ap mod l for huge p.The goal of this thesis is to study and implement an algorithm based on this idea(originally due to J.-M. Couveignes and B. Edixhoven) which computes the coefficients apmodulo l by computing the mod l Galois representation first, relying on the fact that ifk < ℓ, this representation shows up in the ℓ-torsion of the jacobian of the modular curveX1(ℓN).Thanks to several improvements, such as the use of K. Khuri-Makdisi's methods tocompute in the modular Jacobian J1(ℓN) or the construction of an arithmetically well-behaved function alph 2 Q(J1(ℓN)), this algorithm performs very well, as illustrated bytables of coefficients. This thesis ends by the presentation of a method to formally provethat the output of the algorithm is correct.; J.-P. Serre a conjecturé à la fin des années 60 et P. Deligne a prouvé au début des années 70 que pour toute newform f = q + ∑ n⩾2 a n q n 2 S k (N; "), k ⩾ 2, et tout premier l du corps de nombres Kf = Q(a n ; n ⩾ 2), il existe une représentation galoisienne l-adique pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (ZKf;l) qui est non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X2 a pX + "(p)p k 1 .Après réduction modulo l et semi-simplification, on obtient une représentation galoisienne pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (Fl) modulo l, non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que lepolynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X 2 a pX + "(p)p k 1mod l, d'où un moyen de calcul rapide de ap mod l pour p gigantesque.L'objet de cette thèse est l'étude et l'implémentation d'un algorithme reposant sur cette idée (initialement due à J.-M. Couveignes and B. Edixhoven), qui calcule les coefficients ap modulo l en calculant d'abord cette représentation modulo l, en s'appuyant sur le fait que pour k < ℓ, cette représentation est réalisée dans la ℓ-torsion de la jacobienne de la courbe modulaire X1 (ℓN ).Grâce à plusieurs améliorations, telles que l'utilisation des méthodes de K. KhuriMakdisi pour calculer dans la jacobienne modulaire J1(ℓN ) ou la construction d'une fonction a 2 Q (J1(ℓN )) au bon comportement arithmétique, cet algorithme est très efficace, ainsi qu'illustré par des tables de coefficients. Cette thèse se conclut par la présentation d'une méthode permettant de prouver formellement que les résultats de ces calculs sont corrects.

This thesis is devoted to the study of certain cases of a conjecture of Greenberg and Benois on derivative of p-adic L-functions using the method of Greenberg and Stevens. We first prove this conjecture in the case of the symmetric square of a parallel weight 2 Hilbert modular form over a totally real field where p is inert and whose associated automorphic representation is Steinberg in p, assuming certain hypotheses on the conductor. This is a direct generalization of (unpublished) results of Greenberg and Tilouine. Subsequently, we deal with the symmetric square of a finite slope, elliptic, modular form wich is Steinberg at p. To construct the two-variable p-adic L-function, necessary to apply the method of Greenberg and Stevens, we have to appeal to the recently developped theory of nearly overconvergent forms of Urban. We further strengthen the above result, removing the assumption that the conductor of the form is even, using the construction of the p-adic L-function by Böcherer and Schmidt. In the final chapter we recall the definition and the calculation of the algebraic ℒ-invariant à la Greenberg-Benois, and explain how some of the above-mentioned results could generalized to higher genus Siegel modular forms., Dans cette thèse, on démontre une conjecture de Greenberg et Benois sur les zéros triviaux des fonctions L p-adiques dans certains cas. Pour cela, on utilise la méthode de Greenberg et Stevens. Plus précisément, on démontre d'abord cette conjecture pour une forme de Hilbert de poids parallèle 2 sur un corps totalement réel où p est inerte, quand la forme est Steinberg en p et sous d'autres hypothèses sur le conducteur. Ce résultat est une généralisation de travaux non publiés de Greenberg et Tilouine. On démontre ensuite cette conjecture pour une forme modulaire elliptique de pente finie et Steinberg en p et sous des hypothèses similaires. Pour construire la fonction L p-adique en deux variables (construction nécessaire à l'utilisation de la méthode de Greenberg-Stevens), on utilise la récente théorie des formes quasisurconvergentes d'Urban. On améliore le précédent résultat en enlevant l'hypothèse de conducteur pair et en utilisant la construction de la fonction L p-adique de Böcherer et Schmidt. Dans le chapitre final, on rappelle la définition et les calculs de l'invariant ℒ de Greenberg-Benois et on explique comment certains résultats précédement énoncés peuvent être généralisés aux formes modualires de Siegel.

This thesis is devoted to the study of certain cases of a conjecture of Greenberg and Benois on derivative of p-adic L-functions using the method of Greenberg and Stevens. We first prove this conjecture in the case of the symmetric square of a parallel weight 2 Hilbert modular form over a totally real field where p is inert and whose associated automorphic representation is Steinberg in p, assuming certain hypotheses on the conductor. This is a direct generalization of (unpublished) results of Greenberg and Tilouine. Subsequently, we deal with the symmetric square of a finite slope, elliptic, modular form wich is Steinberg at p. To construct the two-variable p-adic L-function, necessary to apply the method of Greenberg and Stevens, we have to appeal to the recently developped theory of nearly overconvergent forms of Urban. We further strengthen the above result, removing the assumption that the conductor of the form is even, using the construction of the p-adic L-function by Böcherer and Schmidt. In the final chapter we recall the definition and the calculation of the algebraic ℒ-invariant à la Greenberg-Benois, and explain how some of the above-mentioned results could generalized to higher genus Siegel modular forms.; Dans cette thèse, on démontre une conjecture de Greenberg et Benois sur les zéros triviaux des fonctions L p-adiques dans certains cas. Pour cela, on utilise la méthode de Greenberg et Stevens. Plus précisément, on démontre d'abord cette conjecture pour une forme de Hilbert de poids parallèle 2 sur un corps totalement réel où p est inerte, quand la forme est Steinberg en p et sous d'autres hypothèses sur le conducteur. Ce résultat est une généralisation de travaux non publiés de Greenberg et Tilouine. On démontre ensuite cette conjecture pour une forme modulaire elliptique de pente finie et Steinberg en p et sous des hypothèses similaires. Pour construire la fonction L p-adique en deux variables (construction nécessaire à l'utilisation de la méthode de Greenberg-Stevens), on utilise la récente théorie des formes quasisurconvergentes d'Urban. On améliore le précédent résultat en enlevant l'hypothèse de conducteur pair et en utilisant la construction de la fonction L p-adique de Böcherer et Schmidt. Dans le chapitre final, on rappelle la définition et les calculs de l'invariant ℒ de Greenberg-Benois et on explique comment certains résultats précédement énoncés peuvent être généralisés aux formes modualires de Siegel.

A simple instance of the conjectured Lannglands functoriality is the existence of the symmetric powers Sym^n of a cuspidal representation of GL(2) over the adeles of a number field F . In this paper, the second of a series, we prove the existence of S^5 and S^7 when F is totally real (verifying a simple condition) and the representation of GL(2) comes from classical modular forms of weight at least 2. The proofs rely on new advances in the Taylor-Wiles deformation theory of Galois representations.

We present two arithmetic applications of James Arthur's endoscopic classification of the discrete automorphic spectrum for symplectic and orthogonal groups. The first one consists in removing the irreducibility assumption in a theorem of Richard Taylor describing the image of complex conjugations by p-adic Galois representations associated with regular, algebraic, essentially self-dual, cuspidal automorphic representations of GL_{2n+1} over a totally real number field. We also extend it to the case of representations of GL_{2n} whose multiplicative character is ''odd''. We use a p-adic deformation argument, more precisely we prove that on the eigenvarieties for symplectic and even orthogonal groups, there are ''many'' points corresponding to (quasi-)irreducible Galois representations. Arthur's endoscopic classification is used to define these Galois representations, and also to transfer self-dual automorphic representations of the general linear group to these classical groups. The second application concerns the explicit computation of dimensions of spaces of automorphic or modular forms. Our main contribution is an algorithm computing orbital integrals at torsion elements of an unramified p-adic classical group, for the unit of the unramified Hecke algebra. It allows to compute the geometric side in Arthur's trace formula, and thus the Euler characteristic of the discrete spectrum in level one. Arthur's endoscopic classification allows to analyse precisely this Euler characteristic, and deduce the dimensions of spaces of level one automorphic forms. The dimensions of spaces of vector-valued Siegel modular forms, which constitute a more classical problem, are easily derived., Nous proposons deux applications à l'arithmétique des travaux récents de James Arthur sur la classification endoscopique du spectre discret des groupes symplectiques et orthogonaux. La première consiste à ôter une hypothèse d'irréductibilité dans un résultat de Richard Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes p-adiques associées aux représentations automorphes cuspidales algébriques régulières essentiellement autoduales pour le groupe GL_{2n+1} sur un corps totalement réel. Nous l'étendons également au cas de GL_{2n}, sous une hypothèse de parité du caractère multiplicatif. Nous utilisons un résultat de déformation p-adique. Plus précisément, nous montrons l'abondance de points correspondant à des représentations galoisiennes (quasi-)irréductibles sur les variétés de Hecke pour les groupes symplectiques et orthogonaux pairs. La classification d'Arthur est utilisée à la fois pour définir les représentations galoisiennes et pour transférer des représentations automorphes autoduales (pas nécessairement cuspidales) de groupes linéaires aux groupes symplectiques et orthogonaux. La deuxième application concerne le calcul explicite de dimensions d'espaces de formes automorphes ou modulaires. Notre contribution principale est un algorithme calculant les intégrales orbitales aux éléments de torsion des groupes classiques p-adiques non ramifiés, pour l'unité de l'algèbre de Hecke non ramifiée. Cela permet le calcul du côté géométrique de la formule des traces d'Arthur, et donc celui de la caractéristique d'Euler du spectre discret en niveau un. La classification d'Arthur permet l'analyse fine de cette caractéristique d'Euler, jusqu'à en déduire les dimensions des espaces de formes automorphes. De là il n'est pas difficile d'apporter une réponse à un problème plus classique: déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de Siegel à valeurs vectorielles.

We give tables of modular Galois representations obtained using the algo-rithm which we described in [Mas13]. We computed Galois representations modulo primes up to 31 for the first time. In particular, we computed the representations attached to a newform with non-rational (but of course algebraic) coefficients, which had never been done before. These computations take place in the jacobian of modular curves of genus up to 26. We also show how these computation results can be partially proved.

The aim of this paper is to present an algorithm the complexity of which is polynomial to compute the semi-simplified modulo $p$ of a semi-stable $\Q_p$-representation of the absolute Galois group of a $p$-adic field (\emph{i.e.} a finite extension of $\Q_p$). In order to do so, we use abundantly the $p$-adic Hodge theory and, in particular, the Breuil-Kisin modules theory., 35 pages, in French

In this thesis we investigate 2-dimensional, continuous, odd, residual Galois representations and their images. This manuscript consists of two parts.In the first part of this thesis we analyse a local-global problem for elliptic curves over number fields. Let E be an elliptic curve over a number field K, and let ℓ be a prime number. If E admits an ℓ-isogeny locally at a set of primes with density one then does E admit an ℓ-isogeny over K? The study of the Galois representation associated to the ℓ-torsion subgroup of E is the crucial ingredient used to solve the problem. We characterize completely the cases where the local-global principle fails, obtaining an upper bound for the possible values of ℓ for which this can happen. In the second part of this thesis, we outline an algorithm for computing the image of a residual modular 2-dimensional semi-simple Galois representation. This algorithm determines the image as a finite subgroup of GL₂(F¯ℓ), up to conjugation, as well as certain local properties of the representation and tabulate the result in a database. In this part of the thesis we show that, in almost all cases, in order to compute the image of such a representation it is sufficient to know the images of the Hecke operators up to the Sturm bound at the given level n. In addition, almost all the computations are performed in positive characteristic.In order to obtain such an algorithm, we study the local description of the representation at primes dividing the level and the characteristic: this leads to a complete description of the eigenforms in the old-space. Moreover, we investigate the conductor of the twist of a representation by characters and the coefficients of the form of minimal level and weight associated to it in order to optimize the computation of the projective image.The algorithm is designed using results of Dickson, Khare-Wintenberger and Faber on the classification, up to conjugation, of the finite subgroups of PGL₂(F¯ℓ). We characterize each possible case giving a precise description and algorithms to deal with it. In particular, we give a new approach and a construction to deal with irreducible representations with projective image isomorphic to either the symmetric group on 4 elements or the alternating group on 4 or 5 elements., Dans cette thèse, on étudie les représentations 2-dimensionnelles continues du groupe de Galois absolu d'une clôture algébrique fixée de Q sur les corps finis qui sont modulaires et leurs images. Ce manuscrit se compose de deux parties.Dans la première partie, on étudie un problème local-global pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres. Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres K, et soit l un nombre premier. Si E admet une l-isogénie localement sur un ensemble de nombres premiers de densité 1 alors est-ce que E admet une l-isogénie sur K ? L'étude de la repréesentation galoisienne associéee à la l-torsion de E est l'ingrédient essentiel utilisé pour résoudre ce problème. On caractérise complètement les cas où le principe local-global n'est pas vérifié, et on obtient une borne supérieure pour les valeurs possibles de l pour lesquelles ce cas peut se produire.La deuxième partie a un but algorithmique : donner un algorithme pour calculer les images des représentations galoisiennes 2-dimensionnelles sur les corps finis attachées aux formes modulaires. L'un des résultats principaux est que l'algorithme n'utilise que des opérateurs de Hecke jusqu'à la borne de Sturm au niveau donné n dans presque tous les cas. En outre, presque tous les calculs sont effectués en caractéristique positive. On étudie la description locale de la représentation aux nombres premiers divisant le niveau et la caractéristique. En particulier, on obtient une caractérisation précise des formes propres dans l'espace des formes anciennes en caractéristique positive.On étudie aussi le conducteur de la tordue d'une représentation par un caractère et les coefficients de la forme de niveau et poids minimaux associée. L'algorithme est conçu à partir des résultats de Dickson, Khare-Wintenberger et Faber sur la classification, à conjugaison près, des sous-groupes finis de PGL₂(F¯ℓ). On caractérise chaque cas en donnant une description et des algorithmes pour le vérifier. En particulier, on donne une nouvelle approche pour les représentations irréductibles avec image projective isomorphe soit au groupe symétrique sur 4 éléments ou au groupe alterné sur 4 ou 5 éléments.

We introduce the notion of semi-characteristic polynomial for a semi-linear map of a finite- dimensional vector space over a field of characteristic p. This polynomial has some properties in common with the classical characteristic polynomial of a linear map. We use this notion to study skew polynomials and linearized polynomials over a finite field, giving an algorithm to compute the splitting field of a linearized polynomial over a finite field and the Galois action on this field. We also give a way to compute the optimal bound of a skew polynomial. We then look at properties of the factorizations of skew polynomials, giving a map that computes several invariants of these factorizations. We also explain how to count the number of factorizations and how to find them all.

International audience; We show that the non--vanishing of p-adic regulators is equivalent to splitting of ramification in naturally occurring exact sequences of Iwasawa modules.

Les résultats présentés dans cette habilitation concernent les réseaux dans les représentations semi-stables, ainsi que les quotients de ceux-ci. Plus précisément, les plus manquants d'entre eux sont 1) une étude de certaines catégories de Breuil en torsion 2) une étude des variétés de Kisin, et plus exactement une estimation de la dimension de certaines d'entre elles 3) l'obtention de bornes (dépendant des " poids de Hodge-Tate ") sur l'action de l'inertie modérée et de l'inertie sauvage sur les représentations semi-stables de torsion 4) le développement de la théorie des (phi,tau)-modules, avec pour application une caractérisation et une classification des réseaux dans les représentations semi-stables

This thesis has two independant parts. In the first one, we are interested in solving some diophantine equations using the modular method. We especially focus on Fermat equations of type (5,5,p) and equations of the shape F(x,y)=z^p where p is prime number and F a rational cubic. The second part deals with arithmetic of elliptic curves. We are interested in calculating the defect of semi-stability of an elliptic curve defined over a finite extension of Q_2 and having additive bad reduction with potentially good reduction. We state a partial result valid for every finite extension of Q_2. In the case of quadratic extensions, we get a complete result. Besides, let E be an elliptic curve defined over a number field K. In the last chapter, we look at prime numbers p such that the Galois action of K on the group of p-torsion points of E is reducible. In case this set is finite, we state a result which allows us in practice to determine it explicitely., Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, on s'intéresse à la résolution de certaines équations diophantiennes par la méthode modulaire. On traite plus particulièrement le cas des équations de Fermat de type (5,5,p) ainsi que celui des équations de la forme F(x,y)=z^p où p est un nombre premier et F une cubique rationnelle. La deuxième partie est consacrée à l'arithmétique des courbes elliptiques. Dans le cas d'une courbe définie sur une extension finie de Q_2 ayant mauvaise réduction additive avec potentiellement bonne réduction, on s'intéresse à la détermination de son défaut de semi-stabilité. On énonce un résultat partiel valable pour toute extension finie de Q_2. Dans le cas des extensions quadratiques ramifiées de Q_2, on obtient un résultat complet. Par ailleurs, si E est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, on s'intéresse, dans le dernier chapitre, à l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe des points de p-torsion de E est réductible. Lorsque cet ensemble est fini, on obtient un critère permettant en pratique de le déterminer explicitement.

We prove Serre's conjecture for the case of Galois representations of Serre's weight 2 and level 1. We do this by combining the potential modularity results of Taylor and lowering the level for Hilbert modular forms with a Galois descent argument, properties of universal deformation rings, and the non-existence of p-adic Barsotti-Tate conductor 1 Galois representations that we proved in a previous paper.

In this article we give a proof of Serre's conjecture for the case of odd level and arbitrary weight. Our proof will not depend on any generalization of Kisin's modularity lifting results to characteristic 2(moreover, we will not consider at all characteristic 2 representations in any step of our proof). The key tool in the proof is Kisin's recent modularity lifting result, which is combined with the methods and results of previous articles on Serre's conjecture by Khare, Wintenberger, and the author, and modularity results of Schoof for semistable abelian varieties of small conductor. Assuming GRH, infinitely many cases of even level will also be proved.

The aim of this thesis is to extend some arithmetic results on elliptic modular forms to the case of Hilbert modular forms. Among these results let us mention the control of the image of the Galois representation modulo $p$ [Serre, Ribet], Hida's congruence criterion, and the freeness of the integral cohomology of the Hilbert modular variety over certain local components of the Hecke algebra and the Gorenstein property of these local algebras [Mazur, Faltings-Jordan]. As an application we relate, in the "minimal" level case, the "algebraic" $p$-part of the adjoint L function of a Hilbert modular newform evaluated at 1 to the cardinality of the corresponding Selmer group. We study the arithmetic of the Hilbert modular forms by studying their modulo $p$ Galois representations and our main tool is the action of the inertia groups at $p$. In order to control this action, we compute the Hodge-Tate (resp. Fontaine-Laffaille) weights of the $p$-adic (resp. modulo $p$) étale cohomology of the Hilbert modular variety. The cohomological part of our paper builds upon the construction of the arithmetic toroidal compactifications of the universal Hilbert-Blumenthal abelian variety (and of its fiber products) over the arithmetic toroidal compactifications of the Hilbert modular variety of level $\Gamma_1(c,n)$., Le but de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats arithmétiques connus pour les formes modulaires elliptiques au cas des formes modulaires de Hilbert. Parmi ces résultats citons le contrôle de l'image de la représentation galoisienne résiduelle [Serre, Ribet], le critère de congruence de Hida, ainsi que la liberté de la cohomologie entière de la variété modulaire de Hilbert sur certaines composantes locales de l'algèbre de Hecke et la propriété de Gorenstein de celles-ci [Mazur, Faltings-Jordan]. Dans le cas de niveau "minimal" ceci permet de relier la $p$-partie "algébrique" de la valeur en 1 de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert nouvelle au cardinal du groupe de Selmer correspondant. L'approche des propriétés arithmétiques des formes modulaires de Hilbert se fait à travers leurs représentations galoisiennes modulo $p$ et l'outil principal est l'action de l'inertie en $p$. Cette action est contrôlée par le calcul des poids de Hodge-Tate (resp. de Fontaine-Laffaille) de la cohomologie $p$-adique (resp. modulo $p$) de la variété modulaire de Hilbert. La partie cohomologique de ce travail repose sur la construction des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété abélienne de Hilbert-Blumenthal universelle (et de ses produits fibrés), au-dessus des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété modulaire de Hilbert en niveau $\Gamma_1(c,n)$.

The starting point of this work is the study of a conjecture of type $R\simeq\mathbb(T)$ in the general case of a connected reductive group $G$, defined over $\mathbb(Q)$, admitting a Shimura variety and not necessarily split. The main assumption is the near-ordinarity of automorphic representations and its Galois counterpart. We get, under mild hypotheses, the equality of the Krull dimensions of a universal deformation ring of a nearly-ordinary Galois representation and of a localised nearly-ordinary Hecke algebra. The theory of Bruhat-Tits building is used to study the structure of parabolic Hecke algebras at $p$. From a general control theorem, we deduce, in certain cases, that the universal nearly-ordinary Hecke algebra is finite and torsion free over the Hida-Iwasawa algebra of $G$. This result allows to construct families of nearly-ordinary Hecke eigensystems passing through a given eigensystem., Le point de départ de cette thèse est l'étude d'une conjecture du type $R\simeq\mathbb(T)$ dans le contexte général d'un groupe réductif connexe $G$ sur $\mathbb(Q)$, admettant une variété de Shimura et non nécessairement déployé. L'hypothèse principale est la quasi-ordinarité des représentations automorphes considérées et son reflet galoisien conjectural. On obtient, sous certaines hypothèses, l'égalité des dimensions de Krull d'un anneau de déformation universelle d'une représentation galoisienne quasi-ordinaire et d'une algèbre de Hecke quasi-ordinaire localisée. La théorie des immeubles de Bruhat-Tits est utilisée pour obtenir la structure des algèbres de Hecke paraboliques en $p$. D'un théorème de contrôle général, on déduit dans certains cas que l'algèbre de Hecke quasi-ordinaire universelle est finie et sans torsion sur l'algèbre de Hida-Iwasawa du groupe $G$. Ce résultat permet de construire des familles de systèmes de valeurs propres pour les opérateurs de Hecke, quasi-ordinaires, passant par un système donné.

Jury : L. Breen, H. Carayol, L. Clozel (président), M. Harris, J. Tilouine (directeur de thèse), E. Urban; The starting point of this work is the study of a conjecture of type $R\simeq\mathbb(T)$ in the general case of a connected reductive group $G$, defined over $\mathbb(Q)$, admitting a Shimura variety and not necessarily split. The main assumption is the near-ordinarity of automorphic representations and its Galois counterpart. We get, under mild hypotheses, the equality of the Krull dimensions of a universal deformation ring of a nearly-ordinary Galois representation and of a localised nearly-ordinary Hecke algebra. The theory of Bruhat-Tits building is used to study the structure of parabolic Hecke algebras at $p$. From a general control theorem, we deduce, in certain cases, that the universal nearly-ordinary Hecke algebra is finite and torsion free over the Hida-Iwasawa algebra of $G$. This result allows to construct families of nearly-ordinary Hecke eigensystems passing through a given eigensystem.; Le point de départ de cette thèse est l'étude d'une conjecture du type $R\simeq\mathbb(T)$ dans le contexte général d'un groupe réductif connexe $G$ sur $\mathbb(Q)$, admettant une variété de Shimura et non nécessairement déployé. L'hypothèse principale est la quasi-ordinarité des représentations automorphes considérées et son reflet galoisien conjectural. On obtient, sous certaines hypothèses, l'égalité des dimensions de Krull d'un anneau de déformation universelle d'une représentation galoisienne quasi-ordinaire et d'une algèbre de Hecke quasi-ordinaire localisée. La théorie des immeubles de Bruhat-Tits est utilisée pour obtenir la structure des algèbres de Hecke paraboliques en $p$. D'un théorème de contrôle général, on déduit dans certains cas que l'algèbre de Hecke quasi-ordinaire universelle est finie et sans torsion sur l'algèbre de Hida-Iwasawa du groupe $G$. Ce résultat permet de construire des familles de systèmes de valeurs propres pour les opérateurs de Hecke, quasi-ordinaires, passant par un système donné.

Using results of Ribet on the images of Galois representations attached to modular forms, we realize linear groups as Galois groups over Q. In particular, combining with results of Brumer we prove that there exist infinitely many exponents r for which PXL_2(p^r) are Galois groups over Q for infinitely many primes p, where PXL means PSL or PGL. (Note: this paper dates from 1998, it is the author's first research work as a PhD student, before the thesis).