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In the broad field of computer vision, Three-Dimensional (3D) Human shape and body understanding has always been a hot topic. This thesis focuses on the 3D human body and its motion, with new objectives and problems arising from the growing availability of human body data. As articulated objects, human bodies are naturally complicated, as they evolve in identity and pose. Moreover, the human body shape space is built by filtering out preserving transformations, namely rigid motions, and reparametrizations. Under these challenges, our thesis proposes a 2-fold approach for the human body.In the first part of the thesis, we focus on 3D human shape sequence retrieval. We leave the shape space and propose to compare pose and motion in descriptor spaces. We start by describing the human pose, using the intuition that a human pose is nearly characterized by its convex hull. This hypothesis allows us to introduce three transformation-invariant surface descriptors. Using these invariants reduces the comparison of 3D+time surface representations to the comparison of polygonal curves. Experimental results are promising, but slight modifications are needed to work on noisy data. We improve our motion comparison results in a second time by seeing the human body surfaces as varifolds in a Hilbert space, with an inner product derived from a positive definite kernel. The sequences of 3D shapes are represented by matrices derived from the Gram matrix of the motion, reducing the problem of comparison of two 3D sequences of humans to a comparison of matrices.In the second part of the thesis, we focus on building a framework for generating human body deformations. We equip our shape space with a family of elastic Riemannian metrics that not only are invariant under rigid motions and reparametrizations but also allow us to quantify variations between human bodies under pose and shape changes. We start by working on registered shapes and use a low-dimensional approach to compute the interpolation between human bodies (geodesic path), and statistical tools (eg. mean of human shape). The main limitation is that human shapes need to be pre-registered to a template. To tackle this issue, we extend the previous Riemannian framework to human body scans. We do so by using the varifold metric as a parameterization regularizer. Moreover, we represent human bodies with a low dimensional latent space representation, which is equipped with the pullback of the Riemannian metrics, simplifying the encountered optimization problems. The registration and interpolation problems are solved jointly, allowing the framework to operate directly on unregistered shapes. Experimental results show significant improvements with respect to previous solutions in terms of shape registration, interpolation, and extrapolation. We demonstrate the utility of the proposed frameworks in pose and shape retrieval of the human body, motion transfer, and random generation of body shape and pose.; Parmi les nombreuses thématiques de la vision par ordinateur, l'étude du corps humain, plus précisément l'analyse de sa forme en trois dimensions, a toujours été un sujet de grand intérêt pour ses nombreuses applications. La thèse se concentre sur le corps humain en trois dimensions (3D), ainsi que sur son mouvement, avec les nouveaux défis scientifiques posés par la disponibilité grandissante de ce type de données. Les corps humains sont naturellement compliqués en tant que corps articulés, évoluant à la fois en identité et en changement de pose. De plus, l'espace de formes des corps humains se construit en filtrant les transformations que sont les mouvements rigides et les re-paramétrisations.La thèse propose une approche en deux temps pour la compréhension du corps humain, tout en s'attaquant aux challenges énoncés. Dans un premier temps, nous nous concentrons sur la recherche des séquences de corps humains 3D dans une base de données. Nous proposons de quitter l'espace de formes en comparant les poses et les mouvements dans des espaces de descripteurs. Nous commençons par la description de la pose du corps humain, en supposant que la pose du corps humain est caractérisée par son enveloppe convexe. Cette hypothèse nous permet de construire trois descripteurs invariants par transformations géométriques. Nous réduisons la comparaison de séquences 3D+t à une comparaison de courbes polygonales. Les résultats expérimentaux sont satisfaisants, mais un (léger) travail supplémentaire est nécessaire pour l'utilisation sur données bruitées. Nous améliorons nos résultats sur le mouvement dans une seconde approche où l'on représente les surfaces de corps humains par des varifolds dans un espace de Hilbert, en utilisant un produit scalaire qui découle d'un noyau défini positif. Les séquences de formes 3D sont représentées par des matrices dérivées de la matrice de Gram du mouvement, ce qui réduit la comparaison de séquences de corps humains 3D à une comparaison de matrices. Dans un second temps, nous nous concentrons sur la construction d'un cadre général pour la génération des déformations humaines. Nous équipons l'espace de formes d'une famille de métriques Riemanniennes élastiques qui sont invariants par mouvements rigides et re-paramétrisations, qui ont de plus aussi l'avantage de distinguer les évolutions en pose et en identité. Nous nous restreignons d'abord aux corps humains alignés, et nous proposons une approche de dimension réduite pour l'interpolation (chemin géodésique) entre corps humains, ainsi que pour des outils statistiques (moyenne de corps humains). La limitation de cette approche réside dans la nécessité de pré-aligner les corps humains avec un modèle donné. Pour résoudre ce problème, nous améliorons l'approche en l'étendant aux scans bruts de corps humains. Pour y parvenir, nous utilisons la métrique varifold comme une quantité régularisant l'espace des paramétrisations. De plus, nous représentons directement les corps humains dans un espace latent de petite dimension, équipé des images réciproques des familles de métriques Riemanniennes. Cela permet de simplifier la résolution des problèmes d'optimisation pour le calcul de géodésiques. L'alignement et l'interpolation de formes sont résolus conjointement, ce qui permet de travailler directement avec des formes non alignées. Les résultats expérimentaux démontrent une amélioration significative par rapport aux solutions existantes pour l'alignement, l'interpolation et l'extrapolation de formes. Nous démontrons finalement l'utilité de ces approches pour la recherche de pose et d'identités, le transfert de mouvement et la génération aléatoire d'identité et de pose de corps humains.

In many applications, the data can be represented by covariance matrices or correlation matrices between several signals (EEG, MEG, fMRI), physical quantities (cells, genes), or within a time window (autocorrelation). The set of covariance matrices forms a convex cone that is not a Euclidean space but a stratified space: it has a boundary which is itself a stratified space of lower dimension. The strata are the manifolds of covariance matrices of fixed rank and the main stratum of Symmetric Positive Definite (SPD) matrices is dense in the total space. The set of correlation matrices can be described similarly.Geometric concepts such as geodesics, parallel transport, Fréchet mean were proposed for generalizing classical computations (interpolation, extrapolation, registration) and statistical analyses (mean, principal component analysis, classification, regression) to these non-linear spaces. However, these generalizations rely on the choice of a geometry, that is a basic operator such as a distance, an affine connection, a Riemannian metric, a divergence, which is assumed to be known beforehand. But in practice there is often not a unique natural geometry that satisfies the application constraints. Thus, one should explore more general families of geometries that exploit the data properties.First, the geometry must match the problem. For instance, degenerate matrices must be rejected to infinity whenever covariance matrices must be non-degenerate. Second, we should identify the invariance of the data under natural group transformations: if scaling each variable independently has no impact, then one needs a metric invariant under the positive diagonal group, for instance a product metric that decouples scales and correlations. Third, good numerical properties (closed-form formulae, efficient algorithms) are essential to use the geometry in practice.In my thesis, I study geometries on covariance and correlation matrices following these principles. In particular, I provide the associated geometric operations which are the building blocks for computing with such matrices.On SPD matrices, by analogy with the characterization of affine-invariant metrics, I characterize the continuous metrics invariant by O(n) by means of three multivariate continuous functions. Thus, I build a classification of metrics: the constraints imposed on these functions define nested classes satisfying stability properties. In particular, I reinterpret the class of kernel metrics, I introduce the family of mixed-Euclidean metrics for which I compute the curvature, and I survey and complete the knowledge on the classical metrics (log-Euclidean, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).On full-rank correlation matrices, I compute the Riemannian operations of the quotient-affine metric. Despite its appealing construction and its invariance under permutations, I show that its curvature is of non-constant sign and unbounded from above, which makes this geometry practically very complex. I introduce computationally more convenient Hadamard or even log-Euclidean metrics, along with their geometric operations. To recover the lost invariance under permutations, I define two new permutation-invariant log-Euclidean metrics, one of them being invariant under a natural involution on full-rank correlation matrices. I also provide an efficient algorithm to compute the associated geometric operations based on the scaling of SPD matrices.Finally, I study the stratified Riemannian structure of the Bures-Wasserstein distance on covariance matrices. I compute the domain of definition of geodesics and the injection domain within each stratum and I characterize the length-minimizing curves between all the strata.; Dans de nombreuses applications, les données sont des matrices de covariance ou de corrélation entre plusieurs signaux (EEG, MEG, fMRI), grandeurs physiques (cellules, gènes) ou instants (autocorrélation). L'ensemble des matrices de covariance est un cône convexe qui est un espace stratifié non euclidien : il a un bord qui est lui-même un espace stratifié de dimension inférieure. Ses strates sont les variétés de matrices de covariance de rang fixé et la strate principale des matrices Symétriques Définies Positives (SPD) est dense dans l'espace total. L'ensemble des matrices de corrélations admet une structure similaire.Les concepts géométriques comme les géodésiques, le transport parallèle ou la moyenne de Fréchet permettent de généraliser les opérations classiques (interpolation, extrapolation, recalage) et statistiques (moyenne, analyse en composantes principales, classification, régression) à ces espaces non linéaires. Cependant, ces généralisations reposent sur le choix d'une géométrie supposée connue à l'avance, c'est-à-dire d'un opérateur de base tel qu'une distance, une connexion affine, une métrique riemannienne, une divergence. En général il n'existe pas une unique géométrie adaptée aux contraintes d'une application mais plutôt une famille de géométries à explorer pour faire ce choix.D'abord, la géométrie doit correspondre au problème. Par exemple, si les matrices de covariance doivent être inversibles, les matrices dégénérées doivent être rejetées à l'infini. Ensuite, elle doit satisfaire les invariances naturelles du problème par des groupes de transformations : si multiplier chaque variable par un facteur indépendant n'a pas d'influence, alors il faut une métrique invariante par le groupe des matrices diagonales strictement positives, par exemple une métrique produit qui découple les échelles et les corrélations. Enfin, de bonnes propriétés numériques (closes formes, algorithmes efficaces) sont essentielles pour utiliser cette géométrie en pratique.Dans ma thèse, j'étudie des géométries sur les matrices de covariance et de corrélation suivant ces principes. En particulier, je fournis les opérations géométriques associées qui sont les briques élémentaires pour calculer avec ces matrices.Sur les matrices SPD, je m'inspire de la caractérisation des métriques affine-invariantes pour caractériser les métriques continues invariantes par O(n) au moyen de trois fonctions multivariées continues. Je construis ainsi une classification de métriques : les contraintes imposées sur ces fonctions définissent des classes emboîtées satisfaisant des propriétés de stabilité. En particulier, je réinterprète la classe des "kernel metrics", j'introduis la famille des métriques "mixed-Euclidean" dont je calcule la courbure, et je résume et complète les connaissances sur les métriques classiques (log-euclidien, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean). Sur les matrices de corrélation de rang plein, je calcule les opérations riemanniennes de la métrique quotient-affine et je montre que, malgré sa construction intéressante et son invariance par permutations, sa courbure est non majorée et de signe non constant, ce qui rend sa géométrie très complexe en pratique. Pour pallier ce défaut majeur, j'introduis des métriques Hadamard ou même log-euclidiennes ainsi que leurs opérations géométriques. Pour retrouver l'invariance par permutations perdue, je définis deux nouvelles métriques log-euclidiennes invariantes par permutations, l'une d'elle étant invariante par une involution naturelle de l'espace. Je fournis aussi un algorithme efficace pour calculer les opérations géométriques associées, qui s'appuie sur le "scaling" de matrices SPD. Enfin, j'étudie la structure riemannienne stratifiée de la distance de Bures-Wasserstein sur les matrices de covariance. Je calcule le domaine de définition des géodésiques et le domaine d'injection dans chaque strate, puis je caractérise les courbes minimisant la longueur entre toutes les strates.

In many applications, the data can be represented by covariance matrices or correlation matrices between several signals (EEG, MEG, fMRI), physical quantities (cells, genes), or within a time window (autocorrelation). The set of covariance matrices forms a convex cone that is not a Euclidean space but a stratified space: it has a boundary which is itself a stratified space of lower dimension. The strata are the manifolds of covariance matrices of fixed rank and the main stratum of Symmetric Positive Definite (SPD) matrices is dense in the total space. The set of correlation matrices can be described similarly.Geometric concepts such as geodesics, parallel transport, Fréchet mean were proposed for generalizing classical computations (interpolation, extrapolation, registration) and statistical analyses (mean, principal component analysis, classification, regression) to these non-linear spaces. However, these generalizations rely on the choice of a geometry, that is a basic operator such as a distance, an affine connection, a Riemannian metric, a divergence, which is assumed to be known beforehand. But in practice there is often not a unique natural geometry that suits the application. Thus, one should explore more general families of geometries that exploit the data properties.First, the geometry must match the problem. For instance, degenerate matrices must be rejected to infinity whenever covariance matrices must be non-degenerate. Second, we should identify the invariance of the data under natural group transformations: if scaling each variable independently has no impact, then one needs a metric invariant under the positive diagonal group, for instance a product metric that decouples scales and correlations. Third, good numerical properties (closed-form formulae, efficient algorithms) are essential to use the geometry in practice.In my thesis, I study geometries on covariance and correlation matrices following these principles. In particular, I provide the associated geometric operations which are the building blocks for computing with such matrices.On SPD matrices, by analogy with the characterization of affine-invariant metrics, I characterize the continuous metrics invariant by $\Orth(n)$ by means of three multivariate continuous functions. Thus, I build a classification of metrics: the constraints imposed on these functions define nested classes satisfying stability properties. In particular, I reinterpret the class of kernel metrics, I introduce the family of mixed-Euclidean metrics for which I compute the curvature, and I survey and complete the knowledge on the classical metrics (log-Euclidean, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).On full-rank correlation matrices, I compute the Riemannian operations of the quotient-affine metric. Despite its appealing construction and its invariance under permutations, I show that its curvature is of non-constant sign and unbounded from above, which makes this geometry practically very complex. I introduce computationally more convenient Hadamard or even log-Euclidean metrics, along with their geometric operations. To recover the lost invariance under permutations, I define two new permutation-invariant log-Euclidean metrics, one of them being invariant under a natural involution on full-rank correlation matrices. I also provide an efficient algorithm to compute the associated geometric operations based on the scaling of SPD matrices.Finally, I study the stratified Riemannian structure of the Bures-Wasserstein distance on covariance matrices. I compute the domain of definition of geodesics and the injectivity domain within each stratum and I characterize the length-minimizing curves between all the strata.; Dans de nombreuses applications, les données sont des matrices de covariance ou de corrélation entre plusieurs signaux (EEG, MEG, fMRI), grandeurs physiques (cellules, gènes) ou instants (autocorrélation). L’ensemble des matrices de covariance est un cône convexe qui est un espace stratifié non euclidien : il a un bord qui est lui-même un espace stratifié de dimension inférieure. Ses strates sont les variétés de matrices de covariance de rang fixé et la strate principale des matrices Symétriques Définies Positives (SPD) est dense dans l’espace total. L’ensemble des matrices de corrélations admet une structure similaire.Les concepts géométriques comme les géodésiques, le transport parallèle ou la moyenne de Fréchet permettent de généraliser les opérations classiques (interpolation, extrapolation, recalage) et statistiques (moyenne, analyse en composantes principales, classification, régression) à ces espaces non linéaires. Cependant, ces généralisations reposent sur le choix d’une géométrie supposée connue à l’avance, c’est-à-dire d’un opérateur de base tel qu’une distance, une connexion affine, une métrique riemannienne, une divergence. En général il n’existe pas une unique géométrie adaptée à une application mais plutôt une famille de géométries à explorer pour faire ce choix.D’abord, la géométrie doit correspondre au problème. Par exemple, si les matrices de covariance doivent être inversibles, les matrices dégénérées doivent être rejetées à l’infini. Ensuite, elle doit satisfaire aux invariances naturelles du problème par des groupes de transformations : si multiplier chaque variable par un facteur indépendant n’a pas d’influence, alors il faut une métrique invariante par le groupe des matrices diagonales strictement positives, par exemple une métrique produit qui découple les échelles et les corrélations. Enfin, de bonnes propriétés numériques (formes closes, algorithmes efficaces) sont essentielles pour utiliser cette géométrie en pratique.Dans ma thèse, j’étudie des géométries sur les matrices de covariance et de corrélation suivant ces principes. En particulier, je fournis les opérations géométriques associées qui sont les briques élémentaires pour calculer avec ces matrices.Sur les matrices SPD, je m’inspire de la caractérisation des métriques affine-invariantes pour caractériser les métriques continues invariantes par $\Orth(n)$ au moyen de trois fonctions multivariées continues. Je construis ainsi une classification de métriques : les contraintes imposées sur ces fonctions définissent des classes emboîtées vérifiant des propriétés de stabilité. En particulier, je réinterprète la classe des ``kernel metrics'', j’introduis la famille des métriques ``mixed-Euclidean'' dont je calcule la courbure, et je résume et complète les connaissances sur les métriques classiques (log-euclidien, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).Sur les matrices de corrélation de rang plein, je calcule les opérations riemanniennes de la métrique quotient-affine et je montre que, malgré sa construction intéressante et son invariance par permutations, sa courbure est non majorée et de signe non constant, ce qui rend sa géométrie très complexe en pratique. Pour pallier ce défaut majeur, j’introduis des métriques Hadamard ou même log-euclidiennes ainsi que leurs opérations géométriques. Pour retrouver l’invariance par permutations perdue, je définis deux nouvelles métriques log-euclidiennes invariantes par permutations, l’une d’elle étant invariante par une involution naturelle de l’espace. Je fournis aussi un algorithme efficace pour calculer les opérations géométriques associées, qui s’appuie sur le ``scaling'' de matrices SPD.Enfin, j’étudie la structure riemannienne stratifiée de la distance de Bures-Wasserstein sur les matrices de covariance. Je calcule le domaine de définition des géodésiques et le domaine d’injection dans chaque strate, puis je caractérise les courbes minimisant la longueur entre toutes les strates.

A Brain-Computer Interface (BCI) is a system that can translate brain activity patterns into messages or commands for an interactive application. It enables a subject to send commands to a device only by means of brain activity, without requiring any peripherical muscular activity. These systems are increasingly explored for control and communication, as well as for treatment of neurological disorders, especially via the ability of subjects to voluntarily modulate their brain activity through mental imagery (MI).To control a BCI, the user must produce different brain signal patterns that the system will identify and translate into commands. Even though this technique has been widely used, subjects performance, measured as the correct classification of the user’s intent, still shows low scores. Much of the efforts to solve this problem have focused on the BCI classification block. While, the research of alternative features has been poorly explored. In most implemented systems, pattern recognition relies on power spectrum density (PSD) of a reduced number of sources, focusing on features that characterize a single brain region.However, the brain is not a collection of isolated pieces working independently. It rather consists of a distributed complex network that integrates information across differently specialized regions. It turns out that examining signals from one specific region, while neglecting its interactions with others, oversimplifies the phenomenon. It would be preferable to have an understanding of the system’s collective behavior to fully capture the brain functioning. Thus, we hypothesize that functional connectivity (FC) features could be more representative of the complexity of neurophysiological processes, since they measure interactions between different brain areas, reflecting the information exchange that is essential to decode brain organization. Then, these interactions can be quantified using network theoretic approaches, extracting few summary properties of the entire complex brain network. Thus, network analysis may also be more efficient by reducing the problem dimension and optimizing the computational cost. Nevertheless, extracting topological properties of the network, while disregarding the intrinsic spatial nature of the brain, could overlook crucial information for understanding brain functioning. Recent neuroimaging studies demonstrated that brain connectivity reveals hemisphere lateralization during motor MI-related tasks. Covering these two concepts, we explored the dual contribution of brain network topology and space in modelling motor-related mental states through the concept of functional lateralization. Specifically, we introduced new metrics to quantify segregation and integration within and between the hemispheres, and we showed that they are highly relevant features for decoding a motor-imagery mental task. These network properties not only give competitive classification accuracy but also have the advantage of being neurophysiologically interpretable, compared to state-of-the-art approaches that are instead blind to the underlying mechanism., Une interface cerveau-machine (ICM) est un système capable de traduire les modèles d'activité cérébrale en messages pour une application. Il permet à un sujet d'envoyer des commandes à un appareil a travers l'activité cérébrale, sans nécessiter d'activité musculaire périphérique. Ces systèmes sont de plus en plus explorés pour le contrôle et la communication, ainsi que pour le traitement des troubles neurologiques, notamment via la capacité des sujets à moduler volontairement leur activité cérébrale grâce à l'imagerie mentale (IM).Pour contrôler une ICM, l'utilisateur doit produire différents types de signaux cérébraux que le système identifiera et traduira en commandes. Même si cette technique a été largement utilisée, la performance des sujets, mesurée comme la correcte classification de l'intention de l'utilisateur, affiche toujours de faibles scores. Une grande partie des efforts pour résoudre ce problème s'est concentrée sur la classification. Alors que la recherche de features alternatives a été peu explorée. Dans la plupart des systèmes mis en œuvre, la reconnaissance des états mentaux repose sur la puissance spectrale d'un nombre réduit de sources, en se concentrant sur les caractérisation d'une seule région du cerveau.Cependant, le cerveau n'est pas un ensemble de pièces isolées travaillant de manière indépendante. Il s'agit plutôt d'un réseau complexe qui intègre des informations dans des régions différemment spécialisées. Il s'avère que l'examen des signaux d'une région spécifique, tout en négligeant ses interactions avec les autres, simplifie à l'extrême le phénomène. Il serait préférable de comprendre le comportement collectif du système pour bien saisir le fonctionnement cérébral. Ainsi, nous pensons que l'étude a travers la connectivité fonctionnelle pourraient être plus représentatives de la complexité des processus neurophysiologiques, puisqu'elles mesurent les interactions entre différentes aires cérébrales, reflétant l'échange d'informations qui est essentiel pour décoder l'organisation cérébrale. Ensuite, ces interactions peuvent être synthétisées à l'aide d'estimateurs des réseaux complexes, modélisant le cerveau humain comme un réseau. Certes, l'analyse de réseau peut présenter une performance plus précise car elle optimise le coût de calcul et la dimensionnalité.Néanmoins, la simple extraction des propriétés topologiques du réseau, sans tenir compte de la nature spatiale intrinsèque du cerveau, pourrait manquer des informations cruciales pour comprendre le fonctionnement du cerveau. Des études récentes ont démontré que la connectivité cérébrale révèle la latéralisation des hémisphères lors de tâches liées à l'IM moteur. Couvrant ces deux concepts, nous avons exploré la double contribution de la topologie et de l'espace dans la modélisation des états mentaux moteurs par la latéralisation fonctionnelle. Plus précisément, nous avons introduit de nouvelles métriques pour quantifier la ségrégation et l'intégration au sein et entre les hémisphères, et nous avons montré qu'il s'agit de caractéristiques très pertinentes pour décoder une tâche mentale d'imagerie motrice. Ces propriétés de réseau donnent non seulement des précisions de classification compétitives, mais ont également l'avantage d'être interprétables sur le plan neurophysiologique, par rapport aux approches de pointe qui sont plutôt aveugles au mécanisme sous-jacent.

International audience; Dans ce papier, nous proposons un cadre géométrique capable de prédire en temps réel une intention sociale vs une intention personnelle. Le participant doit réaliser un ensemble de gestes comportant une intention sociale ou personnelle, en portant un gant contenant 4 marqueurs passifs. L'utilisation d'un système de capture de mouvement permet d'obtenir la trajectoire de la main du participant contenant les différents marqueurs 3D. Les données 3D obtenues sont définies dans un espace de forme de courbes ouvertes, puis analysées dans une variété Riemannienne. Nous avons obtenu un taux de reconnaissance moyen pour les deux gestes (intention sociale, personnelle) de 68%, ce qui est comparable au score moyen produit par l'évaluation humaine. Les résultats expérimentaux montrent également que le taux de classification pourrait être utilisé pour améliorer la communication sociale entre les agents humains et virtuels. A notre connaissance, il s'agit de la première étude en temps réel qui utilise des techniques de vision par ordinateur pour analyser l'effet de l'intention sociale sur l'action motrice afin d'améliorer la communication sociale entre un humain et un agent virtuel.

Multivariate time series are the standard tool for describing and analysing measurements from multiple sensors during an experiment. In this work, we discuss different aspects of such representations that are invariant to transformations occurring in practical situations. The main source of inspiration for our investigations are experiments with neural signals from electroencephalography (EEG), but the ideas that we present are amenable to other kinds of time series. The first invariance that we consider concerns the dimensionality of the multivariate time series. Very often, signals recorded from neighbouring sensors present strong statistical dependency between them. We present techniques for disposing of the redundancy of these correlated signals and obtaining new multivariate time series that represent the same phenomenon but in a smaller dimension. The second invariance that we treat is related to time series describing the same phenomena but recorded under different experimental conditions. For instance, signals recorded with the same experimental apparatus but on different days of the week, different test subjects, etc. In such cases, despite an underlying variability, the multivariate time series share certain commonalities that can be exploited for joint analysis. Moreover, reusing information already available from other datasets is a very appealing idea and allows for “data-efficient” machine learning methods. We present an original transfer learning procedure that transforms these time series so that their statistical distributions become aligned and can be pooled together for further statistical analysis. Finally, we extend the previous case to when the time series are obtained from different experimental conditions and also different experimental setups. A practical example is having EEG recordings from subjects executing the same cognitive task but with the electrodes positioned differently. We present an original method that transforms these multivariate time series so that they become compatible in terms of dimensionality and also in terms of statistical distributions. We illustrate the techniques described above on EEG epochs recorded during brain- computer interface (BCI) experiments. We show examples where the reduction of the multivariate time series does not affect the performance of statistical classifiers used to distinguish their classes, as well as instances where our transfer learning and dimension-matching proposals provide remarkable results on classification in cross-session and cross-subject settings. For exploring the invariances presented above, we rely on a framework that parametrizes the statistics of the multivariate time series via Hermitian positive definite (HPD) matrices. We manipulate these matrices by considering them in a Riemannian manifold in which an adequate metric is chosen. We use concepts from Riemannian geometry to define notions such as geodesic distance, center of mass, and statistical classifiers for time series. This approach is rooted on fundamental results of differential geometry for Hermitian positive definite matrices and has links with other well established areas in applied mathematics, such as information geometry and signal processing.; L’utilisation de séries temporelles multi-variées est une procédure standard pour décrire et analyser des mesures enregistrées par plusieurs capteurs au cours d’une expérience. Dans ce travail, nous discutons certains aspects de ces représentations temporelles, invariants aux transformations qui peuvent se produire en situations pratiques. Nos recherches s’inspirent en grande partie d’expériences neurophysiologiques reposant sur l’enregistrement de l’activité cérébrale au moyen de l'électroencéphalographie (EEG), mais les idées que nous présentons ne sont pas restreintes à ce cas particulier et peuvent s’étendre à d'autres types de séries temporelles. La première invariance sur laquelle nous portons notre attention est celle de la dimensionnalité des séries temporelles multi-variées. Bien souvent, les signaux enregistrés par des capteurs voisins présentent une forte dépendance statistique entre eux. Nous introduisons donc l’utilisation de techniques permettant d’éliminer la redondance des signaux corrélés et d’obtenir de nouvelles représentations du même phénomène en dimension réduite. La deuxième invariance que nous traitons est liée à des séries temporelles qui décrivent le même phénomène mais sont enregistrées dans des conditions expérimentales différentes. Par exemple, des signaux enregistrés avec le même appareil expérimental, mais à différents jours de la semaine ou sur différents sujets, etc. Dans de tels cas, malgré une variabilité sous-jacente, les séries temporelles multi-variées partagent certains points communs qui peuvent être exploités par une analyse conjointe. En outre, la réutilisation des informations déjà disponibles à partir d'autres jeux de données est une idée très séduisante et permet l’utilisation de méthodes d'apprentissage automatiques dites «data-efficient». Nous présentons une procédure originale d’apprentissage par transfert qui transforme les séries temporelles de telle sorte que leurs distributions statistiques soient alignées et puissent être regroupées pour une analyse statistique plus poussée. Enfin, nous étendons le cas précédent au contexte où les séries temporelles sont obtenues à partir de différentes conditions expérimentales et de différentes configurations d’enregistrement de données. Nous présentons une méthode originale qui transforme ces séries temporelles multi-variées afin qu'elles deviennent compatibles en termes de dimensionnalité et de distributions statistiques. Nous illustrons les techniques citées ci-dessus en les appliquant à des signaux EEG enregistrés dans le cadre d’expériences d’interface cerveau-ordinateur (BCI). Nous montrons sur plusieurs exemples, avec des simulations et des données réelles, que la réduction de dimension - judicieusement choisie - de la série temporelle multi-variée n’affecte pas les performances de classifieurs statistiques utilisés pour déterminer la classe des signaux, et que notre méthode de transfert d'apprentissage et de compatibilité de dimensionnalité apporte des améliorations remarquables en matière de classification inter-sessions et inter-sujets. Pour explorer les invariances présentées ci-dessus, nous nous appuyons sur l’utilisation de matrices Hermitiennes définies positives (HPD) afin de décrire les statistiques des séries temporelles multi-variées. Nous manipulons ces matrices en considérant qu’elles reposent dans une variété Riemannienne pour laquelle une métrique adéquate est choisie. Nous utilisons des concepts issus de la géométrie Riemannienne pour définir des notions telles que la distance géodésique, le centre de masse ou encore les classifieurs statistiques de séries temporelles. Cette approche repose sur les résultats fondamentaux de la géométrie différentielle pour les matrices Hermitiennes définies positives et est liée à d'autres domaines bien établis en mathématiques appliquées, tels que la géométrie de l'information et le traitement du signal.

The Ricci Flow is a partial differential equation governing the evolution of a Riemannian metric depending on a time parameter t on a differential manifold. It was first introduced and studied by R. Hamilton, and eventually led to the solution of the Geometrization conjecture for closed three-dimensional manifolds by G. Perelman in 2001. The classical short-time existence theory for the Ricci Flow, due to Hamilton and Shi, asserts, in any dimension, the existence of a flow starting from any initial metric when the underlying manifold in compact, or for any complete initial metric with a bound on the norm of the curvature tensor otherwise. In the absence of such a bound, though, the conjecture is that starting from dimension 3 one can find such initial data for which there is no solution. In this thesis, we prove short-time existence theorems under hypotheses weaker than a bound on the norm of the curvature tensor. To do this, we introduce a general construction which, for any Riemannian metric g (not necessarily complete) on a manifold M, allows us to produce a solution to the equation of the flow on an open domain D of the space-time M * [0,T] which contains the initial time slice, with g as an initial datum. We proceed to show that under suitable hypotheses on g, one can control the shape of the domain D, so that in particular, D contains a subset of the form M * [0,t] with t>0 if g is complete. By « suitable hypothesis », we mean one of the following. In any case, we assume a lower bound on the volume of balls of radius at most 1, plus a) in dimension 3, a lower bound on the Ricci tensor, b) in dimension n, a lower bound on the so-called « isotropic curvature I » or c) in dimension n, a bound on the norm of the Ricci tensor, as well as a hypothesis which garanties the metric proximity of every ball of radius at most 1 with a ball of the same radius in a metric product between a three-dimensional metric space and a n-3 dimensional Euclidian factor. Moreover, with these existence results come estimates on the existence time and regularization properties of the flow, quantified in term of the hypotheses on the initial data. The possibility to regularize metrics, locally or globally, with such estimates has consequences in terms of the metric spaces obtained as limits, in the Gromov-Hausdorff topology, of sequences of manifolds uniformly satisfying a), b) or c). Indeed, the classical compactness theorems for the Ricci Flow allow for the extraction of a limit flow for any sequence of initial metrics uniformly satisfying the hypotheses and thus possessing a flow for a controlled amount of time. In the case when these metrics approach a singular space in the Gromov-Hausdorff topology, such a limit solution can be interpreted as a flow regularizing the singular limit space, the existence of which puts constraints on the topology of this space.; Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier.

The Ricci Flow is a partial differential equation governing the evolution of a Riemannian metric depending on a time parameter t on a differential manifold. It was first introduced and studied by R. Hamilton, and eventually led to the solution of the Geometrization conjecture for closed three-dimensional manifolds by G. Perelman in 2001. The classical short-time existence theory for the Ricci Flow, due to Hamilton and Shi, asserts, in any dimension, the existence of a flow starting from any initial metric when the underlying manifold in compact, or for any complete initial metric with a bound on the norm of the curvature tensor otherwise. In the absence of such a bound, though, the conjecture is that starting from dimension 3 one can find such initial data for which there is no solution. In this thesis, we prove short-time existence theorems under hypotheses weaker than a bound on the norm of the curvature tensor. To do this, we introduce a general construction which, for any Riemannian metric g (not necessarily complete) on a manifold M, allows us to produce a solution to the equation of the flow on an open domain D of the space-time M * [0,T] which contains the initial time slice, with g as an initial datum. We proceed to show that under suitable hypotheses on g, one can control the shape of the domain D, so that in particular, D contains a subset of the form M * [0,t] with t>0 if g is complete. By « suitable hypothesis », we mean one of the following. In any case, we assume a lower bound on the volume of balls of radius at most 1, plus a) in dimension 3, a lower bound on the Ricci tensor, b) in dimension n, a lower bound on the so-called « isotropic curvature I » or c) in dimension n, a bound on the norm of the Ricci tensor, as well as a hypothesis which garanties the metric proximity of every ball of radius at most 1 with a ball of the same radius in a metric product between a three-dimensional metric space and a n-3 dimensional Euclidian factor. Moreover, with these existence results come estimates on the existence time and regularization properties of the flow, quantified in term of the hypotheses on the initial data. The possibility to regularize metrics, locally or globally, with such estimates has consequences in terms of the metric spaces obtained as limits, in the Gromov-Hausdorff topology, of sequences of manifolds uniformly satisfying a), b) or c). Indeed, the classical compactness theorems for the Ricci Flow allow for the extraction of a limit flow for any sequence of initial metrics uniformly satisfying the hypotheses and thus possessing a flow for a controlled amount of time. In the case when these metrics approach a singular space in the Gromov-Hausdorff topology, such a limit solution can be interpreted as a flow regularizing the singular limit space, the existence of which puts constraints on the topology of this space.; Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier.

This PhD proposes new Riemannian geometry tools for the analysis of longitudinal observations of neuro-degenerative subjects. First, we propose a numerical scheme to compute the parallel transport along geodesics. This scheme is efficient as long as the co-metric can be computed efficiently. Then, we tackle the issue of Riemannian manifold learning. We provide some minimal theoretical sanity checks to illustrate that the procedure of Riemannian metric estimation can be relevant. Then, we propose to learn a Riemannian manifold so as to model subject's progressions as geodesics on this manifold. This allows fast inference, extrapolation and classification of the subjects., Cette thèse porte sur l'élaboration d'outils de géométrie riemannienne et de leur application en vue de la modélisation longitudinale de sujets atteints de maladies neuro-dégénératives. Dans une première partie, nous prouvons la convergence d'un schéma numérique pour le transport parallèle. Ce schéma reste efficace tant que l'inverse de la métrique peut être calculé rapidement. Dans une deuxième partie, nous proposons l'apprentissage une variété et une métrique riemannienne. Après quelques résultats théoriques encourageants, nous proposons d'optimiser la modélisation de progression de sujets comme des géodésiques sur cette variété.

Developing intelligent systems dedicated to human behavior understanding has been a very hot research topic in the few recent decades. Indeed, it is crucial to understand the human behavior in order to make machines able to interact with, assist, and help humans in their daily life.. Recent breakthroughs in computer vision and machine learning have made this possible. For instance, human-related computer vision problems can be approached by first detecting and tracking 2D or 3D landmark points from visual data. Two relevant examples of this are given by the facial landmarks detected on the human face and the skeletons tracked along videos of human bodies. These techniques generate temporal sequences of landmark configurations, which exhibit several distortions in their analysis, especially in uncontrolled environments, due to view variations, inaccurate detection and tracking, missing data, etc. In this thesis, we propose two novel space-time representations of human landmark sequences along with suitable computational tools for human behavior understanding. Firstly, we propose a representation based on trajectories of Gram matrices of human landmarks. Gram matrices are positive semi-definite matrices of fixed rank and lie on a nonlinear manifold where standard computational and machine learning techniques could not be applied in a straightforward way. To overcome this issue, we make use of some notions of the Riemannian geometry and derive suitable computational tools for analyzing Gram trajectories. We evaluate the proposed approach in several human related applications involving 2D and 3D landmarks of human faces and bodies such us emotion recognition from facial expression and body movements and also action recognition from skeletons. Secondly, we propose another representation based on the barycentric coordinates of 2D facial landmarks. While being related to the Gram trajectory representation and robust to view variations, the barycentric representation allows to directly work with standard computational tools. The evaluation of this second approach is conducted on two face analysis tasks namely, facial expression recognition and depression severity level assessment. The obtained results with the two proposed approaches on real benchmarks are competitive with respect to recent state-of-the-art methods.; Récemment, le développement de systèmes intelligents dédiés pour la compréhension du comportement humain est devenu un axe de recherche très important. En effet, il est très important de comprendre le comportement humain pour rendre les machines capables d'aider et interagir avec les humains. Pour cela, plusieurs approches de l'état de l'art commencent par détecter automatiquement un ensemble de points 2D ou 3D, appelés marqueurs, sur le corps et/ou le visage humain à partir de données visuelles. L’analyse des séquences temporelles de ces marqueurs pose plusieurs défis dus aux erreurs de suivi et aux variabilités temporelles et de pose. Dans cette thèse, nous proposons deux nouvelles représentations spatio-temporelles avec des outils de calcul appropriés pour la compréhension du comportement humain. La première consiste à représenter une séquence temporelle de marqueurs par une trajectoire de matrices de Gram. Les matrices de Gram sont des matrices semi-définies positives de rang fixe et vivent dans un espace non-linéaire dans lequel les outils d’apprentissage automatique conventionnels ne peuvent pas être appliqués directement. Nous évaluons l’efficacité de notre approche dans plusieurs applications, impliquant des marqueurs 2D et 3D de visages et de corps humain, tels que la reconnaissance des émotions à partir des expressions faciales la reconnaissance d’actions et des émotions à partir des données de profondeur 3D. La deuxième représentation proposée dans cette thèse est basée sur les coordonnées barycentriques des marqueurs de visages 2D. Cette représentation permet d’utiliser les outils de calcul et d’apprentissage automatique tels que les techniques d’apprentissage de métrique. Les résultats obtenus en reconnaissance des expressions faciales et en mesure automatique de la sévérité de la dépression à partir du visage montrent tout l’intérêt de la représentation barycentrique combinée à des techniques d’apprentissage automatique. Les résultats obtenus avec les deux méthodes proposées sur des bases de données réelles montrent la compétitivité de nos approches avec les méthodes récentes de l’état de l’art.

Developing intelligent systems dedicated to human behavior understanding has been a very hot research topic in the few recent decades. Indeed, it is crucial to understand the human behavior in order to make machines able to interact with, assist, and help humans in their daily life.. Recent breakthroughs in computer vision and machine learning have made this possible. For instance, human-related computer vision problems can be approached by first detecting and tracking 2D or 3D landmark points from visual data. Two relevant examples of this are given by the facial landmarks detected on the human face and the skeletons tracked along videos of human bodies. These techniques generate temporal sequences of landmark configurations, which exhibit several distortions in their analysis, especially in uncontrolled environments, due to view variations, inaccurate detection and tracking, missing data, etc. In this thesis, we propose two novel space-time representations of human landmark sequences along with suitable computational tools for human behavior understanding. Firstly, we propose a representation based on trajectories of Gram matrices of human landmarks. Gram matrices are positive semi-definite matrices of fixed rank and lie on a nonlinear manifold where standard computational and machine learning techniques could not be applied in a straightforward way. To overcome this issue, we make use of some notions of the Riemannian geometry and derive suitable computational tools for analyzing Gram trajectories. We evaluate the proposed approach in several human related applications involving 2D and 3D landmarks of human faces and bodies such us emotion recognition from facial expression and body movements and also action recognition from skeletons. Secondly, we propose another representation based on the barycentric coordinates of 2D facial landmarks. While being related to the Gram trajectory representation and robust to view variations, the barycentric representation allows to directly work with standard computational tools. The evaluation of this second approach is conducted on two face analysis tasks namely, facial expression recognition and depression severity level assessment. The obtained results with the two proposed approaches on real benchmarks are competitive with respect to recent state-of-the-art methods.; Récemment, le développement de systèmes intelligents dédiés pour la compréhension du comportement humain est devenu un axe de recherche très important. En effet, il est très important de comprendre le comportement humain pour rendre les machines capables d'aider et interagir avec les humains. Pour cela, plusieurs approches de l'état de l'art commencent par détecter automatiquement un ensemble de points 2D ou 3D, appelés marqueurs, sur le corps et/ou le visage humain à partir de données visuelles. L’analyse des séquences temporelles de ces marqueurs pose plusieurs défis dus aux erreurs de suivi et aux variabilités temporelles et de pose. Dans cette thèse, nous proposons deux nouvelles représentations spatio-temporelles avec des outils de calcul appropriés pour la compréhension du comportement humain. La première consiste à représenter une séquence temporelle de marqueurs par une trajectoire de matrices de Gram. Les matrices de Gram sont des matrices semi-définies positives de rang fixe et vivent dans un espace non-linéaire dans lequel les outils d’apprentissage automatique conventionnels ne peuvent pas être appliqués directement. Nous évaluons l’efficacité de notre approche dans plusieurs applications, impliquant des marqueurs 2D et 3D de visages et de corps humain, tels que la reconnaissance des émotions à partir des expressions faciales la reconnaissance d’actions et des émotions à partir des données de profondeur 3D. La deuxième représentation proposée dans cette thèse est basée sur les coordonnées barycentriques des marqueurs de visages 2D. Cette représentation permet d’utiliser les outils de calcul et d’apprentissage automatique tels que les techniques d’apprentissage de métrique. Les résultats obtenus en reconnaissance des expressions faciales et en mesure automatique de la sévérité de la dépression à partir du visage montrent tout l’intérêt de la représentation barycentrique combinée à des techniques d’apprentissage automatique. Les résultats obtenus avec les deux méthodes proposées sur des bases de données réelles montrent la compétitivité de nos approches avec les méthodes récentes de l’état de l’art.

The approximate joint diagonalisation of a set of matrices allows the solution of the blind source separation problem and finds several applications, for instance in electroencephalography, a technique for measuring brain activity.The approximate joint diagonalisation is formulated as an optimization problem with three components: the choice of the criterion to be minimized, the non-degeneracy constraint on the solution and the solving algorithm.Existing approaches mainly consider two criteria, the least-squares and the log-likelihood.They are specific to a constraint and are limited to only one type of solving algorithms.In this thesis, we propose to formulate the approximate joint diagonalisation problem in a geometrical fashion, which generalizes previous works and allows the definition of new criteria, particularly those linked to information theory.We also propose to exploit Riemannian optimisation and we define tools that allow to have the three components varying independently, creating in this way new methods and revealing the influence of the choice of the model.Numerical experiments on simulated data as well as on electroencephalographic recordings show that our approach by means of Riemannian optimisation gives results that are competitive as compared to existing methods.They also indicate that the two traditional criteria do not perform best in all situations., La diagonalisation conjointe approximée d’un ensemble de matrices permet de résoudre le problème de séparation aveugle de sources et trouve de nombreuses applications, notamment pour l’électroencéphalographie, une technique de mesure de l’activité cérébrale.La diagonalisation conjointe se formule comme un problème d’optimisation avec trois composantes : le choix du critère à minimiser, la contrainte de non-dégénérescence de la solution et l’algorithme de résolution.Les approches existantes considèrent principalement deux critères, les moindres carrés et la log-vraissemblance.Elles sont spécifiques à une contrainte et se restreignent à un seul type d’algorithme de résolution.Dans ce travail de thèse, nous proposons de formuler le problème de diagonalisation conjointe selon un modèle géométrique, qui généralise les travaux précédents et permet de définir des critères inédits, notamment liés à la théorie de l’information.Nous proposons également d’exploiter l’optimisation riemannienne et nousdéfinissons un ensemble d’outils qui permet de faire varier les trois composantes indépendamment, créant ainsi de nouvelles méthodes et révélant l’influence des choix de modélisation.Des expériences numériques sur des données simulées et sur des enregistrements électroencéphalographiques montrent que notre approche par optimisation riemannienne donne des résultats compétitifs par rapport aux méthodes existantes.Elles indiquent aussi que les deux critères traditionnels ne sont pas les meilleurs dans toutes les situations.

A Poisson-Voronoi tessellation is a random partition of the Euclidean space intopolytopes, called cells, obtained from a discrete set of points called germs. To each germ corresponds a cell which is the set of the points of the space which are closer to this germ than to the other germs. These models are often used in several domains such as biology, telecommunication, astronomy, etc. The caracteristics of these tessellations and cells have been widely studied in the Euclidean space but only a few works concerns non-Euclidean Voronoi tessellation. In this thesis, we extend the definition of Poisson-Voronoi tessellation to a Riemannian manifold with finite dimension and we study the caracteristics of the associated cells. More precisely, we first measure the influence of the local geometry of the manifold, namely the curvatures, on the caracteristics of the cells, e.g. the mean volume or the mean number of vertices. Second, we aim to recover the local geometry of the manifold from the combinatorial properties of the tessellation on the manifolds. In particular, we establish limit theorems for the number of vertices of the tessellation, when the intensity of the process of the germs tends to infinity. This leads to the construction of an estimator of the curvature of the manifold and makes it possible to derive some properties of it. The main results of this thesis relies on the combination of stochastic methods and techniques from the differential geometry theory., Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition aléatoire de l'espace euclidien en polyèdres, appelés cellules, obtenue à partir d'un ensemble aléatoire discret de points appelés germes. A chaque germe correspond une cellule, qui est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de ce germes que des autres germes. Ces modèles sont souvent utilisées dans divers domaines tels que la biologie, les télécommunications, l'astronomie, etc. Les caractéristiques de ces mosaïques et des cellules associées ont été largement étudiées dans l'espace euclidien mais les travaux sur les mosaïques de Voronoï dans un cadre non-euclidien sont rares.Dans cette thèse, on étend la définition de mosaïque de Voronoï à une variétériemannienne de dimension finie et on s'intéresse aux caractéristiques des cellules associées. Plus précisément, on mesure dans un premier temps l'influence que peut avoir la géométrie locale de la variété, c'est-à-dire les courbures sur les caractéristiques moyennes d'une cellule, comme son volume ou son nombre de sommets, en calculant des développements asymptotiques des ces caractéristiques moyennes à grande intensité. Dans un deuxième temps, on s'interroge sur la possibilité de retrouver la géométrie locale de la variété à partir des caractéristiques combinatoires de la mosaïque sur la variété. En particulier, on établit desthéorèmes limites, quand l'intensité du processus des germes tend vers l'infini, pour le nombre de sommets de la mosaïque dans une fenêtre, ce qui permet de construire un estimateur de la courbure et d'en donner quelques propriétés.Les principaux résultats de cette thèse reposent sur la combinaison de méthodesprobabilistes et de techniques issues de la géométrie différentielle.

In the last two decades, interest in Brain-Computer Interfaces (BCI) has tremendously grown, with a number of research laboratories working on the topic. Since the Brain-Computer Interface Project of Vidal in 1973, where BCI was introduced for rehabilitative and assistive purposes, the use of BCI has been extended to more applications such as neurofeedback and entertainment. The credit of this progress should be granted to an improved understanding of electroencephalography (EEG), an improvement in its measurement techniques, and increased computational power.Despite the opportunities and potential of Brain-Computer Interface, the technology has yet to reach maturity and be used out of laboratories. There are several challenges that need to be addresses before BCI systems can be used to their full potential. This work examines in depth some of these challenges, namely the specificity of BCI systems to users physical abilities, the robustness of EEG representation and machine learning, and the adequacy of training data. The aim is to provide a BCI system that can adapt to individual users in terms of their physical abilities/disabilities, and variability in recorded brain signals.To this end, two main avenues are explored: the first, which can be regarded as a high-level adjustment, is a change in BCI paradigms. It is about creating new paradigms that increase their performance, ease the discomfort of using BCI systems, and adapt to the user’s needs. The second avenue, regarded as a low-level solution, is the refinement of signal processing and machine learning techniques to enhance the EEG signal quality, pattern recognition and classification.On the one hand, a new methodology in the context of assistive robotics is defined: it is a hybrid approach where a physical interface is complemented by a Brain-Computer Interface (BCI) for human machine interaction. This hybrid system makes use of users residual motor abilities and offers BCI as an optional choice: the user can choose when to rely on BCI and could alternate between the muscular- and brain-mediated interface at the appropriate time.On the other hand, for the refinement of signal processing and machine learning techniques, this work uses a Riemannian framework. A major limitation in this filed is the EEG poor spatial resolution. This limitation is due to the volume conductance effect, as the skull bones act as a non-linear low pass filter, mixing the brain source signals and thus reducing the signal-to-noise ratio. Consequently, spatial filtering methods have been developed or adapted. Most of them (i.e. Common Spatial Pattern, xDAWN, and Canonical Correlation Analysis) are based on covariance matrix estimations. The covariance matrices are key in the representation of information contained in the EEG signal and constitute an important feature in their classification. In most of the existing machine learning algorithms, covariance matrices are treated as elements of the Euclidean space. However, being Symmetric and Positive-Definite (SPD), covariance matrices lie on a curved space that is identified as a Riemannian manifold. Using covariance matrices as features for classification of EEG signals and handling them with the tools provided by Riemannian geometry provide a robust framework for EEG representation and learning.; Au cours des deux dernières décennies, l'intérêt porté aux interfaces cérébrales ou Brain Computer Interfaces (BCI) s’est considérablement accru, avec un nombre croissant de laboratoires de recherche travaillant sur le sujet. Depuis le projet Brain Computer Interface, où la BCI a été présentée à des fins de réadaptation et d'assistance, l'utilisation de la BCI a été étendue à d'autres applications telles que le neurofeedback et l’industrie du jeux vidéo. Ce progrès a été réalisé grâce à une meilleure compréhension de l'électroencéphalographie (EEG), une amélioration des systèmes d’enregistrement du EEG, et une augmentation de puissance de calcul.Malgré son potentiel, la technologie de la BCI n’est pas encore mature et ne peut être utilisé en dehors des laboratoires. Il y a un tas de défis qui doivent être surmontés avant que les systèmes BCI puissent être utilisés à leur plein potentiel. Ce travail porte sur des aspects importants de ces défis, à savoir la spécificité des systèmes BCI aux capacités physiques des utilisateurs, la robustesse de la représentation et de l'apprentissage du EEG, ainsi que la suffisance des données d’entrainement. L'objectif est de fournir un système BCI qui peut s’adapter aux utilisateurs en fonction de leurs capacités physiques et des variabilités dans les signaux du cerveau enregistrés.À ces fins, deux voies principales sont explorées : la première, qui peut être considérée comme un ajustement de haut niveau, est un changement de paradigmes BCI. Elle porte sur la création de nouveaux paradigmes qui peuvent augmenter les performances de la BCI, alléger l'inconfort de l'utilisation de ces systèmes, et s’adapter aux besoins des utilisateurs. La deuxième voie, considérée comme une solution de bas niveau, porte sur l’amélioration des techniques de traitement du signal et d’apprentissage statistique pour améliorer la qualité du signal EEG, la reconnaissance des formes, ainsi que la tache de classification.D'une part, une nouvelle méthodologie dans le contexte de la robotique d'assistance est définie : il s’agit d’une approche hybride où une interface physique est complémentée par une interface cérébrale pour une interaction homme-machine plus fluide. Ce système hybride utilise les capacités motrices résiduelles des utilisateurs et offre la BCI comme un choix optionnel : l'utilisateur choisit quand utiliser la BCI et peut alterner entre les interfaces cérébrales et musculaire selon le besoin.D'autre part, pour l’amélioration des techniques de traitement du signal et d'apprentissage statistique, ce travail utilise un cadre Riemannien. Un frein majeur dans le domaine de la BCI est la faible résolution spatiale du EEG. Ce problème est dû à l'effet de conductance des os du crâne qui agissent comme un filtre passe-bas non linéaire, en mélangeant les signaux de différentes sources du cerveau et réduisant ainsi le rapport signal-à-bruit. Par conséquent, les méthodes de filtrage spatial ont été développées ou adaptées. La plupart d'entre elles – à savoir la Common Spatial Pattern (CSP), la xDAWN et la Canonical Correlation Analysis (CCA) – sont basées sur des estimations de matrice de covariance. Les matrices de covariance sont essentielles dans la représentation d’information contenue dans le signal EEG et constituent un élément important dans leur classification. Dans la plupart des algorithmes d'apprentissage statistique existants, les matrices de covariance sont traitées comme des éléments de l'espace euclidien. Cependant, étant symétrique et défini positive (SDP), les matrices de covariance sont situées dans un espace courbe qui est identifié comme une variété riemannienne. Utiliser les matrices de covariance comme caractéristique pour la classification des signaux EEG, et les manipuler avec les outils fournis par la géométrie de Riemann, fournit un cadre solide pour la représentation et l'apprentissage du EEG.

In the last two decades, interest in Brain-Computer Interfaces (BCI) has tremendously grown, with a number of research laboratories working on the topic. Since the Brain-Computer Interface Project of Vidal in 1973, where BCI was introduced for rehabilitative and assistive purposes, the use of BCI has been extended to more applications such as neurofeedback and entertainment. The credit of this progress should be granted to an improved understanding of electroencephalography (EEG), an improvement in its measurement techniques, and increased computational power.Despite the opportunities and potential of Brain-Computer Interface, the technology has yet to reach maturity and be used out of laboratories. There are several challenges that need to be addresses before BCI systems can be used to their full potential. This work examines in depth some of these challenges, namely the specificity of BCI systems to users physical abilities, the robustness of EEG representation and machine learning, and the adequacy of training data. The aim is to provide a BCI system that can adapt to individual users in terms of their physical abilities/disabilities, and variability in recorded brain signals.To this end, two main avenues are explored: the first, which can be regarded as a high-level adjustment, is a change in BCI paradigms. It is about creating new paradigms that increase their performance, ease the discomfort of using BCI systems, and adapt to the user’s needs. The second avenue, regarded as a low-level solution, is the refinement of signal processing and machine learning techniques to enhance the EEG signal quality, pattern recognition and classification.On the one hand, a new methodology in the context of assistive robotics is defined: it is a hybrid approach where a physical interface is complemented by a Brain-Computer Interface (BCI) for human machine interaction. This hybrid system makes use of users residual motor abilities and offers BCI as an optional choice: the user can choose when to rely on BCI and could alternate between the muscular- and brain-mediated interface at the appropriate time.On the other hand, for the refinement of signal processing and machine learning techniques, this work uses a Riemannian framework. A major limitation in this filed is the EEG poor spatial resolution. This limitation is due to the volume conductance effect, as the skull bones act as a non-linear low pass filter, mixing the brain source signals and thus reducing the signal-to-noise ratio. Consequently, spatial filtering methods have been developed or adapted. Most of them (i.e. Common Spatial Pattern, xDAWN, and Canonical Correlation Analysis) are based on covariance matrix estimations. The covariance matrices are key in the representation of information contained in the EEG signal and constitute an important feature in their classification. In most of the existing machine learning algorithms, covariance matrices are treated as elements of the Euclidean space. However, being Symmetric and Positive-Definite (SPD), covariance matrices lie on a curved space that is identified as a Riemannian manifold. Using covariance matrices as features for classification of EEG signals and handling them with the tools provided by Riemannian geometry provide a robust framework for EEG representation and learning., Au cours des deux dernières décennies, l'intérêt porté aux interfaces cérébrales ou Brain Computer Interfaces (BCI) s’est considérablement accru, avec un nombre croissant de laboratoires de recherche travaillant sur le sujet. Depuis le projet Brain Computer Interface, où la BCI a été présentée à des fins de réadaptation et d'assistance, l'utilisation de la BCI a été étendue à d'autres applications telles que le neurofeedback et l’industrie du jeux vidéo. Ce progrès a été réalisé grâce à une meilleure compréhension de l'électroencéphalographie (EEG), une amélioration des systèmes d’enregistrement du EEG, et une augmentation de puissance de calcul.Malgré son potentiel, la technologie de la BCI n’est pas encore mature et ne peut être utilisé en dehors des laboratoires. Il y a un tas de défis qui doivent être surmontés avant que les systèmes BCI puissent être utilisés à leur plein potentiel. Ce travail porte sur des aspects importants de ces défis, à savoir la spécificité des systèmes BCI aux capacités physiques des utilisateurs, la robustesse de la représentation et de l'apprentissage du EEG, ainsi que la suffisance des données d’entrainement. L'objectif est de fournir un système BCI qui peut s’adapter aux utilisateurs en fonction de leurs capacités physiques et des variabilités dans les signaux du cerveau enregistrés.À ces fins, deux voies principales sont explorées : la première, qui peut être considérée comme un ajustement de haut niveau, est un changement de paradigmes BCI. Elle porte sur la création de nouveaux paradigmes qui peuvent augmenter les performances de la BCI, alléger l'inconfort de l'utilisation de ces systèmes, et s’adapter aux besoins des utilisateurs. La deuxième voie, considérée comme une solution de bas niveau, porte sur l’amélioration des techniques de traitement du signal et d’apprentissage statistique pour améliorer la qualité du signal EEG, la reconnaissance des formes, ainsi que la tache de classification.D'une part, une nouvelle méthodologie dans le contexte de la robotique d'assistance est définie : il s’agit d’une approche hybride où une interface physique est complémentée par une interface cérébrale pour une interaction homme-machine plus fluide. Ce système hybride utilise les capacités motrices résiduelles des utilisateurs et offre la BCI comme un choix optionnel : l'utilisateur choisit quand utiliser la BCI et peut alterner entre les interfaces cérébrales et musculaire selon le besoin.D'autre part, pour l’amélioration des techniques de traitement du signal et d'apprentissage statistique, ce travail utilise un cadre Riemannien. Un frein majeur dans le domaine de la BCI est la faible résolution spatiale du EEG. Ce problème est dû à l'effet de conductance des os du crâne qui agissent comme un filtre passe-bas non linéaire, en mélangeant les signaux de différentes sources du cerveau et réduisant ainsi le rapport signal-à-bruit. Par conséquent, les méthodes de filtrage spatial ont été développées ou adaptées. La plupart d'entre elles – à savoir la Common Spatial Pattern (CSP), la xDAWN et la Canonical Correlation Analysis (CCA) – sont basées sur des estimations de matrice de covariance. Les matrices de covariance sont essentielles dans la représentation d’information contenue dans le signal EEG et constituent un élément important dans leur classification. Dans la plupart des algorithmes d'apprentissage statistique existants, les matrices de covariance sont traitées comme des éléments de l'espace euclidien. Cependant, étant symétrique et défini positive (SDP), les matrices de covariance sont situées dans un espace courbe qui est identifié comme une variété riemannienne. Utiliser les matrices de covariance comme caractéristique pour la classification des signaux EEG, et les manipuler avec les outils fournis par la géométrie de Riemann, fournit un cadre solide pour la représentation et l'apprentissage du EEG.

International audience; The construction of anisotropic triangulations is desirable for various applications, such as the numerical solving of partial differential equations and the representation of surfaces in graphics. To solve this notoriously difficult problem in a practical way, we introduce the discrete Rieman-nian Voronoi diagram, a discrete structure that approximates the Riemannian Voronoi diagram. This structure has been implemented and was shown to lead to good triangulations in R 2 and on surfaces embedded in R 3 as detailed in our experimental companion paper. In this paper, we study theoretical aspects of our structure. Given a finite set of points P in a domain Ω equipped with a Riemannian metric, we compare the discrete Riemannian Voronoi diagram of P to its Riemannian Voronoi diagram. Both diagrams have dual structures called the discrete Riemannian Delaunay and the Riemannian Delaunay complex. We provide conditions that guarantee that these dual structures are identical. It then follows from previous results that the discrete Riemannian Delaunay complex can be embedded in Ω under sufficient conditions, leading to an anisotropic triangulation with curved simplices. Furthermore, we show that, under similar conditions, the simplices of this triangulation can be straightened. 1998 ACM Subject Classification Computational Geometry and Object Modeling 1 Introduction Anisotropic triangulations are triangulations whose elements are elongated along prescribed directions. Anisotropic triangulations are known to be well suited when solving PDE's [10, 19, 24]. They can also significantly enhance the accuracy of a surface representation if the anisotropy of the triangulation conforms to the curvature of the surface [15]. Many methods to generate anisotropic triangulations are based on the notion of Rieman-nian metric and create triangulations whose elements adapt locally to the size and anisotropy prescribed by the local geometry. The numerous theoretical and practical results [1] of the Euclidean Voronoi diagram and its dual structure, the Delaunay triangulation, have pushed authors to try and extend these well-established concepts to the anisotropic setting. La-belle and Shewchuk [17] and Du and Wang [12] independently introduced two anisotropic Voronoi diagrams whose anisotropic distances are based on a discrete approximation of the Riemannian metric field. Contrary to their Euclidean counterpart, the fact that the dual of these anisotropic Voronoi diagrams is an embedded triangulation is not immediate, and, despite their strong theoretical foundations, the anisotropic Voronoi diagrams of Labelle and

National audience; Deux phénomènes drastiquement différents — la trajectoire de la lumière dans l’espace-temps et l'activité neuronale dans notre cortex visuel — sont régis par les mêmes équations mathématiques.

We propose a generic Bayesian mixed-effects model to estimate the temporal progression of a biological phenomenon from manifold-valued observations obtained at multiple time points for an individual or group of individuals. The progression is modeled by continuous trajectories in the space of measurements, which is assumed to be a Riemannian manifold. The group-average trajectory is defined by the fixed effects of the model. To define the individual trajectories, we introduced the notion of « parallel variations » of a curve on a Riemannian manifold. For each individual, the individual trajectory is constructed by considering a parallel variation of the average trajectory and reparametrizing this parallel in time. The subject specific spatiotemporal transformations, namely parallel variation and time reparametrization, are defined by the individual random effects and allow to quantify the changes in direction and pace at which the trajectories are followed. The framework of Riemannian geometry allows the model to be used with any kind of measurements with smooth constraints. A stochastic version of the Expectation-Maximization algorithm, the Monte Carlo Markov Chains Stochastic Approximation EM algorithm (MCMC-SAEM), is used to produce produce maximum a posteriori estimates of the parameters. The use of the MCMC-SAEM together with a numerical scheme for the approximation of parallel transport is discussed. In addition to this, the method is validated on synthetic data and in high-dimensional settings. We also provide experimental results obtained on health data., Dans ce manuscrit, nous présentons un modèle à effets mixtes, présenté dans un cadre Bayésien, permettant d'estimer la progression temporelle d'un phénomène biologique à partir d'observations répétées, à valeurs dans une variété Riemannienne, et obtenues pour un individu ou groupe d'individus. La progression est modélisée par des trajectoires continues dans l'espace des observations, que l'on suppose être une variété Riemannienne. La trajectoire moyenne est définie par les effets mixtes du modèle. Pour définir les trajectoires de progression individuelles, nous avons introduit la notion de variation parallèle d'une courbe sur une variété Riemannienne. Pour chaque individu, une trajectoire individuelle est construite en considérant une variation parallèle de la trajectoire moyenne et en reparamétrisant en temps cette parallèle. Les transformations spatio-temporelles sujet-spécifiques, que sont la variation parallèle et la reparamétrisation temporelle sont définnies par les effets aléatoires du modèle et permettent de quantifier les changements de direction et vitesse à laquelle les trajectoires sont parcourues. Le cadre de la géométrie Riemannienne permet d'utiliser ce modèle générique avec n'importe quel type de données définies par des contraintes lisses. Une version stochastique de l'algorithme EM, le Monte Carlo Markov Chains Stochastic Approximation EM (MCMC-SAEM), est utilisé pour estimer les paramètres du modèle au sens du maximum a posteriori. L'utilisation du MCMC-SAEM avec un schéma numérique permettant de calculer le transport parallèle est discutée dans ce manuscrit. De plus, le modèle et le MCMC-SAEM sont validés sur des données synthétiques, ainsi qu'en grande dimension. Enfin, nous des résultats obtenus sur différents jeux de données liés à la santé.

In this thesis, we study the generation of anisotropic meshes using the concepts of Delaunay triangulations and Voronoi diagrams. We first consider the framework of locally uniform anisotropic meshes introduced by Boissonnat, Wormser and Yvinec. Despite known theoretical guarantees, the practicality of this approach has only been hardly studied. An exhaustive empirical study is presented and reveals the strengths but also the overall impracticality of the method. In a second part, we investigate the anisotropic Voronoi diagram introduced by Labelle and Shewchuk and give conditions on a set of seeds such that the corresponding diagram has a dual that is an embedded triangulation in any dimension; an algorithm to generate such sets is devised. Using the same diagram, we propose an algorithm to generate efficiently anisotropic triangulations of low-dimensional manifolds embedded in high-dimensional spaces. Our algorithm is provable, but produces disappointing results. Finally, we study Riemannian Voronoi diagrams and introduce discrete Riemannian Voronoi diagrams, which employ recent developments in the numerical computation of geodesic distances and whose computation is accelerated through the use of an underlying anisotropic graph structure. We give conditions that guarantee that our discrete structure is combinatorially equivalent to the Riemannian Voronoi diagram and that its dual is an embedded triangulation, using both straight and curved simplices. We obtain significantly better results than with our other methods, but the overall utility of; Nous étudions dans cette thèse la génération de maillages anisotropes basée sur la triangulation de Delaunay et le diagramme de Voronoi. Nous considérons tout d'abord les maillages anisotropes localement uniformes, développés par Boissonnat, Wormser et Yvinec. Bien que l'aspect théorique de cette approche soit connu, son utilité pratique n'a été que peu explorée. Une étude empirique exhaustive est présentée et révèle les avantages, mais aussi les inconvénients majeurs de cette méthode. Dans un second temps, nous étudions les diagrammes de Voronoi anisotropes définis par Labelle et Shewchuk. Nous donnons des conditions suffisantes sur un ensemble de points pour que le dual du diagramme soit une triangulation plongée en toute dimension ; un algorithme générant de tels ensembles est conçu. Ce diagramme est utilisé pour concevoir un algorithme qui génère efficacement un maillage anisotrope pour des domaines de dimension intrinsèque faible plongés dans des espaces de dimension large. Notre algorithme est prouvable, mais les résultats sont décevants. Enfin, nous présentons le diagramme de Voronoi Riemannien discret, qui utilise des avancées récentes dans l'estimation de distances géodésiques et dont le calcul est grandement accéléré par l'utilisation d'un graphe anisotrope. Nous donnons des conditions suffisantes pour que notre structure soit combinatoirement équivalente au diagramme de Voronoi Riemannien et que son dual utilisant des simplexes droits mais aussi courbes est une triangulation plongée en toute dimension. Nous obtenons de bien meilleurs résultats que pour nos autres techniques, mais dont l'utilité reste limitée

If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties., La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés.

We study two different topics, using insight from information theory in both cases: 1) Context Tree Weighting is a text compression algorithm that efficiently computes the Bayesian combination of all visible Markov models: we build a "context tree", with deeper nodes corresponding to more complex models, and the mixture is computed recursively, starting with the leaves. We extend this idea to a more general context, also encompassing density estimation and regression; and we investigate the benefits of replacing regular Bayesian inference with switch distributions, which put a prior on sequences of models instead of models. 2) Information Geometric Optimization (IGO) is a general framework for black box optimization that recovers several state of the art algorithms, such as CMA-ES and xNES. The initial problem is transferred to a Riemannian manifold, yielding parametrization-invariant first order differential equation. However, since in practice, time is discretized, this invariance only holds up to first order. We introduce the Geodesic IGO (GIGO) update, which uses this Riemannian manifold structure to define a fully parametrization invariant algorithm. Thanks to Noether's theorem, we obtain a first order differential equation satisfied by the geodesics of the statistical manifold of Gaussians, thus allowing to compute the corresponding GIGO update. Finally, we show that while GIGO and xNES are different in general, it is possible to define a new "almost parametrization-invariant" algorithm, Blockwise GIGO, that recovers xNES from abstract principles.; On considère ici deux sujets différents, en utilisant des idées issues de la théorie de l'information : 1) Context Tree Weighting est un algorithme de compression de texte qui calcule exactement une prédiction Bayésienne qui considère tous les modèles markoviens visibles : on construit un "arbre de contextes", dont les nœuds profonds correspondent aux modèles complexes, et la prédiction est calculée récursivement à partir des feuilles. On étend cette idée à un contexte plus général qui comprend également l'estimation de densité et la régression, puis on montre qu'il est intéressant de remplacer les mixtures Bayésiennes par du "switch", ce qui revient à considérer a priori des suites de modèles plutôt que de simples modèles. 2) Information Geometric Optimization (IGO) est un cadre général permettant de décrire plusieurs algorithmes d'optimisation boîte noire, par exemple CMA-ES et xNES. On transforme le problème initial en un problème d'optimisation d'une fonction lisse sur une variété Riemannienne, ce qui permet d'obtenir une équation différentielle du premier ordre invariante par reparamétrage. En pratique, il faut discrétiser cette équation, et l'invariance n'est plus valable qu'au premier ordre. On définit l'algorithme IGO géodésique (GIGO), qui utilise la structure de variété Riemannienne mentionnée ci-dessus pour obtenir un algorithme totalement invariant par reparamétrage. Grâce au théorème de Noether, on obtient facilement une équation différentielle du premier ordre satisfaite par les géodésiques de la variété statistique des gaussiennes, ce qui permet d'implémenter GIGO. On montre enfin que xNES et GIGO sont différents dans le cas général, mais qu'il est possible de définir un nouvel algorithme presque invariant par reparamétrage, GIGO par blocs, qui correspond exactement à xNES dans le cas Gaussien.

International audience; A methodology is presented to address the issue of detecting Error Potentials in the context of a P300-speller brain-computer interface.The proposed approach proved highly efficient in a recent competition organized on kaggle.com: authors finished first out of 260 competingteams (311 participants). The approach consists of three main foundations: an ad-hoc spatial filtering focuses the energy of the evoked potential,covariance matrices of the EEG signals are then interpreted in a Riemannian fashion to build features fed to the classification algorithm, andlastly, a bagging procedure increases robustness when detecting Error Potentials on unseen subjects.; Cette communication présente une méthode de détection de potentiels d'erreur dans le cadre d'une interface cerveau-machine P300-speller. Cette méthode a été employée avec succès lors d'une compétition ayant rassemblé 260 équipes (311 personnes) sur kaggle.com. L'approche repose sur trois pilliers principaux : un filtrage spatial concentrant le signal d'intérêt, une classification basée sur des caractéristiques issues d'une interprétation Riemannienne des matrices de covariance du signal électroencéphalographique, et enfin une méthode d'ensemble (bagging) apportant la robustesse nécessaire au transfert des performances pour la détection des potentiels d'erreur sur de nouveaux sujets.

This thesis is divided into three parts. In the first part, we study linkages (mechanisms made of rigid rods) whose ambiant space is no longer the plane, but various Riemannian manifolds. We study the question of the universality of linkages: this notion corresponds to the idea that every curve would be traced out by a vertex of some linkage, and that any differentiable manifold would be the configuration space of some linkage. We extend universality theorems to the Minkowski plane, the hyperbolic plane, and finally the sphere.Any surface in R^3 can be flattened with respect to the z-axis, and the flattened surface gets close to a billiard table in R^2. In the second part, we show that, under some hypotheses, the geodesic flow of the surface converges locally uniformly to the billiard flow. Moreover, if the billiard is dispersing, the chaotic properties of the billiard also apply to the geodesic flow: we show that it is Anosov in this case. By applying this result to the theory of linkages, we obtain a new example of Anosov linkage, made of five rods.In the third part, we first consider manifolds with locally metric connections, that is, connections which are locally Levi-Civita connections of Riemannian metrics; we give in this framework an analog of De Rham's decomposition theorem, which usually applies to Riemannian manifolds. In the case such a connection also preserves a conformal structure, we show that this decomposition has at most two factors; moreover, when there are exactly two factors, one of them is the Euclidean space R^q. The proofs of the results of this part use foliations with transverse similarity structures. On these foliations, we give a rigidity theorem of independant interest: they are either transversally flat, or transversally Riemannian., Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première, on étudie des systèmes articulés (mécanismes formés de tiges rigides) dont l'espace ambiant n'est pas le plan, mais diverses variétés riemanniennes. On étudie la question de l'universalité des mécanismes : cette notion correspond à l'idée que toute courbe serait tracée par un sommet d'un mécanisme, et que toute variété différentiable serait l'espace de configuration d'un mécanisme. On étend les théorèmes d'universalité au plan de Minkowski, au plan hyperbolique et enfin à la sphère.Toute surface dans R^3 peut être aplatie selon l'axe des z, et la surface aplatie s'approche d'une table de billard dans R^2. Dans la seconde partie, on montre que, sous certaines hypothèses, le flot géodésique de la surface converge localement uniformément vers le flot de billard. De plus, si le billard est dispersif, les propriétés chaotiques du billard remontent au flot géodésique : on montre qu'il est alors Anosov. En appliquant ce résultat à la théorie des systèmes articulés, on obtient un nouvel exemple de systèmes articulé Anosov, comportant cinq tiges.Dans la troisième partie, on s'intéresse aux variétés munies de connexions localement métriques, c'est-à-dire de connexions qui sont localement des connexions de Levi-Civita de métriques riemanniennes ; on donne dans ce cadre un analogue du théorème de décomposition de De Rham, qui s'applique habituellement aux variétés riemanniennes. Dans le cas où une telle connexion préserve une structure conforme, on montre que cette décomposition comporte au plus deux facteurs ; de plus, lorsqu'il y a exactement deux facteurs, l'un des deux est l'espace euclidien R^q. La démonstration des résultats de cette partie passe par l'étude des feuilletages munis d'une structure de similitude transverse. Sur ces feuilletages, on montre un résultat de rigidité qui peut être vu indépendamment des autres: ils sont soit transversalement plats, soit transversalement riemanniens.

Optimal control theory is an extension of the calculus of variations, and deals with the optimal behaviour of a system under a very general class of constraints. This field has been pioneered by the group of mathematicians led by Lev Pontryagin in the second half of the 50s and nowadays has countless applications to the real worlds (robotics, trains, aerospace, models for human behaviour, human vision, image reconstruction, quantum control, motion of self-propulsed micro-organism). In this thesis we introduce a novel definition of curvature for an optimal control problem. In particular it works for any sub-Riemannian and sub-Finsler structure. Related problems, such as comparison theorems for sub-Riemannian manifolds, LQ optimal control problem and Popp's volume and are also investigated.

National audience; Cet article présente une nouvelle méthode de classification pour les potentiels évoqués dans le cadre des interfaces cerveau machine (ICMs) EEG. À travers une estimation spécifique des matrices de covariance, ce travail étend l'utilisation de la géométrie Riemannienne, jusqu'alors limitée aux ICMs fondées sur l'imagination motrice, à la classification des potentiel évoqués. En comparaison aux méthodes de l'état de l'art, la méthode présentée offre une augmentation des performances tout en diminuant le nombre de données de nécessaire à la calibration du classifieur et en offrant une meilleure généralisation entre les sessions d'enregistrement.

This memoir presents results in three drections. In Riemannian geometry, we prove a generalized Günther inequality on volume, and in dimension 4 an isoperimetric inequality for manifold whose curvature is bounded from above. In the geometry of Wasserstein space from optimal transport, we prove embedding and non-embedding results, we compute isometry groups, and we study the dynamics of expanding circle maps acting on measures. In Chabauty topology, we prove that the space of closed subgroups of $R^n$ is simply connected., Ce mémoire présente des résultats dans trois directions. En géométrie riemannienne, on montre une généralisation de l'inégalité de Günther sur le volume, et en dimension 4 une inégalité isopérimétrique pour les variétés à courbure majorée. En géométrie des espaces de Wasserstein, issus du transport optimal, on montre des résultats plongement et de non-plongement, on calcule des groupes d'isométries, et on étudie la dynamique de l'action sur les mesures des applications dilatantes du cercle. En topologie de Chabauty, on montre que l'espace des sous-groupes fermés de $R^n$ est simplement connexe.

The present work aims at investigating the effects of a non-euclidean geometry on existence and uniqueness results for critical blow up NLS solutions. We will use many ideas from the works of Merle and Raphaël, particularly ideas from modulation theory which describes a solution in terms of geometric invariants parameters. We will rely more specically on a paper from Raphaël and Szeftel for existence and uniqueness of a critical mass blow up solution in dimension two tothe nonlinear Schrödinger equation with inhomogeneous potential acting on the nonlinearity, and which blows up where the inhomogeneity reaches its maximum. At first, we consider a generalized Laplacian operator and deploy the classical ansatz method to point out difficulties inherited from the non-flat metric terms, and in particular the key role played by the curvature at the blow-up point. In a second part, we reproduce the method when modifying the geometrical ansatz on which the parametrix is constructed, and investigate more precisely what is needed for existence and then uniqueness when dealing with a Laplace-Beltrami operator associated to a riemannian manifold. For simplicity, we shall only consider the role of g locally around the blow up point we are constructing, by assuming g is globally defined in some map, and asymptotically equals the usual euclidean metric.; Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

The Ricci flow was introduced by Hamilton in the beginning of the 90's. It has been a valuable tool to study the topology and the geometry of smooth Riemannian manifolds. For example, it was essential in the of the Poincaré conjecture (Perelman, 2003) and of the differentiable sphere theorem (Brendle and Schoen, 2008). In this thesis, we are interested in the applications of Ricci flow to metric spaces with curvature bounded from below which are not smooth. We define what it means for a Ricci flow to admit a metric space as initial condition. In Chapter 2, we present some works of Simon which allow to build a Ricci flow for some metric spaces of dimension 3. We also give two applications of this result : a finiteness theorem in dimension 3 and an alternative of a theorem of Cheeger and Colding in dimension 3. In Chapter 3, we treat the special case of dimension 2. We show that for singular surfaces whose curvature is boded from below (in the sense of Alexandrov), we can define a Ricci and it is unique. This allow to show that for surfaces with curvature bounded from below, the application which maps a surface to its Ricci flow is continuous with respect to Gromov-Hausdorff perturbations of the initial condition. Chapter 4 generalizes some of these methods in higher dimension. Here one needs to consider other conditions on the curvature than the usual "Ricci curvature bounded from below" and "sectional curvature bounded from below". The methods used there allow us to build a Ricci flow for some non-collapsed metric spaces which are limits of manifolds whose curvature operator is bounded from below. We also show that under some non-collapsing assumptions manifolds with almost non-negative curvature operator admit metrics with non-negative curvature operator.; Le flot de Ricci, introduit par Hamilton au début des années 80, a montré sa valeur pour étudier la topologie et la géométrie des variétés riemanniennes lisses. Il a ainsi permis de démontrer la conjecture de Poincaré (Perelman, 2003) et le théorème de la sphère différentiable (Brendle et Schoen, 2008). Cette thèse s'intéresse aux applications du flot de Ricci à des espaces métriques à courbure minorée peu lisses. On définit en particulier ce que signifie pour un flot de Ricci d'avoir pour condition initiale un espace métrique. Dans le Chapitre 2, on présente certains travaux de Simon permettant de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques de dimension 3. On démontre aussi deux applications de cette construction : un théorème de finitude en dimension 3 et une preuve alternative d'un théorème de Cheeger et Colding en dimension 3. Dans le Chapitre 3, on s'intéresse à la dimension 2. On montre que pour les surfaces singulières à courbure minorée (au sens d'Alexandrov), on peut définir un flot de Ricci et que celui-ci est unique. Ceci permet de montrer que l'application qui à une surface associe son flot de Ricci est continue par rapport aux perturbations Gromov-Hausdorff de la condition initiale. Le Chapitre 4 généralise une partie de ces méthodes en dimension quelconque. On doit y considérer des conditions de courbure autres que les usuelles minorations de la courbure de Ricci ou de la courbure sectionnelle. Les méthodes mises en place permettent de construire un flot de Ricci pour certains espaces métriques non effondrés limites de variétés dont l'opérateur de courbure est minoré. On montre aussi que sous certaines hypothèses de non-effondrement, les variétés à opérateur de courbure presque positif portent une métrique à opérateur de courbure positif ou nul.

Session "Articles"; National audience; La reconnaissance de visages 3D basée sur les courbes faciales 3D de différentes natures (courbes de niveaux, courbes iso-géodésiques, courbes radiales, profils, polarisation géodésique, etc), est une problématique de reconnaissance des formes largement abordée dans la littérature. Cette représentation par des courbes permet notamment d'analyser localement la forme de la surface faciale contrairement aux approches basées sur les surfaces entières. Elle a l'avantage de faire face aux variations de la pose (le visage test peut correspondre seulement à une partie du visage enrôlé) ou dans le cas des données manquantes (visage altéré par les occultations). Deux questions qui n'ont pas été abordés dans la littérature sont: Est ce que l'utilisation de toutes les courbes du visage aboutissent aux meilleures performances? Y a-t-il des courbes faciales plus pertinentes que d'autres? Nous essayons de répondre à ces questions dans cet article. Premièrement, nous représentons les surfaces faciales comme des collections de courbes de niveaux et radiales. Ensuite, en utilisant la géométrie Riemannienne nous analysons leurs formes. Enfin nous utilisons l'algorithme AdaBoost pour sélectionner les courbes (caractéristiques géométriques) les plus discriminantes. Les expérimentations, réalisées sur la base FRGCv2 avec le protocole standard, donne un taux de reconnaissance de 98.02% qui est un résultat compétitif vis-à-vis de l'état de l'art

Session "Posters"; National audience; Nous étudions dans cet article l'apport de la géométrie tridimensionnelle du visage dans la reconnaissance des individus. La principale contribution est d'associer plusieurs experts (matcheurs) de biométrie faciale 3D afin d'achever de meilleures performances comparées aux performances individuelles de chacun, notamment en présence d'expressions. Les experts utilisés sont : (E1) Courbes radiales élastiques, (E2) MS-eLBP, une version étendue multi-échelle de l'opérateur LBP, (E3) l'algorithme de recalage non-rigide TPS, en plus d'un expert de référence (Eref) l'algorithme de recalage rigide connu ICP. Profitant de la complémentarité de chacun des experts, la présente approche affiche un taux d'identification qui dépasse les 99% en présence d'expressions faciales sur la base FRGCv2. Une étude comparative avec l'état de l'art confirme le choix et l'intérêt de combiner plusieurs experts afin d'achever de meilleurs performances

We study fourth-order geometric flows on compact Riemannian manifolds, which naturally appear as gradient flows of quadratic curvature functionals. When the Yamabe constant remains bounded from below by a positive constant along the flow, we show that the manifold doesn't collapse, and that a sequence of dilated metrics near a singular time converges to a singularity model. In particular, in dimension four, this assumption is satisfied by a class of gradient flows, provided that the initial energy is less than an explicit constant. The singularities of these flows are then modeled by complete non-compact manifolds, which are Bach-flat and scalar-flat. By combining a Weitzenböck formula with the Sobolev inequality induced by the positivity of the Yamabe constant, we prove several rigidity results for metrics with integral pinched curvature. In particular, we prove a rigidity result for Bach-flat and scalar-flat manifolds in dimension four, which implies that the singularities of our gradient flows can only exist when the initial energy is bigger than a given constant. When this is not the case, these flows exist for all time, and converge to a metric with constant positive curvature. It provides a proof of a "sphere theorem" for closed four-dimensional manifolds with integral pinched curvature. Applying the same method to harmonic forms on an integral pinched manifold, we prove an integral version of the Bochner-Weitzenböck theorem. As a corollary, we obtain the vanishing of Betti numbers under various integral pinching conditions, and we characterize the equality cases., On étudie des flots géométriques d'ordre quatre sur des variétés riemanniennes compactes, qui apparaissent naturellement comme flots de gradient de fonctionnelles quadratiques en la courbure. Lorsque la constante de Yamabe reste minorée par une constante strictement positive le long du flot, on montre que la variété ne s'effondre pas, et qu'une suite de métriques dilatées au voisinage d'un temps singulier converge vers une variété complète qui modélise la singularité. En particulier, en dimension quatre, cette hypothèse est vérifiée pour une certaine classe de flots de gradients, du moment que l'énergie initiale est inférieure à une constante explicite. Les singularités de ces flots sont alors modélisées par des variétés complètes et non compactes, dont le tenseur de Bach et la courbure scalaire s'annulent. En combinant une formule de Weitzenböck avec l'inégalité de Sobolev induite par la positivité de la constante de Yamabe, on montre une série de résultats de rigidité pour des métriques dont la courbure est intégralement pincée. En particulier, on prouve un théorème de rigidité pour les variétés de dimension quatre à tenseur de Bach et à courbure scalaire nuls, qui implique que les singularités de notre classe de flots de gradient ne peuvent exister que si l'énergie initiale est supérieure à une certaine constante. Dans le cas contraire, ces flots existent pour tous temps positifs et convergent vers une métrique à courbure sectionnelle constante et positive. On retrouve ainsi un "théorème de la sphère" pour les variétés compactes de dimension quatre dont la courbure est intégralement pincée. En appliquant cette même méthode aux formes harmoniques d'une variété à courbure intégralement pincée, on démontre une version intégrale du théorème de Bochner-Weitzenböck. On en déduit l'annulation des nombres de Betti sous diverses conditions de pincement intégral, et on caractérise les cas d'égalité.

The present work aims at investigating the effects of a non-euclidean geometry on existence and uniqueness results for critical blow up NLS solutions. We will use many ideas from the works of Merle and Raphaël, particularly ideas from modulation theory which describes a solution in terms of geometric invariants parameters. We will rely more specically on a paper from Raphaël and Szeftel for existence and uniqueness of a critical mass blow up solution in dimension two tothe nonlinear Schrödinger equation with inhomogeneous potential acting on the nonlinearity, and which blows up where the inhomogeneity reaches its maximum. At first, we consider a generalized Laplacian operator and deploy the classical ansatz method to point out difficulties inherited from the non-flat metric terms, and in particular the key role played by the curvature at the blow-up point. In a second part, we reproduce the method when modifying the geometrical ansatz on which the parametrix is constructed, and investigate more precisely what is needed for existence and then uniqueness when dealing with a Laplace-Beltrami operator associated to a riemannian manifold. For simplicity, we shall only consider the role of g locally around the blow up point we are constructing, by assuming g is globally defined in some map, and asymptotically equals the usual euclidean metric., Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

En relativité générale, les équations d'Einstein pour un espace-temps peuvent se voir comme une équation d'évolution, dont les données ini- tiales, la métrique et la seconde forme fondamentale sur une hypersurface de genre " espace ", satisfont des " équations des contraintes ". On s'inté- resse ici à leur résolution par la méthode de " recollement ", en décrivant son principe général. Cette méthode permet de construire de grandes fa- milles de solutions sur une variété non-compacte approchant une référence à l'infini. Le cas des métriques riemanniennes à courbure scalaire constante y est inclus. Une liste non-exhaustive de résultats est décrite, notamment dans le cas de données initiales sur une variété riemannienne non-compacte et dont le comportement approche une certaine référence à l'infini.

The aim of this thesis is the mathematical study of families of spacetimes satisfying the Einstein's equations of General Relativity. Two methods are used in this context. The first part, consisting of the first three chapters of this work, investigates the geometric properties of the Emparan-Reall and Pomeransky-Senkov families of 5-dimensional spacetimes. We show that they contain a black-hole region, whose event horizon has non-spherical compact cross sections. We construct an analytic extension, and show its maximality and its uniqueness within a natural class in the Emparan-Reall case. We further establish the Carter-Penrose diagram for these extensions, and analyse the structure of the ergosurface of the Pomeransky-Senkov spacetimes. The second part focuses on the study of initial data, solutions of the constraint equations induced by the Einstein's equations. We perform a gluing construction between a given family of inital data sets and initial data of Kerr-Kottler-de Sitter spacetimes, using Corvino's method. On the other hand, we construct 3-dimensional asymptotically hyperbolic metrics which satisfy all the assumptions of the positive mass theorem but the completeness, and which display an energy-momentum vector of arbitry causal type.; L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et de Pomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique, et prouvons que cette extension est maximale, et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky- Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-de Sitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire.

We propose, in this thesis, a unified Riemannian framework for comparing, deforming, averaging and hierarchically organizing facial surfaces. This framework is applied within the 3D face recognition problem where facial expressions, pose variations, and occlusions are the main challenges of this topic. The facial surfaces are represented by collections of level curves and radial ones. The set of closed curves (level curves) constitute an infinite dimensional sub-manifold and is used to represent the nasal region, the most stable part of the face. The facial surface is represented by an indexed collection of radial curves. In this case, the calculus is simpler and the space of open curves shape is simply the hypersphere of Hilbert space. The comparison in this shape space is done via an "elastic" metric in order to handle non-isometric deformations of facial surfaces. We propose algorithms for computing means and eigenvectors in these nonlinear manifolds and hence algorithms for estimation of missing parts of 3D facial surfaces. Comparison with competitor approaches using a common experimental setting on the FRGCv2, GAVAB, BOSPHORUS databases, shows that our solution is able to obtain, and outperform in some scenarios, the state-of-the-art results.; Dans cette thèse, nous proposons un cadre Riemannien pour comparer, déformer, calculer des statistiques et organiser de manière hiérarchique des surfaces faciales. Nous appliquons ce cadre à la biométrie faciale 3D où les défis sont les expressions faciales, les variations de la pose et les occultations du visage par des objets externes. Les surfaces faciales sont repr'esentées par un ensemble de courbes de niveaux et de courbes radiales. L'ensemble des courbes fermées (de niveau) constitue une sous-variété non-linéaire de dimension infinie et est utilisé pour représenter le nez, la partie la plus stable du visage. La surface faciale est présentée, par ailleurs, par une collection indexée de courbes radiales. Dans ce cas, le calcul se simplifie et l'espace des formes des courbes ouvertes se ramène à une hyper sphère de l'espace de Hilbert. La comparaison dans l'espace des formes se fait via une métrique élastique afin de faire face aux d'eformations non-isométriques (ne conservant pas les longueurs) des surfaces faciales. Nous proposons des algorithmes pour calculer les moyennes, les vecteurs propres dans ces variétés non-linéaires et l'estimation des parties manquantes des surfaces faciales 3D. L'approche présentée dans cette thèse a été validée sur des Benchmarks connus (FRGCv2, GAVAB, BOSPHORUS) et obtenu des résultats compétitifs par rapport aux méthodes de l'état de l'art.

In this thesis, we create links between the properties of diffusion of the Riemannian manifold and its geometry. We embedd a family of Riemannian manifolds whose metric is time dependent, into a Hilbert space with its duffusion properties. Namely, via the eigenfunctions of the corresponding laplacian or its heat kernel. We prove that we can construct embeddings via a finite number of eigenfunctions for all families of Riemannian manifolds (M, g(t)) such that g(t) is analytic in t. If the volume of (M, g(t)) is constant, we can construct an embedding with a complete eigenfunctions basis. This embedding will be called the G.P.S embedding. This embedding is very informative regarding this family of manifolds. Then, we construct the fundamental solution P for the non-linear heat equation acting on (M,g(t)), such that the volume (M, g(t)) is constant. Finally we give a conjecture on the asymptotic formula of P, and we prove that, if this conjecture is true, we can embed (M,g(t)) into a Hilbert space via P., Le but de la thèse est de relier entre les propriétés de diffusion des variétés riemanniennes et leur géométrie. On veut plonger une famille de variétés riemanniennes dont la métrique est dépendante d'un paramètre t dans un espace de Hilbert par ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t)) telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G.P.S et donne beaucoup d'informations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de la chaleur non linéaire sur (M, g(t)) telle que g(t) soit de volume constant. Finalement, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'avérait vraie, on pourrait plonger (M, g(t)) dans un espace de Hilbert à l'aide de P.

National audience; Nous proposons dans cet article d'étudier l'apport de chaque courbe de la région nasale, dans le cadre de la biométrie faciale 3D, en utilisant l'algorithme Adaboost. En effet, nous représentons les surfaces nasales par des collections de courbes fermées appelées courbes nasales puis de comparer celles-ci dans l'espace des courbes fermées en s'appuyant sur une analyse riemannienne de cet espace. En considérant qu'à chacune des courbes on peut associer un classifieur faible, nous proposons de construire un classifieur final basé sur l'algorithme Adaboost. Le boosting permet d'optimiser les performances individuelles de chacune des courbes. Les expérimentations sur un ensemble de données de la base FRGC v2 (Face Recognition Grand Challenge) montre l'amélioration nette des résultats d'authentification.

The main theme of this memoir is the study of (compact) Kähler manifolds with negative sectional curvature. Two very different kinds of examples are known, depending on the existence or absence of a locally symmetric metric. The locally symmetric case amounts to studying (uniform) lattices in PU(n,1), where we focus mostly on the construction of non-arithmetic examples. In the non-locally symmetric case, we present results that give estimates of the pinching of Kähler metrics on Mostow-Siu surfaces, as well as their three-dimensional analogues., Le thème central de ce mémoire est l'étude des variétés kähleriennes (compactes) dont la courbure sectionnelle est strictement négative. Les exemples connus sont de deux types, selon qu'ils admettent ou non une métrique localement symétrique. Le cas localement symétrique correspond à l'étude des réseaux (uniformes) de PU(n,1). Nous nous intéressons particulièrement à la construction de réseaux non-arithmétiques. Dans le cas non localement symétrique, nous présentons un résultat d'estimation du pincement des métriques kähleriennes sur les surfaces de Mostow-Siu et leurs analogues tri-dimensionnels.

This thesis studies non compact manifolds whose bottom of the spectrum of the Laplacian is an isolated eigenvalue. The general purpose is to link the geometry of these manifolds to some spectral properties.In Chapter 2, we study $G$-periodic manifolds, which generalize periodic manifolds and coverings. We link the bottom of the spectrum of such a manifold with the one of its fundamental cell and the combinatorics of the underlying graph $G$. We show that these bottom of the spectrum are equal if and only if the graph is amenable.In Chapter 3, we give a characterization of the bottom of the spectrum of a manifold with boundary through positive $\lambda$-harmonic functions. Then we show that for a generic metric, when the bottom of the spectrum is an isolated eigenvalue the first eigenfunction is Morse. Eventually, we show that for a generic covering, there is a fundamental domain for the action of the deck group on which the lift of the first eigenfunction satisfies Neumann conditions on the boundary. This allows us to apply the results of Chapter 2 to coverings.In Chapter 4, we present a conjecture due to R. Canary, stating that when deforming a 3D hyperbolic acylindrical and geometrically finite manifold, the bottom of the spectrum is maximal when the boundary of the convex core is smooth. In Chapter 5, a study of the entropy of convex cocompact manifolds with negative pinched curvature allows us to get a variation formula for the bottom of the spectrum in the case of deformations of hyperbolic convex cocompact manifolds., Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales.Au Chapitre 2, nous étudions les variétés $G$-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe $G$ sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable.Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions $\lambda$-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements.Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.

This thesis studies non compact manifolds whose bottom of the spectrum of the Laplacian is an isolated eigenvalue. The general purpose is to link the geometry of these manifolds to some spectral properties.In Chapter 2, we study $G$-periodic manifolds, which generalize periodic manifolds and coverings. We link the bottom of the spectrum of such a manifold with the one of its fundamental cell and the combinatorics of the underlying graph $G$. We show that these bottom of the spectrum are equal if and only if the graph is amenable.In Chapter 3, we give a characterization of the bottom of the spectrum of a manifold with boundary through positive $\lambda$-harmonic functions. Then we show that for a generic metric, when the bottom of the spectrum is an isolated eigenvalue the first eigenfunction is Morse. Eventually, we show that for a generic covering, there is a fundamental domain for the action of the deck group on which the lift of the first eigenfunction satisfies Neumann conditions on the boundary. This allows us to apply the results of Chapter 2 to coverings.In Chapter 4, we present a conjecture due to R. Canary, stating that when deforming a 3D hyperbolic acylindrical and geometrically finite manifold, the bottom of the spectrum is maximal when the boundary of the convex core is smooth. In Chapter 5, a study of the entropy of convex cocompact manifolds with negative pinched curvature allows us to get a variation formula for the bottom of the spectrum in the case of deformations of hyperbolic convex cocompact manifolds.; Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales.Au Chapitre 2, nous étudions les variétés $G$-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe $G$ sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable.Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions $\lambda$-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements.Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.

In this thesis we study the systolic geometry of Bieberbach manifolds. The \emph{systole} of a compact non simply connected Riemannian manifold $(M^n,g)$ is the smallest length of a non-contractible closed curve; the \emph{systolic ratio} is the quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. M. Gromov proved that if $M^n$ is essential, there exists a positive constant $c(M)$ such that for any metric $g$ on $M^n$ we have: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. All compact surfaces (except $S^2$) are essential, and the theorem of Gromov is a generalisation of the same results for the torus $T^2$ (C. Loewner), for the projective plane (M. Pu) and for the Klein bottle (C. Bavard). The constant $c(M)$ is well known in the case of these manifolds, but in higher dimension we don't have much information. We study the optimal systolic ratio of $3$-dimensional Bieberbach manifolds that are not homeomorphic to a torus, and prove that it cannot be realized by a flat metric.; Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe $(M^n,g)$ est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. Un résultat fondamental de Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. Les surfaces compactes autres que $S^2$ sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.

Symmetric, positive-definite matrices, or tensors, are nowadays a common geometrical tool for image processing and analysis. The recent emergence of diffusion tensor MRI (DTI) and computational anatomy (CA) brought importance of tensors out to the medical community. However, working with those is difficult: the positive-definite constraint must be satisfied at any cost, which cannot be ensured in general with standard matrix operations. In this work, we propose two alternatives to the standard Euclidean calculus on tensors. Instead of seeing the tensor space as a vector space, we consider it as a manifold, i.e., a smooth curved space. Thanks to the Riemannian geometry, we are able to ``unfold'' this space, and to generalize any operation on tensors with astonishing simple implementations. In a second step, we review the applications of such frameworks in the context of clinical DTI and brain CA. In DTI, we show that very noisy data, typical of clinical acquisitions, can be optimally exploited and eventually produce a meaningful and clinically relevant fiber reconstruction. In brain CA, we show that, by considering simple brain anatomical landmarks - the sulcal lines - we are able to precisely measure the inter-individual variability of the cortex. Finally, we develop a new framework to study the anatomical correlations between brain regions, and present results of so far unknown relationships between symmetric sulcal positions, and between a-priori unrelated sulci, which raises new fundamental questions about the origin of such statistical dependencies.; Les matrices symétriques et définies positives, ou tenseurs, sont aujourd'hui fréquemment utilisées en traitement et analyse des images. Leur importance a été mise à jour avec l'apparition récente de l'IRM du tenseur de diffusion (ITD) et de l'anatomie algorithmique (AA). Cependant, il est difficile de travailler avec : la contrainte de positivité doit être satisfaite à tout prix, ce qui n'est pas garanti avec les opérations matricielles standard. Dans ce travail, nous proposons deux alternatives au calcul euclidien sur les tenseurs. Au lieu de voir l'espace des tenseurs comme un espace vectoriel, nous le considérons comme une variété, i.e., un espace courbe et lisse. Grâce à la géométrie riemannienne, il est alors possible de " déplier " cet espace et de généraliser aux tenseurs toute opération avec des implémentations étonnamment simples. Dans un deuxième temps, nous passons en revue les applications de tels cadres de calcul en ITD clinique et en AA du cerveau. En ITD, nous montrons qu'il est possible de traiter de manière optimale des données très bruitées typiques d'acquisitions cliniques, et de produire des reconstructions de fibres plausibles. En AA du cerveau, nous montrons qu'en considérant des repères anatomiques simples - les lignes sulcales - il est possible de mesurer précisément la variabilité interindividuelle du cortex. Finalement, nous développons un cadre nouveau pour étudier les corrélations anatomiques entre régions du cerveau, et présentons des résultats jusqu'à maintenant inconnus de dépendances entre sillons symétriques, et entre sillons à priori non reliés, soulevant ainsi de nouvelles questions sur l'origine de telles dépendances statistiques.

Symmetric, positive-definite matrices, or tensors, are nowadays a common geometrical tool for image processing and analysis. The recent emergence of diffusion tensor MRI (DTI) and computational anatomy (CA) brought importance of tensors out to the medical community. However, working with those is difficult: the positive-definite constraint must be satisfied at any cost, which cannot be ensured in general with standard matrix operations. In this work, we propose two alternatives to the standard Euclidean calculus on tensors. Instead of seeing the tensor space as a vector space, we consider it as a manifold, i.e., a smooth curved space. Thanks to the Riemannian geometry, we are able to ``unfold'' this space, and to generalize any operation on tensors with astonishing simple implementations. In a second step, we review the applications of such frameworks in the context of clinical DTI and brain CA. In DTI, we show that very noisy data, typical of clinical acquisitions, can be optimally exploited and eventually produce a meaningful and clinically relevant fiber reconstruction. In brain CA, we show that, by considering simple brain anatomical landmarks - the sulcal lines - we are able to precisely measure the inter-individual variability of the cortex. Finally, we develop a new framework to study the anatomical correlations between brain regions, and present results of so far unknown relationships between symmetric sulcal positions, and between a-priori unrelated sulci, which raises new fundamental questions about the origin of such statistical dependencies., Les matrices symétriques et définies positives, ou tenseurs, sont aujourd'hui fréquemment utilisées en traitement et analyse des images. Leur importance a été mise à jour avec l'apparition récente de l'IRM du tenseur de diffusion (ITD) et de l'anatomie algorithmique (AA). Cependant, il est difficile de travailler avec : la contrainte de positivité doit être satisfaite à tout prix, ce qui n'est pas garanti avec les opérations matricielles standard. Dans ce travail, nous proposons deux alternatives au calcul euclidien sur les tenseurs. Au lieu de voir l'espace des tenseurs comme un espace vectoriel, nous le considérons comme une variété, i.e., un espace courbe et lisse. Grâce à la géométrie riemannienne, il est alors possible de " déplier " cet espace et de généraliser aux tenseurs toute opération avec des implémentations étonnamment simples. Dans un deuxième temps, nous passons en revue les applications de tels cadres de calcul en ITD clinique et en AA du cerveau. En ITD, nous montrons qu'il est possible de traiter de manière optimale des données très bruitées typiques d'acquisitions cliniques, et de produire des reconstructions de fibres plausibles. En AA du cerveau, nous montrons qu'en considérant des repères anatomiques simples - les lignes sulcales - il est possible de mesurer précisément la variabilité interindividuelle du cortex. Finalement, nous développons un cadre nouveau pour étudier les corrélations anatomiques entre régions du cerveau, et présentons des résultats jusqu'à maintenant inconnus de dépendances entre sillons symétriques, et entre sillons à priori non reliés, soulevant ainsi de nouvelles questions sur l'origine de telles dépendances statistiques.

On a compact Riemannian manifold of dimension larger than 3,we consider a particular elliptic non linear equation : the Sobolev Poincaré equation. Firstly, we describe the asymptotic behaviour of sequences of solutions of this equation thanks to a fine analysis of the concentration phenomenon. Then we get results of multiplicity of solutions for this equation by introducing isometry invariances. Our method gives also multiplicity results for more classical critical equations like the Yamabe or the Nirenberg equation, and also for overcritical equations. Our work is strongly related to the description of the best constants in functionnal inequalities of Sobolev., Sur une variété riemanienne compacte de dimension supérieure à 3,on considère une edp elliptique non linéaire à exposant critique particulière : l'équation de Sobolev Poincaré. D'une part, nous décrivons le comportement asymptotique d'une suite de solutions de cette équation grâce à une analyse fine de phénomènes de concentration. D'autre part, en imposant des invariances par des groupes d'isométries, nous montrons des résultats de multiplicité de solutions pour cette équation. Notre méthode permet aussi d'obtenir des multiplicités de solutions pour des équations plus classiques provenant du problème deYamabe et de Nirenberg, ainsi que pour des équations à exposants sur critiques. Notre travail est intimement lié à la description des meilleures constantes dans des inégalités fonctionnelles de Sobolev associées aux équations.

In this thesis, we study the relation between extrinsic and intrinsic aspects for hypersurfaces of space forms by the way of rigidity results. First, we prove some pinching results for lower bounds of the extrinsic radius in terms of the r-th mean curvatures. Then, we prove such results for upper bounds of the first eigenvalue of the Laplacian in Euclidean space, which give us some results about almost Einstein hypersurfaces. In a second time, we give a spinorial charcterization of surfaces into 3-homogenous manifolds with 4-dimensional isometry group., La principale motivation de cette thèse est de mettre en relation les aspects extrinsèque et intrinsèque des hypersurfaces d'espaces modèles au moyen de résultats de rigidité. Dans un premier temps, nous donnons des résultats de pincment pour des minorations du rayon extrinsèqueen fonction des r-courbures moyennes dans les trois espaces modèles. Nous obtenons ensuite des résultats de pincement comparables pour des majorations de la première valeur propre du laplacien dans l'espace euclidien, ce qui nous permet d'obtenir des résultats concernant les hypersurfaces presque Einstein. Dans un second temps, nous donnons une caractérisation spinorielle des surfaces dans les 3-variétés homogènes à groupe d'isométries de dimension 4.

Recently, the need for rigorous frameworks for the processing of non-linear data has grown considerably in medical imaging. In this thesis, we propose several general frameworks to process various types of non-linear data, which all belong to Lie groups. To this end, we rely on the algebraic properties of these spaces. Thus, we propose a general processing framework for symmetric and positive-definite matrices, named Log-Euclidean, very simple to use and which has excellent theoretical properties. It is particularly well-adapted to the processing of diffusion tensor MRI. We also propose several frameworks, called polyaffine, to parameterize locally rigid or affine transformations, in a way that guarantees their invertibility. Their use is illustrated in the case of the locally rigid registration of histological slices and of the locally affine 3D registration of MRIs of the human brain. This led us to propose two general frameworks for computing statistics in finite-dimensional Lie groups: first the Log-Euclidean one, which generalizes our work on tensors, and second a framework based on the novel notion of bi-invariant mean, whose properties generalize to Lie groups those of the arithmetic mean. Finally, we generalize our Log-Euclidean framework to diffeomorphic geometrical transformations, which opens the way to a general and consistent framework for statistics in computational anatomy.; Ces dernières années, le besoin de cadres rigoureux pour traiter des données non-linéaires s'est développé considérablement en imagerie médicale. Ici, nous avons proposé plusieurs cadres généraux pour traiter certains de ces types de données, qui appartiennent à des groupes de Lie. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur les propriétés algébriques de ces espaces. Ainsi, nous avons présenté un cadre de traitement général pour les matrices symétriques définies positives, appelé log-euclidien, très simple à utiliser et avec d'excellentes propriétés théoriques ; il est particulièrement adapté au traitement des images de tenseurs de diffusion. Nous avons également proposé des cadres, dits polyaffines, pour paramétrer les transformations localement rigides ou affines, en garantissant leur inversibilité avec d'excellentes propriétés théoriques. Leur utilisation est illustrée avec succès dans le cas du recalage localement rigide de coupes histologiques et du recalage 3D localement affine d'IRMs du cerveau humain. Ce travail nous a menés à proposer deux cadres généraux nouveaux pour le calcul de statistiques dans les groupes de Lie en dimension finie : d'abord le cadre log-euclidien, qui généralise notre travail sur les tenseurs, et un cadre basé sur la notion nouvelle de moyenne bi-invariante, dont les propriétés généralisent celles de la moyenne arithmétique des espaces euclidiens. Enfin, nous avons généralisé notre cadre log-euclidien aux déformations géométriques difféomorphes afin de permettre un calclul simple des statistiques sur ces transformations, ce qui ouvre la voie à un cadre général et cohérent pour les statistiques en anatomie computationnelle.

Recently, the need for rigorous frameworks for the processing of non-linear data has grown considerably in medical imaging. In this thesis, we propose several general frameworks to process various types of non-linear data, which all belong to Lie groups. To this end, we rely on the algebraic properties of these spaces. Thus, we propose a general processing framework for symmetric and positive-definite matrices, named Log-Euclidean, very simple to use and which has excellent theoretical properties. It is particularly well-adapted to the processing of diffusion tensor MRI. We also propose several frameworks, called polyaffine, to parameterize locally rigid or affine transformations, in a way that guarantees their invertibility. Their use is illustrated in the case of the locally rigid registration of histological slices and of the locally affine 3D registration of MRIs of the human brain. This led us to propose two general frameworks for computing statistics in finite-dimensional Lie groups: first the Log-Euclidean one, which generalizes our work on tensors, and second a framework based on the novel notion of bi-invariant mean, whose properties generalize to Lie groups those of the arithmetic mean. Finally, we generalize our Log-Euclidean framework to diffeomorphic geometrical transformations, which opens the way to a general and consistent framework for statistics in computational anatomy., Ces dernières années, le besoin de cadres rigoureux pour traiter des données non-linéaires s'est développé considérablement en imagerie médicale. Ici, nous avons proposé plusieurs cadres généraux pour traiter certains de ces types de données, qui appartiennent à des groupes de Lie. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur les propriétés algébriques de ces espaces. Ainsi, nous avons présenté un cadre de traitement général pour les matrices symétriques définies positives, appelé log-euclidien, très simple à utiliser et avec d'excellentes propriétés théoriques ; il est particulièrement adapté au traitement des images de tenseurs de diffusion. Nous avons également proposé des cadres, dits polyaffines, pour paramétrer les transformations localement rigides ou affines, en garantissant leur inversibilité avec d'excellentes propriétés théoriques. Leur utilisation est illustrée avec succès dans le cas du recalage localement rigide de coupes histologiques et du recalage 3D localement affine d'IRMs du cerveau humain. Ce travail nous a menés à proposer deux cadres généraux nouveaux pour le calcul de statistiques dans les groupes de Lie en dimension finie : d'abord le cadre log-euclidien, qui généralise notre travail sur les tenseurs, et un cadre basé sur la notion nouvelle de moyenne bi-invariante, dont les propriétés généralisent celles de la moyenne arithmétique des espaces euclidiens. Enfin, nous avons généralisé notre cadre log-euclidien aux déformations géométriques difféomorphes afin de permettre un calclul simple des statistiques sur ces transformations, ce qui ouvre la voie à un cadre général et cohérent pour les statistiques en anatomie computationnelle.

In this Thesis, we study concentration phenomena for geometrical nonlinear elliptic equations : the existence of constant r-curvature hypersurfaces in Riemannian manifolds. ( The r-mean curvature of a hypersurfave is defined to be the r-th elementary symmetric function of the principal curvature of the hypersurface). We give in this thesis some results of existence of such a submanifolds. Moreover, theexamples we build highlight a concentration phenomena along submanifolds, phenomena associated with a resonance phenomena which returns the analysis of these objects particularly delicate and which one meets in the study of many other nonlinear problems : nonlinear Schrödinger equations, singularly perturbed problems, reaction-diffusion systems, ...; L'objet de cette thèse est l'étude d'un phénomène de concentration pour une série de problèmes non linéaires issus de la géométrie : l'existence d'hypersurfaces plongées dans une variété Riemannienne dont la r-courbure moyenne est constante. (La r-courbure moyenne d'une hypersurface est la rième fonction symétrique de lacourbure principale de l'hyersurface). Nous donnons dans cette thèse quelques résultats d'existence de telles hypersurfaces. En outre, les exemples que nous construisons mettent en évidence un phénomène de concentration le long de sous variétés, phénomèneassocié à un phénomène de résonance qui rend l'analyse de ces objets particulièrement délicate et que l'on rencontre dans l'étude de nombreux autres problèmes non-linéaires, équation de Schrödinger non linéaire, problème de perturbations singulière,système de réaction-diffusion,...

In this Thesis, we study concentration phenomena for geometrical nonlinear elliptic equations : the existence of constant r-curvature hypersurfaces in Riemannian manifolds. ( The r-mean curvature of a hypersurfave is defined to be the r-th elementary symmetric function of the principal curvature of the hypersurface). We give in this thesis some results of existence of such a submanifolds. Moreover, theexamples we build highlight a concentration phenomena along submanifolds, phenomena associated with a resonance phenomena which returns the analysis of these objects particularly delicate and which one meets in the study of many other nonlinear problems : nonlinear Schrödinger equations, singularly perturbed problems, reaction-diffusion systems, ..., L'objet de cette thèse est l'étude d'un phénomène de concentration pour une série de problèmes non linéaires issus de la géométrie : l'existence d'hypersurfaces plongées dans une variété Riemannienne dont la r-courbure moyenne est constante. (La r-courbure moyenne d'une hypersurface est la rième fonction symétrique de lacourbure principale de l'hyersurface). Nous donnons dans cette thèse quelques résultats d'existence de telles hypersurfaces. En outre, les exemples que nous construisons mettent en évidence un phénomène de concentration le long de sous variétés, phénomèneassocié à un phénomène de résonance qui rend l'analyse de ces objets particulièrement délicate et que l'on rencontre dans l'étude de nombreux autres problèmes non-linéaires, équation de Schrödinger non linéaire, problème de perturbations singulière,système de réaction-diffusion,...