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We construct and study a new family of TQFTs based on nilpotent highest weight representations of quantum sl(2) at a root of unity indexed by generic complex numbers. This extends to cobordisms the non-semi-simple invariants defined in (arXiv:1202.3553) including the Kashaev invariant of links. Here the modular category framework does not apply and we use the ``universal construction''. Our TQFT provides a monoidal functor from a category of surfaces and their cobordisms into the category of graded finite dimensional vector spaces and their degree 0-morphisms and depends on the choice of a root of unity of order 2r. The functor is always symmetric monoidal but for even values of r the braiding on GrVect has to be the super-symmetric one, thus our TQFT may be considered as a super-TQFT. In the special case r=2 our construction yields a TQFT for a canonical normalization of Reidemeister torsion and we re-prove the classification of Lens spaces via the non-semi-simple quantum invariants defined in (arXiv:1202.3553). We prove that the representations of mapping class groups and Torelli groups resulting from our constructions are potentially more sensitive than those obtained from the standard Reshetikhin-Turaev functors; in particular we prove that the action of the bounding pairs generators of the Torelli group has always infinite order., Comment: 63 pages, 40 figures

The goal of this paper is to exhibit a deep relation between the partition function of the Ising model on a planar trivalent graph and the generating series of the spin network evaluations on the same graph. We provide respectively a fermionic and a bosonic Gaussian integral formulation for each of these functions and we show that they are the inverse of each other (up to some explicit constants) by exhibiting a supersymmetry relating the two formulations. We investigate three aspects and applications of this duality. First, we propose higher order supersymmetric theories which couple the geometry of the spin networks to the Ising model and for which supersymmetric localization still holds. Secondly, after interpreting the generating function of spin network evaluations as the projection of a coherent state of loop quantum gravity onto the flat connection state, we find the probability distribution induced by that coherent state on the edge spins and study its stationary phase approximation. It is found that the stationary points correspond to the critical values of the couplings of the 2D Ising model, at least for isoradial graphs. Third, we analyze the mapping of the correlations of the Ising model to spin network observables, and describe the phase transition on those observables on the hexagonal lattice. This opens the door to many new possibilities, especially for the study of the coarse-graining and continuum limit of spin networks in the context of quantum gravity., 35 pages

We formulate a generalization of the volume conjecture for planar graphs. Denoting by the Kauffman bracket of the graph G whose edges are decorated by real "colors" c, the conjecture states that, under suitable conditions, certain evaluations of grow exponentially as k goes to infinity and the growth rate is the volume of a truncated hyperbolic hyperideal polyhedron whose one-skeleton is G (up to a local modification around all the vertices) and with dihedral angles given by c. We provide evidence for it, by deriving a system of recursions for the Kauffman brackets of planar graphs, generalizing the Gordon-Schulten recursion for the quantum 6j-symbols. Assuming that does grow exponentially these recursions provide differential equations for the growth rate, which are indeed satisfied by the volume (the Schlafli equation); moreover, any small perturbation of the volume function that is still a solution to these equations, is a perturbation by an additive constant. In the appendix we also provide a proof outlined elsewhere of the conjecture for an infinite family of planar graphs including the tetrahedra., Comment: 22 pages, 2 figures

Invariants of 3-manifolds from a non semi-simple category of modules over a version of quantum $sl(2)$ were obtained by the last three authors in arXiv:1202.3553 . They are invariants of $3$-manifolds together with a cohomology class which can be interpreted as a line bundle with flat connection. In arXiv:1404.7289 we have extended those invariants to graded TQFTs on suitable cobordism categories. Here we give an overview of constructions and results, and describe the TQFT vector spaces. Then we provide a new, algebraic, approach to the computation of these vector spaces., Comment: Proceedings of the Gokova Geometry-Topology Conference 2015, International Press of Boston, Inc. (May 2016)

International audience

We extend the definition of the coloured Jones polynomials to framed links and trivalent graphs in S 3 # k (S 2 × S 1 ) using a state-sum formulation based on Turaev's shadows. Then, we prove that the natural extension of the Volume Conjecture holds true for an infinite family of hyperbolic links.

17 pages, 9 figures; International audience; We define and study a notion of complexity for smooth, closed and orientable $4$-manifolds. This notion, based on the theory of Turaev shadows, represents the $4$-dimensional analogue of Matveev's complexity of $3$-manifolds. We classify complexity $0$ and $1$ four manifolds and provide examples of manifolds of higher complexity.

We give a self-contained introduction to the theory of Turaev's shadows as a tool to study 3 and 4-manifolds. The goal of the present paper twofold: on one side it is intended to be a shortcut to a basic use of the theory of shadows, on the other side it gives a sketchy overview of some of the recent results on shadows. No original result is proved here and most of the details of the proofs are not included., Comment: 19 pages, 8 figures. Revised version, to appear in Fundamenta Mathematicae

We establish a calculus for branched spines of 3-manifolds by means of branched Matveev-Piergallini moves and branched bubble-moves. We briefly indicate some of its possible applications in the study and definition of State-Sum Quantum Invariants., 15 pages, 12 figures. Revised version, to appear in Mathematische Zeitschrift

The goal of this thesis is the study and unification of the ADO and colored Jones knot invariants. The latter is a family of polynomials deeply studied and already unified by Habiro. They are at the core of several constructions (3 manifolds invariants, semi simple TQFT, ...). The ADO polynomials are more recent and are of interest in the study of non semi simple 3 manifold invariants and TQFT. This work will allow us to construct an invariant unifying both families, to show that those two are in fact equivalent, and transfer some known properties of the colored Jones polynomials to the ADO. In particular, we will present some holonomic properties and finite type invariant expansion. We first show how to build an element unifying the ADO polynomials by looking up their differences. We need an Habiro type completion ring in order to allow evaluation at roots of unity. Then, we must show that it is a knot invariant. To do so, it suffice to show that we can obtain it from the universal quantum knot invariant and a Verma module. We can then link this work to Habiro's and use this connection in order to show that this new invariant also unify the colored Jones polynomials. Moreover, we can show that the unified invariant is solely determined by the colored Jones polynomials. This uniqueness will allow us to deduce a bunch of properties on the unified and ADO invariants. First, we can show an holonomic property of the ADO, meaning that there is an operator polynomial canceling every ADO polynomial. This polynomial is the quantum A polynomial. Another nice property is the expansion into a series with topological finite type invariant as coefficients. Finally, the braid representation approach will open the path to homological interpretation of the invariants. The link case will also be discussed, shedding some light on the obstructions to such unification, and presenting some partial results.; Le but de cette thèse réside dans l'étude et l'unification des invariants ADO et Jones colorés pour les nœuds. Ces derniers sont une famille de polynômes très étudiée et déjà unifiée par Habiro. Ils sont au coeur de multiples constructions (invariants de 3 variétés, TQFT semi simples, ...). Les polynômes ADO, plus récent, présentent un grand intérêt dans l'étude des invariants de 3 variétés et TQFT non semi simples. Ce travail va permettre de construire un invariant unifiant ces deux familles de polynômes dans le cas des noeuds, de montrer qu'elles sont en réalité équivalentes, et permettre de transférer des propriétés connues des polynômes de Jones colorés aux ADO. On peut notamment mettre en lumière des propriétés d'holonomie et de développement en invariants de type fini. On montre d'abord comment construire un élément unifiant les ADO en analysant leurs différences. On a besoin pour cela de complétions d'anneaux à la Habiro afin de permettre une évaluation aux racines de l'unité. Ensuite, il faut montrer que c'est un invariant de nœuds, pour cela, il suffit d'utiliser l'invariant universel quantique et un module de Verma. On peut alors faire le parallèle puis s'appuyer sur les travaux d'Habiro afin de montrer que ce nouvel invariant unifie aussi les polynômes de Jones colorés. De manière plus forte, on peut alors montrer que l'invariant unifié est déterminé par les polynômes de Jones. Cette unicité va nous permettre de déduire tout un tas de propriétés sur les polynômes ADO. Une première propriété va être l'holonomie des ADO, c'est à dire l'existence d'un polynôme d'opérateur, le A polynôme quantique, annulant chaque polynôme ADO. Une autre propriété intéressante est le développement en série dont les coefficients sont des invariants de types finis topologiques. Enfin, l'approche par les représentations de tresses va permettre d'ouvrir la voie à une interprétation homologique des invariants. Le cas des entrelacs sera abordé afin de montrer les difficultés de l'unification et les résultats partiels obtenus.

We provide homological interpretations for some quantum invariants. We recall basic notions involved in this work: topological ones on one hand (braids, mapping class groups, and homological representations of the latter) and algebaic ones on the other hand (Hopf algebra, quantum groups, categories of modules, braiding). Then, we study "small cases": We show that the Gassner representation is contained in quantum representations of the braid group. We build Bigelow-Krammer-Lawrence representations in a colored version and we give matrices for the action. Finally we study the non semi-simple TQFT (built by Blanchet - Costantino - Geer - Patureau) representation of the mapping class group of the sphere with 4 punctures. We recognize homological representation inside of it, and this leads to the faithfulness of the representation. In the last chapter, we study modules of relative and locally finite homology modules with coefficients in an abelian local system, over configuration spaces of punctured disks. We endow them with an algebra representation of the quantized algebra of sl(2) in an integral version. We recognize a tensor product of integral Verma modules. We identify the natural braid group representation induced on this homology (by mapping class) with the ones obtain by the braiding of the quantized algebra of sl(2). This work extends Kohno's theorem (recovered via a nice homological operation) in several directions: • it relates homological representations to the entire tensor product of Verma modules (and not only to the highest weight vectors) • it includes a homological interpretation for the action of quantum sl(2), whose definitions are inspired by a work of Felder - Wieczerkowski for which the homological aspect remained conjectural. • it is an integral version of Kohno's theorem, namely it preserves the integral structure on Laurent polynomials, thus exposes conditions of genericity previously required by Kohno's theorem. We finally reach the level of knot invariants: in Chapter 4, this homological model for quantum braid representations allows us to show that colored Jones polynomials compute some weighted sum of abelianized Lefschetz numbers.; Cette thèse comporte des interprétations homologiques de certains invariants quantiques, plus particulièrement ceux associés aux groupes de tresses. Le Chapitre 3 étudie des groupes d'homologie localement finie, relative et à coefficients dans un système local abélien sur des espaces de configurations de points dans le disque épointé. Nous munissons ces complexes d'une action du groupe quantique sl(2) dans une version entière, et nous reconnaissons un produit tensoriel de modules de Verma entiers. Enfin, nous retrouvons une action naturelle du groupe des tresses (par homéomorphisme) sur ces modules homologiques, et nous montrons qu'il s'agit de la représentation obtenue par la R-matrice de la catégorie de modules de sl(2). Les représentations homologiques obtenues sont une généralisation des représentations de Lawrence, donc elles sont fidèles. Elles permettent de retrouver homologiquement plusieurs propriétés de la catégorie de modules sur sl(2). Nous donnons des bases entières de l'homologie (i.e. des bases en tant que module sur un anneau entier de polynômes de Laurent). L'action de sl(2), ainsi que celle du groupe des tresses, respectent cette structure, tout comme l'isomorphisme vers le produit tensoriel de modules de Verma. Ce travail étend le théorème de Kohno (retrouvé via une jolie opération homologique) dans plusieurs directions : • il relie les représentations homologiques à tout le produit tensoriel de modules de Verma (et plus seulement aux vecteurs de plus haut poids) • il inclue une interprétation homologique de l'action de sl(2), dont les définitions sont inspirées par un travail de Felder - Wieczerkowski dans lequel l'aspect homologique restait jusqu'ici conjectural. • il en est une version entière, c'est à dire qu'il préserve la structure d'anneau entier sur les polynômes de Laurent, exhibant ainsi précisément les conditions de généricité précédemment requises par le théorème de Kohno. Ce modèle homologique (pour les représentations quantiques de tresses) est ensuite appliqué aux nœuds vus comme des clôtures de tresses dans le Chapitre 4, et permet d'obtenir une formule des traces (homologiques) pour les polynômes de Jones coloriés, qui s'apparente à une somme pondérée de nombres de Lefschetz abélianisés. Le manuscrit contient également un chapitre (Chapitre 2) d'étude concrète de "petits cas" (car les représentations homologiques sont une famille graduée de représentations). Nous montrons explicitement que les représentations de Gassner du groupe des tresses sont des représentations quantiques, et nous donnons des matrices pour une version colorée des représentations de Bigelow-Krammer-Lawrence - construites au préalable. Nous étudions également le premier niveau de graduation de la représentation du groupe modulaire de la sphère à quatre pointes obtenue via la TQFT non semi-simple (construite par Blanchet - Costantino - Geer - Patureau), nous retrouvons une représentation de nature homologique, ce qui aboutit à la fidélité de cette représentation.

We provide homological interpretations for some quantum invariants. We recall basic notions involved in this work: topological ones on one hand (braids, mapping class groups, and homological representations of the latter) and algebaic ones on the other hand (Hopf algebra, quantum groups, categories of modules, braiding). Then, we study "small cases": We show that the Gassner representation is contained in quantum representations of the braid group. We build Bigelow-Krammer-Lawrence representations in a colored version and we give matrices for the action. Finally we study the non semi-simple TQFT (built by Blanchet - Costantino - Geer - Patureau) representation of the mapping class group of the sphere with 4 punctures. We recognize homological representation inside of it, and this leads to the faithfulness of the representation. In the last chapter, we study modules of relative and locally finite homology modules with coefficients in an abelian local system, over configuration spaces of punctured disks. We endow them with an algebra representation of the quantized algebra of sl(2) in an integral version. We recognize a tensor product of integral Verma modules. We identify the natural braid group representation induced on this homology (by mapping class) with the ones obtain by the braiding of the quantized algebra of sl(2). This work extends Kohno's theorem (recovered via a nice homological operation) in several directions: • it relates homological representations to the entire tensor product of Verma modules (and not only to the highest weight vectors) • it includes a homological interpretation for the action of quantum sl(2), whose definitions are inspired by a work of Felder - Wieczerkowski for which the homological aspect remained conjectural. • it is an integral version of Kohno's theorem, namely it preserves the integral structure on Laurent polynomials, thus exposes conditions of genericity previously required by Kohno's theorem. We finally reach the level of knot invariants: in Chapter 4, this homological model for quantum braid representations allows us to show that colored Jones polynomials compute some weighted sum of abelianized Lefschetz numbers.; Cette thèse comporte des interprétations homologiques de certains invariants quantiques, plus particulièrement ceux associés aux groupes de tresses. Le Chapitre 3 étudie des groupes d'homologie localement finie, relative et à coefficients dans un système local abélien sur des espaces de configurations de points dans le disque épointé. Nous munissons ces complexes d'une action du groupe quantique sl(2) dans une version entière, et nous reconnaissons un produit tensoriel de modules de Verma entiers. Enfin, nous retrouvons une action naturelle du groupe des tresses (par homéomorphisme) sur ces modules homologiques, et nous montrons qu'il s'agit de la représentation obtenue par la R-matrice de la catégorie de modules de sl(2). Les représentations homologiques obtenues sont une généralisation des représentations de Lawrence, donc elles sont fidèles. Elles permettent de retrouver homologiquement plusieurs propriétés de la catégorie de modules sur sl(2). Nous donnons des bases entières de l'homologie (i.e. des bases en tant que module sur un anneau entier de polynômes de Laurent). L'action de sl(2), ainsi que celle du groupe des tresses, respectent cette structure, tout comme l'isomorphisme vers le produit tensoriel de modules de Verma. Ce travail étend le théorème de Kohno (retrouvé via une jolie opération homologique) dans plusieurs directions : • il relie les représentations homologiques à tout le produit tensoriel de modules de Verma (et plus seulement aux vecteurs de plus haut poids) • il inclue une interprétation homologique de l'action de sl(2), dont les définitions sont inspirées par un travail de Felder - Wieczerkowski dans lequel l'aspect homologique restait jusqu'ici conjectural. • il en est une version entière, c'est à dire qu'il préserve la structure d'anneau entier sur les polynômes de Laurent, exhibant ainsi précisément les conditions de généricité précédemment requises par le théorème de Kohno. Ce modèle homologique (pour les représentations quantiques de tresses) est ensuite appliqué aux nœuds vus comme des clôtures de tresses dans le Chapitre 4, et permet d'obtenir une formule des traces (homologiques) pour les polynômes de Jones coloriés, qui s'apparente à une somme pondérée de nombres de Lefschetz abélianisés. Le manuscrit contient également un chapitre (Chapitre 2) d'étude concrète de "petits cas" (car les représentations homologiques sont une famille graduée de représentations). Nous montrons explicitement que les représentations de Gassner du groupe des tresses sont des représentations quantiques, et nous donnons des matrices pour une version colorée des représentations de Bigelow-Krammer-Lawrence - construites au préalable. Nous étudions également le premier niveau de graduation de la représentation du groupe modulaire de la sphère à quatre pointes obtenue via la TQFT non semi-simple (construite par Blanchet - Costantino - Geer - Patureau), nous retrouvons une représentation de nature homologique, ce qui aboutit à la fidélité de cette représentation.